兩角和與差的三角

1、兩角和與差的三角函數(shù)兩角和與差的三角函數(shù)課例背景課例背景 本節(jié)課是北京市第本節(jié)課是北京市第22次重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)次重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研討會(huì)上的一節(jié)研究課研討會(huì)上的一節(jié)研究課.研究的主題是如何研究的主題是如何使用課本內(nèi)容培養(yǎng)學(xué)生的探索與創(chuàng)新精神使用課本內(nèi)容培養(yǎng)學(xué)生的探索與創(chuàng)新精神,把重點(diǎn)放在研究策略的選擇上把重點(diǎn)放在研究策略的選擇上,使用的數(shù)學(xué)使用的數(shù)學(xué)素材是兩角和與差的三角函數(shù)素材是兩角和與差的三角函數(shù).景山學(xué)校是景山學(xué)校是北京市重點(diǎn)中學(xué)北京市重點(diǎn)中學(xué),授課班級(jí)為該校高一數(shù)學(xué)授課班級(jí)為該校高一數(shù)學(xué)試驗(yàn)班試驗(yàn)班. 提出學(xué)習(xí)課題提出學(xué)習(xí)課題 教師教師:前面我們學(xué)習(xí)了單角的三角函數(shù)前面我們學(xué)習(xí)了單角的

2、三角函數(shù),在研究三角函在研究三角函數(shù)時(shí)還常常遇到這樣的問(wèn)題數(shù)時(shí)還常常遇到這樣的問(wèn)題:“已知任意角已知任意角、的三角的三角函數(shù)值函數(shù)值,求求+、-、2的三角函數(shù)值的三角函數(shù)值”,今天我們就今天我們就來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題.(板書課題板書課題) 我們把剛才的問(wèn)題具體化我們把剛才的問(wèn)題具體化,即已知任意角即已知任意角、的三角的三角函數(shù)值函數(shù)值,來(lái)推導(dǎo)以下三組公式來(lái)推導(dǎo)以下三組公式:(大屏幕顯示三組大屏幕顯示三組9個(gè)公個(gè)公式的左端式的左端)?)tan(?)cos(?)sin(?)tan(?)cos(?)sin(?2tan?2cos?2sin確定研究方案確定研究方案 教師教師:我們要研究的共有三組

3、九個(gè)公式我們要研究的共有三組九個(gè)公式,任務(wù)很艱巨任務(wù)很艱巨.從哪個(gè)從哪個(gè)公式開(kāi)始進(jìn)行研究呢公式開(kāi)始進(jìn)行研究呢?是否需要對(duì)每一個(gè)公式進(jìn)行單獨(dú)的是否需要對(duì)每一個(gè)公式進(jìn)行單獨(dú)的研究研究,一一進(jìn)行推導(dǎo)一一進(jìn)行推導(dǎo)?請(qǐng)同學(xué)們思考并提出研究的方案請(qǐng)同學(xué)們思考并提出研究的方案. 學(xué)生學(xué)生1:我認(rèn)為不需要我認(rèn)為不需要,因?yàn)槿绻酪驗(yàn)槿绻?的三角函數(shù)公式的三角函數(shù)公式,用用-代替代替就可以得到就可以得到-的三角函數(shù)公式的三角函數(shù)公式. 教師教師:很好很好,也就是說(shuō)也就是說(shuō),如果和角公式有了如果和角公式有了,差角公式就很容易差角公式就很容易求得求得.那么二倍角公式又如何呢那么二倍角公式又如何呢? 學(xué)生學(xué)生1

4、:可以讓和角公式中的可以讓和角公式中的等于等于便可便可. 教師教師:用用-代替代替的過(guò)程用到了什么數(shù)學(xué)方法的過(guò)程用到了什么數(shù)學(xué)方法? 學(xué)生學(xué)生2:換元的方法換元的方法. 教師教師:那么讓和角公式中的那么讓和角公式中的等于等于又用到什么數(shù)學(xué)方法呢又用到什么數(shù)學(xué)方法呢? (學(xué)生思考片刻、猶豫學(xué)生思考片刻、猶豫) 教師教師:(提示提示)實(shí)際上是使實(shí)際上是使取了一個(gè)特殊值取了一個(gè)特殊值. 學(xué)生學(xué)生3:好像是特殊化的方法好像是特殊化的方法.研究方案研究方案 教師教師:非常好非常好!下面我們一起來(lái)看一下剛才兩位同下面我們一起來(lái)看一下剛才兩位同學(xué)提出的研究方案學(xué)提出的研究方案. (大屏幕顯示研究方案大屏幕顯

5、示研究方案)確定方案確定方案(續(xù)續(xù)) 教師教師:可見(jiàn)可見(jiàn),我們可以先研究和角公式我們可以先研究和角公式,那么在和角公式中又先研那么在和角公式中又先研究誰(shuí)呢究誰(shuí)呢? 學(xué)生學(xué)生4:可先推出可先推出+的正、余弦公式的正、余弦公式,兩者相除便可得正切公式兩者相除便可得正切公式. 教師教師:這又用到什么數(shù)學(xué)方法這又用到什么數(shù)學(xué)方法? 學(xué)生學(xué)生4:化切的方法化切的方法. 教師教師:那正、余弦又先研究誰(shuí)呢那正、余弦又先研究誰(shuí)呢? 學(xué)生學(xué)生5:當(dāng)然是正弦當(dāng)然是正弦. 學(xué)生學(xué)生6:不一定不一定,我認(rèn)為先研究余弦也可以我認(rèn)為先研究余弦也可以,因?yàn)檎液陀嘞一橛嘁驗(yàn)檎液陀嘞一橛嗪瘮?shù)函數(shù). 教師教師:若知道若知

6、道+的正的正(余余)弦弦,如何求余如何求余(正正)弦弦? 學(xué)生學(xué)生7:利用同角關(guān)系中的平方關(guān)系利用同角關(guān)系中的平方關(guān)系. 教師教師:可以可以,不過(guò)同角關(guān)系要涉及開(kāi)方不過(guò)同角關(guān)系要涉及開(kāi)方,還有其他思路嗎還有其他思路嗎? 學(xué)生學(xué)生6:還可以利用誘導(dǎo)公式還可以利用誘導(dǎo)公式.研究方案研究方案(續(xù)續(xù)) 教師教師:能說(shuō)得詳細(xì)些嗎能說(shuō)得詳細(xì)些嗎? 學(xué)生學(xué)生6:例如已知例如已知 ,利用利用 便可得便可得 . 教師教師:我們一起來(lái)看一下這個(gè)研究思路我們一起來(lái)看一下這個(gè)研究思路. (大屏幕顯示研究方案大屏幕顯示研究方案)sin()(2sin)cos()cos(?)tan(?)cos( ?)sin( 化切誘導(dǎo)公式

7、確定研究方案確定研究方案(續(xù)二續(xù)二) 教師教師:通過(guò)剛才的分析通過(guò)剛才的分析,我們現(xiàn)在得到了一個(gè)完整的研究方案我們現(xiàn)在得到了一個(gè)完整的研究方案,同同時(shí)我們應(yīng)該得到一個(gè)啟示時(shí)我們應(yīng)該得到一個(gè)啟示,也就是我們?cè)谘芯繂?wèn)題的時(shí)候也就是我們?cè)谘芯繂?wèn)題的時(shí)候,應(yīng)該應(yīng)該講究策略講究策略,應(yīng)該抓住問(wèn)題的主要矛盾應(yīng)該抓住問(wèn)題的主要矛盾,下面我們就集中精力來(lái)解下面我們就集中精力來(lái)解決這個(gè)主要矛盾決這個(gè)主要矛盾,即研究即研究+的正的正(余余)弦公式弦公式. 教師教師:研究研究+的正弦或余弦公式的正弦或余弦公式,我們用什么做工具呢我們用什么做工具呢? (學(xué)生思考學(xué)生思考) 教師教師:(提示提示)回顧一下我們前面研究同

8、角關(guān)系和誘導(dǎo)公式的時(shí)候回顧一下我們前面研究同角關(guān)系和誘導(dǎo)公式的時(shí)候,利用了什么工具利用了什么工具? 學(xué)生學(xué)生8:利用直角坐標(biāo)系中的單位圓及單位圓中的三角函數(shù)線利用直角坐標(biāo)系中的單位圓及單位圓中的三角函數(shù)線. 教師教師:還有其他工具嗎還有其他工具嗎? 學(xué)生學(xué)生9:還可以利用直角三角形作為研究的工具還可以利用直角三角形作為研究的工具,初中我們主要用初中我們主要用這種方法這種方法. 學(xué)生學(xué)生8:我認(rèn)為利用直角三角形作為研究工具有一定的局限性我認(rèn)為利用直角三角形作為研究工具有一定的局限性,它它只能研究銳角三角函數(shù)只能研究銳角三角函數(shù),對(duì)于任意角的情形還需要加以推廣對(duì)于任意角的情形還需要加以推廣.小組研

9、究學(xué)習(xí)小組研究學(xué)習(xí) 教師教師:以上兩位同學(xué)說(shuō)的都很有道理以上兩位同學(xué)說(shuō)的都很有道理.下面就請(qǐng)同學(xué)根下面就請(qǐng)同學(xué)根據(jù)我們提出的方案據(jù)我們提出的方案,按照我們課前分好的小組在組內(nèi)進(jìn)按照我們課前分好的小組在組內(nèi)進(jìn)行研究行研究,重點(diǎn)是推導(dǎo)第一個(gè)公式重點(diǎn)是推導(dǎo)第一個(gè)公式,有時(shí)間的小組可以推出有時(shí)間的小組可以推出所有的公式所有的公式.各組將推導(dǎo)的方法和過(guò)程寫在白紙上各組將推導(dǎo)的方法和過(guò)程寫在白紙上,一會(huì)一會(huì)兒我們進(jìn)行交流兒我們進(jìn)行交流. 將全班劃分為將全班劃分為10個(gè)小組個(gè)小組,在各小組內(nèi)進(jìn)行在各小組內(nèi)進(jìn)行.教師引導(dǎo)教師引導(dǎo),學(xué)學(xué)生自主探究生自主探究,合作學(xué)習(xí)合作學(xué)習(xí),交流研究方法和研究成果交流研究方法和

10、研究成果.各組各組組內(nèi)展開(kāi)討論組內(nèi)展開(kāi)討論,提出方法并自主探索公式提出方法并自主探索公式,教師在學(xué)生探教師在學(xué)生探索的過(guò)程中進(jìn)行巡視索的過(guò)程中進(jìn)行巡視,了解學(xué)生的進(jìn)展情況了解學(xué)生的進(jìn)展情況.發(fā)現(xiàn)有的組發(fā)現(xiàn)有的組在探索的過(guò)程中遇到了困難在探索的過(guò)程中遇到了困難,老師根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行了老師根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行了引導(dǎo)引導(dǎo),并參與了某些組的討論并參與了某些組的討論.在整個(gè)過(guò)程中在整個(gè)過(guò)程中,同學(xué)們都同學(xué)們都能積極思考問(wèn)題能積極思考問(wèn)題,參與的熱情很高參與的熱情很高,提出了很多解決的思提出了很多解決的思路路 班級(jí)討論研究班級(jí)討論研究 要求各小組簡(jiǎn)述解決方案以及解決的思維要求各小組簡(jiǎn)述解決方案以及解決的思維過(guò)

11、程并展示研究結(jié)果過(guò)程并展示研究結(jié)果. 教師教師:我們的研究到此先暫告一個(gè)段落我們的研究到此先暫告一個(gè)段落.下面下面請(qǐng)各組的同學(xué)來(lái)展示一下你們的研究成果請(qǐng)各組的同學(xué)來(lái)展示一下你們的研究成果.要求用實(shí)物投影打出你們的推導(dǎo)過(guò)程要求用實(shí)物投影打出你們的推導(dǎo)過(guò)程,簡(jiǎn)述簡(jiǎn)述你們的解決方法、思維過(guò)程你們的解決方法、思維過(guò)程,語(yǔ)言要盡量簡(jiǎn)語(yǔ)言要盡量簡(jiǎn)練練.研究結(jié)果一研究結(jié)果一 第一小組第一小組:(由學(xué)生由學(xué)生9代表第一代表第一小組發(fā)言小組發(fā)言) 學(xué)生學(xué)生9:我們的方法主要是通我們的方法主要是通過(guò)構(gòu)造直角三角形先推導(dǎo)出過(guò)構(gòu)造直角三角形先推導(dǎo)出正弦的和角公式正弦的和角公式. 推導(dǎo)過(guò)程推導(dǎo)過(guò)程:如圖如圖1. sin

12、coscossin )sin(OEOFOFFGEFEHOEEFOEFGOEEHOEFGEHOEHDEHOEED研究結(jié)果一研究結(jié)果一(續(xù)續(xù)) 同理可以推導(dǎo)出余弦的和角公式同理可以推導(dǎo)出余弦的和角公式(略略). (同學(xué)們和教師一起鼓掌同學(xué)們和教師一起鼓掌) 教師教師:非常精彩非常精彩,通過(guò)巧妙構(gòu)造直角三角形來(lái)通過(guò)巧妙構(gòu)造直角三角形來(lái)推導(dǎo)推導(dǎo). 學(xué)生學(xué)生9:不過(guò)我們只研究了不過(guò)我們只研究了、及及+為銳為銳角的情況角的情況,還需將其推廣到任意角的情形還需將其推廣到任意角的情形. 教師教師:希望你們能進(jìn)一步完成你們的研究希望你們能進(jìn)一步完成你們的研究.研究結(jié)果二研究結(jié)果二 第二小組第二小組:(由學(xué)生由學(xué)

13、生10代表第二小組發(fā)言代表第二小組發(fā)言) 學(xué)生學(xué)生10:我們主要是通過(guò)在單位圓中構(gòu)我們主要是通過(guò)在單位圓中構(gòu)造三角形全等進(jìn)而得到線段相等造三角形全等進(jìn)而得到線段相等,在此在此基礎(chǔ)上先推出余弦的和角公式基礎(chǔ)上先推出余弦的和角公式cos(+)=coscos-sinsin. 推導(dǎo)過(guò)程推導(dǎo)過(guò)程:如圖如圖2,由由P1OP3 P4OP2得得|P1P3|=|P2P4|,再由兩點(diǎn)間距離公式再由兩點(diǎn)間距離公式,得得 cos(+)-12+sin2(+)=cos-cos(-)2+sin-sin(-)2, 兩邊平方后兩邊平方后,解得解得 cos(+)=coscos-sinsin.研究結(jié)果二研究結(jié)果二(續(xù)續(xù)) 然后在此

14、公式的基礎(chǔ)上推出了其他的然后在此公式的基礎(chǔ)上推出了其他的8個(gè)公個(gè)公式式(投影略投影略). (同學(xué)與教師鼓掌同學(xué)與教師鼓掌) 教師教師:這組同學(xué)的推導(dǎo)也很有特點(diǎn)這組同學(xué)的推導(dǎo)也很有特點(diǎn),而且他們而且他們已經(jīng)推出了所有的公式已經(jīng)推出了所有的公式,效率非常高效率非常高,能說(shuō)說(shuō)能說(shuō)說(shuō)你們的經(jīng)驗(yàn)嗎你們的經(jīng)驗(yàn)嗎 學(xué)生學(xué)生10:我們?cè)谕瞥龅谝粋€(gè)公式后進(jìn)行了分我們?cè)谕瞥龅谝粋€(gè)公式后進(jìn)行了分工工,一人推導(dǎo)一組一人推導(dǎo)一組,另有一人專門整理最后的另有一人專門整理最后的結(jié)論結(jié)論.教師教師:統(tǒng)籌安排統(tǒng)籌安排,效果果然不一樣效果果然不一樣.研究結(jié)果三研究結(jié)果三 第三小組第三小組:(由學(xué)生由學(xué)生11代表第三小代表第三小組

15、發(fā)言組發(fā)言) 學(xué)生學(xué)生11:在在P2OP4中使用余弦定中使用余弦定理推出理推出cos(+),如圖如圖3. |P2P4|2=|OP2|2+|OP4|2-2|OP2|OP4|cos(+), cos(-)2+sin-sin(-)2=1+1-2cos(+), 整理整理,得得 cos(+)=coscos-sinsin.研究結(jié)果三研究結(jié)果三(續(xù)續(xù)) 教師教師:第二、第三小組的方法有無(wú)類似之處第二、第三小組的方法有無(wú)類似之處? 學(xué)生學(xué)生12:都是借助直角坐標(biāo)系中的單位圓構(gòu)都是借助直角坐標(biāo)系中的單位圓構(gòu)造三角形造三角形,利用線段相等或三角形中的邊角利用線段相等或三角形中的邊角關(guān)系構(gòu)造出以關(guān)系構(gòu)造出以(+)為未

16、知數(shù)的方程為未知數(shù)的方程. 教師教師:其他小組有無(wú)不同的方法其他小組有無(wú)不同的方法,沒(méi)有推出來(lái)沒(méi)有推出來(lái)的小組可以講講思路的小組可以講講思路.研究結(jié)果四研究結(jié)果四 學(xué)生學(xué)生13:我們的方法與第三小組方法類似我們的方法與第三小組方法類似,如圖如圖4,在在P2OP3中使用余弦定理中使用余弦定理 |P2P3|2=|OP2|2+|OP3|2-2|OP2|OP3|cos, cos-cos(+)2+sin-sin(+)2 =1+1-2cos, 得得cos=coscos(+)+sinsin(+). 學(xué)生學(xué)生13:到此到此,我們用我們用、+的三角函數(shù)表的三角函數(shù)表示出了示出了的余弦的余弦.但是我們不知道該怎么

17、推但是我們不知道該怎么推出余弦的和角出余弦的和角(差角差角)公式公式.(表情很困惑表情很困惑)研究結(jié)果四研究結(jié)果四(續(xù)續(xù)) 教師教師:(提示提示)你們想想你們想想,角角能用能用,+來(lái)表示嗎來(lái)表示嗎? 學(xué)生學(xué)生13:=(+)-. 教師教師:那你們覺(jué)得自己是否已經(jīng)推導(dǎo)出余弦的和角或差那你們覺(jué)得自己是否已經(jīng)推導(dǎo)出余弦的和角或差角公式角公式? 學(xué)生學(xué)生13:(先是疑惑先是疑惑,后恍然大悟、興奮后恍然大悟、興奮)已經(jīng)出來(lái)了已經(jīng)出來(lái)了,因因?yàn)闉?cos(+)-=coscos(+)+sinsin(+), 令令+=,=,則有則有 cos(-)=coscos+sinsin. 教師教師:再一次用到了換元的方法再一

18、次用到了換元的方法. 研究結(jié)果五研究結(jié)果五 學(xué)生學(xué)生14:我們還沒(méi)有完全推出來(lái)我們還沒(méi)有完全推出來(lái),不過(guò)不過(guò)受第一小組同學(xué)的啟發(fā)受第一小組同學(xué)的啟發(fā),我們認(rèn)為已我們認(rèn)為已經(jīng)有了思路經(jīng)有了思路.如圖如圖5:由由P1OP4 P3OP2得得|P1P4|=|P2P3|.(過(guò)程略過(guò)程略) 教師教師:以上五個(gè)小組的同學(xué)上來(lái)展示以上五個(gè)小組的同學(xué)上來(lái)展示了他們的研究成果了他們的研究成果,都非常的精彩都非常的精彩,有有的方法是老師也沒(méi)有想到的的方法是老師也沒(méi)有想到的,說(shuō)明同說(shuō)明同學(xué)們進(jìn)行了認(rèn)真的思考和討論學(xué)們進(jìn)行了認(rèn)真的思考和討論.由于由于時(shí)間的關(guān)系時(shí)間的關(guān)系,我們的展示先到這里我們的展示先到這里.沒(méi)沒(méi)有完成

19、的小組課下繼續(xù)完成所有公有完成的小組課下繼續(xù)完成所有公式的推導(dǎo)式的推導(dǎo).課堂小結(jié)課堂小結(jié) 教師教師:我們這節(jié)課主要推導(dǎo)了我們這節(jié)課主要推導(dǎo)了+、-、2的三角公式的三角公式,在推導(dǎo)公式前在推導(dǎo)公式前,我們首先理清了我們首先理清了這些公式間的發(fā)展脈絡(luò)這些公式間的發(fā)展脈絡(luò),找出了解決問(wèn)題的找出了解決問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)出發(fā)點(diǎn),同學(xué)們能否畫出這些公式的一個(gè)結(jié)同學(xué)們能否畫出這些公式的一個(gè)結(jié)構(gòu)圖構(gòu)圖?(由學(xué)生由學(xué)生15用投影展示自己的結(jié)構(gòu)圖用投影展示自己的結(jié)構(gòu)圖) 教師教師:我這里也畫了一個(gè)我這里也畫了一個(gè),供同學(xué)們參考供同學(xué)們參考.希希望每位同學(xué)回去自己也畫一個(gè)望每位同學(xué)回去自己也畫一個(gè),可以跟老師可以跟老師的不一樣的不一樣.(大屏幕顯示大屏幕顯示(略略)課堂小結(jié)課堂小結(jié)(續(xù)續(xù)) 教師教師:在我們推導(dǎo)公式的過(guò)程中都用到了那些數(shù)學(xué)的思想在我們推導(dǎo)公式的過(guò)程中都用到了那些數(shù)學(xué)的思想方法方法? 學(xué)生學(xué)生16:通過(guò)建立坐標(biāo)系和單位圓來(lái)解決問(wèn)題通過(guò)建立坐標(biāo)系和單位圓來(lái)解決問(wèn)題. 教師教師:這種通過(guò)建立坐標(biāo)系來(lái)解決問(wèn)題的方法叫坐標(biāo)法這種通過(guò)建立坐標(biāo)系來(lái)解決問(wèn)題的方法叫坐標(biāo)法(解解析法析法),是平面解析幾何是平面解析幾何(高二學(xué)習(xí)高二學(xué)習(xí))中非常重要的一種方法