第五章系統(tǒng)的演化

1、復(fù)雜性（二）：系統(tǒng)的演化系統(tǒng)演化概念 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、狀態(tài)、行為、功能等隨著時間的推移而發(fā)生的變化，稱為系統(tǒng)的演化。 兩種基本方式：狹義和廣義狹義的演化，指系統(tǒng)由一種結(jié)構(gòu)或形態(tài)向另一種結(jié)構(gòu)或形態(tài)的轉(zhuǎn)變。廣義的演化，包括系統(tǒng)從無到有的形成，從不成熟到成熟的發(fā)育，從一個結(jié)構(gòu)或形態(tài)到另一種結(jié)構(gòu)或形態(tài)的轉(zhuǎn)變，系統(tǒng)的老化或退化，從有到無的死亡等。 系統(tǒng)演化的動力 系統(tǒng)組成部分之間的合作、競爭、矛盾等內(nèi)部因素，以及環(huán)境變化及環(huán)境與系統(tǒng)相互聯(lián)系和作用方式的變化等外部因素系統(tǒng)演化概念 演化的兩種方向進化：由低級到高級、由簡單到復(fù)雜的演化退化：由高級到低級、由復(fù)雜到簡單的演化兩種演化是互補的?？偡较蚴窃絹碓綇?fù)雜，從

2、簡單系統(tǒng)進化到復(fù)雜系統(tǒng)與演化相關(guān)的概念狀態(tài)變量狀態(tài)變量 是指描述系統(tǒng)每時每處情況的一組隨時間變化的量。可以取不同的值。一般系統(tǒng)需要同時用若干狀態(tài)變量來描述。給定狀態(tài)變量的一組數(shù)值即給定一個系統(tǒng)狀態(tài)，不同組的數(shù)值代表系統(tǒng)的不同狀態(tài)。 選擇狀態(tài)變量的要求：（1）完備性（2）獨立性狀態(tài)空間狀態(tài)空間 由系統(tǒng)所有狀態(tài)構(gòu)成的集合?？臻g的每個點稱為狀態(tài)點。如果系統(tǒng)有n個獨立狀態(tài)變量，以狀態(tài)變量為軸建立起來的空間，就是系統(tǒng)的狀態(tài)空間。狀態(tài)變量的每一組具體數(shù)值代表系統(tǒng)的一個具體的狀態(tài)。N是狀態(tài)空間的維數(shù)，用以描述決定系統(tǒng)的行為特性。這樣，就可以通過狀態(tài)空間描述系統(tǒng)，建立系統(tǒng)的演化方程，確定不同類型的狀態(tài)，描述系

3、統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)律。吸引子和奇異吸引子吸引子和奇異吸引子 吸引子代表系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)。狀態(tài)空間中點表示系統(tǒng)狀態(tài)，點集表示系統(tǒng)演化的過程。吸引子有吸引作用，系統(tǒng)運動只有達到吸引子上才能穩(wěn)定下來并保持下去。 奇異吸引子，混沌系統(tǒng)的吸引子吸引子理論 吸引子吸引子是一個數(shù)學(xué)概念，描寫運動的收斂類型，它存在于相平面。簡言之，吸引子是指這樣的一個集合，當(dāng)時間趨于無窮大時，在任何一個有界集上出發(fā)的非定常流的所有軌道都趨于它。這樣的集合有很復(fù)雜的幾何結(jié)構(gòu)。從相空間上看，系統(tǒng)演化的目的體現(xiàn)為一定的點集合，代表演化過程的終極狀態(tài)，即目的態(tài)，具有如下特征：(1)終極性，處于非目的態(tài)的系統(tǒng)“不安于現(xiàn)狀”，力求離之遠去，處

4、于目的態(tài)的系統(tǒng)則“安于現(xiàn)狀”，自身不再愿意或無力改變這種狀態(tài)（也可以叫做惰性）。 (2)穩(wěn)定性，目的態(tài)是系統(tǒng)自身質(zhì)的規(guī)定性的體現(xiàn)，這種規(guī)定性只有在穩(wěn)定狀態(tài)中才能確立起來并得到保持，不穩(wěn)定狀態(tài)不可能成為目的態(tài)。 (3)吸引性，吸引性是目的性的根本要素，沒有吸引力的狀態(tài)不能成為系統(tǒng)演化所追求的目標。只要系統(tǒng)尚未到達目的態(tài)，現(xiàn)實狀態(tài)與目的態(tài)之間必定存在非0的吸引力，牽引著系統(tǒng)向目的態(tài)運動。相空間中滿足以上3個條件的點集合A(可能包含1個點、有限個點或無限個點)，被稱為動力學(xué)系統(tǒng)的吸引子。吸引子只能是定態(tài)，而且必須是穩(wěn)定態(tài)。 確定相軌跡切線方向的方向場及相平面上的一條相軌跡 二階線性系統(tǒng)特征根與奇點

5、相軌跡圖 在動力學(xué)系統(tǒng)中，吸引子包括1.單個點2.穩(wěn)定極限環(huán)。 可解釋為：長期運動就是：1.靜止在定態(tài) 2.周期性地重復(fù)某種運動系列。在非混沌體系中，這兩種情況是“一般吸引子”。 在混沌體系中，第二種情況則被稱為：“奇怪吸引子”，它本身是相對穩(wěn)定的，收斂的，但不是靜止的。奇怪吸引子是穩(wěn)定的、具分形結(jié)構(gòu)的吸引子。 一個系統(tǒng)可能沒有吸引子，也可能同時存在多個吸引子。不同吸引子可能屬于同一類型，也可能屬于不同類型。幾類吸引子的各種組合都可能出現(xiàn)。例如，同時存在幾個結(jié)點，或同時存在不動點和極限環(huán)，或同時存在不動點、極限環(huán)、奇怪吸引子，或同時有幾個奇怪吸引子，等等。 系統(tǒng)越復(fù)雜，吸引子結(jié)構(gòu)就越復(fù)雜。 凡

6、存在吸引子的系統(tǒng)，均為有目的的系統(tǒng)。從暫態(tài)向漸近穩(wěn)定定態(tài)的運動過程，就是系統(tǒng)尋找目的的過程。所謂目的，就是在給定的環(huán)境中，系統(tǒng)只有在目的點或目的環(huán)上才是穩(wěn)定的，離開了就不穩(wěn)定，系統(tǒng)自己要拖到點或環(huán)上才能罷休。穩(wěn)定極限環(huán) 不穩(wěn)定極限環(huán)系統(tǒng)運動最終全部趨向于一條封閉的相軌跡，稱之為“極限環(huán)”，對應(yīng)系統(tǒng)的一種穩(wěn)定的周期運動，即自振。不論初條件怎樣，系統(tǒng)自由響應(yīng)運動最終都是自振。如果由極限環(huán)外部和內(nèi)部起始的相軌跡都漸近地趨向這個極限環(huán)，任何較小的擾動使系統(tǒng)運動離開極限環(huán)后，最后仍能回到極限環(huán)上。 如果由極限環(huán)外部和內(nèi)部起始的相軌跡都從極限環(huán)發(fā)散出去，任何較小的擾動使系統(tǒng)運動離開極限環(huán)后，系統(tǒng)狀態(tài)將遠離

7、極限環(huán)或趨向平衡點，這樣的極限環(huán)稱為不穩(wěn)定極限環(huán)。 半穩(wěn)定極限環(huán) 奇怪吸引子 奇怪吸引子是耗散系統(tǒng)混沌現(xiàn)象的一個重要的特征 ，是相空間的一個有限的區(qū)域內(nèi)，由無窮多個不穩(wěn)定點集組成的一個集合體。 奇怪吸引子有兩個最重要的特征： （1） 對初始條件有敏感的依賴性。 在初始時刻從奇怪吸引子上任何兩個非常接近的點出發(fā)的兩條運動軌道，最終會以指數(shù)的形式互相分離。由于對初值極為敏感，表現(xiàn)為局部不穩(wěn)定。但對耗散系統(tǒng)而言，則又具有相體積收縮的特性，因而造成軌道無窮多次折迭往返?；煦畿壍涝谙嗫臻g中“添滿”有限的區(qū)域，形成奇怪吸引子。 實際上，它有內(nèi)外兩種趨向，一切吸引子之外的運動都向它它有內(nèi)外兩種趨向，一切吸引

8、子之外的運動都向它靠攏，這是穩(wěn)定的方向；而一切到達吸引子內(nèi)的軌道都又相靠攏，這是穩(wěn)定的方向；而一切到達吸引子內(nèi)的軌道都又相互排斥（指數(shù)式分離），對應(yīng)為不穩(wěn)定方向?；ヅ懦猓ㄖ笖?shù)式分離），對應(yīng)為不穩(wěn)定方向。 （2） 具有奇特的拓撲結(jié)構(gòu)和幾何形式。 奇怪吸引子是具有無窮多層次自相似結(jié)構(gòu)的、幾何維數(shù)為非整數(shù)的一個集合體。為了描述奇怪吸引子的這種奇特結(jié)構(gòu)，Mandelbrot率先引進了分形（既其維數(shù)是非整數(shù)的對象）的概念。洛倫茨吸引子 “洛倫茨結(jié)束了笛卡爾宇宙觀統(tǒng)治的時代，繼相對論和量子力學(xué)之后，開啟了20世紀第三次科學(xué)革命?！?麻省理工學(xué)院大氣學(xué)教授伊曼紐爾聚散有法，周行不殆，回復(fù)不閉聚散有法，周行不

9、殆，回復(fù)不閉 Lorenz方程bzxyzycxxzyxyax)( 其中a，b，c0 選a=10 b=8/3 c=28系統(tǒng)有混沌解Lotka-Volterra方程 y1、y2分別代表被捕食者和捕食者的數(shù)量，分別代表被捕食者和捕食者的數(shù)量，代表被捕食代表被捕食者的出生率，者的出生率，代表捕食者的死亡率，代表捕食者的死亡率，、代表兩個物種代表兩個物種的相互作用。的相互作用。22122111yyyyyyyy(1)假設(shè)假設(shè) y2(t)=0,捕食者不存在捕食者不存在, 獵物獵物y1因無天敵，呈指數(shù)增長；因無天敵，呈指數(shù)增長；(2) 假設(shè)假設(shè) y1(t)=0, 因因捕食者捕食者y2僅以僅以y1為食為食, 則

10、則y2呈指數(shù)下降；呈指數(shù)下降； (3) y1 y2 項表示項表示 y1 與與y2的相互作用。它表示物種的相互作用。它表示物種y1與與y2相遇的相遇的 幾率，而系數(shù)的正負反映幾率，而系數(shù)的正負反映y2捕食捕食y1的后果；的后果； (4) 定性分析表明在平衡點處系統(tǒng)穩(wěn)定，此時定性分析表明在平衡點處系統(tǒng)穩(wěn)定，此時y1, y2都不為零，都不為零， 要維持生態(tài)系統(tǒng)的平衡，只有謀求要維持生態(tài)系統(tǒng)的平衡，只有謀求“和局和局”。 Lotka-Volterra方程殺蟲藥的效應(yīng)2221212111cyyyyycyyyyy c代表使用殺蟲藥帶來的死亡率。代表使用殺蟲藥帶來的死亡率。y1y2c=0系統(tǒng)的平衡點：系統(tǒng)的

11、平衡點：caycy2121yy0蝴蝶效應(yīng) 蝴蝶效應(yīng)是混沌理論的一部分，是指在一個動力系統(tǒng)中，初始條件下微小的變化能帶動整個系統(tǒng)的長期而巨大的連鎖反應(yīng)。 “一只蝴蝶在巴西輕拍翅膀，會使更多蝴蝶跟著一起振翅。最后將有數(shù)千只的蝴蝶都跟著那只蝴蝶一同揮動翅膀，其所產(chǎn)生的颶風(fēng)可以導(dǎo)致一個月后在美國得州發(fā)生一場龍卷風(fēng)?！?分形fractal分形的發(fā)展歷程 普通幾何學(xué)研究的對象，一般都具有整數(shù)的維數(shù)。零維的點、普通幾何學(xué)研究的對象，一般都具有整數(shù)的維數(shù)。零維的點、一維的線、二維的面、三維的立體、乃至四維的時空。在一維的線、二維的面、三維的立體、乃至四維的時空。在2020世紀世紀7070年代末年代末8080年

12、代初，產(chǎn)生了新興的分形幾何學(xué)年代初，產(chǎn)生了新興的分形幾何學(xué)（fractal geometryfractal geometry），空間具有不一定是整數(shù)的維，而存），空間具有不一定是整數(shù)的維，而存在一個分數(shù)維數(shù)。在一個分數(shù)維數(shù)。 法國數(shù)學(xué)家芒德勃羅法國數(shù)學(xué)家芒德勃羅(B.B.Mandelbrot)(B.B.Mandelbrot)在在19751975、19771977和和19821982年先后用法文和英文出版了三本書，特別是年先后用法文和英文出版了三本書，特別是分形：形、機分形：形、機遇和維數(shù)遇和維數(shù)以及以及自然界中的分形幾何學(xué)自然界中的分形幾何學(xué)(Fractal (Fractal Geometry

13、 of Nature)Geometry of Nature)，開創(chuàng)了新的數(shù)學(xué)分支，開創(chuàng)了新的數(shù)學(xué)分支“分形幾何分形幾何學(xué)學(xué)”?！胺中畏中巍?fractal)(fractal)這個詞是芒德勃羅在這個詞是芒德勃羅在19751975年造出年造出來的，詞根是拉丁文的來的，詞根是拉丁文的fractusfractus， “ “破碎破碎”的意思。的意思。 根據(jù)物理學(xué)家李蔭遠院士的建議，大陸將根據(jù)物理學(xué)家李蔭遠院士的建議，大陸將fractalfractal一開始就一開始就定譯為定譯為“分形分形”，而臺灣學(xué)者一般將，而臺灣學(xué)者一般將fractalfractal譯作譯作“碎形碎形”。 客觀事物有自己的特征長度，要

14、用恰當(dāng)?shù)某叨热y量。用尺來測量萬里長城，嫌太短；用尺來測量大腸桿菌，又嫌太長。從而產(chǎn)生了特征長度。 有的事物沒有特征尺度，必須考慮從小到大的許許多多尺度（或者叫標度），這叫做“無標度性”的問題。如物理學(xué)中的湍流，湍流是自然界中普遍現(xiàn)象，小至靜室中繚繞的輕煙，巨至木星大氣中的渦流，都是十分紊亂的流體運動。流體宏觀運動的能量，經(jīng)過大、中、小、微等許許多度尺度上的漩渦，最后轉(zhuǎn)化成分子尺度上的熱運動，同時涉及大量不同尺度上的運動狀態(tài)，就要借助“無標度性”解決問題，湍流中高漩渦區(qū)域，就需要用分形幾何學(xué)。芒德勃羅“海岸線” 芒德勃羅(B.B.Mandelbrot)20世紀70年代中探討了“英國的海岸線有多

15、長” 的問題。 該問題依賴于測量時所使用的尺度。如果用公里作測量單位，從幾米到幾十米的一些曲折會被忽略；改用米來做單位，測得的總長度會增加，但是一些厘米量級以下的就不能反映出來。由于漲潮落潮使海岸線的水陸分界線具有各種層次的不規(guī)則性。 海岸線在大小兩個方向都有自然的限制，取不列顛島外緣上幾個突出的點，用直線把它們連起來，得到海岸線長度的一種下界。使用比這更長的尺度是沒有意義的。還有海沙石的最小尺度是原子和分子，使用更小的尺度也是沒有意義的。在這兩個自然限度之間，存在著可以變化許多個數(shù)量級的“無標度”區(qū)，長度不是海岸線的定量特征，就要用分維。英國的海岸線地圖分形幾何的內(nèi)容 基本思想是：客觀事物具

16、有自相似的層次結(jié)構(gòu)，局部與整體在形態(tài)、功能、信息、時間、空間等方面具有統(tǒng)計意義上的相似性，成為自相似性。例如，一塊磁鐵中的每一部分都像整體一樣具有南北兩極，不斷分割下去，每一部分都具有和整體磁鐵相同的磁場。這種自相似的層次結(jié)構(gòu)，適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小幾何尺寸，整個結(jié)構(gòu)不變。 維數(shù)是幾何對象的一個重要特征量，是幾何對象中一個點的位置所需的獨立坐標數(shù)目。在歐氏空間中，把空間看成三維的，平面或球面看成二維，把直線或曲線看成一維。也可以稍加推廣，認為點是零維的，還可以引入高維空間，對于更抽象或更復(fù)雜的對象，只要每個局部可以和歐氏空間對應(yīng)，也容易確定維數(shù)。 分形理論認為維數(shù)也可以是分數(shù)，這類維數(shù)是物理學(xué)家在研

17、究混沌吸引子等理論時引入的重要概念。為了定量地描述客觀事物的“非規(guī)則”程度，1919年，數(shù)學(xué)家從測度的角度引入了維數(shù)概念，將維數(shù)從整數(shù)擴大到分數(shù)，從而突破了一般拓撲集維數(shù)為整數(shù)的界限。分形的定義 定義1（Mandelbrot,1986）,部分以某種形式與整體相似的形狀叫分形。 定義2（Edgar,1990），分形集合是這樣一種集合，它比傳統(tǒng)幾何學(xué)研究的所有集合還更加不規(guī)則（irregular）,無論是放大還是縮小，甚至進一步縮小，這種集合的不規(guī)則性仍然是明顯的。分形的特性 1、具有無限精細的結(jié)構(gòu) 2、局部與整體的相似性 3、具有非拓撲維數(shù)，并且它大于對應(yīng)的拓撲維數(shù) 4、具有隨機性 5、在大多數(shù)

18、情況下，分形可以用非常簡單的方法確定，可能由迭代產(chǎn)生。自相似性 分形具有“粗糙和自相似”的直觀特點。 一個系統(tǒng)的自相似性是指某種結(jié)構(gòu)或過程的特征從不同的空間尺度或時間尺度來看都是相似的，或者某系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)的局域性質(zhì)或局域結(jié)構(gòu)與整體類似。 另外，在整體與整體之間或部分與部分之間，也會存在自相似性。一般情況下自相似性有比較復(fù)雜的表現(xiàn)形式，而不是局域放大一定倍數(shù)以后簡單地和整體完全重合。 太陽系的構(gòu)造與原子的結(jié)構(gòu)作一對比，就會發(fā)現(xiàn)這兩個系統(tǒng)在某些方面具有驚人的相似。雖然這兩個系統(tǒng)在自然界中尺度相差如此懸殊，但它們物質(zhì)系統(tǒng)之間存在著自相似的性質(zhì)。 物質(zhì)系統(tǒng)之間的自相似性在生物界也廣泛地存在著。以人為例，

19、人是由類人猿進化到一定程度的產(chǎn)物，解剖學(xué)研究表明，人體中的大腦、神經(jīng)系統(tǒng)、血管、呼吸系統(tǒng)、消化系統(tǒng)等在結(jié)構(gòu)上都具有高度的自相似性。左圖1是人體小腸的結(jié)構(gòu)，由圖可以看到，當(dāng)以不同的放大倍數(shù)觀察小腸結(jié)構(gòu)時，即從a到e較大的形態(tài)與較小的形態(tài)之間的相似表明小腸結(jié)構(gòu)具有自相似性。人體小腸的自相似結(jié)構(gòu)它的生成方法是把一條直線等分成三段，將中間一段用夾角為它的生成方法是把一條直線等分成三段，將中間一段用夾角為60的二條的二條等長（等長（1/3）的折線來代替，形成一個生成單元，如上圖）的折線來代替，形成一個生成單元，如上圖(b).然后再把每然后再把每一條直線段用生成單元進行代替，經(jīng)過無窮多次迭代后就呈現(xiàn)一條無

20、窮一條直線段用生成單元進行代替，經(jīng)過無窮多次迭代后就呈現(xiàn)一條無窮多彎曲的多彎曲的koch曲線。用它來模擬自然界中的海岸線是相當(dāng)理想的。曲線。用它來模擬自然界中的海岸線是相當(dāng)理想的。三次koch曲線koch曲線是分形的，因為它是自相似的。自相似性就是跨尺度的對稱。它意味著遞歸，在一個圖形內(nèi)部還有圖形。從上圖（e）中可以清楚看到這一點。自相似性指的是，把要考慮的圖形的一部分放大，其形狀與整體相同。設(shè)想把上圖（e）中的koch曲線區(qū)間0,1/3中的圖形放大3倍，放大后的圖形與原來的曲線形狀完全相同。把區(qū)間2/3,1放大3倍，也會得到同樣的結(jié)果。雖然區(qū)間1/3,1/2 ，1/2,2/3的圖形是傾斜的，

21、但是把它放大，也會得到同樣的結(jié)果。若把區(qū)間0,1/9的圖形放大9倍，同樣也可以產(chǎn)生與原來相同的圖形。對更小的部分進行放大也是如此，不論多小部分，若把它放大到適當(dāng)大小，應(yīng)該能得出與原來相同的圖形。Cantor集合0F1F2F康托集合是閉區(qū)間0,1的子集，它的定義如下：給定區(qū)間0,1，把這個區(qū)間分成三段，去掉中間那一端（即去掉(1/3,2/3)），然后把剩下的兩段中每一段都按照剛才的方法再進行操作，然后再分，再分，就這樣一直挖洞挖下去。在第二次操作后，剩下的區(qū)間是0,1/92/9,1/32/3,7/98/9,1，再操作一次后區(qū)間將由8段構(gòu)成。最后剩下來的東西是什么呢？ n次操作后，區(qū)間的總長度為(

22、2/3)n，當(dāng)n趨于無窮時，區(qū)間長度趨于0。但是這并不能說明這個區(qū)間里沒有任何元素。事實上，我們可以找到至少一個元素 ?？低屑吓c0,1的所有實數(shù)一一對應(yīng)。這個函數(shù)是一個階梯狀的函數(shù)，但是它不是分段的，是連續(xù)的。它是無窮多個橫線段組成的一個連續(xù)函數(shù)，除端點無意義以外導(dǎo)數(shù)值都是0?；蛘哒f，這個函數(shù)在不變之中上升。102103104101102103104105101log log N( )25. 1log)(logND英國海岸線的分形維數(shù)D=1.25英國海岸線的自相似性及分形維數(shù)的獲得標度不變性 所謂標度不變性，是指在分形上任選一局部區(qū)域，對它進行放大，這時得到的放大圖形又會顯示出原圖的形態(tài)特性

23、。因此,對于分形，不論將其放大或縮小，它的形態(tài)、復(fù)雜程度、不規(guī)則性等各種特點均不會變化。所以標度不變性又稱為伸縮對稱性。通俗一點說，如果用放大鏡來觀察一個分形，不管放大倍數(shù)如何變化，看到的情形是一樣的，從觀察到的圖象，無法判斷所用放大鏡的倍數(shù)。 所以具有自相似特性的物體（系統(tǒng)），必定滿足標度不變性，或者說這類物體設(shè)有特性長度。上面介紹的koch曲線是具有嚴格的自相似性的有規(guī)分形，無論將它放大與縮小多少倍，它的基本幾何特性都保持不變，很顯然，它具有標度不變性。 因此,可以看到,自相似性與標度不變性是密切相關(guān)的。自相似性和標度不變性是分形的兩個重要特性。是否有非整數(shù)維的幾何存在呢？ 實際上,若對長

24、度為1的線段n等分，每段長為r，則 (2.2) 對面積為1的正方形作n等分，每個小正方形的邊長為r，則 (2.3) 對體積為1的正方體作n等分，每個小正方體的邊長為r，則 (2.4) 上面三個等式中，r的冪次實際上就是幾何體能得到定常度量的空間維數(shù)，于是有如下公式 (2.5)1rn12rn13rn1Drn分形的維數(shù)分形的維數(shù) 對上式兩邊取對數(shù)，則得到空間維數(shù)D的表達式： （2.6） 對koch曲線而言，在第n步時，其等長折線段總數(shù)為4n，每段長度為 ，于是koch曲線的維數(shù)D應(yīng)為 （2.7） 這是一個非整數(shù)值，它定量地表示koch曲線的復(fù)雜程度。koch曲線是一個分形圖形。分形圖形雖然一般都比

25、較復(fù)雜，但其復(fù)雜程度可用非整數(shù)維數(shù)去定量化，維數(shù)愈大，其復(fù)雜性就會相應(yīng)提高。 )1ln(lnlnlnrnrnDn312618. 13ln4ln)31ln(4lnnnD 我們上面講的維數(shù)又稱為相似維數(shù)，常用Ds表示。一般地，如果某圖形是由把原圖縮小為1/a的相似的b個圖形所組成，則有： ， (2.8) 因此，我們對koch曲線，又可看成是由把全體縮小成1/3的四個相似形構(gòu)成的，按式（2.8），koch曲線的相似維數(shù)則為 (2.9) 下面我們再看看KOCH曲線在歐氏幾何中的長度是多少，顯然， ， ， ，那么basDaln/blnDs2618134.lnlnDS1)a(length34)b(leng

26、th916)c(lengthnnn)(limlnlim)e(length34 由于它是一條閉區(qū)間的曲線，在歐氏幾何中，其面積為零。換句講，koch曲線在傳統(tǒng)的歐氏幾何領(lǐng)域不可度量。而分維 恰好反映了這種曲線的不規(guī)則性和復(fù)雜性。 由以上的討論，我們可以看到，從傳統(tǒng)的幾何學(xué)出發(fā)，我們用非常簡單的一把直尺去研究koch曲線，會發(fā)現(xiàn)它十分的復(fù)雜，它包含無限的層次結(jié)構(gòu)，用什么樣的尺子都很難測量它，所以我們說koch曲線是很復(fù)雜的幾何對象。從分形幾何學(xué)出發(fā)，我們用一個看起來很復(fù)雜的測量單位一個小的koch曲線去測量koch曲線，所得的結(jié)果卻十分簡單。對比以上兩種情況：歐氏幾何用簡單的圖形作為工具，研究某些

27、對象時發(fā)現(xiàn)存在著復(fù)雜性；分形幾何用復(fù)雜的圖形（恰恰是利用自相似性，利用復(fù)雜圖形的本身或其一部分）作工具, 研究對象時得到非常簡單的結(jié)果。26181.DS分形的應(yīng)用領(lǐng)域 1、數(shù)學(xué)：動力系統(tǒng) 2、物理：布朗運動，流體力學(xué)中的湍流 3、化學(xué)：酶的構(gòu)造， 4、生物：細胞的生長 5、地質(zhì)：地質(zhì)構(gòu)造 6、天文：土星上的光環(huán) 其他：計算機，經(jīng)濟，社會，藝術(shù)等等應(yīng)用1：股票價格變動所謂股票價格的變動。股票價格變動圖雖然經(jīng)?？稍趫蠹垼ɑ螂娨暤龋┥峡吹剑騼r格漲落得非常厲害，而且完全是隨機的，因此使人感到幾乎無規(guī)律可循。但若從統(tǒng)計學(xué)觀點解析這一變動，就會發(fā)現(xiàn)有很好的規(guī)律。Mandelbrot發(fā)現(xiàn)下面兩個法則：

28、每個單位時間內(nèi)的股票價格變動分布，服從特性指數(shù)D1.7的對稱穩(wěn)定分布。 單位時間不論取多大或多小，其分布也是相似的。也就是說，適當(dāng)?shù)馗淖兂叨?，就可成為同樣的分布?關(guān)于穩(wěn)態(tài)分布,只討論與分形有關(guān)的一些性質(zhì)。若把單位時間T之間的股票價格變動x的分布密度記為P（x），則下述關(guān)系成立： 此關(guān)系式表示股票價格變動的大小分布為分形。例如，一天的股票價格變動在x元以上，比2x元以上的變動次數(shù)多21.73.2倍。法則（2）表示股票價格變動在時間上也是分形的。一天的股票價格變動圖形與一年的股票價格變動圖形相比，不同的只是股票價格的尺度，而對變動情況則很難加以區(qū)別。xDxxxd )x(Pxd )x(P應(yīng)用2：分

29、形對哲學(xué)的影響 分形中充滿著辯證法思想，它不僅為辯證法提供新的事例，而且可以豐富人們對辯證法的認識。分形理論中具有確定性與隨機性、內(nèi)在隨機性與外在隨機性、局部與整體、簡單與復(fù)雜等幾對矛盾的辯證關(guān)系。我們對所謂整體與局部這一對矛盾，存在著辯證的關(guān)系，加以簡要的闡述。 一般系統(tǒng)論認為整體可以分解為一些部分，整體是由部分組成的；部分包含在整體之中，是整體的組成部分，部分相加可以構(gòu)成整體。因此，整體大于部分。在這一認識中, 把部分與整體的關(guān)系理解為機械的分解和相加?；谶@種整體與部分的關(guān)系的看法，形成簡化事物的方法還原論方法。但隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，這種方法并非總是有效。 17世紀，伽利略（Galile

30、o，G.15641642）在1638年出版的關(guān)于新科學(xué)的對話一書中提出一個悖論：正整數(shù)集合s1的元素與正整數(shù)平方的集合s2的元素是一樣多的。人們稱伽利略悖論,可以表示如下：一方面從常識來看，s1的元素顯然比s2的元素多。因為從12到22就少了2、3兩個數(shù)，從22到32缺少5、6、7、8四個數(shù)，一般地從n2到（n+1）2就缺少2n個正整數(shù)；另一方面從上面所列的一一對應(yīng)關(guān)系來看，s1與s2的元素確實是一樣多的，或者說s1的元素并不比s2的元素多。當(dāng)時，人們用有限數(shù)的眼光來看待無限數(shù)的關(guān)系，無法理解這種奇特的現(xiàn)象，所以稱它為伽利略悖論。這個悖論說明什么呢？在無窮集合中，整體可以與部分相等，或者說整體

31、不大于部分。這說明我們不能把有窮情況下得出的結(jié)論，不加限止地推廣到無窮的情況，說明我們以前對整體與部分的關(guān)系的認識是有條件的，不是普遍有效的。 在部分（局部）與整體的關(guān)系，分形幾何已經(jīng)揭示出一個重要特點：自相似，即取分形上任意一小部分加以放大，就可以發(fā)現(xiàn)部分與整體是相似的。這種自相似可以是嚴格的或有規(guī)律的，也可以是近似的或統(tǒng)計的。因此，自相似性為我們理解部分與整體的辯證關(guān)系提供了新的科學(xué)依據(jù)。 對于傳統(tǒng)的和分形理論中關(guān)于部分與整體的關(guān)系，可用圖1和圖2表示：圖1圖2 可以看到：由部分是以自身同等的方式存在于整體之中的傳統(tǒng)看法，進而認識到部分以與整體相似的方式存在于整體之中。這是人類認識史上的一

32、大進步，具有深遠的哲學(xué)意義。分形形成的方法 圖形迭代 函數(shù)迭代 迭代函數(shù)系統(tǒng)（ifs）圖形迭代生成分形 給定初始圖形 ，依照某一規(guī)則 對圖形反復(fù)作用 得到圖形序列 其極限圖形是分形，作用規(guī)則 稱為生成元。 R,.1 , 0,1kRFFkk.,21FFR0F例如，Cantor 集的生成元是Van Koch 雪花曲線的生成元是其它實例2、Minkowski “香腸”3、Sierpinski地毯4、龍曲線5、Hilbert曲線6、花草樹木(L系統(tǒng)） 生物學(xué)家Lindenmayer提出。一個L系統(tǒng)可表示為一個有序的三元素集合：其中：V是一些運動過程集合， w是初始形狀， P是生成式。PwVG, 例如，

33、F表示向前距離d, +表示左轉(zhuǎn)彎a, -表示右轉(zhuǎn)彎，表示壓棧，表示出棧。 FFFFFFPFwFV:,函數(shù)迭代產(chǎn)生的分形用Z表示復(fù)數(shù)，定義在復(fù)平面上的函數(shù) f(Z)稱為復(fù)變函數(shù)。任意給定初始復(fù)數(shù)值 ，定義復(fù)數(shù)序列對于什么樣的初始值 ，復(fù)數(shù)序列收斂或有界？nZ0Z0Z) 1 (, 2 , 1 , 0),(1nZfZnn Julia集 考慮復(fù)變函數(shù)迭代固定復(fù)參數(shù) c，使得迭代序列有界的初值 在復(fù)平面上的分布圖形稱為Julia集，亦即 迭代序列 有界)2(, 1 ,0,21ncZZnnnZ0ZnZ|0ZJc Mandelbrot集 固定初值 ，使得迭代序列（2）有界的參數(shù) c 在復(fù)平面上的分布圖形稱為

34、 Mandelbrot集。即 迭代序列 有界 記 則（2）變?yōu)?ZqipcyixZ,) 3(21221qyxypyxxnnnnnnnZ|0cJZ Julia 集的繪制方法：1、設(shè)定初值 p,q, 最大的迭代次數(shù) N, 圖形的大小 a,b, 及使用的顏色數(shù) K.2、設(shè)定區(qū)域的界值 3、將區(qū)域 分成 的網(wǎng)格，分別以每個網(wǎng)格點為初值 利用（3）做迭代。如果對所有的 都有 ，則將象素(i, j) 置為黑色。如果從某一步 n 開始，則將象素 (i,j)置為顏色 n mod K。), 2max(22qpM,MMMMRba),(00yxNn 222Myxnn222Myxnn分形的計算機生成分形的計算機生成

35、L系統(tǒng)：字符串替換算法系統(tǒng)：字符串替換算法 (1) 字符串替換算法的主要思想字符串替換算法的主要思想 例 已知科赫曲線的初始元是“”，生成元是“”請按字符串替換法的規(guī)則約定記號，寫出其初始元和生成元的字符串，產(chǎn)生出其第二步圖形的字符串,并畫出其圖形. 解：約定如下記號： a：沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)b：沿順時針方向旋轉(zhuǎn) c：從當(dāng)前點沿當(dāng)前方向畫一長度為L的線段 則初始元“” 可用字符表示為“c”. 生成元 “”可用字符串表示為“cacbbcac”. 將以上字符串“cacbbcac”中的“c”再用字符串“cacbbcac”替換，便得第二步圖形的字符串： E(2)$=cacbbcacacacbbcacbb

36、cacbbcacacacbbcac.迭代函數(shù)系統(tǒng)（ifs） 是一種繪制分形圖的方法，即所謂的隨機函數(shù)跌代系統(tǒng)。具體說明在程序里有。簡單的講，圖形的生成受幾條簡單規(guī)則的制約，每種規(guī)則都是一個仿射變換。什么是仿射變換？不嚴格的講，就是一種照哈哈鏡的變換。我們知道，對一個平面圖形可以施加旋轉(zhuǎn)、平移、縮放的變換，一般來講，這種變換都可以用坐標變換的方式寫出來： x=ax+by+c y=dx+ey+f 這其中，a,b,c,d,e,f都是系數(shù)，x,y為圖形原來的坐標，x,y為經(jīng)過變換得到的新坐標。不同的系數(shù)會對圖形進行不同的變換，包括平移、旋轉(zhuǎn)、縮放，如果x方向和y方向的縮放比例不一樣，那么就會對圖形產(chǎn)生

37、某種扭曲，因此，總體上來講，這種對圖形的變換就象是照哈哈鏡一樣。 對一個圖形進行一組（即多個）這樣的變換，并且，讓計算機以一定的概率選擇這些規(guī)則。那么就能產(chǎn)生我們看到的分形圖。這似乎有些神奇。為什么變換就能產(chǎn)生分形圖呢？讓我們以“金字塔”為例進行說明。 考慮上面的三角形，從左邊的大三角形變成右邊的三個小三角形，顯然，這是受三條規(guī)則同時制約的，考慮規(guī)則1。它是先把大三角形縮小一半（假設(shè)以大三角形的左下角為原點坐標），然后再往上平移一半，往右平移sqrt(3)/4，sqrt(3)表示根號3。因此，規(guī)則1就可以寫為： x=0.5x+sqrt(3)/4 y=0.5y+1/2 另外的兩條規(guī)則也可以寫成這樣的形式。接下來，我們就要接著對三個小三角進行變形?？紤]最上面的小三角，我們應(yīng)用規(guī)則1變換，即先縮小一半，然后再平移，這跟在上一步中把大三角形運用規(guī)則1的效果是一樣的，對其它兩個小三角形運用規(guī)則1我們就能得到下面的圖： 運用規(guī)則