中考數(shù)學(xué)壓軸題專題圓與相似的經(jīng)典綜合題及詳細(xì)答案

1、中考數(shù)學(xué)壓軸題專題圓與相似的經(jīng)典綜合題及詳細(xì)答案一、相似1.如圖，正方形ABCD等腰RtBPQ的頂點(diǎn)P在對(duì)角線AC上（點(diǎn)P與A、C不重合），QP與BC交于E,QP延長(zhǎng)線與AD交于點(diǎn)F,連接CQ.DC(1)求證：AP=CQ求證：PA2=AF?AD;(2)若AP：PC=1:3,求tan/CBQ.【答案】(1)證明：二.四邊形ABCD是正方形，AB=CB,ZABC=90, /ABP+/PBC=90,° .BPQ是等腰直角三角形，BP=BQ,/PBQ=90；./PBC+/CBQ=90°，/ABP=/CBQ,AABPACBQ,.AP=CQ;二.四邊形ABCD是正方形，ZDAC=ZBA

2、C=ZACB=45°, /PQB=45；CCEP4QEB,/CBQ=ZCPQ由得ABPCBQ,/ABP=/CBQ /CPQ=ZAPF,/APF=ZABP,.APMABP,APAF口二一二一，.：H尸:AF，A8;總產(chǎn)*AD;ABAP(本題也可以連接PD,證APFsADP)(2)證明：由得4AB國(guó)ACRQ,/BCQ=/BAC=45, /ACB=45,°,./PCQ=45+45=90°囚 tanZCPQ=療,由得AP=CQ,CQAP1=t又AP:PC=1:3,，tan/CPQ=MCP3,由得/CBQ=/CPQ1 tanZCBQ=tanZCPQ=3.【解析】【分析】(1

3、)利用正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)易證ABPACBQ,可得AP=CQ;利用正方形的性質(zhì)可證得/CBQ=/CPQ,再由ABPCBQ可證得/APF=ZABP,從而證出APM4ABP,由相似三角形的性質(zhì)得證；(2)由ABP4CBQ可得/BCQ=ZBAC=45,可得ZPCQ=45+45°=90°,再由三角函數(shù)可CC11得tanZCPQ=乙由AP:PC=1:3,AP=CQ可得tanZCPQ=',再由/CBQ=/CPQ可求出答案.CD=BC,AC與BD交于點(diǎn)E。2.如圖，點(diǎn)A、B、CD是直徑為AB的。O上的四個(gè)點(diǎn),(1)求證：DC2=CEAC;Al(2)若AE=2EC,求

4、之值;（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)C作。O的切線，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,若S/xach=外'3,求EC之長(zhǎng).【答案】（1）證明：CD=BC,ZDAC=/CDB,又/ACD=/DCE,.ACDADCEACCLDCa,DC2=CEAC;(2)解：設(shè)EC=k,則AE=2k,，AC=3k,由(1)DC2=CEAC=3k2-.CD=BC,，OC平分/DOB,.-.BC=DC=Wk,AB是。O的直徑，在RtMCB中，-出M效-加-A3k,.4P，OB=OC=OD=Wk,，/BOD=120；./DOA=60°,.AD=AO,.(3)解：.CH是。O的切線，連接CO,.1.OCXCH./CO

5、H=60°,/H=30°,過C作CG±AB于G,僅EC=K,.乙CAB=3U,-,又/H=/CAB=3U°,AC=CH=3k,¥L3LSaach=kk2=4,k=2,即EC=2.jX員例X-k=93【解析】【分析】(1)要證DC2=CEAC,只需證ACgDCE即可求解；(2)連接OC,OD,根據(jù)已知條件AE=2EC可用含k的代數(shù)式表示線段AE、CEAC,由(1)可將CD用含K的代數(shù)式表示，在RtACB中，由勾股定理可將AB用含K的代數(shù)式表示，結(jié)合已知條件和圓的性質(zhì)可求解；(3)過C作CG±AB于G,設(shè)EC=k,由3U度角所對(duì)的直角邊等

6、于斜邊的一半可將CG用含K的代數(shù)式表示，根據(jù)三角形ACH的面積:AH乂CG=%3即可求解。3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別是A(0,2)和C(2:0),點(diǎn)D是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)(不與AC重合)，連結(jié)BD,作，交x軸于點(diǎn)E,以線段DE、DB為鄰邊作矩形BDEF.圖(1)圖(2)(1)填空：點(diǎn)B的坐標(biāo)為;(2)是否存在這樣的點(diǎn)D,使得DEC是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出AD的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)求證：加3；設(shè)AD=x,矩形BDEF的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(可利用的結(jié)論)，并求出y的最小值【答案】（i）力（2）解：存在，理由如下:

7、,.QA=2,OC=Wj,tan/ACO毋=3,/ACO=30；/ACB=60°如圖（1）中，當(dāng)E在線段CO上時(shí)，DEC是等腰三角形，觀察圖象可知,ED=EC/DCE=ZEDC=30,°/DBC=ZBCD=60,° .DBC是等邊三角形， .DC=BC=Z在RtAAOC中， /ACO=30；OA=2,.AC=2AO=4,.AD=AC-CD=4-2=2, 當(dāng)AD=2時(shí)，ADEC是等腰三角形，如圖（2）中，當(dāng)E在OC的延長(zhǎng)線上時(shí)，4DCE是等腰三角形，只有/DBC=ZDEC=ZCDE=15,°/ABD=ZADB=75: .AB=AD=2口，綜上所述，滿足條件

8、的AD的值為2或2期日.只有CD=CE,（3）如圖，過點(diǎn)D作MNLAB于點(diǎn)M,交OC于點(diǎn)N。 .A(0.2)和C(23,0), 直線AC的解析式為y=-33x+2,設(shè)D(a,-33a+2),DN=-33a+2,BM=23-a /BDE=90,° /BDM+ZNDE=90,ZBDM+ZDBM=90:/DBM=ZEDN, /BMD=ZDNE=90; .BMD-ADNE, .DEBD=DNBM=-33a+223-a=33.如圖（2）中，作DHLAB于HoH3E(2)在RtAADH中， .AD=x,ZDAH=ZACO=30,°.DH=12AD=12x,AH=AD2-DH2=32x,

9、.BH=23-32x,在RtBDH中，BD=BH2+DH2=12x2+23-32x2, .DE=33BD=3312x2+23-32x2,.矩形BDEF的面積為y=3312x2+23-32x22=33x2-6x+12,即y=33x2-23x+43,y=33x-32+3.33>0,，x=3時(shí)，y有最小值3.【解析】【解答】(1)四邊形AOCB是矩形，BC=OA=2,OC=AB=W,/BCO=ZBAO=90:.B(-W,2)【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，分別求出BCAB的長(zhǎng)，即可求解。(2)根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，求出/ACO,ZACB的度數(shù)，分兩種情況討論：如圖(1)中，當(dāng)E在線段CO上時(shí)，

10、DEC是等腰三角形，觀察圖象可知，只有ED=EC如圖(2)中，當(dāng)E在OC的延長(zhǎng)線上時(shí)，DCE是等腰三角形，只有CD=CE,/DBC=/DEC=ZCDE=15，分另1J求出AD的長(zhǎng)，即可求解。(3)如圖，過點(diǎn)D作MNLAB于點(diǎn)M,交OC于點(diǎn)N。利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，設(shè)D(a,-a+2),分別用含a的代數(shù)式表示出DN、BM的長(zhǎng)，再證明BMD-ADNE,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求解；如圖(2)中，作DHXAB于H。設(shè)AD=x,用含x的代數(shù)式分別表示出DH、BH的長(zhǎng)，利用勾股定理求出BD、DE的長(zhǎng)再根據(jù)矩形的面積公式，列出y與x的函數(shù)關(guān)系式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解

11、。4.如圖，拋物線=川-戈:11口巾0)與軸交于a,B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D,其對(duì)稱軸與者軸交于點(diǎn)匚聯(lián)接AD,OD.(1)求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)(用含，的式子表示)；(2)若OD，AD,求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(3)在(2)的條件下，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸左側(cè)該拋物線上，PA與對(duì)稱軸交于點(diǎn)M,若AME與4OAD相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】(1)解：-密森+121tl=鼠又-4戶一盤，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,-4m)(2)解：y=iix2-8mx“12m=in(x-5)(x6).點(diǎn)A(6,0)，點(diǎn)B(2,0),則OA=6,二,拋物線的對(duì)稱軸為x=4,.點(diǎn)E(4,0),貝UOE=4,AE

12、=2,又DE=4m,由勾股定理得：必二如物二必/，川，一行二3+招=加+，又ODLAD,Aif4City=UA,則/枷：,/76/416=%，解得-m>0,拋物線的函數(shù)表達(dá)式(3)解：如圖，過點(diǎn)P作PH,x軸于點(diǎn)H,則APHMMME,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為>在RtAOAD中，0D入a以小4,PHOD當(dāng)APhMAMEsAOD時(shí)，.AHOA2-Nx+（J2.|常-點(diǎn).點(diǎn)P的坐標(biāo)為g6，引;解得：x=0,x=6（舍去），APHMMMEsOADFa)=d,點(diǎn)p的坐標(biāo)為"F解得：x=1,x=6(舍去)，5V5綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為|但“2,或02,【解析】【分析】(1)將拋物線的解析式配成

13、頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)要求拋物線的解析式，只須求出m的值即可。因?yàn)閽佄锞€與x軸交于點(diǎn)A、B,所以令y=0,解關(guān)于x的一元二次方程，可得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，則OA、OD、AD均可用含m的代數(shù)式表示；因?yàn)镺DLAD,所以在直角三角形OAD中，由勾股定理可得匕4:二.加,:將OA、OD、AD代入可得關(guān)于m的方程，解方程即可得m的值，則拋物線的解析式可求解；(3)4AME與4OAD中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)除直角頂點(diǎn)D、E固定外，其余兩點(diǎn)都不固定，所以分兩種情況： 當(dāng)AMEsAOD時(shí)，過點(diǎn)P作PHI±x軸于點(diǎn)相應(yīng)的比例式求解； 當(dāng)AMEsOAD時(shí)，過點(diǎn)P作PHI±x軸于點(diǎn)相應(yīng)的比例式求解。

14、H,易得APHMAAMEsMOD,H,易得APHMAAMEsOAD,可得可得5.如圖，在矩形ABCD中，-5,4，點(diǎn)E是BC邊上的點(diǎn)，跳=3,連接ae,DF上AE交于點(diǎn)F.(1)求證：咫E里DFA；連接CF,求sikDCFl的值；g(3)連接AC交DF于點(diǎn)G,求R的值.【答案】(1)證明：二四邊形ABCD是矩形,/BAD=ZADC=ZB=90；AB=CD=4,.DFAE,/AFD=90； /BAE+/EAD=/EAD+/ADF=90；/BAE=ZADF,在RtABE中， .AB=4,BE=3,.AE=5,在ABE和ZDFA中，NABE-ZDFABAE= .ABEADFA(AAS).(2)解：連

15、結(jié)DE交CF于點(diǎn)H, .ABEADFA, .DF=DC=4,AF=BE=3 .CE=EF=2 DEXCF, /DCF+ZHDC=ZDEC+ZHDC=90； /DCF玄DEC,在RtDCE中， .CD=4,CE=2DE=25,CD4第sin/DCF=sinZDEC=(3)過點(diǎn)C作C。AE交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K,1 .DFXAE,2 .OK/DF,AC.護(hù)GCFX,在RtACEK中,EK=CEcos/CEK=CEbos/AEB=26lb3 .FK=FE+EK=2+=16/BAE=ZADF,1(1)由矩形的性質(zhì)，垂直的性質(zhì)，同角的余角相等可得在RtAABE中，根據(jù)勾股定理可得AE=5,由全等三角形的判

16、定AAS可得ABEDFA.(2)連結(jié)DE交CF于點(diǎn)H,由(1)中全等三角形的性質(zhì)可知DF=DC=4AF=BE=3由同角的余角相等得/DCF之DEC,在RtDCE中，根據(jù)勾股定理可得DE=20根據(jù)銳角三角函數(shù)定義可得答案.(3)過點(diǎn)C作CK!AE交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K,由平行線的推論知AG尚OK/DF,根據(jù)平行線所截線段成比例可得b6r用，在RtCEK中，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義可得EK=，從而求出FK,代入數(shù)值即可得出答案6.已知：如圖，在RtAABC中，/C=90°,點(diǎn)O在AB上，以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的圓與AC,AB分別交于點(diǎn)D,E,且/CBD=/A.(1)判斷直線BD與。O的位置關(guān)

17、系，并證明你的結(jié)論;(2)若AD:AO=8:5,BC=2,求BD的長(zhǎng).【答案】(1)解：BD是。的切線；理由如下：OA=OD,/ODA=ZA ./CBD=/A,./ODA=/CBD, /C=90,°/CBD+ZCDB=90； /ODA+ZCDB=90,°/ODB=90；即BD±OD,.BD是。O的切線(2)解：設(shè)AD=8k,貝UAO=5k,AE=2OA=10k,.AE是。的直徑，/ADE=90,°/ADE=ZC,又/CBD叱A,.MDEsBCD,AEBL10k心.訕一位,即額3,解得：BD=/.所以BD的長(zhǎng)是/【解析】【分析】(1)由等腰三角形的性質(zhì)和已

18、知得出/ODA=/CBD,由直角三角形的性質(zhì)得出/CBD+/CDB=90,因此ZODA+ZCDB=90,得出/ODB=90,即可得出結(jié)論；(2)設(shè)AD=8k,貝UAO=5k,AE=2OA=10k,由圓周角定理得出ZADE=90,AADEABCD,AEBL得出對(duì)應(yīng)邊成比例.基即可求出BD的長(zhǎng).7.如圖，在4ABC中，AB=AC,以AB為直徑的0O分別交BC,AC于點(diǎn)D,E,連結(jié)EB,交OD于點(diǎn)F.C(1)求證：OD,BE.(2)若DE=.，AB=6,求AE的長(zhǎng).什的而不曰而不的十任E幾:、的企廿0(3)若4CDE的面積是OBF面積的，求線段BC與AC長(zhǎng)度之間的等量關(guān)系，并說明理由.【答案】(1)

19、證明：連接AD,'.AB是直徑，ZAEB=ZADB=90,.AB=AC,ZCAD=ZBAD,BD=CD,團(tuán)囪.BD肛ODXBE;(2)解:ZAEB=90,ZBEC=90,BD=CD,BC=2DE=2,后,.四邊形ABDE內(nèi)接于。O,ZBAC+ZBDE=180,ZCDE+ZBDE=180,ZCDE土BAG,ZC=ZC,.CDEACAB,.CBAB即j66.CE=2,.AE=AC-CE=AB-CE=4(3)解：VBD=CD,SaCDSaBDE,BD=CD,AO=BO,.OD/AC,.OBRAABE,府3Saabe=4Saqbf=6Scde,SacabfSacde+Sabde+Saabe=8

20、Sacde,-/CDEACAB,SACS£CD,/：.sACASCA8,a)iBD=CD,AB=AC,BC1.加V。，即AC=kEBC【解析】【分析】(1)連接AD.根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角、等腰三角形的性質(zhì)以及CEDE平行線的性質(zhì)即可證明；(2)先證CDa4CAB得CB一曲,據(jù)此求得CE的長(zhǎng)，依據(jù)5金的郎/S()"二一§-諛'仍"據(jù)此知Saabe=4Saqbf,結(jié)合,乙152s如CDnISacab=8Sacde,由CDaCAB知5亡傷口舌BC1BD=CD,AB=AC知"，二，從而得出答案.AE=AC-CE=AB-CEM得答案；(3)

21、由BD=CD知Sacde=Sabde,證OBFABE得腳知Saabe=6Scde,CD1,據(jù)此得出CA入三,結(jié)合圖iE;備用圖8.如圖1,在四邊形ABCD中，/DAB被對(duì)角線AC平分，且形為可分四邊形"，/DAB稱為何分角”.AC2=AB?AD,我們稱該四邊(1)如圖2,四邊形ABCD為何分四邊形"，/DAB為可分角”，求證：DA84CAB.(2)如圖2,四邊形ABCD為可分四邊形”，/DAB為何分角”，如果/DCB=/DAB,則ZDAB=(3)現(xiàn)有四邊形ABCD為何分四邊形"，/DAB為可分角"，且AC=4,BC=2,/D=90°,求AD的長(zhǎng)

22、.【答案】(1)證明：四邊形ABCD為何分四邊形"，/DAB為可分角”，.,AC2=AB?AD,ACAL,?/DAB為何分角”，/CAD=/BAC,DABCAB(2)120(3)解：二四邊形ABCD為何分四邊形"，/DAB為可分角”.-.AC2=AB?AD,ZDAOZCAB, .AD:AC=AC:AB,.ADOAACB,ZD=ZACB=90,.ab=，/'4至!F4»A5，,AD=*8入35.曬故答案為T.【解析】【解答】(2)解：如圖所示：-/AC2=AB?AD, .AD:AC=AC:AB, AADOAACB,ZD=Z4, ZDCB=ZDAB,ZDCB=

23、Z3+Z4=2Z1, Z1+ZD+Z3=Z1+Z4+Z3=180；Z1+2Z1=180,解得：Z1=60°,ZDAB=120;故答案為：120;dJ型【分析】(1)根據(jù)可分四邊形”的定義，可得AC2=AB?AD,從而可得.鉆AC,根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例且夾角相等可證ADACCAB;(2)根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例且夾角相等可證AD8AACB,可得/D=/4,由/DCB=Z3+Z4=2Z1,根據(jù)三角形內(nèi)角和可得Z1+ZD+Z3=Z1+Z4+Z3=Z1+2Z1=180；求出/1=60°,從而求出/DAB的度數(shù)；(3)先證ADCsACB,可得/D=/ACB=90°,利用勾股定理求出AB

24、=、"，由AC2=AB?AD,即可求出AD的長(zhǎng).二、圓的綜合9.如圖，。是4ABC的外接圓，點(diǎn)E為4ABC內(nèi)切圓的圓心，連接AE的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)F,交。O于點(diǎn)D;連接BD,過點(diǎn)D作直線DM,使/BDM=/DAC.(1)求證：直線DM是。O的切線；若DF=2,且AF=4,求BD和DE的長(zhǎng).VD【答案】(1)證明見解析(2)2J3【解析】【分析】(1)根據(jù)垂徑定理的推論即可得到ODLBC,再根據(jù)/BDM=/DBC,即可判定BC/DM,進(jìn)而彳#到ODLDM,據(jù)此可得直線DM是。的切線；(2)根據(jù)三角形內(nèi)心的定義以及圓周角定理，得到/BED=/EBD,即可得出DB=DE,再判定DBQ4DA

25、B,即可得到DB2=DF?DA,據(jù)此解答即可.【詳解】(1)如圖所示，連接OD.點(diǎn)E是4ABC的內(nèi)心，./BAD=/CAD,.BDCD，ODBC.又./BDM=/DAC,/DAC=/DBC,./BDM=/DBC,.BC/DM,.1.ODXDM.又OD為。O半徑，.直線DM是。的切線.(2)連接BE.£為內(nèi)心，/ABE=/CBE/BAD=ZCAD,/DBC=ZCAD,./BAD=ZDBC,./BAE+ZABE=ZCBEZDBC,即ZBED=ZDBE,.BD=DE.又/BDF=/ADB(公共角),.DBFsDAB,.史理，即DB2=DF?DA.DBDA.DF=2,AF=4,DA=DF+A

26、F=6,.DB2=DF?DA=12,.DB=DE=2J3.MD【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)心與外心，圓周角定理以及垂徑定理的綜合應(yīng)用，解題時(shí)注意：平分弦所對(duì)一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條??；三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角.10. (1)如圖1,在矩形ABCD中，點(diǎn)O在邊AB上，/AOC=/BOD,求證：AO=OB;(2)如圖2,AB是。的直徑，PA與。相切于點(diǎn)A,OP與。相交于點(diǎn)C,連接CB,ZOPA=40；求/ABC的度數(shù).【答案】(1)證明見解析；(2)25°.【解析】試題分析：(1)根據(jù)等量代換可求得/AOD

27、=/BOC,根據(jù)矩形的對(duì)邊相等，每個(gè)角都是直角，可知/A=/B=90°,AD=BC,根據(jù)三角形全等的判定AAS證得AOD0BOC,從而得證結(jié)論.(2)利用切線的性質(zhì)和直角三角形的兩個(gè)銳角互余的性質(zhì)得到圓心角/POA的度數(shù)，然后利用圓周角定理來(lái)求/ABC的度數(shù).試題解析：(1)-ZAOC=ZBOD /AOC-/COD=ZBOD-/COD即/AOD=ZBOC 四邊形ABCD是矩形/A=ZB=90；AD=BCAODBOC.AO=OB(2)解：.AB是eO的直徑，PA與eO相切于點(diǎn)A, .PA，AB,/A=90:又/OPA=40,/AOP=50；.OB=OC,/B=/OCB.又/AOP=/B

28、+ZOCB,“1八BOCBAOP25.211.函數(shù)是描述客觀世界運(yùn)動(dòng)變化的重要模型，理解函數(shù)的本質(zhì)是重要的任務(wù)。（1）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（6,0）、B（0,2）,點(diǎn)C（x,y）在線段AB上，計(jì)算（x+y）的最大值。小明的想法是：這里有兩個(gè)變量x、V,若最大值存在，設(shè)最大值為m,則有函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-x+m,由一次函數(shù)的圖像可知，當(dāng)該直線與y軸交點(diǎn)最高時(shí)，就是m的最大值，（x+y）的最大值為；（2）請(qǐng)你用（1）中小明的想法解決下面問題：如圖2,以（1）中的AB為斜邊在右上方作R9ABM.設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（x,y）,求（x+y）的最大值是多少？分析：（1）根據(jù)一次函數(shù)

29、的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)以AB為斜邊在右上方作RtABC,可知點(diǎn)C在以AB為直徑的OD上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)點(diǎn)C坐標(biāo)為（x,y）,可構(gòu)造新的函數(shù)x+y=m,則函數(shù)與y軸交點(diǎn)最高處即為x+y的最大值，此時(shí)，直線y=-x+m與。D相切，再根據(jù)圓心點(diǎn)D的坐標(biāo)，可得C的坐標(biāo)為（3+百，1+J5）,代入直線y=-x+m,可得m=4+2j5,即可得出x+y的最大值為4+2,5.詳解：（1）6;（2）由題可得，點(diǎn)C在以AB為直徑的OD上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C坐標(biāo)為（x,y）,可構(gòu)造新的函數(shù)x+y=m,則函數(shù)與y軸交點(diǎn)最高處即為x+y的最大值，此時(shí)，直線y=-x+m與。D相切，交x軸與E,如圖所示，連接OD,CD.A（6,0

30、）、B（0,2）,D（3,1）,OD=71232=710,.CD=VTq.根據(jù)CD,EF可得，C、D之間水平方向的距離為J5,鉛垂方向的距離為J5,，C（3+石，1+J5）,代入直線y=-x+m,可得：1+J5=（3+而）+m,解得：m=4+275,x+y的最大值為4+275.故答案為：4+2石.點(diǎn)睛：本題主要考查了切線的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及等腰直角三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是構(gòu)造一次函數(shù)圖象，根據(jù)圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑進(jìn)行求解.12.如圖，在直角坐標(biāo)系中，OM經(jīng)過原點(diǎn)0(0,0),點(diǎn)A(J6,0)與點(diǎn)B(0,J2),點(diǎn)D在劣弧0A上，連結(jié)BD交x軸于點(diǎn)C,且

31、/CO4/CBO.(1)求。M的半徑；(2)求證：BD平分/ABO;(3)在線段BD的延長(zhǎng)線上找一點(diǎn)E,使得直線AE恰為。M的切線，求此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo).【答案】(1)M的半徑r=J2;(2)證明見解析；(3)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(今6,后),【解析】試題分析：根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)得出OA和OB的長(zhǎng)度，根據(jù)RtAOB的勾股定理得出AB的長(zhǎng)度，然后得出半徑；根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角得出/ABD=/COD,然后結(jié)合已知條件得出角平分線；根據(jù)角平分線得出4AB瞌4HBE,從而得出BH=BA=2j2,從而求出OH的長(zhǎng)度，即點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，根據(jù)RtAOB的三角函數(shù)得出/ABO的度數(shù)，從而得出/CBO的度數(shù)，然后根據(jù)RtH

32、BE得出HE的長(zhǎng)度，即點(diǎn)E的橫坐標(biāo).試題解析：(1)丁點(diǎn)a為(J6,0),點(diǎn)b為(0,五)，oa=J6ob=J2根據(jù)RtAOB的勾股定理可得：AB=272，eM的半徑r=1AB=72.(2)根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可得：/ABD=ZCOD/COD=ZCBO，/ABD=ZCBOBD平分/ABO(3)如圖，由(2)中的角平分線可得ABEHBE，BH=BA=2&.0H=2J2在RtAAOB中,OAOBJ3/ABO=60°/CBO=30°H嚼限點(diǎn)E的坐標(biāo)為譽(yù)”在RtHBE中,考點(diǎn)：勾股定理、角平分線的性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)、三角函數(shù)13.如圖，4ABC內(nèi)接于OO,/BAC的平分

33、線交。于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E(BE>EQ,且BD=2J3.過點(diǎn)D作DF/BC,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.(1)求證：DF為。的切線；(2)若/BAC=60°,DE=",求圖中陰影部分的面積.【答案】(1)詳見解析；(2)9J3-2兀.【解析】【分析】(1)連結(jié)OD,根據(jù)垂徑定理得到ODLBC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到ODLDF,根據(jù)切線的判定定理證明；(2)連結(jié)OB,連結(jié)OD交BC于P,作BHLDF于H,證明OBD為等邊三角形，得到/ODB=60；OB=BD=2，3,根據(jù)勾股定理求出PE,證明AB&4AFD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出AE,根據(jù)陰影部分的面積=4BDF的面

34、積-弓形BD的面積計(jì)算.【詳解】證明：(1)連結(jié)OD,AD平分/BAC交。于D,ZBAD=ZCAD,bd=Cd,ODXBC, .BC/DF, .ODSF, .DF為。O的切線；(2)連結(jié)OB,連結(jié)OD交BC于P,作BHDF于H,FHD /BAC=60,°AD平分/BAC,/BAD=30；/BOD=2/BAD=60,°.OBD為等邊三角形，/ODB=60；OB=BD=2V3,/BDF=30；1.BC/DF,/DBP=30；1 一一在RtDBP中，PD=-BD=a/3,PB=73PD=3,在RtDEP中，PD=/3,DE=y/7,PE=(.'7)2(；3)2=2, .O

35、PXBC,BP=CP=3.CE=3-2=1, /DBE=ZCAE,/BED=ZAEC,.,.BDEAACE, .AE:BE=CEDE,即AE:5=1:6，5x7.AE=-71.BE/DF,.ABEAAFD,5<7BEAE5一一，即3r廠，DFADDF125解得DF=12,在RtBDH中，BH=1BD=73,，陰影部分的面積=BDF的面積-弓形BD的面積=4BDF的面積-(扇形BOD的面積-BOD的面積）=1127360（2扃叵（2盾=9732.23604【點(diǎn)睛】考查的是切線的判定，扇形面積計(jì)算，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握切線的判定定理，扇形面積

36、公式是解題的關(guān)鍵.14.如圖，AB為。的直徑，BC為。O的弦，過O點(diǎn)作OD，BC,交。O的切線CD于點(diǎn)D,交。O于點(diǎn)E,連接AC、AE,且AE與BC交于點(diǎn)F.(1)連接BD,求證：BD是。的切線；(2)若AF：EF=2：1,求tan/CAF的值.D【答案】(1)證明見解析；(2)23.3【解析】【分析】(1)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到/OBD=ZOCD=90,根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；(2)根據(jù)已知條件得到AC/DE,設(shè)OD與BC交于G,根據(jù)平行線分線段成比例定理得到11AC:EG=21,EG=±AC,根據(jù)二角形的中位線的性質(zhì)得到OG7AC于是得到AC=OE求得/ABC=30,即

37、可得到結(jié)論.【詳解】證明：(1)OC=OBOD±BC,/COD=ZBOD,在COD與BOD中，OC=OBCOD=BOD,OD=OD.-.CODABOD,/OBD=ZOCD=90:.BD是。O的切線；D(2)解：AB為。的直徑，AC±BC,1 .ODXCB,2 .AC/DE,設(shè)OD與BC交于G,.OE/AC,AF:EF=21,13 .AC:EG=2:1,即EG=-AC,.OG/AC,OA=OB,14 OGAC,211.OG+GE-AC+-ACAG225 .ACOE,1.AC-AB,26 /ABC30,7 /CAB60,8 ?CEBE'一一1”。9 /CAF/EAB-/

38、CAB30,2."CAFta30二旅本題考查了切線的判定和性質(zhì)，垂徑定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵.15.如圖，四邊形ABCD是。的內(nèi)接四邊形，AC為直徑，？DAD，DE±BC,垂足為E.(1)判斷直線ED與。O的位置關(guān)系，并說明理由;(2)若CE=1,AC=4,求陰影部分的面積.2-【答案】(1)ED與eO相切理由見解析；(2)S陰影=J3.3【解析】【分析】(1)連結(jié)OD,如圖，根據(jù)圓周角定理，由BdAD得到/BAD=/ACD,再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得/DCE=/BAD,所以/ACD=/DCE;利用內(nèi)錯(cuò)角

39、相等證明OD/BC,而DE±BC,則OD,DE,于是根據(jù)切線的判定定理可得DE為。的切線；(2)作OHUBC于H,易得四邊形ODEH為矩形，所以O(shè)D=EH=2,則CH=HE-CE=1,于是有/HOC=30。，得到/COD=60。，然后根據(jù)扇形面積公式、等邊三角形的面積公式和陰影部分的面積=S扇形OCD-S»AOCD進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】(1)直線ED與。O相切.理由如下：連結(jié)OD,如圖，?DAD，/BAD=/ACD./DC-BAD,/ACD=ZDCE. .OC=OD,./OCD=/ODC,而/OCD=/DCE/DCE=ZODC,.OD/BC. .DEXBC,ODXDE,.DE為。的切線；(2)作OHBC于H,則四邊形ODEH為矩形，OD=EH. .CE=1,AC=4,OC=OD=2,.CH=HECE=2-1=1.在R匕OHC中，/OC=2,CH=1,/OHC=90；/HOC=30；ZCOD=60；，陰影部分的面積=S扇形ocd-S；aocd6022.3._2?236043兀6【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)(即為半徑)，