概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(2-1)

1、第二章 隨機(jī)變量及其分布離散型隨機(jī)變量及其分布律隨機(jī)變量的分布函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度連續(xù)型隨機(jī)變量的分布隨機(jī)變量函數(shù)的分布隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布函數(shù)隨機(jī)變量隨機(jī)變量變量的相互獨(dú)立性離散型隨機(jī)變量及其分布律 一、隨機(jī)變量的定義 二、離散型隨機(jī)變量及其分布律 三、常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的分布 為更好地揭示隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性并利用數(shù)學(xué)工具為更好地揭示隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性并利用數(shù)學(xué)工具描述其規(guī)律描述其規(guī)律, , 有必要引入隨機(jī)變量來(lái)描述隨機(jī)試驗(yàn)的有必要引入隨機(jī)變量來(lái)描述隨機(jī)試驗(yàn)的不同結(jié)果不同結(jié)果. . 例例1 擲一枚硬幣，觀察正面、反面出現(xiàn)的情況。擲一枚硬幣，觀察正面、反面出現(xiàn)的情況。記記1= “正面朝

2、上正面朝上”， 2=“反面朝上反面朝上”。21, 0, 1)(XXX是定義在是定義在=1，2上的函數(shù)，是隨機(jī)變量。上的函數(shù)，是隨機(jī)變量。 一、隨機(jī)變量的概念一、隨機(jī)變量的概念 =t | t 0例例3 測(cè)試燈泡的壽命：測(cè)試燈泡的壽命：X=X（t） X()X 例例2 從一批種子中隨機(jī)抽取從一批種子中隨機(jī)抽取20粒進(jìn)行發(fā)芽試驗(yàn)，觀粒進(jìn)行發(fā)芽試驗(yàn)，觀察發(fā)芽粒數(shù)。顯然察發(fā)芽粒數(shù)。顯然=0，1，20，用變量，用變量X表示發(fā)表示發(fā)芽種子粒數(shù)，則芽種子粒數(shù)，則X的所有可能取值為的所有可能取值為 0，1，20. = X=X() 一、隨機(jī)變量的概念一、隨機(jī)變量的概念 定義定義 設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間為的

3、樣本空間為，如果對(duì)于每一如果對(duì)于每一個(gè)個(gè)，都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)X()與之對(duì)應(yīng)，則稱與之對(duì)應(yīng)，則稱X()為為隨機(jī)變量隨機(jī)變量，并簡(jiǎn)記為，并簡(jiǎn)記為X。 注意：注意： 1. X是定義在是定義在上的實(shí)值、單值函數(shù)。上的實(shí)值、單值函數(shù)。 2. 因隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果的出現(xiàn)都有一定的概率，因隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果的出現(xiàn)都有一定的概率， 所以隨機(jī)變量所以隨機(jī)變量X的取值也有一定的概率。的取值也有一定的概率。 3. 隨試驗(yàn)結(jié)果不同隨試驗(yàn)結(jié)果不同, X取不同的值，試驗(yàn)前可以知取不同的值，試驗(yàn)前可以知道它的所有取值范圍，但不知確定取什么值。道它的所有取值范圍，但不知確定取什么值。 一、隨機(jī)變量的概念

4、一、隨機(jī)變量的概念例例3 (1) 50次射擊試驗(yàn)中命中的次數(shù)次射擊試驗(yàn)中命中的次數(shù) 可以用一個(gè)隨機(jī)變量可以用一個(gè)隨機(jī)變量X來(lái)表示，它可能取來(lái)表示，它可能取0，1，50中的任一非負(fù)整數(shù)；中的任一非負(fù)整數(shù)；(2)城市某十字路口一分鐘內(nèi)通過(guò)的機(jī)動(dòng)車數(shù)城市某十字路口一分鐘內(nèi)通過(guò)的機(jī)動(dòng)車數(shù) 可以用隨機(jī)變量可以用隨機(jī)變量X來(lái)表示，它所有可能的取值為一切非來(lái)表示，它所有可能的取值為一切非負(fù)整數(shù)；負(fù)整數(shù)； 二、二、 離散型隨機(jī)變量及其分布律離散型隨機(jī)變量及其分布律(3) 汽車司機(jī)剎車時(shí)，輪胎接觸地面的點(diǎn)的位置是在汽車司機(jī)剎車時(shí)，輪胎接觸地面的點(diǎn)的位置是在0, 2 r上取值的隨機(jī)變量，其中上取值的隨機(jī)變量，其中

5、r 是輪胎的半徑是輪胎的半徑 隨機(jī)變量按其可能取的值，區(qū)分為兩大類隨機(jī)變量按其可能取的值，區(qū)分為兩大類: 一類叫一類叫離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量, 其特征是只能取有限或可列其特征是只能取有限或可列個(gè)值個(gè)值.在例在例1的的 (1) 和和(2)中中,隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量 另一類是另一類是非離散型隨機(jī)變量非離散型隨機(jī)變量。在非離散型隨機(jī)變量。在非離散型隨機(jī)變量中，通常只關(guān)心中，通常只關(guān)心連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量，它的全部可能取值，它的全部可能取值不僅是無(wú)窮多的、不可列的，而是充滿某個(gè)區(qū)間在不僅是無(wú)窮多的、不可列的，而是充滿某個(gè)區(qū)間在例例1的（的（3），隨機(jī)變量則為連

6、續(xù)型隨機(jī)變量），隨機(jī)變量則為連續(xù)型隨機(jī)變量二、二、 離散型隨機(jī)變量及其分布律離散型隨機(jī)變量及其分布律 P X = xi = pi （i = 1, 2, ）亦可用下面的概率分布表來(lái)表示亦可用下面的概率分布表來(lái)表示Xx1x2xnpkp1p2pn則稱之為離散型隨機(jī)變量則稱之為離散型隨機(jī)變量X的的概率分布律或分布列（律）概率分布律或分布列（律） 定義定義 設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量X所有可能的取值為所有可能的取值為 x1 , x2 , , xn , X取各個(gè)值的概率取各個(gè)值的概率，即事件即事件X=xi的概率為的概率為二、二、 離散型隨機(jī)變量及其分布律離散型隨機(jī)變量及其分布律（1）非負(fù)性：）非負(fù)性

7、： pi 0 （i=1,2，） 11iip（2）規(guī)范性：）規(guī)范性： 課堂練習(xí)課堂練習(xí)1 已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量X的概率分布為：的概率分布為：, )5 , 4 , 3 , 2 , 1(kakkXPpk求常數(shù)求常數(shù)a.解解 由概率分布的性質(zhì)得由概率分布的性質(zhì)得151iip得得 15a = 1, 即即.151a分布律具有如下性質(zhì)：分布律具有如下性質(zhì)：211,610310261431036CCCXPCCXP3013,1032310343101624CCXPCCCXP)3 , 2 , 1 , 0(310364kCCCkXPkk6121103301X0123pk6白白4紅紅10球球 解解 用用X表示抽到

8、的紅球數(shù)，則表示抽到的紅球數(shù)，則X所有可能的取值為所有可能的取值為0，1，2，3。且取每一個(gè)值的概率分別為。且取每一個(gè)值的概率分別為 課堂練習(xí)課堂練習(xí)2 在一個(gè)袋子中有在一個(gè)袋子中有10個(gè)球，其中個(gè)球，其中6個(gè)白球，個(gè)白球，4個(gè)紅球。從中任取個(gè)紅球。從中任取3個(gè)，求抽到紅球數(shù)的概率分布。個(gè)，求抽到紅球數(shù)的概率分布。可表示為可表示為 例例4 假設(shè)某籃球運(yùn)動(dòng)員投籃命中率為假設(shè)某籃球運(yùn)動(dòng)員投籃命中率為0.8，X表示他表示他投籃一次命中的次數(shù)，求投籃一次命中的次數(shù)，求X的概率分布的概率分布 解解 用用X=1表示表示“投籃一次命中投籃一次命中”，X=0表示表示“投投籃一次沒(méi)命中籃一次沒(méi)命中”，則，則 P

9、X=1=0.8, PX=0=1PX=1=10.8=0.2.即即X的概率分布為的概率分布為 X 0 1 P 0.2 0.8三、常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的分布三、常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的分布pqXPpXP10,1 1. 0-1分布分布 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量 X 只可能取只可能取 0 和和 1 兩個(gè)值，概率分布為兩個(gè)值，概率分布為 1 , 0,1kqpkXPkk ( 0p1，p+q=1) 若若只有兩個(gè)樣本點(diǎn)，即只有兩個(gè)樣本點(diǎn)，即=1,2，則可以定義具則可以定義具有有0-1分布的隨機(jī)變量：分布的隨機(jī)變量：X = X() = 21, 0, 1XP1 0p q則稱則稱 X 服從服從0-1分布（分布（p為參數(shù)）為

10、參數(shù)）, 也稱為兩點(diǎn)分布也稱為兩點(diǎn)分布.記記作作 X B (1 , p ). 其分布可表示為其分布可表示為或或特別特別當(dāng)當(dāng) n=1時(shí)，二項(xiàng)分布為時(shí)，二項(xiàng)分布為) 1 , 0(1kqpkXPkkknkknqpCkXP 顯然顯然0()1nkkn knnkC p qpq 2. 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布即為即為0-1分布。分布。 定義定義 如果隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量X的概率分布為的概率分布為 （k = 0，1，2，n） （0p1, q=1-p )則稱則稱 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 n，p的二項(xiàng)分布。記作的二項(xiàng)分布。記作XB(n, p).P X 2 = 1 P X = 0 + P X = 1 （k=0，1，2，4

11、00） 解解 將每次射擊看成是一次伯努利試驗(yàn)，將每次射擊看成是一次伯努利試驗(yàn)，X表示在表示在400次射擊中擊的次數(shù)，則次射擊中擊的次數(shù)，則XB(400, 0.02)其分布律為其分布律為kkkCkXP400400)98. 0()02. 0(98. 002. 0400)98. 0(1399400 例例5 某人進(jìn)行射擊，其命中率為某人進(jìn)行射擊，其命中率為0.02，獨(dú)立射擊，獨(dú)立射擊400次，試求擊中的次數(shù)大于等于次，試求擊中的次數(shù)大于等于2的概率。的概率。0.9972 小概率事件原理：小概率事件原理：某事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可某事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性很小，但只要重復(fù)次數(shù)足夠大，那么該事件的發(fā)能

12、性很小，但只要重復(fù)次數(shù)足夠大，那么該事件的發(fā)生幾乎是肯定的。生幾乎是肯定的。 例例6 甲、乙兩名棋手約定進(jìn)行甲、乙兩名棋手約定進(jìn)行10盤比賽，以贏的盤盤比賽，以贏的盤數(shù)較多者為勝數(shù)較多者為勝.，假設(shè)每盤棋甲贏的概率都為，假設(shè)每盤棋甲贏的概率都為0.6，乙贏，乙贏的概率為的概率為0.4，且各盤比賽相互獨(dú)立，問(wèn)甲、乙獲勝的，且各盤比賽相互獨(dú)立，問(wèn)甲、乙獲勝的概率各為多少？概率各為多少？ 解解 每一盤棋可看作一次伯努利試驗(yàn)每一盤棋可看作一次伯努利試驗(yàn). 設(shè)設(shè)X為為10盤棋賽盤棋賽中甲贏的盤數(shù)，則中甲贏的盤數(shù)，則 X B(10,0.6) ，按約定，甲只要贏，按約定，甲只要贏6盤或盤或6盤以上即可獲勝盤

13、以上即可獲勝. 所以所以6331. 0)4 . 0()6 . 0(61010610kkkkCXPP甲獲勝甲獲勝 =若乙獲勝，若乙獲勝， 則甲贏棋的盤數(shù)，即則甲贏棋的盤數(shù)，即4XPP 乙獲勝1662. 0)4 . 0()6 . 0(104010kkkkC 練習(xí)練習(xí) 某廠需從外地購(gòu)買某廠需從外地購(gòu)買12只集成電路只集成電路.已知該型號(hào)已知該型號(hào)集成電路的不合格率為集成電路的不合格率為0.1，問(wèn)至少需要購(gòu)買幾只才能，問(wèn)至少需要購(gòu)買幾只才能以以99%的把握保證其中合格的集成電路不少于的把握保證其中合格的集成電路不少于12只？只？ 解解 設(shè)需要購(gòu)買設(shè)需要購(gòu)買n只，用只，用X表示這表示這n只集成電路中合格

14、只集成電路中合格品只數(shù)，則，按題意，要求事件品只數(shù)，則，按題意，要求事件“X12”的概率不小的概率不小于于0.99，即，即12XP99. 0) 1 . 0()9 . 0(12knnkkknC可算出至少需要購(gòu)買可算出至少需要購(gòu)買17只集成電路，才能以只集成電路，才能以99%的把的把握保證其中合格品不少于握保證其中合格品不少于12只只. 注意：事件注意：事件“甲獲勝甲獲勝”與與“乙獲勝乙獲勝”并不是互逆事并不是互逆事件，因?yàn)閮扇诉€有輸贏相當(dāng)?shù)目赡苋菀姿愠黾?，因?yàn)閮扇诉€有輸贏相當(dāng)?shù)目赡苋菀姿愠?555105(0.6) (0.4)0.2007PP XC不分勝負(fù) 一本書(shū)的某一頁(yè)中印刷符號(hào)錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)；某地

15、區(qū)一本書(shū)的某一頁(yè)中印刷符號(hào)錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)；某地區(qū)一天內(nèi)郵遞遺失的信件數(shù)等，這些隨機(jī)變量都服從或一天內(nèi)郵遞遺失的信件數(shù)等，這些隨機(jī)變量都服從或近似服從泊松分布近似服從泊松分布!kekXPk其中其中0是常數(shù)，則稱是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為的泊松分布，記的泊松分布，記為為XP()查課本查課本204頁(yè)附表頁(yè)附表2 泊松分布表，對(duì)于給定的泊松分布表，對(duì)于給定的，可查可查ekxXPxkk! 3. 泊松分布泊松分布（k =0，1，2，） 定義定義 如果隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量X的概率分布為的概率分布為 例例7 在在500個(gè)人組成的團(tuán)體中，恰有個(gè)人組成的團(tuán)體中，恰有5個(gè)人的生日是個(gè)人的生日是元旦的概率是多少？

16、元旦的概率是多少？ 解解 該團(tuán)體中每個(gè)人的生日恰好是元旦的概率都是該團(tuán)體中每個(gè)人的生日恰好是元旦的概率都是 1/365 ，則該團(tuán)體中生日為元旦的人數(shù)，則該團(tuán)體中生日為元旦的人數(shù) B(500, 1 /365) ，恰有，恰有5個(gè)人的生日是元旦的概率為個(gè)人的生日是元旦的概率為 550055500)36511 ()3651(5CXP這里這里n值較大，直接計(jì)算比較麻煩值較大，直接計(jì)算比較麻煩. 而在二項(xiàng)分布中，而在二項(xiàng)分布中，當(dāng)當(dāng)n值較大，而值較大，而p較小時(shí)，有一個(gè)很好的近似計(jì)算公式，較小時(shí)，有一個(gè)很好的近似計(jì)算公式，這就是著名的泊松定理。這就是著名的泊松定理。設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量Xn(n=1，2，3)服從二項(xiàng)分布服從二項(xiàng)分布B(n, pn) , !)1 (limlimkeppCkXPkknnknknnnnknnknknppC)1 (!)(kenpnnpkn從而從而n較大，較大，pn較小時(shí)有較小時(shí)有其中其中pn與與 n有關(guān)。如果有關(guān)。如果泊松（泊松（Poisson）定