第二章隨機(jī)變量

1、第二章第二章 隨機(jī)變量隨機(jī)變量第一節(jié)第一節(jié) 隨機(jī)變量及其分布函數(shù)隨機(jī)變量及其分布函數(shù)第二節(jié)第二節(jié) 離散型隨機(jī)變量及其分布離散型隨機(jī)變量及其分布第三節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布第三節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布 第四節(jié)隨機(jī)變量函數(shù)的分布第四節(jié)隨機(jī)變量函數(shù)的分布第一節(jié)第一節(jié) 隨機(jī)變量及其分布函數(shù)隨機(jī)變量及其分布函數(shù).)()( 稱之為隨機(jī)變量稱之為隨機(jī)變量，上的實值單值函數(shù)上的實值單值函數(shù)就得到一個定義在就得到一個定義在，這樣，這樣與之對應(yīng)與之對應(yīng)，有一個實數(shù)，有一個實數(shù)每一個元素每一個元素中中如果對如果對，的樣本空間為的樣本空間為設(shè)隨機(jī)試驗設(shè)隨機(jī)試驗eXXeXe 定義定義1 1)(xXPxF 稱為隨機(jī)變量稱

2、為隨機(jī)變量X的分布的分布函數(shù)。函數(shù)。定義定義2:設(shè)設(shè)X是一隨機(jī)變量，是一隨機(jī)變量，x為任意實數(shù)，函數(shù)為任意實數(shù)，函數(shù)（也可以定義其他形式） 為為單單調(diào)調(diào)不不減減的的函函數(shù)數(shù)；xF)1(:分分布布函函數(shù)數(shù)的的性性質(zhì)質(zhì)上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回；，且且）（0)(lim)( 1)(lim)(1)(0 2 xFFxFFxFxx，即即分分布布函函數(shù)數(shù)右右連連續(xù)續(xù)。）（ )()0( 3xFxF 如果一個函數(shù)具有上述性質(zhì)，則一定是某個隨機(jī)如果一個函數(shù)具有上述性質(zhì)，則一定是某個隨機(jī)變量變量 X 的分布函數(shù)的分布函數(shù). 也就是說，性質(zhì)也就是說，性質(zhì)(1)-(3)是鑒別一是鑒別一個函數(shù)是否是某個函數(shù)是否是某

3、r.v的分布函數(shù)的充分必要條件的分布函數(shù)的充分必要條件.試說明試說明F(x)能否是某個能否是某個r.v 的分布函數(shù)的分布函數(shù). 其它其它設(shè)有函數(shù)設(shè)有函數(shù)例例00sin)( xxxF解：解： 注意到函數(shù)注意到函數(shù) F(x)在在 上下降，不滿足性上下降，不滿足性質(zhì)質(zhì)(1)，故，故F(x)不能是分布函數(shù)不能是分布函數(shù).,2 不滿足性質(zhì)不滿足性質(zhì)(2)， 可見可見F(x)不不能是能是r.v 的分布函數(shù)的分布函數(shù).或者或者0)(lim)( xFFx算算下下列列事事件件的的概概率率：利利用用分分布布函函數(shù)數(shù)，可可以以計計 xFxXP 1 0 xFxFxXP 12210 xFxFxXxP 0 xFxXP 0

4、01221 xFxFxXxP)(xFxXP 1221xFxFxXxP 因此，只要知道了隨機(jī)變量因此，只要知道了隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，它的統(tǒng)的分布函數(shù)，它的統(tǒng)計特性就可以得到全面的描述計特性就可以得到全面的描述. 第二節(jié)第二節(jié) 離散型隨機(jī)變量及其分布離散型隨機(jī)變量及其分布分布律常用表格形式表示如下：分布律常用表格形式表示如下：,.2 , 1 kpxXPkk 設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為的可能取值為xk (k=1,2,),事事件件 發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為pk ,即即稱為稱為隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的概率分布或分布律的概率分布或分布律。kxX 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回pkp1p

5、2pkX x1x2xk 如果隨機(jī)變量所有的可能取值為有限個或可數(shù)無如果隨機(jī)變量所有的可能取值為有限個或可數(shù)無限多個，則稱這種隨機(jī)變量為限多個，則稱這種隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量.分布律的兩條分布律的兩條基本性質(zhì)基本性質(zhì)： 11)2(kkp0)1( kp, 2 , 1 k上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回用這兩條性質(zhì)判斷用這兩條性質(zhì)判斷一個數(shù)列是否是一個數(shù)列是否是分布律分布律例例 從從1，2，3，4，5個數(shù)中任取三個數(shù)，以個數(shù)中任取三個數(shù)，以X表示表示 三個數(shù)中最大者，求三個數(shù)中最大者，求 X的分布律的分布律.解解 X的可能取值為的可能取值為3，4，5所以所以X的分布律為：的分布律為：

6、 3 4 5P0.60.10.3分布律與分布函數(shù)的關(guān)系分布律與分布函數(shù)的關(guān)系量量的的分分布布情情況況。都都能能描描述述離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)變變分分布布函函數(shù)數(shù)的的分分布布律律，用用分分布布律律和和已已知知分分布布函函數(shù)數(shù)也也能能確確定定布布函函數(shù)數(shù)，的的分分布布律律可可以以求求出出其其分分已已知知離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量XX (1)確定常數(shù)確定常數(shù)a的值的值; (2)求求的分布函數(shù)的分布函數(shù).21pa 31因此因此61 aa 31211解解 (1)由分布律的性質(zhì)知由分布律的性質(zhì)知的分布律為的分布律為設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量例例X (2)(2)由分布函數(shù)定義得由分布函數(shù)定義得的分布函數(shù)為：的分布

7、函數(shù)為： 1 1 21 65 10 21 0 0 xxxxxF上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 由例題可看出離散型隨機(jī)變量的由例題可看出離散型隨機(jī)變量的F(x) 的圖形是的圖形是階梯狀的圖形階梯狀的圖形.習(xí)題冊兩點分布兩點分布 若在一次試驗中若在一次試驗中X只可能取只可能取x1 或或x2 兩值，它的兩值，它的分布律是分布律是則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為p的兩點分布的兩點分布. ,1),(0 121pxXPppxXP 特別，當(dāng)特別，當(dāng)x1=0,x2=1時兩點分布稱為（時兩點分布稱為（01）分布）分布.簡記為簡記為X(0-1)分布。分布。X 0 1pk 1-p p上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回

8、 對于一個隨機(jī)試驗，若它的樣本空間只包含兩個對于一個隨機(jī)試驗，若它的樣本空間只包含兩個元素，元素，,21ee 即即分布的隨機(jī)變量分布的隨機(jī)變量上定義一個服從上定義一個服從則總能在則總能在)10( , 1;, 0)(21eeeeeXX當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) , 1 , 0)1(nkppCkXPknkkn 若離散型隨機(jī)變量若離散型隨機(jī)變量X的分布律為的分布律為二項分布二項分布其中其中0p0是一常數(shù)，是一常數(shù)，n是任意正整數(shù)），則是任意正整數(shù)），則對任意一固定的非負(fù)整數(shù)對任意一固定的非負(fù)整數(shù)k，有有 ekppCkknnknknn!1lim定理的條件定理的條件npn=，意味著意味著n很大時候很大時候pn必定很小。必

9、定很小。因此當(dāng)因此當(dāng)n很大，很大，p很小時有近似公式很小時有近似公式 ekppCkknkkn!)1 (其中其中=np。 .!的的值值有有表表可可查查 ekk上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回近似值的效果頗佳近似值的效果頗佳. knkknppC 1作為作為）（npekk ! 在實際計算中，當(dāng)在實際計算中，當(dāng) 時用時用 05. 020 pn，.10100時時效效果果更更佳佳，而而當(dāng)當(dāng) npn泊松泊松(Poisson) 分布分布上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回其中其中0為常數(shù)為常數(shù),則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松分布，記的泊松分布，記為為X P( )。設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為的分布律為

10、 , 2 , 1 , 0! kkekXPk 泊松分布可以作為描述大量試驗中稀有事件出現(xiàn)泊松分布可以作為描述大量試驗中稀有事件出現(xiàn)的次數(shù)的次數(shù)k=0,1,2,的概率分布情況的一個數(shù)學(xué)模型的概率分布情況的一個數(shù)學(xué)模型.比比如，大量產(chǎn)品中抽樣檢查時得到的不合格品數(shù)；一個如，大量產(chǎn)品中抽樣檢查時得到的不合格品數(shù)；一個集團(tuán)中員工生日是元旦的人數(shù)；一頁中印刷錯誤出現(xiàn)集團(tuán)中員工生日是元旦的人數(shù)；一頁中印刷錯誤出現(xiàn)的數(shù)目；數(shù)字通訊中傳輸數(shù)字時發(fā)生誤碼的個數(shù)等，的數(shù)目；數(shù)字通訊中傳輸數(shù)字時發(fā)生誤碼的個數(shù)等，都近似服從泊松分布都近似服從泊松分布.除此之外，它也可以作為下列隨機(jī)變量的概率分布的除此之外，它也可以作為

11、下列隨機(jī)變量的概率分布的數(shù)學(xué)模型：在任給一段固定的時間間隔內(nèi)，數(shù)學(xué)模型：在任給一段固定的時間間隔內(nèi)，（1）由某塊放射性物質(zhì)放射出的經(jīng)過計算器的）由某塊放射性物質(zhì)放射出的經(jīng)過計算器的 粒子；粒子； （2）某地區(qū)發(fā)生交通事故的次數(shù)；）某地區(qū)發(fā)生交通事故的次數(shù)；（3）來到某公共設(shè)施要求給予服務(wù)的顧客數(shù)）來到某公共設(shè)施要求給予服務(wù)的顧客數(shù).例例 一家商店采用科學(xué)管理，由該商店過去的銷售記錄一家商店采用科學(xué)管理，由該商店過去的銷售記錄知道，某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù)知道，某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù)=5的泊松分的泊松分布來描述，為了以布來描述，為了以95%以上的把握保證不脫銷，問商店以上的把握保證

12、不脫銷，問商店在月底至少應(yīng)進(jìn)在月底至少應(yīng)進(jìn)某種商品多少件？某種商品多少件？解解設(shè)該商品每月的銷售數(shù)為設(shè)該商品每月的銷售數(shù)為X,由已知，由已知，XP(5)設(shè)商店在月底應(yīng)進(jìn)設(shè)商店在月底應(yīng)進(jìn)某種商品某種商品m件件, ,求滿足求滿足PXm0.95 的最小的的最小的m .進(jìn)貨數(shù)進(jìn)貨數(shù)銷售數(shù)銷售數(shù)求滿足求滿足 PXm0.95的最小的的最小的m.查泊松分布表得查泊松分布表得,032. 0!5105 kkkePXm 0.05也即也即于是得于是得 m+1=10, 1505. 0!5mkkke或或即即m=9件件,068. 0!595 kkke 例例 考慮如下試驗：在區(qū)間考慮如下試驗：在區(qū)間0,1上任取一點，記錄它

13、的上任取一點，記錄它的坐標(biāo)坐標(biāo)X，那么，那么X是一隨機(jī)變量，根據(jù)試驗條件可以認(rèn)為是一隨機(jī)變量，根據(jù)試驗條件可以認(rèn)為X取到取到0,1上任一點的可能性相同，求上任一點的可能性相同，求X的分布函數(shù)。的分布函數(shù)。 當(dāng)當(dāng)x3 .2720 )31()32(223C 3)( XPAP由由于于,32 0333)31()32(C )(BP設(shè)設(shè) B表示表示“至少有兩次觀測值大于至少有兩次觀測值大于3”,設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度具有概率密度則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的指數(shù)分布。的指數(shù)分布。0001)( xxexFx 指數(shù)分布指數(shù)分布X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 上一頁上一頁下一頁下一頁返回

14、返回)( EX記記為為 , 0, 0 , 0,)(xxexfx )0( f(x)和和F(x)可用圖形表示可用圖形表示)(xfxO )(xFxO1上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回指數(shù)分布的重要性質(zhì)指數(shù)分布的重要性質(zhì) “無記憶性無記憶性”.|0,tXPsXtsXPts ，有，有對任意對任意證：證：,|sXPtsXsXPsXtsXP sXPtsXP 11sXPtsXP )(1)(1sFtsF stsee )(te tXP 例例 設(shè)某類日光燈管的使用壽命設(shè)某類日光燈管的使用壽命 X E(1/2000)(單位單位:小時小時).(1)任取一只這種燈管任取一只這種燈管, 求能正常使用求能正常使用1000小時

15、以上的小時以上的概率概率. (2) 有一只這種燈管已經(jīng)正常使用了有一只這種燈管已經(jīng)正常使用了2000 小時以上小時以上,求求還能使用還能使用1000小時以上的概率小時以上的概率. . 0, 0, 0,e1)(20001xxxFxX 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為解解1000)1( XP10001 XP)1000(1F .607. 0e21 20003000)2( XXP1000 XP.607. 0e21 正態(tài)分布正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為的概率密度為 xexfx222)(21)( 其中其中 , ( 0)為常數(shù)為常數(shù),則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 , 的正態(tài)分的正態(tài)分布布,記為記為X

16、N( , 2).X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 dtexFxt 222)(21)( 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征;)1(對稱對稱曲線關(guān)于曲線關(guān)于x 越越小小。落落在在這這個個區(qū)區(qū)間間上上的的概概率率越越遠(yuǎn)遠(yuǎn)，離離樣樣長長度度的的區(qū)區(qū)間間，當(dāng)當(dāng)區(qū)區(qū)間間值值越越小小，這這表表明明對對于于同同越越遠(yuǎn)遠(yuǎn)，離離取取得得最最大大值值時時當(dāng)當(dāng)Xxfxxfx )(;21)(,)2( ;)3(處有拐點處有拐點曲線在曲線在x ;)4(軸為漸近線軸為漸近線曲線以曲線以 x為位置參數(shù)。為位置參數(shù)。故稱故稱軸作平移變換軸作平移變換著著只是沿只是沿圖形的形狀不變圖形的形

17、狀不變的大小時的大小時改變改變當(dāng)固定當(dāng)固定 ;,)(,)5(xxf.)(,)6(為為精精度度參參數(shù)數(shù)稱稱的的增增大大而而變變得得平平坦坦，故故隨隨圖圖形形的的形形狀狀的的大大小小時時改改變變當(dāng)當(dāng)固固定定 xf 只要某一個隨機(jī)變量受到許多只要某一個隨機(jī)變量受到許多相互獨(dú)立隨機(jī)因素相互獨(dú)立隨機(jī)因素的影響，的影響，而每個個別因素的影響都而每個個別因素的影響都不能起決定性不能起決定性作用，那么就可以作用，那么就可以斷定隨機(jī)變量服從或近似服從正態(tài)分布斷定隨機(jī)變量服從或近似服從正態(tài)分布,例如測量誤差例如測量誤差, 人人的生理特征尺寸如身高、體重等的生理特征尺寸如身高、體重等 ;正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品正常情況

18、下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸尺寸:直徑、長度、重量高度等都近似服從正態(tài)分布直徑、長度、重量高度等都近似服從正態(tài)分布.正態(tài)分布的應(yīng)用與背景正態(tài)分布的應(yīng)用與背景 )(x xO11 參數(shù)參數(shù) =0， =1的正態(tài)分布稱為的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為，記為XN(0,1).其概率密度函數(shù)和分布函數(shù)分別用其概率密度函數(shù)和分布函數(shù)分別用 和和 表示，即表示，即)(x )(x 2221)(xex dtexxt 2221)( ，易知易知)(1)(xx xXPxXP 1xXP 1xXP 由圖形：由圖形：.225. 1),1 , 0( XPNX求求已已知知解解225. 1 XP)25. 1 ()2( 8944.

19、09772. 0 例例 . 0828. 0 ).1 , 0(),(2NXZNX 則則若若引理引理說明：說明：任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變?nèi)魏我粋€一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. .dXcP 因因而而. cd dXcP例例 某儀器需安裝一個電子元件，要求電子元件的使某儀器需安裝一個電子元件，要求電子元件的使用壽命不低于用壽命不低于1000小時即可?，F(xiàn)有甲乙兩廠的電子元小時即可?，F(xiàn)有甲乙兩廠的電子元件可供選擇，甲廠生產(chǎn)的電子元件的壽命服從正態(tài)分件可供選擇，甲廠生產(chǎn)的電子元件的壽命服從正態(tài)分布布N(1100,502), 乙廠生產(chǎn)的電子元件的壽命分布服

20、從乙廠生產(chǎn)的電子元件的壽命分布服從正態(tài)分布正態(tài)分布N(1150,802)。問應(yīng)選擇哪個廠生產(chǎn)的產(chǎn)品呢？問應(yīng)選擇哪個廠生產(chǎn)的產(chǎn)品呢？若要求元件的壽命不低于若要求元件的壽命不低于1050小時，又如何？小時，又如何？解解設(shè)甲、乙兩廠的電子元件的壽命分別為設(shè)甲、乙兩廠的電子元件的壽命分別為X和和Y，)80,1150()50,1100(22NYNX，則則.10001000的大小的大小和和依題意要比較概率依題意要比較概率 YPXP兩個概率如下：兩個概率如下：100011000 XPXP 50110010001)2(1 )2( 9772. 0 100011000 YPYP 80115010001)875.

21、1(1 )875. 1( 9700. 0 比較兩個概率的大小就知應(yīng)選甲廠的產(chǎn)品比較兩個概率的大小就知應(yīng)選甲廠的產(chǎn)品. ？問問車車門門高高度度應(yīng)應(yīng)如如何何確確定定，設(shè)設(shè)男男子子身身高高以以下下來來設(shè)設(shè)計計的的的的機(jī)機(jī)會會在在頭頭按按成成年年男男子子與與車車門門頂頂碰碰公公共共汽汽車車車車門門的的高高度度是是)6,170(.%12NX例例解解)61706170()( hXPhXP99. 0)6170( h查表得查表得99. 0901.90)3.32( 故取故取，3.326170 h.184 h即即第四節(jié)第四節(jié) 隨機(jī)變量函數(shù)的分布隨機(jī)變量函數(shù)的分布 設(shè)設(shè)y=g(x)為一個通常的連續(xù)函數(shù)，為一個通常的

22、連續(xù)函數(shù)，X為定義在概率為定義在概率空間上的隨機(jī)變量，令空間上的隨機(jī)變量，令Y=g(X)，那么那么Y也是一個定義在也是一個定義在概率空間上的隨機(jī)變量。概率空間上的隨機(jī)變量。上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X 的分布已知，的分布已知，Y=g (X) ，如何由，如何由 X 的分布求出的分布求出 Y 的分布？的分布？一一 、 設(shè)設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，是離散型隨機(jī)變量，Y是是X的函數(shù)的函數(shù)Y=g(X)，那，那么么Y也是離散型隨機(jī)變量。也是離散型隨機(jī)變量。對此類問題，先由對此類問題，先由X的取值的取值xk，（，（ k=1,2）求出求出Y=g(X)的所有取值為的所有取值為yk=g(x

23、k)，( k=1,2)；10 y=g(x) 一對一一對一 ( xk yk )則由則由X的分布律的分布律PX= xk =pk, k=1,2，便可得便可得Y的分布律：的分布律：PY= yk =pk, k=1,220 y=g(x) 多對一多對一 kkkkyxxxn 211nikkixXPyYP nikixXP1(有限可加性有限可加性)解：由解：由X的分布律可得的分布律可得 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 X -1 0 1 2 3 X-1 -2 -1 0 1 2-2X2 -2 0 -2 -8 -18例例 設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為的分布律為 X -1 0 1 2 3 P

24、0.2 0.1 0.1 0.3 0.3求：（求：（1）Y=X-1； （2） Y= - 2X2的分布律。的分布律。(2) Y= - 2X2分布律為分布律為Y -18 -8 -2 0 P 0.3 0.3 0.3 0.1由上表易得由上表易得Y的的 分布律分布律（1）Y=X-1的分布律為的分布律為Y -2 -1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3二、二、 設(shè)設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，具有概率密度為連續(xù)型隨機(jī)變量，具有概率密度 fX( x )。又又Y=g(X)，在大部分情況下在大部分情況下Y也是連續(xù)型隨機(jī)變量，也是連續(xù)型隨機(jī)變量，求求Y的概率密度的概率密度fY ( y )。)(1yFYY

25、的的分分布布函函數(shù)數(shù)）先先求求出出（)()(yXgPyYPyFY )()()(2yFyfYyFYYY 的的概概率率密密度度便便可可求求出出）再再由由（)(yhXP dxxfyhX )()(例例 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量XN(0,1)，求求Y=X2的概率密度的概率密度fY(y).2221)(xXexf 解解 X的概率密度為的概率密度為Y的概率密度為的概率密度為00021)(221 yyeyyfyY 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回),(yFYY的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為記記)(2yXPyYPyFY 那么那么0)(0 yFyY時，時，當(dāng)當(dāng))(02yXPyFyY 時，時，當(dāng)當(dāng)yXyP dxxfyyX )(

26、dxeyyx 2221 dxeyx 022212 x定理定理 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度具有概率密度fX(x)。函數(shù)函數(shù)g(x)為為（-，+）內(nèi)的嚴(yán)格單調(diào)的可導(dǎo)函數(shù)，則）內(nèi)的嚴(yán)格單調(diào)的可導(dǎo)函數(shù)，則Y=g(X)也也是一個連續(xù)型隨機(jī)變量，且是一個連續(xù)型隨機(jī)變量，且Y的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為其其他他 yyhyhfyfXY0)( )()(當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù)y=g(x)可導(dǎo)且為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)時，有：可導(dǎo)且為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)時，有：其中其中x=h(y)是是y=g(x)的反函數(shù)，的反函數(shù)， =min（g(-),g(+)）,=max（g(-),g(+)）.上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回例例 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)

27、變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度具有概率密度其他其他4008)( xxxfX求求Y=2X+1的概率密度的概率密度fY(y).解解y=2x+1為嚴(yán)格單調(diào)且可導(dǎo)的函數(shù)，為嚴(yán)格單調(diào)且可導(dǎo)的函數(shù)，,21 yx21 dydx且有且有其反函數(shù)為其反函數(shù)為由上述定理得由上述定理得Y=2X+1的概率密度為的概率密度為 其它其它910321)( yyyfY例例 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量XN( )，求求Y=aX+b(a0)的概的概率密度率密度fY(y). 2, y=ax+b為嚴(yán)格單調(diào)且可導(dǎo)的函數(shù)，其反函數(shù)為：為嚴(yán)格單調(diào)且可導(dǎo)的函數(shù)，其反函數(shù)為：ayhabyyhx1)(,)( 且有且有由上述定理得由上述定理得Y=aX

28、+b的概率密度為的概率密度為 yeaabyfayfabayXY2222)(21)(1)( xexfxX222)(21)( 解解 X的概率密度為：的概率密度為：上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回即有即有 ),(22 abaNbaXY 取取 ，得，得 ba,1)1 , 0( NX 10 先判斷函數(shù)的類型；先判斷函數(shù)的類型；20 分別求出分別求出y的反函數(shù)，反函數(shù)的的反函數(shù)，反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)形式及其值域；導(dǎo)數(shù)形式及其值域；30 套用定理套用定理.步驟步驟第二章第二章 隨機(jī)變量隨機(jī)變量第一節(jié)第一節(jié) 隨機(jī)變量及其分布函數(shù)隨機(jī)變量及其分布函數(shù) 一、隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生一、隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生 概率論是從數(shù)量上來研究

29、隨機(jī)現(xiàn)象內(nèi)在規(guī)律性的概率論是從數(shù)量上來研究隨機(jī)現(xiàn)象內(nèi)在規(guī)律性的，為了更方便有力的研究隨機(jī)現(xiàn)象為了更方便有力的研究隨機(jī)現(xiàn)象，就要用數(shù)學(xué)分析的就要用數(shù)學(xué)分析的方法來研究方法來研究， 因此為了便于數(shù)學(xué)上的推導(dǎo)和計算因此為了便于數(shù)學(xué)上的推導(dǎo)和計算，就就需將任意的隨機(jī)事件數(shù)量化需將任意的隨機(jī)事件數(shù)量化當(dāng)把一些非數(shù)量表示的當(dāng)把一些非數(shù)量表示的隨機(jī)事件用數(shù)字來表示時隨機(jī)事件用數(shù)字來表示時， 就建立起了隨機(jī)變量的概就建立起了隨機(jī)變量的概念念1、有些試驗結(jié)果本身與數(shù)量有關(guān)（本身就是一個數(shù)）、有些試驗結(jié)果本身與數(shù)量有關(guān)（本身就是一個數(shù)）實例實例1 1 擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)；擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)； ,6

30、54321eeeeee 2、在有些試驗中，試驗結(jié)果看來與數(shù)量無關(guān)，但可以、在有些試驗中，試驗結(jié)果看來與數(shù)量無關(guān)，但可以引進(jìn)一個變量來表示它的各種結(jié)果引進(jìn)一個變量來表示它的各種結(jié)果.也就是說，把試驗也就是說，把試驗結(jié)果數(shù)量化結(jié)果數(shù)量化.實例實例2 2 在一裝有紅球、白球的袋中任摸一個球在一裝有紅球、白球的袋中任摸一個球,觀察觀察摸出球的顏色摸出球的顏色.非數(shù)量非數(shù)量? =紅色、白色紅色、白色 將將 數(shù)量化數(shù)量化 .)()( XeXXeXe簡記為簡記為稱之為隨機(jī)變量稱之為隨機(jī)變量，上的實值單值函數(shù)上的實值單值函數(shù)就得到一個定義在就得到一個定義在，這樣，這樣與之對應(yīng)與之對應(yīng)，有一個實數(shù)，有一個實數(shù)每

31、一個元素每一個元素中中如果對如果對，的樣本空間為的樣本空間為設(shè)隨機(jī)試驗設(shè)隨機(jī)試驗 定義定義1 1注注:（1 1）隨機(jī)變量的取值隨試驗結(jié)果而定隨機(jī)變量的取值隨試驗結(jié)果而定, ,具有一定具有一定的概率規(guī)律；的概率規(guī)律；（2）隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的）隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的.實例實例3 擲一個硬幣擲一個硬幣, 觀察出現(xiàn)的面觀察出現(xiàn)的面 , 共有兩個共有兩個結(jié)果結(jié)果:),(1反面朝上反面朝上 e),(2正面朝上正面朝上 e若用若用 X 表示擲一個硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù)表示擲一個硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù), 則有則有X)(1反面朝上反面朝上 e)(2正面朝上正面朝上 e100)(1 eX1)(2 eX即即

32、 X 是一個隨機(jī)變量是一個隨機(jī)變量.實例實例4 在有兩個孩子的家庭中在有兩個孩子的家庭中,考慮考慮其性別其性別 , 共有共有 4 個樣本點個樣本點:).,(),(, ),(),(4321女女女女男男女女女女男男男男男男 eeee若用若用 X 表示該家女孩子的個數(shù)時表示該家女孩子的個數(shù)時 , 則有則有, 0)(1 eX, 1)(2 eX, 1)(3 eX, 2)(4 eX可得隨機(jī)變量可得隨機(jī)變量 X, ., 2, 1, 04321eeeeeeeeX實例實例5 設(shè)某射手不斷射擊目標(biāo)，直到擊中目標(biāo)為設(shè)某射手不斷射擊目標(biāo)，直到擊中目標(biāo)為止止,表示所需射擊次數(shù)表示所需射擊次數(shù)X是一個隨機(jī)變量是一個隨機(jī)變量.且且 X 的所有可能取值為的所有可能取值為:., 3, 2, 1實例實例6 某公共汽車站每隔某公共汽車站每隔 5 分鐘有一輛汽車通分鐘有一輛汽車