D9-5 差分方程簡(jiǎn)介

1、差分方程 簡(jiǎn) 介 第五節(jié)一、一、 差分方程的一般概念差分方程的一般概念 第九第九 章章 二、二、 一階常系數(shù)線性差分方程一階常系數(shù)線性差分方程三、三、 二階常系數(shù)線性差分方程二階常系數(shù)線性差分方程 在經(jīng)濟(jì)與管理及其它實(shí)際問題中，許多數(shù)據(jù)在經(jīng)濟(jì)與管理及其它實(shí)際問題中，許多數(shù)據(jù)都是以等間隔時(shí)間周期統(tǒng)計(jì)的。都是以等間隔時(shí)間周期統(tǒng)計(jì)的。 例如，銀行中的定期存款是按所設(shè)定的時(shí)間例如，銀行中的定期存款是按所設(shè)定的時(shí)間等間隔計(jì)息，外貿(mào)出口額按月統(tǒng)計(jì)，國(guó)民收入按等間隔計(jì)息，外貿(mào)出口額按月統(tǒng)計(jì)，國(guó)民收入按年統(tǒng)計(jì)，產(chǎn)品的產(chǎn)量按月統(tǒng)計(jì)等等。年統(tǒng)計(jì)，產(chǎn)品的產(chǎn)量按月統(tǒng)計(jì)等等。 這些量是變量，通常稱這類變量為這些量是變量

2、，通常稱這類變量為離散型離散型變變量。描述離散型變量之間的關(guān)系的數(shù)學(xué)模型成為量。描述離散型變量之間的關(guān)系的數(shù)學(xué)模型成為離散型模型。對(duì)取值是離散化的經(jīng)濟(jì)變量，差分離散型模型。對(duì)取值是離散化的經(jīng)濟(jì)變量，差分方程是研究他們之間變化規(guī)律的有效方法。方程是研究他們之間變化規(guī)律的有效方法。機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 定義定義1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y = f (x), 記為記為 yx, 則差則差yx+1 yx稱為函數(shù)稱為函數(shù) yx 的的一階差分一階差分, 記為記為 yx, 即即 yx = yx+1 yx. ( yx) = yx+1 yx = (yx+2 yx+1) (yx+1 y

3、x) = yx+2 2 yx+1 + yx為為二階差分二階差分, 記為記為 2 yx, 即即 3yx = ( 2yx), 同樣可定義三階差分同樣可定義三階差分 3yx, 四階差分四階差分 4yx, 即即 4yx = ( 3yx) . 2 yx = ( yx) = yx+2 2 yx+1 + yx一、一、 差分方程的一般概念差分方程的一般概念 二階及二階以上的差分統(tǒng)稱為二階及二階以上的差分統(tǒng)稱為高階差分高階差分機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例例. 求求 (x3), 2(x3), 3(x3), 4(x3).解解 (x3) = (x + 1)3 x3 = 3x2 + 3

4、x + 1, 2(x3) = (3x2 + 3x + 1)= 3(x + 1)2 + 3(x + 1) + 1 (3x2 + 3x + 1)= 6x + 6, 3(x3) = (6x + 6) = 6(x + 1) + 6 (6x + 6)= 6, 4(x3) = (6) = 6 6 = 0.機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例例. 求求 (rx), 2(rx), 3(rx).解解 (rx) = r(x + 1) rx = rx (r 1), 2(rx) = (rx (r 1)= r(x + 1) (r 1) rx (r 1)= rx (r 1)2, 3(rx) =

5、( rx (r 1)2)= r(x + 1) (r 1) 2 rx (r 1) 2= rx (r 1)3.機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 解解( )( )(1)nnxyxx(1)(1)(1)(2)xxnx xxn(1)nnx( )(1)(2)(1),nyxx xxxn 例例. 設(shè)設(shè)(0)( )1().nxxyx，求求即即(1) (1)(11)xx xxn (1)(2)(1)x xxnxn機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 性質(zhì)：性質(zhì)： ()xxCyCy（2）（C為常數(shù)）為常數(shù)）()xxxxyzyz （3）（1）()0C（C為常數(shù)）為常數(shù)）機(jī)動(dòng)

6、機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 定義定義 含有未知函數(shù)差分或未知函數(shù)幾個(gè)時(shí)期含有未知函數(shù)差分或未知函數(shù)幾個(gè)時(shí)期值的值的方程就稱為方程就稱為差分方程差分方程.例如例如( ,)0.nxxxH x yyy或 差分方程中含有未知函數(shù)下標(biāo)的最大值差分方程中含有未知函數(shù)下標(biāo)的最大值與最小值之差稱為與最小值之差稱為差分方程的階差分方程的階. 11( ,)0( ,)0 xxx nxxx nF x yyyG x yyy或或機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 定義中要求定義中要求 yx, yx+1, , yx+n不少于兩個(gè)不少于兩個(gè).例如例如, yx+2 + yx+

7、1 = 0為差分方程為差分方程, yx = x不是差分方程不是差分方程. 例例. 將差分方程將差分方程 2yx + 2 yx = 0表示成不含差分的形式表示成不含差分的形式.解解 yx = yx+1 yx , 2yx = yx+2 2yx+1 + yx ,代入得代入得 yx+2 yx = 0. 由此可以看出由此可以看出, 差分方程的不同形式可以相差分方程的不同形式可以相互轉(zhuǎn)化互轉(zhuǎn)化.機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 解解1212xxxxxyyyyy 例例 下列等式是差分方程的有下列等式是差分方程的有( ).22112.2. 33.2.234xxxxxxxxxxxxAy

8、yxByyaCyyyyD yyy AD.， 是是差差分分方方程程1133()33xxxxxyyyyy ，B的的左左端端2xCy的的左左端端1()xxyy機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例例 確定下列方程的階確定下列方程的階231(1)32xxxyx yy242(2)xxxyyy三階三階+2+1(3)+4+32xxxxyyy 22(4)+3xxyyx六階六階二階二階一階一階2212xxxxyyyy機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 定義定義 如果一個(gè)函數(shù)代入差分后如果一個(gè)函數(shù)代入差分后, 方程兩邊方程兩邊恒等恒等, 則稱此函數(shù)為該差分方程的解則

9、稱此函數(shù)為該差分方程的解. 例例. 驗(yàn)證函數(shù)驗(yàn)證函數(shù) yx = 2x + 1是差分方程是差分方程 yx+1 yx = 2的解的解.解解 yx+1 = 2(x + 1) + 1 = 2x +3, yx+1 yx = 2x + 3 (2x +1) = 2,所以所以yx = 2x + 1是差分方程是差分方程 yx+1 yx = 2的解的解.機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 定義定義 往往要根據(jù)系統(tǒng)在初始時(shí)刻所處的狀態(tài)，往往要根據(jù)系統(tǒng)在初始時(shí)刻所處的狀態(tài)，對(duì)差分方程附加一定的條件，這種附加條件稱之為對(duì)差分方程附加一定的條件，這種附加條件稱之為初始條件初始條件.滿足初始條件的解

10、稱之為滿足初始條件的解稱之為特解特解. 如果差分如果差分方程中含有相互獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)恰好等于差方程中含有相互獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)恰好等于差分方程的階數(shù)，則稱它為差分方程的分方程的階數(shù)，則稱它為差分方程的通解通解.1212例例如如，是是差差分分方方程程的的特特解解，xxyxyy 122是是差差分分方方程程的的通通解解，xxyxCyy 其中其中C為任意常數(shù)為任意常數(shù). 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 二二 一階常系數(shù)線性差分方程一階常系數(shù)線性差分方程機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 ( )0f x 當(dāng)當(dāng)時(shí)稱為非齊次的，否則稱為齊次時(shí)稱為非

11、齊次的，否則稱為齊次形如形如 1( )0,（是是xxyayf xaa 的方程稱為一階常系數(shù)線性差分方程的方程稱為一階常系數(shù)線性差分方程. 常數(shù)）常數(shù)）(1)10 xxyay 的的, 即即(1)的對(duì)應(yīng)齊次方程為的對(duì)應(yīng)齊次方程為(2)（一）定義（一）定義 1.迭迭代代法法10(0)xxyaya 101y若已知，由方程（）依次可得，10yay2210yaya y3320yaya y0yC令令，10 xxxyaya y.xxyCa于于是是（二）一階常系數(shù)齊次線性差分方程（二）一階常系數(shù)齊次線性差分方程的求解的求解機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 不妨設(shè)方程有形如下式的特解不妨

12、設(shè)方程有形如下式的特解 (0)xxyrr 將其代入方程將其代入方程()0，xrra由于由于 ，因此，因此 0r ra 再由差分的性質(zhì)，方程的通解再由差分的性質(zhì)，方程的通解 求一階常系數(shù)齊次線性差分方程的通解：求一階常系數(shù)齊次線性差分方程的通解：1.先寫出其特征方程，先寫出其特征方程，2.求出特征根，求出特征根，3.寫出其通解寫出其通解.xxyCa （C為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）xxya 所以所以 是方程的一個(gè)解是方程的一個(gè)解.0ra 為為特征方程特征方程為為特征根特征根 .機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2.特特征征值值法法10(0)xxyaya120ttyy 210

13、,r 1.2r 例例 求求 的通解的通解. .從而特征根為從而特征根為于是原方程的于是原方程的通解通解為為解解 特征方程為特征方程為1()2ttyC機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 求差分方程求差分方程 yx+1 3yx=0 的通解和的通解和 y0=5 的特解的特解 例例解：解：特征方程為特征方程為30r 特征根為特征根為3r 差分方程的差分方程的通解通解為為3xxyC將將 y0=5 代入通解得：代入通解得：053C即即5C 故所求故所求特解特解為：為：5 3xxy 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 ( (三）一階常系數(shù)非齊次線性差分方程的求

14、解三）一階常系數(shù)非齊次線性差分方程的求解 1( )( )0 xxyayf xf x （）若若( )( )(0,( )xmmf xxPxP *,( ),( )xmxxmaQxyaxQx 不是特征根)是特征根) 是是m次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式 . .( )mQx一階差分方程的通解結(jié)構(gòu)理論如下一階差分方程的通解結(jié)構(gòu)理論如下: : 非齊次差分方程通解非齊次差分方程通解 = = 對(duì)應(yīng)齊次方程的對(duì)應(yīng)齊次方程的通解通解 + + 非齊次差分方程的一個(gè)特解非齊次差分方程的一個(gè)特解是是m次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式) )則特解則特解機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例例 求差分方程求差分方程 的通解的通解.

15、 .132ttyy 解解由于由于31,a 故可設(shè)其特解為故可設(shè)其特解為：*,tyk代入方程，解得代入方程，解得：1,k 故原差分方程通解為：故原差分方程通解為：*31.tttyYyC3 ,tYC 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 對(duì)應(yīng)齊次差分方程的通解為對(duì)應(yīng)齊次差分方程的通解為 特征方程為特征方程為30r 特征根為特征根為3r 例例 求差分方程求差分方程 的通解的通解. 12xxxyy 解：解： 對(duì)應(yīng)齊次差分方程特征方程為對(duì)應(yīng)齊次差分方程特征方程為 10r 特征根為特征根為1r 對(duì)應(yīng)齊次差分方程的通解為對(duì)應(yīng)齊次差分方程的通解為 ( 1)xYC( )2( )xxmf x

16、Px 而而 2 不是特征根。因此設(shè)特解形式為不是特征根。因此設(shè)特解形式為 *2xxyB 將其代入已知方程，有將其代入已知方程，有 1222xxxBB解得解得 13B 所以所以 *23xxy所求差分方程的通解為所求差分方程的通解為 *2( 1)3xxxxyYyC機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 YC*01()xyx BB x132xxyyx例例 求差分方程求差分方程 的通解的通解. .1r 特征根為特征根為齊次差分方程的通解為齊次差分方程的通解為( )32( )xmf xxPx 由于由于1 1是特征根，是特征根，10r 對(duì)應(yīng)齊次差分方程的特征方程為對(duì)應(yīng)齊次差分方程的特征

17、方程為解解非齊次差分方程的特解為非齊次差分方程的特解為機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 *01()xyx BB x011232BBB xx0121BB，將其代入已知差分方程得將其代入已知差分方程得比較兩端關(guān)于比較兩端關(guān)于x的同次冪的系數(shù)，可解得的同次冪的系數(shù)，可解得*22xyxx于是，所求通解為于是，所求通解為22xyCxx故故機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 11(1)33xxxyyx 例例 求差分方程求差分方程 的通解的通解. .13 (1)xxxyyx(1)(1)113xxyy(2)(2)解解10r 對(duì)應(yīng)齊次差分方程特征方程為對(duì)應(yīng)齊次差

18、分方程特征方程為1r 特征根為特征根為YC齊次差分方程的通解為齊次差分方程的通解為 由疊加原理知方程的特解由下面兩個(gè)方由疊加原理知方程的特解由下面兩個(gè)方程的特解相加得到程的特解相加得到 *2yBx對(duì)方程（對(duì)方程（2 2）*1013 ()xyBB x 對(duì)方程（對(duì)方程（1 1）機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 01111,423BBB 將其代入方程解得將其代入方程解得所求通解為所求通解為1113 ()243xxyCxx原方程的特解為原方程的特解為*12013 ()xxyyyBB xBx機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 三、二階常系數(shù)線性差分方程三

19、、二階常系數(shù)線性差分方程 形如形如 yx+2 + ayx+1 + byx = f (x). (1)(其中其中 a , b 0, 且均為且均為常數(shù)常數(shù))的方程的方程, 稱為稱為二階常二階常系數(shù)線性差分方程系數(shù)線性差分方程.稱為稱為齊次齊次差分方程差分方程; 當(dāng)當(dāng) f (x) 0時(shí)時(shí), 稱為稱為非齊次非齊次差分方程差分方程.當(dāng)當(dāng) f (x) = 0 時(shí)時(shí), 即即 yx+2 + ayx+1 + byx = 0 (2) 類似于二階線性常微分方程類似于二階線性常微分方程, 二階線性差分二階線性差分方程與其有相同的解的結(jié)構(gòu)方程與其有相同的解的結(jié)構(gòu). 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)

20、束 當(dāng)當(dāng) r 為常數(shù)時(shí)為常數(shù)時(shí), yx = rx 和它的各階差分有倍和它的各階差分有倍數(shù)關(guān)系數(shù)關(guān)系, 所以可設(shè)所以可設(shè) yx = rx 為方程為方程 (2) 的解的解. 代入方程代入方程(2)(2)得得 rx+2 + arx+1 + brx = 0,此方程稱為特征方程此方程稱為特征方程. .r2 + ar + b = 0即即 yx+2 + ayx+1 + byx = 0 (2)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 （二）二階常系數(shù)齊次差分方程（二）二階常系數(shù)齊次差分方程的求解的求解特征方程的解特征方程的解兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)不相等的實(shí)根r1,r2一對(duì)共軛復(fù)根一對(duì)共軛復(fù)根

21、r1,2= i兩個(gè)相等實(shí)根兩個(gè)相等實(shí)根 r1 = r2 yx+2 + ayx+1 + byx = 0的通解的通解由特征方程的根的情況可得齊次方程的通解：由特征方程的根的情況可得齊次方程的通解：1 12 2xxxyC rC r121()xxyCC x r1222(cossin),tan/xxyCxCx rr 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例例 求差分方程求差分方程 yx+2 7yx+1 + 6yx = 0的通的通解解. 解解 特征方程為特征方程為 方程的根為方程的根為 r1 = 1, r2 = 6. r2 7r + 6 = 0.原方程的通解為原方程的通解為 yx =

22、 C1 + C2 6x.機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例例 求差分方程求差分方程 yx+2 4yx+1 + 16yx = 0滿足條件滿足條件y0=0, y1=1的特的特解解. 解解 特征方程為特征方程為 方程的根為方程的根為 r2 4r + 16 = 0.原方程的通解為原方程的通解為1,222 3 ,ri224,arctan.3r 12cossin4 .33xxyCxCx機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 代入初始條件代入初始條件 y0=0, y1=1得得012112cos0sin0 40,cossin41,33CCCC解出解出1210,2

23、 3CC故所求特解為故所求特解為14sin.32 3xxyx 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 ( (三）二階常系數(shù)非齊次線性差分方程的求解三）二階常系數(shù)非齊次線性差分方程的求解 若若( )( )(0,( )xmmf xxPxP *2( )( )( )xmxxmxmQxyxQxxQx ， 不是特征根， 是一特征根， 是二重特征根 是是m 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式 . .( )mQx 非齊次差分方程通解非齊次差分方程通解 = = 對(duì)應(yīng)齊次方程的對(duì)應(yīng)齊次方程的通解通解 + + 非齊次差分方程的一個(gè)特解非齊次差分方程的一個(gè)特解是是m次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式) )則特解則特解機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目

24、錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 yx+2 + ayx+1 + byx = f (x) 例例 求差分方程求差分方程 yx+2 + yx+1 2yx = 12x的通的通解解. 解解 對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為 方程的根為方程的根為 r1 = 2, r2 = 1, r2 + r 2 = 0.齊次方程的通解為齊次方程的通解為12( 2) .xYCC 因?yàn)橐驗(yàn)?f(x)=12x*01(),xyx BB x機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 ( )xmPx 知，知，1是特征單根，所以，特解可設(shè)為是特征單根，所以，特解可設(shè)為代入原方程代入原方程, 得得整理整理, 得得 B0+B1(x+2)(x+2)+B0+B1(x+1)(x+1) (B0+B1x)x =12x.比較系數(shù)比較系數(shù), 得得 6B1 = 12,3B0 + 5B1 = 0,解出解出故所求通解為故所求通解為21210( 2)2.3xxyCCxx 6B1x