大學(xué)數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

1、第三節(jié)盡可能地描述函數(shù)曲線：判斷函數(shù)的盡可能地描述函數(shù)曲線：判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，尋找特殊點單調(diào)區(qū)間，尋找特殊點極值及拐點，極值及拐點，曲線的凸性與漸近線曲線的凸性與漸近線機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 導(dǎo)數(shù)在函數(shù)研究中的應(yīng)用 第三三章 一、一、 函數(shù)單調(diào)性的判定法函數(shù)單調(diào)性的判定法若定理定理 1. 設(shè)函數(shù))(xf0)( xf則 在 I 內(nèi)單調(diào)遞增)(xf, )0)( xf(遞減) .證證: 無妨設(shè),0)(Ixxf任取)(,2121xxIxx由拉格朗日中值定理得)()()(1212xxfxfxf),(21xxI0故. )()(21xfxf這說明 在 I 內(nèi)單調(diào)遞增.)(xf在開區(qū)間 I 內(nèi)可

2、導(dǎo),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證畢機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 幾何上解釋：1.導(dǎo)數(shù)大于零：切線斜率大于0，單調(diào)增2.導(dǎo)數(shù)小于零：切線斜率小于0，單調(diào)減回憶：函數(shù)曲線在局部看成斜率為f(x)的直線。例例1. 確定函數(shù)31292)(23xxxxf的單調(diào)區(qū)間.解解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)( xf得2, 1xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21故)(xf的單調(diào)增單調(diào)增區(qū)間為, ) 1,();,2()(xf的單調(diào)減單調(diào)減區(qū)間為).2,1 (12xoy12機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yxo說明說明: 單調(diào)區(qū)間的分界點除駐點外

3、,也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點. 例如,),(,32xxy332xy 0 xy32xy 2) 如果函數(shù)在某駐點兩邊導(dǎo)數(shù)同號, 則不改變函數(shù)的單調(diào)性 .例如,),(,3xxy23xy 00 xyyox3xy 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 y在y在二、函數(shù)的極值及其求法函數(shù)的極值及其求法定義定義:,),()(內(nèi)有定義在設(shè)函數(shù)baxf, ),(0bax ，的一個鄰域若存在0 x在其中當(dāng)0 xx 時, )()(0 xfxf(1) 則稱 為 的極大值點極大值點 ,0 x)(xf稱 為函數(shù)的極大值極大值 ;)(0 xf, )()(0 xfxf(2) 則稱 為 的極小值極小值 點點 ,0 x)(xf稱 為函數(shù)

4、的極小值極小值 .)(0 xf極大點與極小點統(tǒng)稱為極值點極值點機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 求函數(shù)求函數(shù)32) 1()(xxxf的極值 .解解:1) 求導(dǎo)數(shù)32)(xxf3132) 1(xx35235xx2) 求極值可疑點令,0)( xf得;521x不可導(dǎo)點：02x3) 列表判別x)(xf )(xf05200)0,(),0(52),(520 x是極大點， 其極大值為0)0(f是極小點， 其極小值為52x33. 0)(52f機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、最大值與最小值問題最大值與最小值問題 ,)(上連續(xù)在閉區(qū)間若函數(shù)baxf則其最值只能在極值點極值點或端點端點處達(dá)到 .

5、求函數(shù)最值的方法求函數(shù)最值的方法: :(1) 求 在 內(nèi)的極值可疑點導(dǎo)數(shù)為 0 或不存在的點：)(xf),(bamxxx,21(2) 最大值 maxM, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf最小值 minm, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注注: 當(dāng) 在 上單調(diào)單調(diào)時,)(xf,ba最值必在端點處達(dá)到.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )1292(2 xx1224)9(209681012922xx )(xxf041x250 x041x250 x例例3. 求函數(shù)xxxxf1292)(23在閉區(qū)間,2541

6、上的最大值和最小值 .解解: 顯然, ,)(2541Cxf且)(xf, )1292(23xxx,129223xxx)(xf121862xx121862xx內(nèi)有極值可疑點在,)(2541xf2, 1,0321xxx,3)(321941f,0)0(f,5) 1 (f,4)2(f5)(25f故函數(shù)在0 x取最小值 0 ;在1x及25取最大值 5., )2)(1(6xx, )2)(1(6xx251241機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義 . 對于可導(dǎo)單調(diào)函數(shù)，對應(yīng)的函數(shù)曲線(1) 往上凸：位于該曲線上任一點切線的下方。該曲線被稱為上凸曲線，對應(yīng)的函數(shù)稱為上凸函數(shù)。(2)往下凸：位于該曲線上任

7、一點切線的下方。該曲線被稱為下凸曲線，對應(yīng)的函數(shù)稱為下凸函數(shù)。 函數(shù)曲線上凸與下凸的分界點稱為拐拐點點 .三、曲線的凸性與拐點三、曲線的凸性與拐點機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yox2x1x221xx yox1x221xx 2xyox定理定理3.(凸性判定法)(xf(1) 在 I 內(nèi),0)( xf則 在 I 內(nèi)是下凸的 ;)(xf(2) 在 I 內(nèi),0)( xf則 在 I 內(nèi)是上凸的 .)(xf“證證”: 從前面圖像可觀察到：從前面圖像可觀察到：下凸：曲線切線斜率越來越大，即導(dǎo)函數(shù)單增；二階導(dǎo)下凸：曲線切線斜率越來越大，即導(dǎo)函數(shù)單增；二階導(dǎo)數(shù)數(shù)0.上凸：曲線切線斜率越來越小，即導(dǎo)函數(shù)單減

8、；二階導(dǎo)上凸：曲線切線斜率越來越小，即導(dǎo)函數(shù)單減；二階導(dǎo)數(shù)數(shù)0. 嚴(yán)格證明見P71定理3.13：利用一階泰勒公式（P71定理3.12)可得。 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè)函數(shù)在區(qū)間I 上有二階導(dǎo)數(shù)例例4. 判斷曲線4xy 的凸性.解解:,43xy 212xy 時，當(dāng)0 x;0 y,0時x, 0 y故曲線4xy 在),(上是向上凸的.說明說明:1) 若在某點二階導(dǎo)數(shù)為 0 ,2) 根據(jù)拐點的定義及上述定理, 可得拐點的判別法如下:則曲線的凸性不變 .在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號,xyo機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2) 根據(jù)拐點的定義及上述定理, 可得拐點的判別法如下:若曲線)(xfy

9、 ,0連續(xù)在點x0)(0 xf或不存在,但)(xf 在 兩側(cè)異號異號,0 x則點)(,(00 xfx是曲線)(xfy 的一個拐點.xxy24362 )(3632xx例例5. 求曲線14334xxy的凸區(qū)間及拐點.解解:1) 求y ,121223xxy2) 求拐點可疑點坐標(biāo)令0 y得,03221xx對應(yīng)3) 列表判別271121,1yy)0,(),0(32),(32y xy0320012711故該曲線在)0,(),(32及上向上凹,向上凸 , 點 ( 0 , 1 ) 及),(271132均為拐點.上在),0(32下凸下凸上凸機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 點 M 與某一直線 L 的距離趨于

10、0,四、 曲線的漸近線曲線的漸近線定義定義 . 若曲線 C上的點M 沿著曲線無限地遠(yuǎn)離原點時,則稱直線 L 為曲線C 的漸近線漸近線 .或為“縱坐標(biāo)差縱坐標(biāo)差”NLbxkyMxyoC)(xfy P機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 只講：只講： 水平與鉛直漸近線水平與鉛直漸近線若,)(limbxfx則曲線)(xfy 有水平漸近線.by )(x或若,)(lim0 xfxx則曲線)(xfy 有垂直漸近線.0 xx )(0 xx或例例6. 求曲線211xy的漸近線 .解解:2)211(limxx2 y為水平漸近線;,)211(lim1xx1 x為垂直漸近線.21機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 五

11、、函數(shù)圖形的描繪五、函數(shù)圖形的描繪步驟步驟 :1. 確定函數(shù))(xfy 的定義域 ,期性 ;2. 求, )(, )(xfxf 并求出)(xf 及)(xf 3. 根據(jù)第二步 判別增減及上下凸區(qū)間4. 求水平和垂直漸近線 ;5. 在坐標(biāo)上描出這些特殊點 , 再依據(jù)上面其他三個步驟逐段描繪函數(shù)圖形 .為 0 和不存在的點，以及對應(yīng)的極值和拐點（統(tǒng)稱特殊點） ;并考察其對稱性及周機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7. 描繪22331xxy的圖形.解解: 1) 定義域為, ),(無對稱性及周期性.2),22xxy,22 xy,0 y令2,0 x得,0 y令1x得3)xyy y012)0,() 1

12、,0()2, 1 (),2(00234(極大)(拐點）32(極小)4)xy133220機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1231例例8. 描繪方程044)3(2yxyx的圖形.解解: 1),) 1(4)3(2xxy定義域為), 1 ( , ) 1 ,(2) 求特殊點)3(2xy4044yxy) 1(223xyxy2) 1(4) 1)(3(xxxy 42048 yxy) 1(241 xyy3) 1(2x得令0 y;3, 1x機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 113) 1,() 1 , 1()3, 1 (), 3(xyy y20,) 1(4)3(2xxy,) 1(4) 1)(3(2xxxy3) 1(2 xy3) 判別曲線形態(tài)00(極大極大)(極小極小)4) 求漸近線,lim1yx為垂直漸近線無定義無定義機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1x5）繪圖(極大極大)(極小極小)綠色斜漸近線不用畫！1x垂直漸近線特殊點11302) 1( 4) 3(2xxy機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2無定義無定