數(shù)學(xué)物理方法第一章第二講

1、復(fù)變函數(shù)的分類(lèi)復(fù)數(shù)數(shù)列整式分式有理函數(shù)無(wú)理函數(shù)代數(shù)函數(shù)超越函數(shù)初等函數(shù)冪級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)無(wú)窮乘積無(wú)限次運(yùn)算無(wú)限次復(fù)合非初等函數(shù)復(fù)變函數(shù)（狹義）復(fù)變函數(shù)（廣義）-10-50510-10-50510-100-50050100-10-50510-10-50510-10-50510-200-1000100200-10-50510-10-50510-10-50510-2000-1000010002000-10-50510-10-50510-10-50510-2000-1000010002000-10-50510-2-1012-5-2.502.55-5-2.502.55-2-1012-2-1012-5-

2、2.502.55-4-2024-2-1012123451234500.511.5212345-2-1012-2-1012-101-2-1012-5-2.502.55-4-2024-20020-5-2.502.55-5-2.502.55-4-2024-20020-5-2.502.55一、基本概念一、基本概念.內(nèi)點(diǎn)外點(diǎn)界點(diǎn)Z2Z1區(qū)域不包括邊界點(diǎn)。區(qū)域不包括邊界點(diǎn)。（開(kāi)集性）（連通性）0Re z例：指出下列各式，哪些是區(qū)域，哪些不是？那些是有界區(qū)域？2Imz1Rz21 zMz 設(shè)w=f(z)是定義在區(qū)域B上的單值函數(shù)，若在B內(nèi)某點(diǎn)z0，極限)()(lim00zfzfzz存在，則稱(chēng)函數(shù)f(z)在z0

3、點(diǎn)處連續(xù)，如果w=f(z)在區(qū)域B上各點(diǎn)都連續(xù)，則稱(chēng)在區(qū)域B上連續(xù)。1.3 導(dǎo)數(shù)三、導(dǎo)數(shù)的定義三、導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)w=f(z)是定義在區(qū)域B上的單值函數(shù)，若在B內(nèi)某點(diǎn)z0，極限000)()(limlim0zzzfzfzzzz存在，則稱(chēng)函數(shù)f(z)在z0點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱(chēng)該極限值為函數(shù)f(z)在z0點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)或微商，記為zzfzzfzfzzd)(dd)(d),(000或說(shuō)明說(shuō)明形式上類(lèi)似于實(shí)變函數(shù)的一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義。形式上類(lèi)似于實(shí)變函數(shù)的一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義。因此實(shí)變函數(shù)中一元函數(shù)的求導(dǎo)法則及初等函數(shù)因此實(shí)變函數(shù)中一元函數(shù)的求導(dǎo)法則及初等函數(shù)的求導(dǎo)公式都可以照搬過(guò)來(lái)，只不過(guò)將實(shí)變量的求導(dǎo)公式都可以照搬過(guò)

4、來(lái)，只不過(guò)將實(shí)變量x改改寫(xiě)成復(fù)數(shù)寫(xiě)成復(fù)數(shù)z而已。而已。zzzdddddd2121zzzdddddd12212122212121ddzdd1ddzzzFzFddddd)(d說(shuō)明說(shuō)明但是，從復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的定義來(lái)看，極限存在要求于z0的方式無(wú)關(guān)。這一限制，使得復(fù)變函數(shù)的可導(dǎo)要比實(shí)變函數(shù)限制嚴(yán)得多。為什么？?jī)蓚€(gè)例子：1. dzn/dz=nzn-1 2. w=z*在z平面上處處連續(xù)，但處處不可導(dǎo)。可導(dǎo)必連續(xù)，連續(xù)未必可導(dǎo)可導(dǎo)必連續(xù)，連續(xù)未必可導(dǎo).因?yàn)檫@實(shí)質(zhì)上是一個(gè)二重極限。與實(shí)變函數(shù)中二元函數(shù)極限相似。幾何意義幾何意義導(dǎo)數(shù)f (z0)的幅角Argf (z0)是曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)w=f(z)映射后在z0處的轉(zhuǎn)動(dòng)角.

5、zwzzzzezwzwArgArglim00ddw=f(z)Argf (z0)導(dǎo)數(shù)f (z0)的模|f (z0)|是經(jīng)過(guò)w=f(z)映射后通過(guò)z0的任何曲線(xiàn)在z0的伸縮率。n四、Cauchy-Riemann條件設(shè) f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是定義在區(qū)域B內(nèi)的函數(shù)，如果f(z)在任一點(diǎn)z=x+iy可導(dǎo)，則一定有下式成立yuxvyvxu,稱(chēng)之為Cauchy-Riemann條件（方程）可導(dǎo)的必要條件設(shè) f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域B內(nèi)一點(diǎn)z=x+iy可導(dǎo)，那么有條件點(diǎn)處滿(mǎn)足在點(diǎn)處存在；在RiemannCauchy),(. 2),(,. 1yxyxyvxvyuxuyuxvy

6、vxu,逆命題不成立0, |0,ImRe)(xyxyixyxyzzzf雖然滿(mǎn)足C-R條件，但f(z)在z=0處不可導(dǎo)可導(dǎo)的充分必要條件設(shè) f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若u(x,y)和v(x,y)在(x,y)處滿(mǎn)足：條件點(diǎn)處滿(mǎn)足在點(diǎn)處存在且連續(xù)；在RiemannCauchy),(. 2),(,. 1yxyxyvxvyuxu那么f(z)在z=x+iy處可導(dǎo)。證明過(guò)程yuyvxvxuyixyixxviyixxuyixyyvixxviyyuxxuyixviuzfdzzdfzzzzii)()()(limlimlimlim0000導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式極坐標(biāo)下的Cauchy-Riemann條件設(shè) f(

7、z)=u(x,y)+iv(x,y)在點(diǎn)z=x+iy可導(dǎo)，那么yuyvxvxudzzdfii)(urrvvrru1,1舉例zzedzdezdzzd1Lnzdzzdcossinzdzzdsincoszdzzdcoshsinhzdzzdsinhcosh1.4 解析函數(shù)解析函數(shù)一、定義一、定義設(shè)w=f(z)是定義在區(qū)域B上的單值函數(shù)，若在B內(nèi)某點(diǎn)z0及其鄰每一點(diǎn)都是可導(dǎo)的，則稱(chēng)函數(shù)f(z)在z0點(diǎn)處解析。若w=f(z) 在區(qū)域B上每一點(diǎn)都解析，則稱(chēng)函數(shù) f(z) 在區(qū)域B內(nèi)解析?；蚍Q(chēng)函數(shù)w=f(z) 為區(qū)域B內(nèi)的一個(gè)解析函數(shù)。說(shuō)明說(shuō)明2. 稱(chēng)函數(shù)的不解析點(diǎn)為奇點(diǎn)奇點(diǎn)。1. 解析與可導(dǎo)的關(guān)系 函數(shù)在某點(diǎn)

8、解析，則必在該點(diǎn)可導(dǎo)；反之不然。 在區(qū)域B內(nèi)的解析函數(shù)在B內(nèi)可導(dǎo)。 2)(zzf)2()()(222yxyixyxzf例如：函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處不解析。二、二、 解析函數(shù)的充分條件解析函數(shù)的充分條件設(shè)函數(shù) f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若u(x,y)和v(x,y)在B內(nèi)滿(mǎn)足條件內(nèi)每一點(diǎn)滿(mǎn)足在；內(nèi)的偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)在和RiemannCauchy)2(),(),() 1 (BByxvyxu那么f(z)在B內(nèi)解析。n三、解析函數(shù)的主要性質(zhì)三、解析函數(shù)的主要性質(zhì)性質(zhì)1：設(shè)函數(shù) f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在B內(nèi)解析，則u(x,y)=C1，v(x,y)=C2是B內(nèi)的兩族正交曲線(xiàn)舉例紅紅:實(shí)部實(shí)部蘭蘭:虛部虛部zezf)(2)(zzf性質(zhì)2：若函數(shù) f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是區(qū)域B內(nèi)的解析函數(shù)，則u(x,y)和v(x,y)均為B內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，即02 u02 vn三、解析函數(shù)的主要性質(zhì)三、解析函數(shù)的主要性質(zhì)u(x,y)和和v(x,y)又稱(chēng)為又稱(chēng)為共軛調(diào)和函數(shù)共軛調(diào)和函數(shù)。性質(zhì)3：保角性C)(zfw 、0wCCyxZ平面0z0z1C1Cuvw平面0w0)(0zf)(argj0000e)(lim)(zfzzzfzwzfargarglimarglim)(arg000zwzwzfzzzz0argarglimargli