線性代數(shù)總復(fù)習(xí)及典型例題學(xué)習(xí)教案

1、線性代數(shù)線性代數(shù)(xin xn di sh)總復(fù)習(xí)及典型總復(fù)習(xí)及典型例題例題第一頁，共61頁。第1頁/共61頁第二頁，共61頁。二階行列式的計算方法二階行列式的計算方法.2112221122211211aaaaaaaa 第一節(jié)第一節(jié) n階行列式的定義階行列式的定義(dngy)三階三階(sn ji)行列式的計算方法行列式的計算方法沙路法沙路法323122211211aaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa 322113312312332211aaaaaaaaa D333231232221131211aaaaaaaaaD 第2頁/共61頁第三頁，共61頁。nnnn 2

2、12)1(21)1( 一些一些(yxi)常用的行列式結(jié)果：常用的行列式結(jié)果：nnnnaaaaaa000222112111122nna aa nn 2121 第3頁/共61頁第四頁，共61頁。kkkkmmmmbbbb*aaaaDMMMMMM111111110 *1111mmmmaaaaMM .1111kkkkbbbbMM第4頁/共61頁第五頁，共61頁。行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式與它的轉(zhuǎn)置(zhun zh)(zhun zh)行列式行列式相等相等. . 性質(zhì)性質(zhì)1.1行列式的某一行（列）中所有行列式的某一行（列）中所有(suyu)元元素的素的公因子可以提到公因子可以提到(t do)行列式符號的外面行列

3、式符號的外面 性質(zhì)性質(zhì)1.2式為零。式為零。行列式的某一行（列）中的所有元素都行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一數(shù)乘以同一數(shù) k ，等于用數(shù)，等于用數(shù) k 乘此行列式乘此行列式.如果行列式中有一行如果行列式中有一行(列列)為零，那么行列為零，那么行列第二節(jié)第二節(jié) 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)第5頁/共61頁第六頁，共61頁。對換對換(du hun)行列式的兩行（列）行列式的兩行（列）,行列式變號行列式變號. 性質(zhì)性質(zhì)1.3則此行列式為零則此行列式為零.如果如果(rgu)行列式有兩行（列）完全相同，行列式有兩行（列）完全相同，比例比例(bl)，那么行列式為，那么行列式為零零 性質(zhì)性質(zhì)1.4如

4、果行列式中有兩行（列）對應(yīng)成如果行列式中有兩行（列）對應(yīng)成第6頁/共61頁第七頁，共61頁。如果行列式的某一行如果行列式的某一行(yxng)（列）的元素都是（列）的元素都是則則D等于等于(dngy)下列兩個行列式之和：下列兩個行列式之和：例如例如(lr)第第i 行的元素都是兩數(shù)之行的元素都是兩數(shù)之和和 性質(zhì)性質(zhì)1.5兩數(shù)之和，兩數(shù)之和，nnnnininiiiinaaacbcbcbaaaDMMMMMM21221111211 nnnniniinaaabbbaaaDMMMMMM212111211 nnnniniinaaacccaaaMMMMMM212111211 第7頁/共61頁第八頁，共61頁。同

5、一數(shù)然后加到另一行同一數(shù)然后加到另一行(yxng)(列列)對應(yīng)的元素上去，對應(yīng)的元素上去，行列行列 把行列式的某一行把行列式的某一行(yxng)（列）的各元素乘以（列）的各元素乘以 性質(zhì)性質(zhì)1.6式不變式不變 (倍加倍加(bi ji)運算運算)計算行列式常用方法：計算行列式常用方法：(1)利用定義利用定義;(2)利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值算得行列式的值第8頁/共61頁第九頁，共61頁。第三節(jié)第三節(jié) 行列式按行行列式按行(列列)展開展開(zhn ki)數(shù)余子式的乘積數(shù)余子式的乘積(chngj)(chngj)，即，即.ijijAa

6、D 引理引理 一個一個(y )n階行列式，如果第階行列式，如果第i 行所有元素除行所有元素除ija外都為零，外都為零，ija與它的代與它的代那么這個行列式等于那么這個行列式等于式某行式某行(列列)元素與另一行元素與另一行(列列)對應(yīng)元素的代數(shù)余子對應(yīng)元素的代數(shù)余子行列式的某行行列式的某行(列列)的所有元素與其對應(yīng)的所有元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和等于該行列式的值。的代數(shù)余子式乘積之和等于該行列式的值。式乘積之和等于零。式乘積之和等于零。行列行列第9頁/共61頁第十頁，共61頁。行列式按行（列）展開行列式按行（列）展開(zhn ki)法則是法則是把高階行列式的計算化為低階行列式計把高階行列式

7、的計算化為低階行列式計算的重要工具算的重要工具. ;,0,1jijiDAankkjki當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) ;,0,1jijiDAankjkik當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)?shù)?0頁/共61頁第十一頁，共61頁。第二章第二章 矩陣矩陣(j zhn)(j zhn)及及其運算其運算第11頁/共61頁第十二頁，共61頁。一、矩陣的概念一、矩陣的概念 由由 個個數(shù)數(shù)nm njmiaij, 2 , 1;, 2 , 1 稱為稱為m行行n列列矩陣矩陣, ,簡稱簡稱 矩陣矩陣. .nm 排成的排成的m行行n列的數(shù)表列的數(shù)表(sh bio)mnmmnnaaaaaaaaaMMM212222111211 Anm 其中其中 個數(shù)稱為矩陣個數(shù)稱為矩陣A

8、的元素，數(shù)的元素，數(shù)ija稱為矩陣稱為矩陣A的第的第i 行第行第j 列的元素列的元素(yun s). 1. 矩陣矩陣(j zhn)的基本的基本概念概念第12頁/共61頁第十三頁，共61頁。 加法加法 數(shù)與矩陣相乘數(shù)與矩陣相乘 矩陣與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘 方陣的冪方陣的冪 轉(zhuǎn)置矩陣轉(zhuǎn)置矩陣 對稱對稱(duchn)及反對陳矩陣及反對陳矩陣 方陣的行列式方陣的行列式 1. 矩陣的基本矩陣的基本(jbn)運算：運算： 二、矩陣的運算二、矩陣的運算第13頁/共61頁第十四頁，共61頁。2. 矩陣的運算矩陣的運算(yn sun)規(guī)律：規(guī)律： ;1ABBA 交換律：交換律： .2CBACBA 結(jié)合律：結(jié)合

9、律：加法加法(jif)： ;:1AA 結(jié)合律結(jié)合律 :2 分配律分配律 .BABA ;AAA 數(shù)乘：數(shù)乘：第14頁/共61頁第十五頁，共61頁。 ;1BCACAB ,3ACABCBA ;CABAACB BABAAB 2（其中其中 為數(shù)）為數(shù)）; ; 乘法乘法(chngf)：方陣方陣(fn zhn)的冪運算：的冪運算：kllkAA )(（2）lklkAAA （1） 注意注意(zh y)： .kkkBAAB 第15頁/共61頁第十六頁，共61頁。 ;1AATT ;2TTTBABA ;3TTAA .4TTTABAB 轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置(zhun zh)運算：運算：第16頁/共61頁第十七頁，共61頁。由由n

10、n階方陣階方陣(fn(fn zhn)A zhn)A的元素按原相對位置所構(gòu)成的元素按原相對位置所構(gòu)成或或A.det A稱為稱為(chn wi)方陣方陣A的行列的行列式，記作式，記作的行列式，的行列式，3. 方陣方陣(fn zhn)的行列式及其性質(zhì)的行列式及其性質(zhì)AAT BAAB 方陣的行列式滿足下列規(guī)律：方陣的行列式滿足下列規(guī)律：（2）（3）（設(shè)（設(shè)A、B為為n階方陣，階方陣， 為數(shù)）為數(shù)） （1）;AAn 第17頁/共61頁第十八頁，共61頁。. .列標列標三、逆矩陣三、逆矩陣1. 基本概念基本概念對于對于n n階方陣階方陣A A，如果存在，如果存在(cnzi)(cnzi)一個一個n n階方陣

11、階方陣B B使得使得(sh de)(sh de)EBAAB 則稱則稱B B是是A A的逆矩陣的逆矩陣(j zhn)(j zhn)，并稱矩陣，并稱矩陣(j zhn)A(j zhn)A是可逆矩陣是可逆矩陣(j zhn)(j zhn)或滿秩或滿秩.1 A矩陣，或非奇異矩陣矩陣，或非奇異矩陣, ,記為記為說明說明 若若A是可逆矩陣，則是可逆矩陣，則A的逆矩陣是的逆矩陣是唯一唯一的的. .11AA 寫成寫成不能將不能將 注意注意第18頁/共61頁第十九頁，共61頁。各元素各元素aij aij 的代數(shù)的代數(shù)(dish)(dish)余子式余子式Aij Aij 構(gòu)成如下構(gòu)成如下n n階方陣階方陣 nnnnnn

12、AAAAAAAAAA212221212111稱為稱為(chn(chn wi) wi)矩陣矩陣A A的伴的伴隨矩陣隨矩陣. .,)(nnijaA 設(shè)有設(shè)有n階方陣階方陣A由行列式由行列式 中中 *A注意注意: :伴隨陣伴隨陣與原矩陣與原矩陣A元素位置的對應(yīng)關(guān)系元素位置的對應(yīng)關(guān)系.第19頁/共61頁第二十頁，共61頁。.EAAAAA 設(shè)設(shè)A為為n階方陣，階方陣，A*為其伴隨為其伴隨(bn su)矩陣，則矩陣，則2. 基本基本(jbn)定定理理,11 AAA且且.的伴隨陣的伴隨陣是是其中其中AA 設(shè)設(shè)A為為n階方陣階方陣(fn zhn)，則，則,0 AA可逆可逆或或若若(EAB 設(shè)設(shè)A、B 都是都是

13、n階方陣，階方陣，.1 AB則則, )EBA 第20頁/共61頁第二十一頁，共61頁。 AA且且可逆可逆則則數(shù)數(shù)可逆可逆若若, 0,2 且且也可逆也可逆則則為同階可逆矩陣為同階可逆矩陣若若,3ABBA 1ABB1 1 A .111 AA .,1111AAAA 且且也可逆也可逆則則可逆可逆若若3. 可逆矩陣可逆矩陣(j zhn)的性質(zhì)的性質(zhì) .,4AAAAT 且且也可逆也可逆則則可逆可逆若若TT1 1 .,511 AAA則有則有可逆可逆若若 .1212 AA推推廣廣1AmA1 mA1 1A第21頁/共61頁第二十二頁，共61頁。(1)利用定義利用定義(dngy)（一般適用于（一般適用于證明題）證

14、明題） (2)(3)待定系數(shù)法待定系數(shù)法(3)(4) 初等變換法初等變換法:步驟如下步驟如下 ;21AAA 利用公式利用公式4. 逆矩陣逆矩陣(j zhn)的計算方的計算方法法);()1(EAM構(gòu)造矩陣構(gòu)造矩陣1,)()2( AEEAEA對應(yīng)部分即為對應(yīng)部分即為右邊右邊后后單位矩陣單位矩陣化為化為將將施行初等行變換施行初等行變換對對M第22頁/共61頁第二十三頁，共61頁。.21tAAAA tAOAOAA21設(shè)方陣設(shè)方陣(fn zhn)分塊對角矩陣分塊對角矩陣(j zhn)的性質(zhì)的性質(zhì)則則 1. 可可逆逆，且且即即矩矩陣陣則則如如果果AAtiAi, 0, 2 , 10 .21 tAAAAoo1

15、 1 1 1 2. ktkkkAOAOAA21. 3 四、分塊矩陣四、分塊矩陣第23頁/共61頁第二十四頁，共61頁。 nn 0000002211特殊地，如果特殊地，如果 是對角矩陣是對角矩陣當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)nn ,2211都不為零時，都不為零時， 是可逆矩陣，且是可逆矩陣，且 11221111000000nn knnkkk 0000002211則則第24頁/共61頁第二十五頁，共61頁。矩陣矩陣(j zhn)(j zhn)的初等變換包括的初等變換包括3 3種：對換變換、數(shù)乘變換種：對換變換、數(shù)乘變換和倍加變換。這三種和倍加變換。這三種(sn zhn)初等變換的過程都是可逆的，初等變換的過程都

16、是可逆的，且其逆變換是同一且其逆變換是同一(tngy)類型的初等變換類型的初等變換. . .列標列標五、矩陣的初等變換與初等矩陣五、矩陣的初等變換與初等矩陣1.初等變換與初等矩陣初等變換與初等矩陣nmrOOOE 設(shè)設(shè)A是一個是一個 非零矩陣，那么非零矩陣，那么A一定一定nm 可以通過有限次初等行變換化為行階梯形及行最可以通過有限次初等行變換化為行階梯形及行最簡形，再進行初等列變換化為如下標準形：簡形，再進行初等列變換化為如下標準形：其中其中r 就是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù).第25頁/共61頁第二十六頁，共61頁。注意：初等變換不改變注意：初等變換不改變(gibi

17、n)矩陣的可逆矩陣的可逆性。性。 對于任何一個對于任何一個(y )非零矩陣非零矩陣,都可以先進行初等行都可以先進行初等行變換化變換化為行階梯形及行最簡形為行階梯形及行最簡形,再進行再進行(jnxng)初等列變換化為標準形初等列變換化為標準形.第26頁/共61頁第二十七頁，共61頁。A的右邊的右邊(yu bian)乘以相應(yīng)的乘以相應(yīng)的n階初等矩階初等矩陣陣.nm 設(shè)設(shè)A是一個是一個 矩陣，對矩陣，對A 施行一次施行一次初等初等(chdng)行變換，相當(dāng)于在行變換，相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的的左邊乘以相應(yīng)的m階階初等矩陣；對初等矩陣；對A施行施行(shxng)一次初等列變換，相當(dāng)于在一次初等列變換

18、，相當(dāng)于在ECCACRRRts 2121121121)()( tsCCCERRRA1112111121 CCCRRRtsn階方陣階方陣A可逆的充要條件是存在有限可逆的充要條件是存在有限.,2121llPPPAPPP 使得使得個初等矩陣個初等矩陣第27頁/共61頁第二十八頁，共61頁。六、矩陣的秩六、矩陣的秩求矩陣秩的方法求矩陣秩的方法(1)利用定義：尋找利用定義：尋找(xnzho)矩陣中矩陣中非零子式的最高階數(shù)非零子式的最高階數(shù)(2)初等變換法：把矩陣用初等行變換初等變換法：把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩中非零行的行

19、數(shù)就是矩陣的秩第28頁/共61頁第二十九頁，共61頁。對于對于(duy)n階方陣階方陣A，如果，如果A的秩等于的秩等于n，則稱，則稱A為滿秩矩陣為滿秩矩陣(j zhn)，否則稱為降秩矩陣，否則稱為降秩矩陣(j zhn). ;)(nAR ;0 AA為可逆矩陣為可逆矩陣(j zhn).對于對于n階方陣階方陣A，下列命題等價：，下列命題等價：(1)A為滿秩矩陣；為滿秩矩陣；(2)(3)(4)第29頁/共61頁第三十頁，共61頁。第三章 線性方程組第30頁/共61頁第三十一頁，共61頁。( )nAR=( )nAR有無窮多解有無窮多解. .b bAx = =非齊次線性方程組非齊次線性方程組bAx ;有有

20、唯唯一一解解bAx BRAR (1)無解無解(2)并且并且(bngqi)通解中有通解中有n-r個自由未知量個自由未知量. 其中其中(qzhng) bABM ( )( )BRAR=有解有解:第31頁/共61頁第三十二頁，共61頁。非齊次線性方程組非齊次線性方程組bAx 的具體的具體(jt)解解法：法： (1)對增廣矩陣施行初等行變換化為行階梯形矩陣，對增廣矩陣施行初等行變換化為行階梯形矩陣，比較比較 以及以及n之間的大小關(guān)系，從而判斷之間的大小關(guān)系，從而判斷(pndun)方程組解的情況：無解，唯一解，無窮解。方程組解的情況：無解，唯一解，無窮解。 BRAR、 (2)在判斷有解的情況下，繼續(xù)對行階

21、梯形矩陣施在判斷有解的情況下，繼續(xù)對行階梯形矩陣施行初等行變換，將其化為行最簡形，并寫出最簡形行初等行變換，將其化為行最簡形，并寫出最簡形對應(yīng)對應(yīng)(duyng)的線性方程組進行求解。如果方程組有無窮的線性方程組進行求解。如果方程組有無窮多多個解，需寫出通解形式。個解，需寫出通解形式。第32頁/共61頁第三十三頁，共61頁。bxAnn 0 A當(dāng)當(dāng)m = n 時，時，n元非齊次線性方程組元非齊次線性方程組有惟一解的充分必要條件是系數(shù)有惟一解的充分必要條件是系數(shù)(xsh)(xsh)矩陣矩陣A A的行列式的行列式第33頁/共61頁第三十四頁，共61頁。( )nAR=( )nAR齊次線性方程組齊次線性方

22、程組 一定一定(ydng)(ydng)有解：有解：0 Ax(1)(2)并且并且(bngqi)通解中有通解中有n-r個自由未知量個自由未知量. 0 Ax0 Ax只有只有(zhyu)零零解解有非零解有非零解第34頁/共61頁第三十五頁，共61頁。齊次線性方程組齊次線性方程組0 Ax的具體的具體(jt)解解法：法： (1)對系數(shù)矩陣施行初等行變換化為行階梯形矩陣，對系數(shù)矩陣施行初等行變換化為行階梯形矩陣，比較比較 與與n之間的大小關(guān)系之間的大小關(guān)系(gun x)，從而判斷方程組解，從而判斷方程組解的情況：唯一解（零解），無窮解（非零解）。的情況：唯一解（零解），無窮解（非零解）。 AR (2) 繼續(xù)

23、對行階梯形矩陣施行初等繼續(xù)對行階梯形矩陣施行初等(chdng)行變換，行變換，將其化為行最簡形，并寫出最簡形對應(yīng)的線性方程組將其化為行最簡形，并寫出最簡形對應(yīng)的線性方程組進行求解。如果方程組有無窮多個解，需寫出通解形進行求解。如果方程組有無窮多個解，需寫出通解形式。式。第35頁/共61頁第三十六頁，共61頁。;0 A當(dāng)當(dāng)m = n 時，時，(1)齊次線性方程組齊次線性方程組(3.2)只有只有(zhyu)零解零解(2)齊次線性方程組齊次線性方程組(3.2)有非零解有非零解.0 A當(dāng)當(dāng)m n 時，時，即方程即方程(fngchng)個數(shù)小于未知量個數(shù)時，個數(shù)小于未知量個數(shù)時，齊次線性方程組齊次線性方

24、程組(3.2)必有非零解必有非零解. )(nmAR 第36頁/共61頁第三十七頁，共61頁。第四章第四章 向量向量(xingling)(xingling)組的線性組的線性 相關(guān)性相關(guān)性第37頁/共61頁第三十八頁，共61頁。設(shè)設(shè)n維向量維向量(xingling),s21,skkk21sskkk2211如果如果(rgu)存在一組數(shù)存在一組數(shù)使得使得(sh de)s,21則稱向量則稱向量是向量組是向量組的線性組合或稱向的線性組合或稱向s,21可由向量組可由向量組線性表示線性表示. 量量第二節(jié)第二節(jié) 向量組的線性相關(guān)向量組的線性相關(guān)性性一、線性表示一、線性表示第38頁/共61頁第三十九頁，共61頁。

25、s,21向量向量可由向量組可由向量組線性表示線性表示 .BRAR的充分必要條件是矩的充分必要條件是矩陣陣sA,21的秩等的秩等Bs,21于矩于矩陣陣的秩，即的秩，即 說明：判斷某個向量是否可由某向量組線性表說明：判斷某個向量是否可由某向量組線性表示，可歸結(jié)為非齊次線性方程組是否有解，從而示，可歸結(jié)為非齊次線性方程組是否有解，從而取決于該方程組系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩是否相取決于該方程組系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩是否相等，所以該問題最終可利用等，所以該問題最終可利用(lyng)初等行變換化增廣矩初等行變換化增廣矩陣為階梯形矩陣來解決陣為階梯形矩陣來解決. 第39頁/共61頁第四十頁，共61頁。0221

26、1sskkk,s21對于對于n維向量維向量組組如果如果(rgu)存在一組存在一組使使得得,skkk21不全為零的不全為零的數(shù)數(shù)021skkks,21s,21則稱向量則稱向量組組線性相關(guān)線性相關(guān). 如果如果(rgu)上式只上式只有當(dāng)有當(dāng)時才成立時才成立(chngl),則稱則稱向量組向量組線性無關(guān)線性無關(guān). 二、線性相關(guān)與線性無關(guān)二、線性相關(guān)與線性無關(guān)第40頁/共61頁第四十一頁，共61頁。.)(sAR 條條件件是是線線性性相相關(guān)關(guān)的的充充分分必必要要向向量量組組s ,21的秩小于的秩小于矩陣矩陣條件是它所構(gòu)成的條件是它所構(gòu)成的),(21s A ;)(sAR, s 即即向量個數(shù)向量個數(shù)必要必要向量

27、組線性無關(guān)的充分向量組線性無關(guān)的充分 于是判斷某向量于是判斷某向量(xingling)組的線性相關(guān)性，可歸組的線性相關(guān)性，可歸結(jié)為齊次線性方程組是否有非零解，從而取決于方程結(jié)為齊次線性方程組是否有非零解，從而取決于方程組系數(shù)矩陣的秩，所以該問題最終可利用初等行變換組系數(shù)矩陣的秩，所以該問題最終可利用初等行變換化系數(shù)矩陣為階梯形矩陣來解決化系數(shù)矩陣為階梯形矩陣來解決. 第41頁/共61頁第四十二頁，共61頁。nA,21的充分必要條件的充分必要條件(b yo tio jin)是它所構(gòu)成的矩陣是它所構(gòu)成的矩陣;0A的行列式等于零，即的行列式等于零，即向量向量(xingling)組線性無關(guān)的充分必組線

28、性無關(guān)的充分必,ns n,21若若 則則n 個個n 維向維向量量線性相關(guān)線性相關(guān). 0A要條件是要條件是,ns 即向量組中向量個數(shù)大于向量維數(shù)時，即向量組中向量個數(shù)大于向量維數(shù)時，若若向量向量(xingling)組必線性相關(guān)組必線性相關(guān). ,21sA 事實上，記事實上，記 ，因因為為snAR .,21線性相關(guān)線性相關(guān)故故s第42頁/共61頁第四十三頁，共61頁。 Bs,:21 221sAs,: (1) 向量組向量組線性相關(guān)線性相關(guān)(A)中至少中至少(zhsho)有一個向量能由其余有一個向量能由其余線性相關(guān)，則向量線性相關(guān)，則向量(xingling)的充分的充分(chngfn)必要條件是：必要條

29、件是： sA,:21線性無關(guān)，而向量組線性無關(guān)，而向量組(2)設(shè)向量組設(shè)向量組向量線性表示向量線性表示.一定可由向一定可由向量組量組(A)線性表示，且表示式是惟一的線性表示，且表示式是惟一的. 三、相關(guān)定理三、相關(guān)定理第43頁/共61頁第四十四頁，共61頁。設(shè)有向量設(shè)有向量(xingling)組組 ,s:21Arjjj,21而而是是(A)的部分的部分(b fen)向量組向量組 ,如果如果(1) rjjj,21線性無關(guān)；線性無關(guān)；(2) 對于向量組對于向量組 (A) 中的任何一個向量中的任何一個向量 ,k都有都有 kjjjr,21線性相關(guān)，則稱線性相關(guān)，則稱 rjjj,21為向量為向量組組(A)

30、的一個的一個(y )極大線性無關(guān)組，簡稱極大無關(guān)組極大線性無關(guān)組，簡稱極大無關(guān)組. 注意：注意：在條件在條件(1)下，下，(2)和下述條件等價：和下述條件等價： )(2對于向量組對于向量組 (A) 中的任何一個向量中的任何一個向量 ,k都可由都可由rjjj,21線性表出線性表出.第三節(jié)第三節(jié) 極大線性無關(guān)組極大線性無關(guān)組第44頁/共61頁第四十五頁，共61頁。向量組向量組 s,:21A的極大性無關(guān)組的極大性無關(guān)組所含向量所含向量(xingling)的個數(shù)，稱為向量的個數(shù)，稱為向量(xingling)組的秩，記為組的秩，記為 s,21Rn階方陣階方陣(fn zhn)A可逆的充分必要條件是可逆的充

31、分必要條件是 A的行的行(列列)向量向量(xingling)組線性無關(guān)組線性無關(guān).向量組秩的求法：向量組秩的求法：通過求向量組構(gòu)成的矩陣的秩來通過求向量組構(gòu)成的矩陣的秩來求該向量組的秩及其極大線性無關(guān)組求該向量組的秩及其極大線性無關(guān)組. 第45頁/共61頁第四十六頁，共61頁。第四節(jié)第四節(jié) 線性方程組解的結(jié)構(gòu)線性方程組解的結(jié)構(gòu)(jigu)(jigu)一、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)一、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)(jigu) 000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa(4.1)如果如果(rgu)n元齊次線性方程組（元齊次線性方程組（4.1）的系數(shù)）的系

32、數(shù)矩陣矩陣A的秩的秩 , nrAR則方程組（則方程組（4.1）的基礎(chǔ)）的基礎(chǔ). rn(證明略證明略)解系一定存在，且基礎(chǔ)解系含的解向量的個數(shù)為解系一定存在，且基礎(chǔ)解系含的解向量的個數(shù)為 第46頁/共61頁第四十七頁，共61頁。齊次線性方程組基礎(chǔ)齊次線性方程組基礎(chǔ)(jch)解系的求法解系的求法 000010011111rn ,rrrn ,bbbbA（1）對系數(shù)矩陣）對系數(shù)矩陣 進行初等變換，將其化為進行初等變換，將其化為 最簡形最簡形A第47頁/共61頁第四十八頁，共61頁。 nrn ,rrrrnrn ,rxbxbxxbxbxAx11111110由于由于(yuy)令令.,xxxnrr 10001

33、000121MMMM（2）得出）得出 ，同時也可知方程組的一，同時也可知方程組的一個基礎(chǔ)解系含有個基礎(chǔ)解系含有 個線性無關(guān)的解向量個線性無關(guān)的解向量 rAR rn 第48頁/共61頁第四十九頁，共61頁。,bbr 0011111MM ,bbr 0102122MM .bb,rn ,rrn ,rn 1001MM 故故, 12121111 rnrrnrrrbbbbbbxxMMMM得得為齊次線性方程組的一個為齊次線性方程組的一個(y (y )基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系. .齊次線性方程組的通解齊次線性方程組的通解(tngji)為為1122sn rk k k 第49頁/共61頁第五十頁，共61頁。二、非齊次線性方

34、程組解的結(jié)構(gòu)二、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)(jigu)mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111（4.5） 性質(zhì)性質(zhì)4.4導(dǎo)出組導(dǎo)出組 (4.1)的解的解. 為為(4.5)的解，則的解，則 21xx，設(shè)設(shè)21 是其是其 性質(zhì)性質(zhì)4.5的解，則的解，則 設(shè)設(shè) 為為(4.5)的解，的解，x x 是其導(dǎo)出組是其導(dǎo)出組 (4.1) 也是也是(4.5)的解的解. 第50頁/共61頁第五十一頁，共61頁。設(shè)設(shè) *是非齊次方程組是非齊次方程組(4.5)的一個取定的解的一個取定的解(稱為稱為(chn wi)特解特解)， 是其導(dǎo)出組（是其導(dǎo)出組（4.1）

35、的通解，則方程組）的通解，則方程組 (4.5)的通解為的通解為x*說明：此定理說明：此定理(dngl)表明表明非齊次方程組的通解非齊次方程組的通解(tngji) = 齊次方程組齊次方程組的通解的通解(tngji) +非齊次方程組的特非齊次方程組的特解解 第51頁/共61頁第五十二頁，共61頁。第52頁/共61頁第五十三頁，共61頁。一、一、 向量向量(xingling)的的內(nèi)積內(nèi)積設(shè)有設(shè)有n 維向量維向量(xingling) ,nnyyyyxxxxMM2121 1122,Tnnx yx yx yx yxy 令令 ., yxyx的的與與為為向向量量稱稱內(nèi)內(nèi)積積,22221nxxxxxx令令 .

36、xnx或或的的維維向向量量為為稱稱長度長度范數(shù)范數(shù).,0, yxyx與與稱向量稱向量時時當(dāng)當(dāng) 正交正交第53頁/共61頁第五十四頁，共61頁。 .,1 AAAEAAn TT正交矩陣正交矩陣為為稱稱則則即即階矩陣滿足階矩陣滿足如果如果 向量向量(xingling)都是單位向量都是單位向量(xingling)且兩兩正交且兩兩正交矩陣矩陣(j zhn)A為正交矩陣為正交矩陣(j zhn)的充要條件是的充要條件是 A 的列的列(行行)第54頁/共61頁第五十五頁，共61頁。求矩陣求矩陣(j zhn)特征值與特征向量特征值與特征向量的步驟：的步驟： ;det. 1EAA 的特征多項式的特征多項式計算計算 ;,0det. 221的全部特征值的全部特征值就是就是的全部根的全部根求特征方程求特征方程AEA n .xEA iii的特征向量的特征向量就是對應(yīng)于就是對應(yīng)于的非零解的非零解求齊次方程組求齊