也談平面封閉圖形中圓的面積最大-最新資料

1、也談平面封閉圖形中圓的面積最大平面等周問(wèn)題：在周長(zhǎng)相等的平面封閉圖形中，圓的面積最大。等周問(wèn)題在自然界和我們的生活中隨處可見，我們有必要把這個(gè)問(wèn)題的來(lái)龍去脈搞清楚。一、教材中幾個(gè)與面積有關(guān)的問(wèn)題在人教版數(shù)學(xué)教材的不同的章節(jié)中給出了下列一些問(wèn)題。問(wèn)題1:已知正方形A、矩形B、圓C的面積均為628cmz其中矩形B的長(zhǎng)是寬的2倍，如果兀取3.14,試比較它們的周長(zhǎng)LA、LBLC的大小。解完本題后，你能得到什么啟示？問(wèn)題2:用48m長(zhǎng)的籬笆在空地上圍成一個(gè)綠化場(chǎng)地，現(xiàn)有幾種設(shè)計(jì)方案，正三角形、正方形、正六邊形、圓，哪種場(chǎng)地的面積最大（可以利用計(jì)算器計(jì)算）？問(wèn)題3:分別用定長(zhǎng)為L(zhǎng)的線段圍成矩形和圓，哪種

2、圖形的面積最大？為什么？對(duì)于問(wèn)題1,我們通過(guò)計(jì)算可以得出這樣的結(jié)論：在周長(zhǎng)相等的情況下，圓的面積正方形的面積矩形的面積。對(duì)于問(wèn)題2,通過(guò)計(jì)算不難得出：在周長(zhǎng)相同的情況下，圓的面積正六邊形的面積正方形的面積正三角形的面積。對(duì)于問(wèn)題3,我們建立二次函數(shù)模型，利用函數(shù)的性質(zhì)不難得出：周長(zhǎng)為L(zhǎng)的圓的面積周長(zhǎng)為L(zhǎng)的矩形的面積。無(wú)疑，在解決這些問(wèn)題的過(guò)程，學(xué)生基本上認(rèn)識(shí)到：在周長(zhǎng)一定所有的平面封閉圖形中，圓的面積最大。上述問(wèn)題被稱為平面等周問(wèn)題。二、生活中的平面等周問(wèn)題平面等周問(wèn)題的另外一種說(shuō)法是：在面積相同的平面封閉圖形中，圓的周長(zhǎng)最小。等周問(wèn)題是說(shuō)在平面圖形中，周長(zhǎng)一定的形狀，以圓的面積為最大,因此圓

3、可以說(shuō)是“最經(jīng)濟(jì)”的圖形。這也就是為什么自然界中的許多東西都呈圓形的緣故。如向日葵的種子排滿了盤的的表面，這些種子“撐”出了一個(gè)圓形；植物的莖干的橫截面、水管的橫截面、樹木的年輪、硬幣、徽章等都是利用了“最經(jīng)濟(jì)”這一特性。三、前人對(duì)平面等周問(wèn)題的探索同三階幻方類似，等周問(wèn)題有著悠久的歷史，它的歷史甚至可以追溯到希臘以前的時(shí)代，并且它們的起源同樣是具有神秘色彩的傳說(shuō)。根據(jù)Coolidge的考證，古希臘數(shù)學(xué)家Zenodorus在公元前二世紀(jì)就研究過(guò)這類問(wèn)題，他的研究成果在5個(gè)世紀(jì)后由Pappus祥述并加以推廣。據(jù)說(shuō)阿基米德解決過(guò)該類問(wèn)題，但是在他的研究工作中沒(méi)有找到任何證據(jù)。解析幾何的創(chuàng)始人之一法

4、國(guó)著名數(shù)學(xué)家笛卡爾曾經(jīng)對(duì)幾個(gè)面積相等的特殊圖形進(jìn)行考察，并運(yùn)用歸納法得出一個(gè)一般的結(jié)論：在所有面積相等的平面圖形中，圓具有最短的周長(zhǎng)。德國(guó)著名數(shù)學(xué)家JacobSteiner(1796-1863)被譽(yù)為“自Euclid以來(lái)最偉大的幾何學(xué)家。Steiner在1839年一下子就為等周定理找了幾個(gè)幾何直觀的證明。但是Steiner的所有證明都把存在性看作自明的。Gesiser在其對(duì)Steiner的非常值得一讀的追悼演講中說(shuō)過(guò)，他或許可以說(shuō)是一個(gè)思考多端的奇人，以致Dirichlet嘗試說(shuō)服Steiner去認(rèn)識(shí)所作結(jié)論的缺陷而以失敗告終。四、從德國(guó)著名數(shù)學(xué)家JacobSteiner的三個(gè)定理透視平面等周

5、問(wèn)題接下來(lái)，我們介紹JacobSteiner給出的較為直觀的證明。定理1:若C是周長(zhǎng)L一定的所有閉曲線中圍成最大面積的那條閉曲線，則C必定是凸曲線。所謂凸曲線是指在曲線上任取兩點(diǎn)A、B,若連接A、B的線段AB全部落在曲線上，或落在曲線圍成的區(qū)域內(nèi)部，則稱這條曲線是凸的。如圖1(1)中的曲線是凸曲線，圖1(2)中的曲線不是凸曲線。圖1(2)(3)(4)證明：若C不是凸曲線，則在C上一定可以找到一對(duì)點(diǎn)。和P,使線段OP在C外(如圖2(3)所示)。這時(shí)我們以O(shè)P為軸，把曲線OQ阪射到另一側(cè)成為曲線OQP?；QP與弧OR屋起形成長(zhǎng)度為L(zhǎng)的一條曲線，而它包含的面積比原曲線C包含的面積大。這與C是周長(zhǎng)L

6、一定的所有閉曲線中圍成最大面積的那條閉曲線的假設(shè)相矛盾，所以C必定是凸曲線。定理2:若C是周長(zhǎng)L一定的所有閉曲線中圍成最大面積的那條閉曲線，則選取兩點(diǎn)A、B把曲線C的周長(zhǎng)平分時(shí)，其面積也必被同時(shí)等分。證明：現(xiàn)在選取兩點(diǎn)A、B把曲線C的分割成長(zhǎng)度相等的兩段弧。這時(shí)直線AB也必將C所圍成的面積分割成兩個(gè)相等的部分；否則，我們可以把較大的面積的那部分對(duì)AB作反射，就得到另一條長(zhǎng)度為L(zhǎng)而比C圍有更大面積的曲線。(如圖1(4)定理3:兩端點(diǎn)A、B在一直線上的長(zhǎng)度為的弧與這條直線圍成的面積最大時(shí)，這條曲線必定是半圓。證明：設(shè)弧AOBM該問(wèn)題的解，其中O為該弧上任意一點(diǎn)，我們只要證明/AOB=90即可。假定/AOB不是直角。那么我們用圖2(2)中的圖形代替圖2(1)中的圖形。在這個(gè)新圖形中，陰影部分的面積和弧AOB的長(zhǎng)度沒(méi)有發(fā)生變化，而由于/AOB=90,三角形的面積增大了，這樣圖2(2)中的圖形比原圖形有更大的面積。這與假設(shè)相矛盾。這個(gè)矛盾證明了對(duì)任意點(diǎn)Q/AOB、是直角。圖2(2)由定理2和定理3可知，滿足等周問(wèn)題的解是圓。當(dāng)然，所涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)初