微積分的基本公式資料

1、第一頁，共24頁。第六章 定積分(jfn)第二節(jié) 微積分的基本(jbn)公式一. 積分(jfn)上限函數(shù)二. 微積分基本公式第二頁，共24頁。一. 積分上限(shngxin)函數(shù) (變上限(shngxin)的定積分) , , , )( 就有值每給定一對(duì)而言對(duì)可積函數(shù)baxf . d)(I 與之對(duì)應(yīng)確定的定積分值baxxf與它的上下限的定積分這意味著 d)( )( baxxfxf . 之間存在一種函數(shù)關(guān)系 , ,則得到積讓積分上限變化固定積分下限不變:分上限函數(shù) . , d)(d)()( baxttfxxfxFxaxa第三頁，共24頁。Oxyabx x)(xfy 積分上限函數(shù)的幾何意義第四頁，共

2、24頁。Oxyabx x)(xfy 積分上限函數(shù)的幾何意義xaxxf d)(曲邊梯形的面積的代數(shù)和隨 x 的位置(wi zhi)而變化。 第五頁，共24頁。 ,d)(d)( 有由積分的性質(zhì)：abbaxxfxxf, d)(d)( xbbxttfttf所以，我們只需討論(toln)積分上限函數(shù). d)( 稱為積分下限函數(shù)bxttf第六頁，共24頁。證證 . ),(d)()( ),()( baCttfxFbaRxfxa則若 , , , , 則且baxxbax)()()(xFxxFxFxxxxaxxattfttfttf d)(d)(d)( .| )(| , )( ),()( MxfbaxfbaRxf上

3、有界：在故又xMttfttfxFxxxxxx d| )(| |d)(| | )(|0 于是 . ),()( , baCxFx即可得的任意性由夾逼定理及點(diǎn)第七頁，共24頁。 . , : 1 積分上限函數(shù)是連續(xù)的上的定義在區(qū)間說明定理ba ?積分上限函數(shù)是否可導(dǎo)第八頁，共24頁。 ,d)()()( xxxttfxFxxF由 , ),()( 得則由積分中值定理如果baCxf , )(d)()()( xfttfxFxxFxxx) (之間與在xxxxxfxxFxxFxx)(lim)()(lim 00故)()(lim0 xffx這說明這說明(shumng)了什了什么么 ？ 條件第九頁，共24頁。, d)(

4、)( ),()( battfxFbaCxfxa在則若 , 且上可導(dǎo) . )( )(d)(dd)( bxaxfttfxxFxa第十頁，共24頁。 , , ),()( 0處連續(xù)且在點(diǎn)若baxbaRxf . )()( , d)()( 000 xfxFxttfxFxa且處可導(dǎo)在點(diǎn)則(在端點(diǎn)處是指的 左右(zuyu)導(dǎo)數(shù) )第十一頁，共24頁。例1) dcos (xatt dcosddxattx .cosx ?) dcos ( xaxx定積分與積分變量定積分與積分變量(binling)的記號(hào)無關(guān)的記號(hào)無關(guān). )(xF .cos) dcos ( xxxxa第十二頁，共24頁。例2 . )( , d)1si

5、n()( 2 0 2xFttxFx求設(shè)解 , )()( , d)1sin()( , 2 0 22xgxFttugxuu則令xuugxFdd)()( 故)()d)1sin(2 0 2 xttu . )1sin(22)1sin(42xxxu這是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo), 你能由此寫出它的一般形式嗎?第十三頁，共24頁。 , 一般地 , )( , )( 則可導(dǎo)若Cxfx . )()() d)( ()()( xxfttfxFxa第十四頁，共24頁。例3解 . dlim 21 cos 02xtextx計(jì)算2cos 1 021 cos 0dlimdlim 22xtextextxxtxxxexx2)sin(lim2co

6、s0 . 21e羅必達(dá)法則羅必達(dá)法則(fz) )()() d)( ()( xxfttfxa下面再看定理 2 .第十五頁，共24頁。 )()( d)()( 你會(huì)想到什么？及由xfxFttfxFxa, d)()( ),()( battfxFbaCxfxa在則若 , 且上可導(dǎo) . )( )(d)(dd)( bxaxfttfxxFxa第十六頁，共24頁。, ,d)()( ),()( baxttfxFbaCxfxa則若 . , )( 上的一個(gè)原函數(shù)在為baxf . I )( , ) I ()( 上原函數(shù)存在在則若xfCxf 推論推論1 推論推論2 .域內(nèi)原函數(shù)存在基本初等函數(shù)在其定義 推論推論3 .區(qū)間

7、內(nèi)原函數(shù)存在初等函數(shù)在其有定義的第十七頁，共24頁。上在為則如果 , )( d)( ),()( baxfttfbaCxfxa .的一個(gè)原函數(shù) , )( )( 則有的原函數(shù)為若已知xfxF .)(d)(0 CxFttfxa . )( ,)(d)(0 , 00 aFCCaFttfaxaa故則令 , 則得到取bx . )()(d)(d)( aFbFxxfttfbaba2. 微積分基本(jbn)公式基本公式基本公式第十八頁，共24頁。 ) (萊布尼茨公式牛頓 , )( )( ),()( 上的在為若baxfxFbaCxf , 則一個(gè)原函數(shù) ).()( )(d)( aFbFxFxxfbaba . 函數(shù)的計(jì)

8、算聯(lián)系起來了將定積分的計(jì)算與求原萊布尼茨公式牛頓第十九頁，共24頁。定積分的計(jì)算問定積分的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為已知函題轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)數(shù)的導(dǎo)函數(shù), ,求求原 來 函 數(shù) 的 問原 來 函 數(shù) 的 問題題 . . 第二十頁，共24頁。例5 ,cos)(sinxx . 10sin2sin sindcos202 0 xxx 問題的關(guān)鍵是如何求一個(gè)函數(shù)的原函數(shù).第二十一頁，共24頁。例6 .2) 1arctan(1arctan arctand111 11 1 2xxx .21)0sin42(sin21 2sin21d2cos40 4 0 xxx第二十二頁，共24頁。例7 . d2cos1 0 xx計(jì)算解 0 2 0 dcos2 d2cos1 xxxx 0 d|cos| 2xx 2 2 0 d)cos( 2dcos 2xxxx . 22 sin2 sin2220 xx怎么辦？怎么辦？ 去絕對(duì)值符號(hào)(如果是分段函數(shù)，則利用積分的性質(zhì)將積分分成幾個(gè)部分的和的形式.)第二十三頁，共2