北師大版等腰三角形復習

1、等腰三角形(復習教案）介休市義安二中 武秋梅教學目標知識與技能目標建立知識框架結(jié)構(gòu)圖，了解掌握等腰三角形知識。復習等腰三角形有關定理的探索與證明，證明的思路和方法。能利用等腰三角形的有關定理，證明線段相等、角相等及直線垂直等。過程方法通過回顧有關定理的證明，進一步掌握綜合法的證明法。提高學生用規(guī)定數(shù)學語言表達論證過程的能力。情感態(tài)度價值觀進一步體會證明的必要性，培養(yǎng)實事求是的態(tài)度以及進行質(zhì)疑和獨立思考的習慣。教學重點： 等腰三角形定理的應用。教學難點： 證明的思路和方法。教學流程本章知識結(jié)構(gòu)二。典型例題【例1】如圖所示，ABC中，AB=AC，D在BC上，且BD=AD，DC=AC，求B的度數(shù)。

2、A C B D 思路點撥：只要把“等邊對等角”這一性質(zhì)用在三個不同的等腰三角形中，然后用方程思想解題，列方程的依據(jù)是三角形的內(nèi)角和定理。 解：AB=CD（已知） B=C（等邊對等角） 同理：B=BAD，CAD=CDA 設B為X0 ，則C=X0 ，BAD=X0 ADC=2X0，CAD=2X0 在ADC中，C+CAD+ADC=1800 X+2X+2X=180 X=36 答：B的度數(shù)為360注：用代數(shù)方法解幾何計算題?？墒刮覀儞Q翻為簡。 練習1：如圖所示，在ABC中，D是AC上一點，并且AB=AD，DB=DC， 若C=290，則A=_ABDC123A 練習2：如圖在ABC中，AB=AC,點D在AC上

3、，且BD=BC=AD,求ABC各角的度數(shù)？B DC【例2】如圖所示，在ABC中，AB=AC，O是ABC內(nèi)一點，且OB=OC。 求證：AOBC思路點撥：要證AOBC，即證AO COBAD是等腰三角形底邊上的高，根據(jù)三線合一定理，只要先證AO是頂角的平分線即可。 證明：延長AO交BC于D AB=AC（已知） 在ABO和ACO中 OB=OC（已知） AO=AO（公共邊） ABOACO（SSS） BAO=CAO 即BAD=CAD（全等三角形的對應角相等） ADBC，即AOBC（等腰三角形頂角的平分線與底邊上的高互相重合） 評注：本題用兩次全等也可達到目的.。 A 練習： 如圖所示，點D、E在ABC的邊

4、BC上，AB=AC，AD=AE求證：BD=CECEDB【例3】求證等腰三角形底邊上任一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高。 思路點撥：本題為文字題，文字題必須按下列步驟進行：（1）根據(jù)題意畫出圖形；（2）根據(jù)圖形寫出“已知”、“求證”；（3）寫出證明過程。如圖，在ABC中，AB=AC，P是BC邊上任一點，過點P作PM AB于M，PN AC于N，作BEAC于E。BCPMENQA 求證：PM+PN=BE 證明：作PQ BE于QBE AC，PNAC，BE PNPQ BE，ACBE PQ NE。，QE=PN。AB=ACABC=CPQ ACQPB=C ABC=QPB又PMB=BQP=900 BP=PB，P

5、MBBQP（AAS）PM=BQPM+PN=BQ+QE=BE注：對文字題一定要逐字逐句地分析，畫好圖形，寫出已知、求證，按步驟解題。練習：求證等腰三角形底邊上任一點到兩腰的距離之差等于一腰上的高?！纠?】已知如圖所示，在ABC中，AB=AC，D是AB上一點，過D作DEBC與E，并與CA的延長線相交于F，ABCDE12F求證：AD=AF 思路點撥：要證AD=AF，需證1=F，而1=2，2落在BDE中，F(xiàn)落在FEC中,因為DE BC ，所以它們都為直角三角形。F與2的余角分別為B與C,由已知可得B=C，因而結(jié)論成立。證明：在ABC中 AB=AC B=C （等邊對等角） DEBC DEB=DEC=90

6、0 （垂直定義） 2+B=900 ，F(xiàn)+C=900（直角三角形兩銳角互余） 2=F（等角的余角相等） 1=2 1=F（等量代換） AF=AD（等角對等邊） ABDC 注：要注意“兩頭湊”的分析方法。本題還可以“作AGBC與G”，則AGFE來證。練習1：如圖AC=AD，C=D，C求證BC=BD（試不用三角形全等來證）練習2:如圖，已知ABC是等邊三角形，點D.E分別在AC、BC上，且DEAB,DFDE,交BC的延長線與點F.求證：CD=CFDFBECA【例5】如圖所示，ABC，ACB的角平分線交于F，過F作DEBC，交AB于D，交AC于E。求證：BD+EC=DE思路點撥：由DEBC，得3=2 1

7、=2 1=3 ADB=DF，同理CE=EF。從而問題得證。 EF3D1C2B證明：DE BC（已知）3=2 （兩直線平行，內(nèi)錯角相等）又BF平分ABC（已知） 1=2（角平分線定義）1=3 DB=DF（等角對等邊）同理 EF=CE BD+EC=DF+EF，即BD+EC=DE。注：在三角形中一般是角平分線+平行線得等腰三角形。A練習：如圖，BF平分ABC，CF平分ACG且DFBG.問DB、EC和DE之間存在著怎樣的關系呢？請證之。BCGDEF1234【例6】 圖中，已知BCAC,DEAC,點D是AB的中點，A=300,DE=1.8,求AB的長。 DCABE思路點撥 ：又A=300可得在RtBAC

8、，RtDAE中BC=1/2AB，DE=1/2AD，又點D為AB 的中點可得BD=AD =1/2AB于是可得DE=1/4AB解：A=300，DEAC，BCAC，（已知）DE=1/2AD，BC=1/2AB（在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半）。又AD=1/2AB, DE=1/2AD=1/4AB,即AB=4DE=4*1.8=7.2注：在直角三角形中已知300的角就意味著邊的2倍關系了，要注意充分利用這一條件進行計算。練習1：在RtABC中，C=900,若B=2A,則邊AB與BC之間有什么關系？練習2：等腰三角形的底角等于15，腰長為2a,求腰上的高。ABCDEO【

9、例7】 如圖，在ABC中BDAC于D,BAC=2DBC.求證：ABC=ACB. 思路點撥：由BAC=2DBC聯(lián)想到作BAC的平分線，想辦法證BAC的平分線垂直BC，即可得證。證明：作BAC的平分線AE交BC于E,交BD于O,則BAE=CAE=DBC.BDAC(已知）ODA=90（垂直定義）AOD=BOE(對頂角相等），OEB=1800-BOE-DBC=1800-AOD-CAE=ODA,即OEB=900ABC+BAE=900,ACB+CAE=900(直角三角形兩銳角互余），ABC=ACB(等角的余角相等）。注：要善于觀察，積累輔助線的作法，本題還可用加倍小角來證明：即在ABD內(nèi)作DBF=DBC交

10、AC于F,ABCD12練習：如圖 在ABC中1=2，ABC=2C求證：AB+BD=AC。ABCDE12【例8】如圖 ，在ABC中，AD為中線，BAD=DAC 求證：AB=AC。思路點撥：從現(xiàn)有條件分析，在ABD與ACD中，1=2，AD=AD是公共邊，D是BC的中點，即BD=DC具有“兩邊一對角”對應相等，無法斷定全等，因AD是中線，就想到可把中線AD延長一倍，構(gòu)造全等三角形來解此題。證明：延長AD到E，使DE=AD，連結(jié)BE。在ACD和EBD中 AD=DE， BD=DC， ADC=EDBACDEBD（SAS）BE=AC，BED=CAD（全等三角形的對應邊、對應角相等）BAD=DAC（已知）BED=BAD（等量代換）AB=BE（等角對等邊）AB=AC（等量代換）注：在三角形中有中線時常延長加倍中線，構(gòu)造全等三角形，另外在等腰三角形中，常作一腰的平行線或作底的平形線，從而構(gòu)造新的等腰三角形。ABCDFE練習：如圖，在ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC