機械工業(yè)出版社 復(fù)變函數(shù)與積分變換 第1章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)

1、復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換 教教 材材: 復(fù)變函數(shù)與積分變換（第復(fù)變函數(shù)與積分變換（第3版）楊巧林版）楊巧林 參參 考考 書書: 西安交大西安交大復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換（第四版）、其它各類相關(guān)教材（第四版）、其它各類相關(guān)教材復(fù)變函數(shù)與積分變換 作業(yè)要求作業(yè)要求: 一章結(jié)束交作業(yè)，按時一章結(jié)束交作業(yè)，按時交給各班課代表交給各班課代表 上課要求上課要求: 按時上課按時上課(有事要請假有事要請假); 課程性質(zhì)課程性質(zhì): 專業(yè)基礎(chǔ)選修課程專業(yè)基礎(chǔ)選修課程; 課程基礎(chǔ)課程基礎(chǔ): 高等數(shù)學(xué)基本知識高等數(shù)學(xué)基本知識 總課時數(shù)總課時數(shù): 48復(fù)變函數(shù)與積分變換 課程要求課程要求: 要求

2、著重理解基本概念要求著重理解基本概念; 要求掌握基本方法要求掌握基本方法; 成績評定成績評定: 期末總成績期末總成績=期末成績期末成績 * 70% + 平時成績平時成績* 30%; 復(fù)變函數(shù)與積分變換Complex Analysis and Integral Transforms鹽城師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院王住登手機mail: 復(fù)數(shù)的誕生先從二次方程談起:公元前400年，巴比倫人發(fā)現(xiàn)和使用 ),0( , 02acbxaxaacbbx242042acb042acb G. Cardano (卡當，1501-1576) : 怪才，精通數(shù)學(xué)，醫(yī)學(xué)，語言學(xué)，文學(xué)，占星學(xué)他發(fā)現(xiàn)104

3、0 xx沒有根，但形式地表為515515與 時無解，當則當時有解： L.Euler(1707-1783): 瑞典數(shù)學(xué)家,13歲入大學(xué)，17歲獲碩士,30歲右眼失明，60歲完全失明1748年：Euler公式 C.Wessel (卡斯帕爾韋塞爾，挪威1745-1818)和R.Argand(阿甘得，德國1777-1855）將復(fù)數(shù)用平面向量或點來表示K.F.Gauss (德國1777-1855)與W.R.Hamilton (愛爾蘭1805-1865)定義復(fù)數(shù) 為一對有序?qū)崝?shù)后，才消除人們對復(fù)數(shù)真實性的懷疑，“復(fù)變函數(shù)”這一數(shù)學(xué)分支到此才順利地得到建立和發(fā)展cossinieiaibR. Descarte

4、s(笛卡兒): 1596-1650, 法國哲學(xué)家，坐標幾何的創(chuàng)始人1637他稱一個負數(shù)的開方為虛數(shù)(imaginary number). 1777年：首次使用i表示，創(chuàng)立了復(fù)變函數(shù)論，并應(yīng)用到水利學(xué)，地圖制圖學(xué) 復(fù)變函數(shù)的理論和方法在數(shù)學(xué)，自然科學(xué)和工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，是解決諸如流體力學(xué)，電磁學(xué)，熱學(xué)彈性理論中平面問題的有力工具。第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)1.1 復(fù)數(shù)及其運算 定義定義 對任意兩實數(shù)對任意兩實數(shù)x、y ,稱稱 z=x+iy或或z=x+yi為復(fù)數(shù)。為復(fù)數(shù)。稱為虛單位。稱為虛單位。其中其中ii,1 2 1.1.1 復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的概念A(yù) 一般一般, , 任意兩個復(fù)數(shù)不能比較大小。

5、任意兩個復(fù)數(shù)不能比較大小。復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z 的實部的實部 Re(z) = x ; 虛部虛部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part)0|22 yxz 復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)的模121212111222,0Re( )Im( )0zzxxyyzxiy zxiyzzz其中 判斷復(fù)數(shù)相等判斷復(fù)數(shù)相等定義定義 z1=x1+iy1與與z2=x2+iy2的和、差、積和商為：的和、差、積和商為： z1z2=(x1x2)+i(y1y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)0(|222211222212121 zzyxyxizyyx

6、xzzz1.1.2 代數(shù)運算代數(shù)運算z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .運算規(guī)律運算規(guī)律復(fù)數(shù)的運算滿足交換律、結(jié)合律、分配律。復(fù)數(shù)的運算滿足交換律、結(jié)合律、分配律。（與實數(shù)相同與實數(shù)相同）即，）即，2121)()1(zzzz 2121)(zzzz 2121)(zzzz zz )2(2|1zzz 2222)Im()Re()3(yxzzzz )Im(2 )Re(2)4(zizzzzz 定義定義 若若z=x+iy , 稱稱 z=x-iy 為為z 的共軛復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù).(c

7、onjugate)1211221:55 ,34 ,(),.zi zizzzz 例設(shè)求及它們的實部 虛部574355:21 iiizz解解411:2 ii求求例例iii 11)(.,0. 30111現(xiàn)實多項式的零點成對出也是其根則的根 是實系數(shù)方程證明若例zaxaxaxaznn-nn 22212212212:. 4zzzzzz 證證明明例例1. 點的表示點的表示此此時時，表表示示的的點點，可可用用平平面面上上坐坐標標為為復(fù)復(fù)數(shù)數(shù).)(Pyxiyxz 平平面面復(fù)復(fù)平平面面或或平平面面虛虛軸軸軸軸實實軸軸軸軸zyx)(yxPiyxz，復(fù)復(fù)平平面面上上的的點點 點的表示：點的表示：A 數(shù)數(shù)z z與點與

8、點z z同義同義. .1.2 復(fù)數(shù)的幾何表示),(),(),(yxPiyxzyxyxP平平面面上上的的點點一一對對有有序序?qū)崒崝?shù)數(shù)任任意意點點系系，則則在在平平面面上上取取定定直直角角坐坐標標 ),(yxiyxz一一對對有有序序?qū)崒崝?shù)數(shù)易易見見， .,)(iyxzOPyxOPyxPiyxz 表示表示可用向量可用向量，點點2. 向量表示法向量表示法A 00 OPzzyxrOPzArg:,|22記記作作輻輻角角模模： oxy(z)P(x,y)rz xy 稱向量的長度為復(fù)數(shù)稱向量的長度為復(fù)數(shù)z=x+iy的的模?；蚧蚪^對值絕對值；以正實軸以正實軸 為始邊為始邊, 以以 為終邊的角的為終邊的角的弧度數(shù)弧

9、度數(shù) 稱為復(fù)數(shù)稱為復(fù)數(shù)z=x+iy的的輻角輻角.(z0時時)OP向量向量輻角無窮多：輻角無窮多：Arg z=0+2k， kZ，xyzz/)Argtan(0 時，時， 0把其中滿足把其中滿足 的的0稱為輻角稱為輻角Argz的主值，的主值，記作記作0=argz。A z=0z=0時，輻角不確定。時，輻角不確定。 0, 00, 0arctan0, 02, 0arctanargyxyxxyyxRyxxyz 計算計算argz(z0) 的公式的公式A 當當z z落于一落于一, ,四象限時，不變。四象限時，不變。 A 當當z z落于第二象限時，加落于第二象限時，加 。 A 當當z z落于第三象限時，減落于第三

10、象限時，減 。 2arctan2 xy oxy(z) z1z2 z1+z2z2- z112121212)(:zzzzzzzz 三三角角不不等等式式由由此此得得由向量表示法知由向量表示法知之間的距離之間的距離與與點點2112zzzz 3. 三角表示法三角表示法)sin(cos irz 得得由由 sincosryrx4. 指數(shù)表示法指數(shù)表示法得得公式公式再由再由 sincos:ieEuleri irez 例1 將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式.1)122 ;2)sincos.55zizi 解1)|1244.rzz在第三象限, 因此235arctanarctan.3612 因此56554cos(

11、)sin()466izie2) 顯然, r = | z | = 1, 又3sincoscos,525103cossinsin.52510因此31033cossin1010izie練習(xí)：練習(xí)：寫出 的輻角和它的指數(shù)形式。132iz解：3 22argarctanarctan3,1 233z 2arg22,3ArgzzkkkZ1,rz23.ize 很多平面圖形能用復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式)來表 示; 也可以由給定的復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式)來確定 它所表示的平面圖形.例1 將通過兩點z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的直線用復(fù)數(shù)形式的方程來表示.解 通過點(x1,y1)與(x2,y2)的直線可用

12、參數(shù)方程表示為121121(),()().xxt xxtyyt yy 因此, 它的復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程為z=z1+t(z2z1). (t 0為半徑的為半徑的圓圓 | z -z 0|(或或 0 | z z 0| 0, 對任意對任意 z D, 均有均有zG=z | |z|R，則，則D是有界是有界區(qū)域區(qū)域；否則無界。；否則無界。閉區(qū)域閉區(qū)域 區(qū)域區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域,.D記記為為.,00為為半半徑徑的的圓圓內(nèi)內(nèi)所所有有的的點點以以為為圓圓點點表表示示以以rzrzz .xyIm,Re軸軸的的直直線線軸軸和和表表示示分分別別平平行行于于 zz.,.,1020201幾個點幾

13、個點只是邊界增加了一個或只是邊界增加了一個或它仍然是區(qū)域它仍然是區(qū)域幾個點幾個點如果在其中去掉一個或如果在其中去掉一個或組成組成它的邊界由兩個圓周它的邊界由兩個圓周而且是有界的而且是有界的表示一個圓環(huán)表示一個圓環(huán)rzzrzzrzzr .0Im,0Re表表示示下下半半復(fù)復(fù)平平面面表表示示右右半半復(fù)復(fù)平平面面 zz2. 簡單曲線（或簡單曲線（或Jardan曲線曲線),)()(),()()(baCtytxbtatyytxx 、實實變變函函數(shù)數(shù)表表示示為為：平平面面上上一一條條連連續(xù)續(xù)曲曲線線可可令令z(t)=x(t)+iy(t) atb ;則曲線方程可記為：則曲線方程可記為：z=z(t)， atb.

14、0)( )( ,)( )( 22則則稱稱該該曲曲線線為為光光滑滑的的且且、若若 tytxbaCtytx有限條光滑曲線相連接構(gòu)成一條分段光滑曲線。有限條光滑曲線相連接構(gòu)成一條分段光滑曲線。重點重點 設(shè)連續(xù)曲線設(shè)連續(xù)曲線C：z=z(t)，atb，對于對于t1(a，b), t2 a, b,當當t1t2時，若時，若z(t1)=z(t2)，稱稱z(t1)為曲線為曲線C的重點。的重點。 定義定義 稱稱沒有重點沒有重點的連續(xù)曲線的連續(xù)曲線C為簡單曲線或為簡單曲線或 Jardan曲線曲線;若簡單曲線若簡單曲線C 滿足滿足z(a)=z(b)時，則稱時，則稱此曲線此曲線C是簡單是簡單閉閉曲線或曲線或Jordan閉

15、閉曲線曲線 。 z(a)=z(b)簡單閉曲線簡單閉曲線z(t1)=z(t2)不是簡單閉曲線不是簡單閉曲線3. 單連通域與多連通域單連通域與多連通域簡單閉曲線的性質(zhì)簡單閉曲線的性質(zhì) 任一條簡單閉曲線任一條簡單閉曲線 C：z=z(t)， ta，b，把復(fù)，把復(fù)平面唯一地分成三個互不相交的部分：一個是有平面唯一地分成三個互不相交的部分：一個是有界區(qū)域，稱為界區(qū)域，稱為C的內(nèi)部；一個是無界區(qū)域，稱為的內(nèi)部；一個是無界區(qū)域，稱為C的外部；還有一個是它們的公共邊界。的外部；還有一個是它們的公共邊界。z(a)=z(b)Cz(a)=z(b)內(nèi)部內(nèi)部外部外部邊界邊界定義定義 復(fù)平面上的一個區(qū)域復(fù)平面上的一個區(qū)域

16、B ，如果如果B內(nèi)的任何簡單閉曲線的內(nèi)的任何簡單閉曲線的內(nèi)部總在內(nèi)部總在B內(nèi)內(nèi)，就稱，就稱 B為單連通為單連通域；非單連通域稱為多連通域。域；非單連通域稱為多連通域。例如例如 |z|0）是單連通的；）是單連通的； 0r|z|R是多連通的。是多連通的。單連通域單連通域多連通域多連通域多連通域多連通域單連通域單連通域1. 復(fù)變函數(shù)的定義復(fù)變函數(shù)的定義與實變函數(shù)定義相類似與實變函數(shù)定義相類似定義定義).(, zfwzwivuwGzfiyxzG 記記作作）的的函函數(shù)數(shù)（簡簡稱稱復(fù)復(fù)變變函函數(shù)數(shù)是是復(fù)復(fù)變變數(shù)數(shù)則則稱稱復(fù)復(fù)變變數(shù)數(shù)與與之之對對應(yīng)應(yīng)就就有有一一個個或或幾幾個個使使得得存存在在法法則則的的非

17、非空空集集合合是是一一個個復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)A 是多值函數(shù).是多值函數(shù).值，稱值，稱多個多個是單值函數(shù);是單值函數(shù);值，稱值，稱一個一個若若)( )(zfwzzfwz。論的函數(shù)均為單值函數(shù)論的函數(shù)均為單值函數(shù)今后無特別聲明，所討今后無特別聲明，所討1.5 復(fù)變函數(shù)面區(qū)域（定義域）面區(qū)域（定義域）的定義集合，常常是平的定義集合，常常是平)(zfG函函數(shù)數(shù)值值集集合合, )(*GzzfwwG ),(),( )()(),();,(yxivyxuiyxfzfwvuivuwyxiyxz ),(),(yxvvyxuu 故故),(),()(yxvvyxuuivuzfw xyiyxiyxivuwivuwiyxzzw

18、2)()(2222 則則令令例例1xyvyxuzw2222 例例2 22221111)(yxiyyxxzf若已知若已知.)(的的函函數(shù)數(shù)表表示示成成將將zzfzzzf1)( )(21),(21,zziyzzxiyxz 則則設(shè)設(shè)oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在幾何上，在幾何上， w=f(z)可以看作：可以看作：).() (*)(變換變換平面）的映射平面）的映射平面平面wGwzGzzfw 的的原原象象。稱稱為為，而而映映象象的的象象點點為為稱稱wzzw)( 定義域定義域函數(shù)值集合函數(shù)值集合 2. 映射的概念映射的概念復(fù)變函數(shù)的幾何意義復(fù)變函數(shù)的幾何意義zw=f(z)wA 以下不再區(qū)分

19、函數(shù)與映射（變換）。以下不再區(qū)分函數(shù)與映射（變換）。A 在復(fù)變函數(shù)中用兩個復(fù)平面上點集之間的在復(fù)變函數(shù)中用兩個復(fù)平面上點集之間的 對應(yīng)關(guān)系來表達兩對變量對應(yīng)關(guān)系來表達兩對變量 u，v 與與 x，y 之間的對應(yīng)關(guān)系，以便在研究和理解復(fù)變之間的對應(yīng)關(guān)系，以便在研究和理解復(fù)變 函數(shù)問題時，可借助于幾何直觀函數(shù)問題時，可借助于幾何直觀. .復(fù)變函數(shù)的幾何意義是一個映射（變換）復(fù)變函數(shù)的幾何意義是一個映射（變換）.所構(gòu)成的映射所構(gòu)成的映射研究研究zw 例例3 iirezreirz )sin(cos設(shè)設(shè)解解關(guān)于實軸對稱的一個映射關(guān)于實軸對稱的一個映射見圖見圖1-11-2即，即，)sinsin()sinco

20、s( )(sin(cos yxiyxiyxiivuw 旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換(映射映射) 見見2.( 實常數(shù)）所構(gòu)成的映射實常數(shù)）所構(gòu)成的映射研究研究 zewi 例例4)( iiiiirereezewrez設(shè)設(shè)解解 sinsinsincosyxvyxuoxy(z)x、uy、v(z)、(w)ox、uy、v(z)、(w)o 圖圖1-1圖圖1-2圖圖2uv(w)o.2所所構(gòu)構(gòu)成成的的映映射射研研究究zw 例例5oxy(z)ouv(w) 2 oxy(z)ouv(w)R=2R=46 3 422 yx2zw 2zw 2zw 2zw 3. 反函數(shù)或逆映射反函數(shù)或逆映射例例 設(shè)設(shè) z=w2 則稱則稱 為為z=w2的

21、反函數(shù)或逆映射的反函數(shù)或逆映射zw )1 , 0(22 kezzwk為多值函數(shù)為多值函數(shù),2支支.定義定義 設(shè)設(shè) w =f (z) 的定義集合為的定義集合為G,函數(shù)值集合為函數(shù)值集合為G*Gz *)(Gwzfw *Gw )()(wzGz 或或幾幾個個一一個個GzzfzGwwfw )()(* 當當反反函函數(shù)數(shù)單單值值時時顯顯然然有有)(zfz 一般一般則稱則稱 為為w=f(z)的反函數(shù)（的反函數(shù)（逆映射逆映射）.)(wz是是一一一一對對應(yīng)應(yīng)的的。與與集集合合是是一一一一的的。也也稱稱集集合合映映射射都都是是單單值值的的，則則稱稱函函數(shù)數(shù)逆逆映映射射和和其其反反函函數(shù)數(shù)映映射射當當函函數(shù)數(shù) GGz

22、fwwzzfw)()()()()()( 例例 已知映射已知映射w= z3 ，求區(qū)域，求區(qū)域 0argz 在平面在平面w上的象。上的象。3 例例?1:,122平平面面上上怎怎樣樣的的曲曲線線映映射射成成被被平平面面上上的的曲曲線線判判斷斷已已知知映映射射wyxzzw 1. 函數(shù)的極限函數(shù)的極限AzfzzAzfzzzfAAzfzzAzUzzfwzz )()(lim)(,)(,0, 0),(),( 000)000時時，或或當當時時的的極極限限，記記作作當當為為則則稱稱有有時時當當）（，若若存存在在數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)（定義定義uv(w)oA xy(z)o 0z)(zfw 幾何意義幾何意義: 當變點當變點z一旦進

23、一旦進入入z0 的充分小去的充分小去心鄰域時心鄰域時,它的象它的象點點f(z)就落入就落入A的的一個預(yù)先給定的一個預(yù)先給定的鄰域中鄰域中1.6 復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性A (1)(1) 意義中意義中 的方式是任意的的方式是任意的. . 與一元實變函數(shù)相比較要求更高與一元實變函數(shù)相比較要求更高. .0zz (2) A是復(fù)數(shù)是復(fù)數(shù). . 2. 運算性質(zhì)運算性質(zhì)復(fù)變函數(shù)極限與其實部和虛部極限的關(guān)系：復(fù)變函數(shù)極限與其實部和虛部極限的關(guān)系：000),(),()(iyxziyxzyxivyxuzf 設(shè)定理定理1(3) 若若f(z)在在 處有極限處有極限,其極限其極限是唯一的是唯一的. .0z0),(),(0

24、),(),(00),(lim),(lim)(lim00000vyxvuyxuivuAzfyxyxyxyxzz 則則 BAzgzgzfzgzfABzgzfzgzfBAzgzfzgzfBzgAzfzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz )0)(lim()(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(lim,)(lim)(lim000000000000則則若若定理定理2A 以上定理用極限定義證以上定理用極限定義證! !例例1.)(22在在平平面面上上處處處處有有極極限限證證明明yxiyxw 例例2.0)(時時的的極極限限在在求求 zzzzzzf例例3.0Re)(時時的的極極限限不不存存在在在在證證明明 zzzzf在在平平面面上上處處處處有有極極限限22,yxyx .)0 , 0()(2)(2222處處極極限