浙江省杭州市塘棲中學2014屆高三數(shù)學一輪復習課件(理) 第10章108 空間的計算問題

1、1.在正方體ABCDA1B1C1D1中，E1、F1分別是棱A1B1、C1D1上的點，且 則BE1與DF1所成角的余弦值為( )A. B. C. D.111111,4ABB ED F81715173212解析： 在A1B1上取一點G，并使 連接AG,再取AB的中點H，連接GH.則AGH為異面直線BE1與DF1所成的角.不妨設A1B1=4，則所以在AGH中，1114ABAG ，24117.AGGH 22217174cos.215172 1717AGGHAHAGHAGGH2.在一個銳二面角的一個面內(nèi)有一點，它到棱的距離等于到另一個面的距離的2倍，則二面角的度數(shù)為 .解析： 如圖，過點C作平面的垂線，

2、垂足為D，過D作DE垂直AB于E，連接CE.由三垂線定理得CED為 -AB-的平面角.由題意可知CED=30.303.已知正四棱錐S-ABCD中，SA=AB=a,則側(cè)棱與底面所成角的大小為 .解析： 如圖所示，過S作SO平面ABCD,則O是正方形ABCD的中心，AO是SA在平面ABCD上的射影，所以SAO為側(cè)棱與底面所成的角.又在ABO中，易得所以SAO=45.452,2AOa4.如圖，已知AB為平面的一條斜線，B為斜足，A O ， O 為 垂 足 ， B C 為 內(nèi) 的 一 條 直 線 ，ABC=60,OBC=45,則斜線AB和平面所成的角為 .解析： 由斜線和平面所成的角的定義可知,ABO

3、為斜線AB和平面所成的角.又因為所以ABO= 45 .coscos602cos,coscos452ABCABOCBO一、異面直線所成的角1.異面直線所成的角：在空間中任取一點O，過O點分別作兩異面直線的 線，所成的 叫做兩條異面直線所成的角.2.異面直線所成的角的范圍是 。 當 時，這兩條異面直線垂直.(0,22平行銳角或直角二、直線與平面所成的角1.直線和平面所成的角：(1)如果直線平行平面或在平面內(nèi)，則它和平面所成的角的大小為 .(2)如果直線垂直于平面，則它和平面所成的角的大小為 .(3)如果直線是平面的斜線，則它和它在平面內(nèi)的 所成的 角，稱之為直線和平面所成的角.02射影銳2.直線和

4、平面所成的角的范圍是 . 三、二面角的平面角1.二面角的平面角：從一條直線出發(fā)的兩個 組成的圖形叫做二面角，以二面角的棱上 一點為端點，在兩個半平面內(nèi)分別作 兩條射線.這兩條射線所成的角叫做 .平面角是 角的二面角叫做直二面角.0,2半平面任意垂直于棱的二面角的平面角直 2.二面角的范圍是 . 3.作二面角的平面角的常用方法有 . . 四、求空間角的基本方法 （1）構(gòu)造法（傳統(tǒng)法）； （2）空間向量法.0,定義法、線面垂直法、垂面法五、空間距離1.空間距離包括兩點間的距離，點到直線的距離，點到平面的距離，平行直線間的距離，直線與平面間的距離，兩平行平面間的距離，但高考對空間距離的要求已經(jīng)淡化.

5、其中兩點間距離，點到直線的距離和兩平行線間的距離可轉(zhuǎn)化為平面幾何問題處理，點到平面的距離，直線與平面間的距離，兩平行平面間的距離都可歸結(jié)為“點面距”.2.求空間距離的一般步驟找出或作出有關(guān)距離的圖形；證明它符合定義；在平面圖形中計算. 考點1：異面直線所成的角的求法例題1： 如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD為平行四邊形，其中AB=2，BD=BC=1，AA1=2，E為DC的中點，F(xiàn)是棱DD1上的動點.（1）求異面直線AD1與BE所成角的正切值；（2）當DF為何值時，EF與BC1所成的角為90?分析：依異面直線所成角的定義尋找或平行移動作出異面直線所成角對應的平面角.解析：

6、（方法一）（1）連接EC1. 在直四棱柱ABCD-A1B1C1中，AD1BC1，則EBC1為異面直線AD1與BE所成的角.底面ABCD側(cè)面DCC1D1BD=BCE為CD的中點 BE側(cè)面DCC1D1 BEEC1.在RtBEC1中，所以BECD22113 22ECCCCE，1222BEDC，11t3an.ECEBCEB（2） 當 時，EF與BC1所成的角為90.由（1）知，BE側(cè)面DCC1D1 BEEF.又當 時，14DF 1122.2DEECCCAA，14DF 因為所以DEFCC1E，所以DEF+CEC1=90，所以FEC1=90，即FEEC1.又EBEC1=E，所以EF平面BEC1，所以EFB

7、C1,即EF與BC1所成的角等于90.112224242422DFDECECC，(方法二)由BC2+BD2=DC2可知，BDBC，分別以BD、BC、BB1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖，則B(0,0,0),A(1,-1,0), D(1,0,0), D1(1,0,2),C(0,1,0),C1(0,1,2), 1 1(,0).2 2E，（1）因為所以所以所以即AD1與BE所成的角的正切值為3.111102cos1021052AD BE ， ，13 10sin10AD BE ， ，1tan3AD BE ， ，11 1(0,1,2)(,0),2 2ADBE ，（2）設F(1,0,q)，則

8、又由得即 時，EFBC1.11(, ).22EFq ，1(0,1,2)BC ，111012022EF BCq ，14q ，14DF 點評： 異面直線所成角的求法有傳統(tǒng)的構(gòu)造法和空間向量法兩種，解題可依據(jù)問題情境恰當選用. 考點2:直線與平面所成角的求法例題2：如圖，在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E為CD的中點,將ADE沿AE折起,使平面ADE平面ABCE,得到幾何體D-ABCE. (1)求證：BE平面ADE，并求AB與平面ADE所成的角的大?。唤馕觯?（1）在矩形ABCD中，連接BE，因為AB=2AD，E為CD的中點，所以AD=DE，EAB=45，從而EBA=45，故AEEB.過D作D

9、OAE于O,因為平面ADE平面 ABCE，所以DO平面ABCE，所以DOBE.又AEDO=O，所以BE平面ADE.可知AE為AB在平面ADE上的射影，從而BAE為AB與平面ADE所成的角，大小為45.（2）求BD與平面CDE所成角的正弦值.解析： 由（1）可知，DO平面ABCE，BE AE，過O作OFBE，以O為原點，OA、OF、OD分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則(0,0, 2)2,0,0 , (2,2 2,0)2 2, 2,0 . DEBC，設平面CDE的法向量n=(x,y,z).又則 得z=-x，y=x.取x=1，得n=(1,1,-1).又(2 22, 2)( 2,2,0)C

10、DCE ，2 2220220CDxyzCExy ，nn(2 2 2,2)DB ，則BD與平面CDE所成角的正弦值為121 2 2( 1) (2)2cos,.332 3DB n23. 點評：本例的求解策略說明，若方便獲知直線在平面內(nèi)的射影，則可用傳統(tǒng)的構(gòu)造法求直線與平面所成的角；若找直線在平面內(nèi)的射影較難，則可用向量法求直線和平面所成的角. 考點3：二面角的求法例題3： 如圖，在直四棱柱ABCDA1B1C1 D1中, AB=AD=2， ADDC, ACBD,垂足為E.12 3,3,DCAA(1)求證：BDA1C；解析： （方法一）(1)證明：在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，因為AA1平面A

11、BCD，則AA1BD.因為BDAC，所以BD平面AA1C，故BDA1C.(2)求二面角A1-BD-A的大小.解析： 連接A1E，與(1)同理可證，BDA1E，BDAE，所以A1EA為二面角A1-BD-A的平面角.因為ADDC，所以ADC=90.又 ,且ACBD,可得AC=4.又AD2=AEAC，所以AE=1.又所以所以A1EA=60，即二面角A1-BD-A的大小為60.122 3,3ADDCAA，13AA ，11tan3AAAEAAE，（方法二）在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，ADDC，故建立空間直角坐標系如圖.則D(0,0,0),A(2,0,0),設B(x,y,0).因為AB=2，A

12、CBD，10,2 3,0 ,2,0, 3 .CA又所以 (x-2)2+y2=4 -2x+23y=0，解得x=3, 或x=0,y=0（舍）,即（1）因為所以所以 所以DBA1C.2,2 3,0 ,( , ,0)(2, ,0),ACDBx yABxy ，3y 3, 3,0 .B1(3, 3,0)2,2 3, 3 ,DBAC ，1323 2 3030DB AC ，DBAC1 ，（2）平面ABD的法向量為又設平面A1BD的法向量n=(x,y,z)，則 nDA1=2x+3z=0 nDB=3x+y=0，10,0, 3 ,AA 1(2,0, 3)( 3,1,0)DADB ，取得故從而二面角A1-BD-A的大

13、小為60.3x ，3, 3, 2 ,n130( 3) 0321cos,234AA ， n1120AA ， ，n備選題：備選題：如圖，在棱長為1的正方體ABCD -A1B1C1 D1中，E是棱BC的中點，點F是棱CD上的動點.(1)試確定點F的位置，使得D1E平面AB1F;(2)當D1E平面AB1F時，求二面角C1-EF-C的正切值的大小.分析：欲使D1E平面AB1F，只需D1E垂直于平面AB1F內(nèi)的兩條相交直線AF和AB1.而異面直線垂直的問題可利用線面垂直的定義來證明； (2)的解決關(guān)鍵是由二面角的定義，作出棱EF的垂面，計算平面角的大小即可.解析： (1)如圖，連接A1B、DE.因為A1B

14、AB1,A1D1AB1,所以AB1平面A1BED1,所以AB1ED1.又因為E為線段BC的中點，且D1DAF,所以F為線段DC的中點時，有DEAF,則AF平面D1DE,所以D1EAF，故D1E平面AB1F.由（1）知，ACEF.又C1CEF,所以EF平面C1HC,所以C1HC就是二面角C1-EF-C的平面角.在RtC1HC中，所以121,4CCCH11tan.2 2CCC HCCH(2) 連接C1E、C1F、AC、EF,且AC與EF交于點H,連接C1H.1.空間角包括：兩異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角.求空間角首先要把它轉(zhuǎn)化為平面角，然后再用代數(shù)的方法、三角的方法求解；當上述目標實現(xiàn)較困難時，可考慮用向量方法求解.2.構(gòu)造法求空間角的一般步驟是：一作（找），二證，三計算.作（找）出所求的角是計算的基礎.異面直線所成的角一般通過作平行線來作出，而直線與平面所成的角最關(guān)鍵是找一條與平面垂直的垂線，二面角的平面角多采用定義法或線面垂直法等方法來尋找.最后，一般通過解三角形求出角的大小. 一個直角三角形的兩條直角邊長為2和4，沿斜邊高線折成直二面角，則兩直角邊所夾角的余弦值為 .錯解： 不能推出折疊后BDCD，ADCD仍然成立，找不到RtADB，求不出AB的長度，所以導致錯誤.錯解分析