第三章matlab矩陣運算

1、Matlab 仿真及其應(yīng)用主講：陳孝敬E-mail:主要內(nèi)容：主要內(nèi)容：矩陣運算；矩陣運算；矩陣元素運算；矩陣元素運算；3.1 3.1 矩陣運算矩陣運算3.1.1 3.1.1 矩陣分析矩陣分析1 1向量范式定義：向量范式定義： 向量的向量的3 3種常用范數(shù)及其計算函數(shù)種常用范數(shù)及其計算函數(shù)在在MATLABMATLAB中，求向量范數(shù)的函數(shù)為：中，求向量范數(shù)的函數(shù)為：(1) norm(V)(1) norm(V)或或norm(V,2)norm(V,2)：計算向量：計算向量V V的的22范數(shù)。范數(shù)。(2) norm(V,1)(2) norm(V,1)：計算向量：計算向量V V的的11范數(shù)。范數(shù)。(3)

2、 norm(3) norm(V,infV,inf) )：計算向量：計算向量V V的的范數(shù)。范數(shù)。111/ 22211nknkknkkxxkxxxx 例例3-1 3-1 求向量求向量x=1,2,3,4,5x=1,2,3,4,5和和y=3,0,5,2,2y=3,0,5,2,2間的距離間的距離 x=1,2,3,4,5;x=1,2,3,4,5; y=3,0,5,2,2;y=3,0,5,2,2; norm(x,1); %1- norm(x,1); %1-范式范式 norm( norm(x,infx,inf);); % %范數(shù)范數(shù) norm(x); norm(x); e=x-y;e=x-y; norm(e

3、); norm(e); 2 2矩陣的秩：矩陣的秩： 矩陣中線性無關(guān)的列（行矩陣中線性無關(guān)的列（行) )向量個數(shù)向量個數(shù), ,稱為列（行）秩。稱為列（行）秩。 MatlabMatlab中用函數(shù)中用函數(shù)rankrank（）來計算矩陣的秩。（）來計算矩陣的秩。 例例3-2 3-2 求向量求向量eyeeye（4)4)，magicmagic（4 4）和）和A=1,2,3 A=1,2,3 ;4,5,6;7,8,9;4,5,6;7,8,9的秩。的秩。 rank(eye(4);rank(eye(4); rank(magic(4); rank(magic(4); rank(A); rank(A); 3 3矩陣的

4、行列式：矩陣的行列式： MatlabMatlab中用函數(shù)中用函數(shù)detdet（）來計算矩陣的行列式。（）來計算矩陣的行列式。 1212|d e t ()(1 )nkkkn kAAaaa 例例3-3 3-3 求向量求向量eyeeye（4)4)，magicmagic（4 4）和）和A=1,2,3 A=1,2,3 ;4,5,6;7,8,9;4,5,6;7,8,9的行列式。的行列式。 detdet(eye(4);(eye(4); detdet(magic(4);(magic(4); detdet(A);(A); 4 4矩陣的行列跡：矩陣的行列跡： 矩陣的跡定義為對角元素之和。矩陣的跡定義為對角元素之和

5、。MatlabMatlab中用函數(shù)中用函數(shù)tracetrace（）來計算矩陣的行列式。）來計算矩陣的行列式。 例例3-4 3-4 求向量求向量eyeeye（4)4)，magicmagic（4 4）和）和A=1,2,3 A=1,2,3 ;4,5,6;7,8,9;4,5,6;7,8,9的行列式。的行列式。 trace(eye(4);trace(eye(4); trace(magic(4); trace(magic(4); trace(A); trace(A); 5 5矩陣化零矩陣：矩陣化零矩陣： 對于非滿秩矩陣對于非滿秩矩陣A A，若存在矩陣，若存在矩陣Z Z使得使得AZ=0AZ=0且且ZZ=IZ

6、Z=I，則稱，則稱 矩陣矩陣Z Z為矩陣為矩陣A A的化零矩陣。的化零矩陣。MatlabMatlab中用函數(shù)中用函數(shù)nullnull（）來計（）來計算矩陣的化零矩陣。算矩陣的化零矩陣。 例例3-5 3-5 求矩陣求矩陣A=1,2,3 ;4,5,6;7,8,9A=1,2,3 ;4,5,6;7,8,9的化零矩陣。的化零矩陣。 Z=null(A)Z=null(A) 驗證驗證AZ=0AZ=0的具體代碼如下：的具體代碼如下： AZ=AAZ=A* *Z Z 驗證驗證ZTZZTZ的具體代碼如下：的具體代碼如下： ZTZ=ZZTZ=Z* *Z Z 6 6矩陣的正交空間：矩陣的正交空間： 矩陣矩陣A A的正交空

7、間的正交空間Q Q滿足滿足Q QT TQ=IQ=I，且矩陣，且矩陣Q Q與與A A具有相同的列具有相同的列基底，基底，MatlabMatlab中用函數(shù)中用函數(shù)orthorth（）來計算正交空間（）來計算正交空間Q Q。 例例3-6 3-6 求矩陣求矩陣A1=1,2,3 ;4,5,6;7,8,9A1=1,2,3 ;4,5,6;7,8,9和和A2=1,2,3 A2=1,2,3 ;4,5,6;7,8,9;10,11,12;4,5,6;7,8,9;10,11,12的正交空間的正交空間Q Q。 Q=Q=orthorth(A1)(A1) R= R=orthorth(A2)(A2) 7 7矩陣的簡化化梯形式

8、：矩陣的簡化化梯形式： 矩陣矩陣A A的簡化化梯形式為的簡化化梯形式為 ，其中，其中 為為r r階單位矩陣。階單位矩陣。 MatlabMatlab 中用函數(shù)中用函數(shù)rrefrref()()來計算矩陣的簡化梯形形式來計算矩陣的簡化梯形形式 例例3-7 3-7 求矩陣求矩陣A1=1,2,3 ;4,5,6;7,8,9A1=1,2,3 ;4,5,6;7,8,9和和A2=1,2,3 A2=1,2,3 ;1,1,5;7,8,9;10,11,12;1,1,5;7,8,9;10,11,12的正交空間的正交空間Q Q。 Q=Q=rrefrref(A1)(A1) R= R=rrefrref(A2)(A2) *0

9、*rIrI9 9矩陣空間之間的角度：矩陣空間之間的角度： 矩陣空間之間的角度代表具有相同行數(shù)的兩個矩陣線性矩陣空間之間的角度代表具有相同行數(shù)的兩個矩陣線性相關(guān)程度，夾角越小代表線性相關(guān)度越高。相關(guān)程度，夾角越小代表線性相關(guān)度越高。MatlabMatlab中用函中用函數(shù)數(shù)subspacesubspace（）來計算矩陣空間之間的角度。（）來計算矩陣空間之間的角度。 例例3-9 3-9 求矩陣求矩陣A1=1,2,3;4,5,6;7,8,9A1=1,2,3;4,5,6;7,8,9和和A2=1,2;3 A2=1,2;3 ,4;5,6,4;5,6之間的夾角之間的夾角Q Q。 Q=subspace(A1,A

10、2)Q=subspace(A1,A2) 3.1.2 3.1.2 線性方程組線性方程組 Ax = b 有x = A-1b，但實際上并不顯式求A-1例子： 7x = 21 x = 21/7=3如果求逆 x = 7-1 21 = .142857 21 = 2.99997這就需要一次除和一次乘，且精度更低Backslash運算符 AX = BX = AB 左除 XA = BX = B/A 右除3-by-3的例子6475156230710321xxx65 5 46237710 32132121xxxxxxxx5 . 21 . 6755 . 2061 . 000710321xxx1 . 65 . 2761

11、 . 0055 . 200710321xxx2 . 65 . 272 . 60055 . 200710321xxx線性方程組的解結(jié)構(gòu)線性方程組的解結(jié)構(gòu)齊次線性方程組的解結(jié)構(gòu)齊次線性方程組的解結(jié)構(gòu)非齊次線性方程組的解結(jié)構(gòu)非齊次線性方程組的解結(jié)構(gòu)1.1.齊次線性方程組的解結(jié)構(gòu)齊次線性方程組的解結(jié)構(gòu)例例3-103-10. .判別方程組判別方程組202520470330 xyzxyzxyzxyz有無非零解有無非零解, ,若有若有, ,寫出其通解寫出其通解.解解 在在MATLABMATLAB中輸入該方程組的系數(shù)矩陣中輸入該方程組的系數(shù)矩陣A A并將它化為最簡行并將它化為最簡行階梯形矩陣階梯形矩陣, ,所

12、用命令如下所用命令如下: : A=1 2 -1;2 5 2;1 4 7;1 3 3; A=1 2 -1;2 5 2;1 4 7;1 3 3; rrefrref(A)(A)ans = 1 0 -9 0 1 4 0 0 0 0 0 0由階梯形矩陣可知由階梯形矩陣可知R R( (A A)=23,)=2 A=1 1 1 1 1;3 2 1 1 -3;0 1 2 2 6;5 4 3 3 -1; format rat B=null(A , r) %求基礎(chǔ)解系求基礎(chǔ)解系B = 1 1 5 -2 -2 -6 1 0 0 0 1 0 0 0 1 syms k1 k2 k3 %定義符號參數(shù)定義符號參數(shù) X=k1*

13、B(:,1)+k2*B(:,2)+k3*B(:,3)X= k1+k2+5*k3 -2*k1-2k2-6k3 k1 k2 k3即即123115226100010001Xkkk為方程組的通解為方程組的通解, ,其中其中k k1 1, ,k k2 2, ,k k3 3為任意實數(shù)為任意實數(shù). .2.2.非齊次線性方程組的解結(jié)構(gòu)非齊次線性方程組的解結(jié)構(gòu)例例3-123-12. .求解方程組求解方程組12312312233231xxxxxxxx 解解 在在MatlabMatlab中輸入系數(shù)矩陣及常數(shù)列向量中輸入系數(shù)矩陣及常數(shù)列向量, ,并檢驗系數(shù)矩陣并檢驗系數(shù)矩陣是否逆是否逆, ,所用命令及結(jié)果如下所用命令

14、及結(jié)果如下 A=2 1 1;3 1 2;1 -1 0; A=2 1 1;3 1 2;1 -1 0; b=3 3 -1 ; b=3 3 -1 ; detdet(A) (A) % %檢驗檢驗A A是否可逆是否可逆ansans = = 2 2系數(shù)矩陣行列式值等于系數(shù)矩陣行列式值等于2,2,是可逆的是可逆的, ,則可以用矩陣相除來求解則可以用矩陣相除來求解. . X=AbX= 1 2 -1即是原方程組的解即是原方程組的解. .3.1.2 3.1.2 矩陣分解矩陣分解矩陣分解：把矩陣分解成比較簡單或?qū)λ再|(zhì)比較熟悉的若干矩陣分解：把矩陣分解成比較簡單或?qū)λ再|(zhì)比較熟悉的若干矩陣的乘積的形式；矩陣的乘積的

15、形式；1 1CholeskyCholesky分解：分解： CholeskyCholesky分解是把對稱正定矩陣表示成上三角矩陣的轉(zhuǎn)分解是把對稱正定矩陣表示成上三角矩陣的轉(zhuǎn)置與其本身的乘積，即：置與其本身的乘積，即：A=RA=RT TR R，在，在MatlabMatlab中用函數(shù)中用函數(shù)cholchol來計算來計算CholeskyCholesky分解分解 例例3-13 3-13 求矩陣求矩陣A=A=pascalpascal（4 4）的）的CholeskyCholesky分解，分解， A=pascal(4)A=pascal(4) R= R=chol(Achol(A) ) R R* *R R 2 2

16、LULU分解：分解： LULU分解是將任意一個方正分解是將任意一個方正A A分解成為一個交換下三角矩陣分解成為一個交換下三角矩陣L(L(或是排列或是排列(permuted) 的上三角形矩陣的上三角形矩陣)和一個上三角矩和一個上三角矩陣陣U U的乘積，的乘積，A=LUA=LU，在，在MatlabMatlab中用函數(shù)中用函數(shù)lulu來計算來計算LULU分解分解 例例3-14 3-14 求矩陣求矩陣A=1,4,2;5,6,9;4,1,8A=1,4,2;5,6,9;4,1,8的的LULU分解，分解， L1,U1=L1,U1=lu(Alu(A) ) L1 L1* *U1U1 3 3奇異分解：奇異分解：

17、奇異值分解就是將奇異值分解就是將 的矩陣的矩陣A A分解為分解為U U* *S S* *V V，其中，其中U U 為為 的酉矩陣，的酉矩陣，V V為為 的酉矩陣，的酉矩陣，S S為為 ，并，并可以表示如下：可以表示如下： ，其中其中 ，r=rankr=rank（A)A)， ，MatlabMatlab中奇異值是有函數(shù)中奇異值是有函數(shù)svdsvd（）實（）實現(xiàn)的。用現(xiàn)的。用svdsvd計算矩陣計算矩陣A=1 4 2;5 6 9A=1 4 2;5 6 9例例3-153-15 求矩陣求矩陣A=1 4 2;5 6 9A=1 4 2;5 6 9的奇異分解，的奇異分解， U,SU,S，V=SVD(A)V=S

18、VD(A) m nmmnnmn00 0S12(,)ndiag 0(1,2, )iir4 4QRQR分解：分解： QR分解法是將矩陣分解成一個正規(guī)正交矩陣與上三角形分解法是將矩陣分解成一個正規(guī)正交矩陣與上三角形矩陣矩陣,所以稱為所以稱為QR分解法分解法,與此正規(guī)正交矩陣的通用符號與此正規(guī)正交矩陣的通用符號Q有關(guān)。有關(guān)。 Matlab以以qr函數(shù)來執(zhí)行函數(shù)來執(zhí)行QR分解法，分解法， 其語法為其語法為Q,R=qr(A)。 例例3-153-15 求矩陣求矩陣A=1 4 2;5 6 9A=1 4 2;5 6 9的奇異分解，的奇異分解， U,S=U,S=qr(Aqr(A) ) 3.1.33.1.3 矩陣的

19、特征值和特征向量矩陣的特征值和特征向量1 1矩陣的特征值與特征向量矩陣的特征值與特征向量在在MATLABMATLAB中，計算矩陣中，計算矩陣A A的特征值和特征向量的函數(shù)是的特征值和特征向量的函數(shù)是eigeig(A)(A)，常用的調(diào)用格式有，常用的調(diào)用格式有3 3種：種：(1) E=(1) E=eigeig(A)(A)：求矩陣：求矩陣A A的全部特征值，構(gòu)成向量的全部特征值，構(gòu)成向量E E。(2) V,D=(2) V,D=eigeig(A)(A)：求矩陣：求矩陣A A的全部特征值，構(gòu)成對角陣的全部特征值，構(gòu)成對角陣D D，并求，并求A A的特征向量構(gòu)成的特征向量構(gòu)成V V的列向量。的列向量。

20、(3) V,D=(3) V,D=eigeig( (A,nobalanceA,nobalance)：與第：與第2 2種格式類似，種格式類似，但第但第2 2種格式中先對種格式中先對A A作相似變換后求矩陣作相似變換后求矩陣A A的特征值和特的特征值和特征向量，而格式征向量，而格式3 3直接求矩陣直接求矩陣A A的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。例例3-163-16 求矩陣求矩陣A=6,12,19;-9,-20,-33;4,9,15A=6,12,19;-9,-20,-33;4,9,15的特的特征值和特征向量征值和特征向量 V,D=V,D=eigeig(A);(A);例例3-17 3-17 用求

21、特征值的方法解方程。用求特征值的方法解方程。3x3x5 5-7x-7x4 4+5x+5x2 2+2x-18=0+2x-18=0p=3,-7,0,5,2,-18;p=3,-7,0,5,2,-18;A=A=compancompan(p); %A(p); %A的伴隨矩陣的伴隨矩陣x1=x1=eigeig(A) %(A) %求求A A的特征值的特征值x2=roots(p) %x2=roots(p) %直接求多項式直接求多項式p p的零點的零點例例3-183-18. .求解方程組求解方程組1234123412343133445980 xxxxxxxxxxxx解解 先用先用MatlabMatlab函數(shù)函數(shù)

22、nullnull求出對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解求出對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系系, ,再利用其系數(shù)矩陣的上、下三角陣求出方程組的一個特解再利用其系數(shù)矩陣的上、下三角陣求出方程組的一個特解, ,這樣即可得到該方程組的通解這樣即可得到該方程組的通解, ,程序如下程序如下: : A=1 1 -3 -1;3 -1 -3 4;1 5 -9 -8; A=1 1 -3 -1;3 -1 -3 4;1 5 -9 -8; b=1 4 0 ; b=1 4 0 ; format rat format rat C=null(A , C=null(A , r r); %); %求基礎(chǔ)解系求基礎(chǔ)解系 L,U= L,U=

23、lulu(A); %A=LU,L(A); %A=LU,L為上三角陣為上三角陣,U,U為下三角陣為下三角陣 X0= U(Lb) % X0= U(Lb) %用用LULU求出一個齊次方程的特解求出一個齊次方程的特解 syms k1 k2 X=k1*C(:,1)+k2*C(:,2)+X0運行結(jié)果為運行結(jié)果為X0 = 0 0 -8/15 3/5 X = 3/2*k1-3/4*k2 3/2*k1+7/4*k2 k1-8/15 k2+3/5即即123/23/4103/27/40108/15013/5Xkk為該非齊次方程組的通解為該非齊次方程組的通解, ,其中其中k k1 1, ,k k2 2為任意實數(shù)為任意實數(shù).3.2 3.2 矩陣元素運算矩陣元素運算矩陣運算主要是對矩陣?yán)锏拿總€元素進行運算！矩陣運算主要是對矩陣?yán)锏拿總€元素進行運算！3.2.13.2.1 三角函數(shù)（三角函數(shù)（p48p48）例例3-183-18 計算矩陣計算矩陣A=6,12,19;-9,-20,-33;4,9,15A=6,12,19;-9,-20,-33;4,9,15每