第1章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

1、第一章第一章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)（續(xù)（續(xù)2）1.3 邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)掌握邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法。掌握邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法。基本內(nèi)容和要求基本內(nèi)容和要求 1.3.1 邏輯函數(shù)的不同形式與化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的不同形式與化簡(jiǎn) 邏輯函數(shù)的形式多種多樣，一個(gè)邏輯問(wèn)題可邏輯函數(shù)的形式多種多樣，一個(gè)邏輯問(wèn)題可以用多種形式的邏輯函數(shù)來(lái)表示，以用多種形式的邏輯函數(shù)來(lái)表示， 而每一種函數(shù)而每一種函數(shù)對(duì)應(yīng)一種邏輯電路。對(duì)應(yīng)一種邏輯電路。 邏輯函數(shù)的表達(dá)形式通常有五種：邏輯函數(shù)的表達(dá)形式通常有五種：與或表達(dá)式與或表達(dá)式與非與非-與非表達(dá)式與非表達(dá)式與或非表達(dá)式與或非表達(dá)式或與表達(dá)式或與表達(dá)式或非或非-或非表達(dá)式或

2、非表達(dá)式 例如：例如：CAABF_ _CABAF )(_CABACABACABAF CAABCAABF_ CABACABAF _)(與與-或式或式與非與非-與非式與非式與或非式與或非式或與式或與式或非或非-或非式或非式圖圖 1.3.1 同一邏輯的五種邏輯圖同一邏輯的五種邏輯圖;)(_與或表達(dá)式CAABFa;)(_與非表達(dá)式CAABFb與或非表達(dá)式_)(CABAFc;)()(_或與表達(dá)式CABAFd或非表達(dá)式_)(CABAFe 一個(gè)邏輯函數(shù)的真值表是唯一的，但一個(gè)邏輯函數(shù)的真值表是唯一的，但同一函同一函數(shù)的邏輯表達(dá)式有多種形式，或繁或簡(jiǎn)。數(shù)的邏輯表達(dá)式有多種形式，或繁或簡(jiǎn)。 簡(jiǎn)單的形式對(duì)應(yīng)簡(jiǎn)潔的

3、電路，煩瑣的形式對(duì)簡(jiǎn)單的形式對(duì)應(yīng)簡(jiǎn)潔的電路，煩瑣的形式對(duì)應(yīng)復(fù)雜的電路。應(yīng)復(fù)雜的電路。 而在工程實(shí)踐中，總希望電路的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，用而在工程實(shí)踐中，總希望電路的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，用較少的邏輯器件實(shí)現(xiàn)某一邏輯功能，為此就需要對(duì)較少的邏輯器件實(shí)現(xiàn)某一邏輯功能，為此就需要對(duì)邏輯函數(shù)進(jìn)行邏輯函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)或或變換變換，以，以簡(jiǎn)化電路簡(jiǎn)化電路、節(jié)省器件節(jié)省器件、降低成本降低成本，提高系統(tǒng)可靠性提高系統(tǒng)可靠性。例如，函數(shù)：例如，函數(shù)：BCBBACBACABF _如果直接由該函數(shù)式得到電路圖，則如下圖所示。如果直接由該函數(shù)式得到電路圖，則如下圖所示。圖圖 1.3.2F原函數(shù)的邏輯圖原函數(shù)的邏輯圖 但如果將此函數(shù)化簡(jiǎn)后變

4、成但如果將此函數(shù)化簡(jiǎn)后變成:F=AC+B則只要兩個(gè)門就夠了，則只要兩個(gè)門就夠了， 如下圖所示。如下圖所示。圖圖 1.3.3 函數(shù)化簡(jiǎn)后的邏輯圖函數(shù)化簡(jiǎn)后的邏輯圖 對(duì)于邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)，對(duì)于邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)， 并沒(méi)有一個(gè)嚴(yán)格的原并沒(méi)有一個(gè)嚴(yán)格的原則，但通常遵循以下幾條：則，但通常遵循以下幾條： (1) 邏輯電路所用的邏輯門最少；邏輯電路所用的邏輯門最少； (2) 各邏輯門的輸入端要少；各邏輯門的輸入端要少； (3) 邏輯電路所用的級(jí)數(shù)要少；邏輯電路所用的級(jí)數(shù)要少； (4) 邏輯電路能可靠地工作。邏輯電路能可靠地工作。 化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)時(shí)一般先求化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)時(shí)一般先求最簡(jiǎn)與或表達(dá)式最簡(jiǎn)與或表達(dá)式。如果工程上需

5、要用其他電路形式實(shí)現(xiàn)，再利用前如果工程上需要用其他電路形式實(shí)現(xiàn)，再利用前述轉(zhuǎn)換方法求得所需的邏輯函數(shù)表達(dá)式。述轉(zhuǎn)換方法求得所需的邏輯函數(shù)表達(dá)式。 化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的主要方法有的主要方法有公式化簡(jiǎn)法公式化簡(jiǎn)法(代數(shù)代數(shù)法法)、卡諾圖化簡(jiǎn)法卡諾圖化簡(jiǎn)法以及適用于編制計(jì)算機(jī)輔助分以及適用于編制計(jì)算機(jī)輔助分析程序的析程序的Q-M化簡(jiǎn)法化簡(jiǎn)法(列表法列表法)等。等。 本課程主要介紹本課程主要介紹前兩種化簡(jiǎn)方法。前兩種化簡(jiǎn)方法。1.3.2 邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)法邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)法公式化簡(jiǎn)法就是利用邏輯代數(shù)中的公式和定公式化簡(jiǎn)法就是利用邏輯代數(shù)中的公式和定理理消去函數(shù)式中多余乘積項(xiàng)和多余因子，以求得

6、消去函數(shù)式中多余乘積項(xiàng)和多余因子，以求得函數(shù)式的最簡(jiǎn)形式。函數(shù)式的最簡(jiǎn)形式。 顯然，這種方法的基礎(chǔ)是熟記并靈活運(yùn)用所顯然，這種方法的基礎(chǔ)是熟記并靈活運(yùn)用所學(xué)邏輯代數(shù)的公式。學(xué)邏輯代數(shù)的公式。 公式化簡(jiǎn)常用方法有：公式化簡(jiǎn)常用方法有：1、并項(xiàng)法、并項(xiàng)法 ABAAB 并項(xiàng)法就是利用公式將兩項(xiàng)合并并項(xiàng)法就是利用公式將兩項(xiàng)合并成一項(xiàng)，并消去一個(gè)變量。成一項(xiàng)，并消去一個(gè)變量。 而且，根據(jù)代入規(guī)則可知，而且，根據(jù)代入規(guī)則可知，A和和B均可以是均可以是任何復(fù)雜的邏輯式。任何復(fù)雜的邏輯式。例如：例如： DCADCABDCBAF CBAABCCABCBAF )()(CBBCACBCBA ACCA A 2、消項(xiàng)法

7、、消項(xiàng)法 就是利用公式：就是利用公式：CAABBCCAAB A+AB=A及及消去消去(吸收吸收)多余的乘積項(xiàng)。多余的乘積項(xiàng)。 A和和B同樣也可以是任何復(fù)雜的邏輯式。同樣也可以是任何復(fù)雜的邏輯式。 例如：例如：BDDCAABCF )(1DAC (根據(jù)多余項(xiàng)公式消去根據(jù)多余項(xiàng)公式消去BD，再將展開，再將展開)BDDACABC DCDAABC BCDBADAF 2BA 3、吸收法、吸收法BABAA CAABBCCAAB 利用吸收律利用吸收律 A+AB=A、 和和 吸收吸收(消去消去)多余的乘多余的乘積項(xiàng)或多余因子。積項(xiàng)或多余因子。例如：例如： CBCAABF CDCABAF CBAAB)( CABA

8、B CAB CDCBA CBDA BDDCDAABCF DCADEACBAF BDDCAABC )(BDDACABC DCDAABC ADEDCACBA DCACBA 4、配項(xiàng)法、配項(xiàng)法 利用重疊律利用重疊律A+A=A、互補(bǔ)律、互補(bǔ)律A+A=1和吸收律和吸收律AB+AC+BC=AB+AC先配項(xiàng)或添加多余項(xiàng)，然后先配項(xiàng)或添加多余項(xiàng)，然后再逐步化簡(jiǎn)。再逐步化簡(jiǎn)。如：如： CBDBDAACF (添多余項(xiàng)添多余項(xiàng)AB) (去掉多余項(xiàng)去掉多余項(xiàng)AB) DBACBAC)( DABABCBAC DABCBAC DCBAC 作業(yè)作業(yè)P37、P381.13 1.141.3.3 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法邏輯函數(shù)的卡

9、諾圖化簡(jiǎn)法卡諾圖（卡諾圖（KarnaughMap）由美國(guó)工程師卡諾）由美國(guó)工程師卡諾（Karnaugh）首先提出，故稱卡諾圖，簡(jiǎn)稱）首先提出，故稱卡諾圖，簡(jiǎn)稱K圖。圖。它是一種它是一種按相鄰規(guī)則排列按相鄰規(guī)則排列而成的而成的最小項(xiàng)方格最小項(xiàng)方格圖圖，利用相鄰項(xiàng)不斷合并的原則利用相鄰項(xiàng)不斷合并的原則可以可以使邏輯函數(shù)使邏輯函數(shù)得到化簡(jiǎn)得到化簡(jiǎn)。 這種方法簡(jiǎn)便直觀，是邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)的一種這種方法簡(jiǎn)便直觀，是邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)的一種常用的比較快捷的方法，尤其適合于輸入變量小常用的比較快捷的方法，尤其適合于輸入變量小于于5個(gè)的邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)。個(gè)的邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)。1、卡諾圖結(jié)構(gòu)、卡諾圖結(jié)構(gòu) 在邏輯函數(shù)真值表中，在邏

10、輯函數(shù)真值表中，輸入變量的每一種組輸入變量的每一種組合合都和一個(gè)都和一個(gè)最小項(xiàng)相對(duì)應(yīng)最小項(xiàng)相對(duì)應(yīng)，這種真值表也稱最小，這種真值表也稱最小項(xiàng)真值表。項(xiàng)真值表。 卡諾圖就是根據(jù)最小項(xiàng)真值表按一定規(guī)則排卡諾圖就是根據(jù)最小項(xiàng)真值表按一定規(guī)則排列的方格圖。列的方格圖。 卡諾圖將邏輯變量分成兩組，每一組變量取卡諾圖將邏輯變量分成兩組，每一組變量取值組合按值組合按循環(huán)碼循環(huán)碼規(guī)則排列，圖中的每一個(gè)小方格規(guī)則排列，圖中的每一個(gè)小方格代表真值表上的一行。代表真值表上的一行。 因此，真值表有多少行，卡諾圖就有多少個(gè)因此，真值表有多少行，卡諾圖就有多少個(gè)小方格。小方格。 卡諾圖的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是需要保證邏輯函數(shù)的邏卡諾圖

11、的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是需要保證邏輯函數(shù)的邏輯相鄰關(guān)系輯相鄰關(guān)系，即圖上的幾何相鄰關(guān)系。，即圖上的幾何相鄰關(guān)系。 為保證上述相鄰關(guān)系，為保證上述相鄰關(guān)系， 每相鄰方格的變量組每相鄰方格的變量組合之間只允許一個(gè)變量取值不同合之間只允許一個(gè)變量取值不同。 為此，卡諾圖的變量標(biāo)注均采用為此，卡諾圖的變量標(biāo)注均采用循環(huán)碼循環(huán)碼。 所謂所謂循環(huán)碼循環(huán)碼，是指相鄰兩組編碼之間只有一，是指相鄰兩組編碼之間只有一個(gè)變量值不同的編碼。個(gè)變量值不同的編碼。 對(duì)于兩變量，對(duì)于兩變量，4種取值組合按種取值組合按00 01 11 10排列。排列。 這里的相鄰包含頭、尾兩組，即這里的相鄰包含頭、尾兩組，即00與與10也相也相鄰。鄰。

12、一個(gè)變量卡諾圖：一個(gè)變量卡諾圖： 有有21=2個(gè)最小項(xiàng)，因此有兩個(gè)方格，如圖所個(gè)最小項(xiàng)，因此有兩個(gè)方格，如圖所示：示：外標(biāo)的外標(biāo)的0表示取表示取A的反變量，的反變量，1表示取表示取A的原變量。的原變量。二變量卡諾圖：二變量卡諾圖： 有有2=4個(gè)最小項(xiàng)，因此有四個(gè)方格，如圖個(gè)最小項(xiàng)，因此有四個(gè)方格，如圖所示。所示。外標(biāo)的外標(biāo)的0、 1含義與前一樣。含義與前一樣。 三變量卡諾圖：三變量卡諾圖： 有有23=8個(gè)最小項(xiàng)，其卡諾圖如圖所示。個(gè)最小項(xiàng)，其卡諾圖如圖所示。0BCA01132457600011110四變量卡諾圖：四變量卡諾圖： 有有24=16個(gè)最小項(xiàng)，個(gè)最小項(xiàng)， 其卡諾圖如圖所示。其卡諾圖如圖

13、所示。10ABCD013245761213151489110001111000011110五變量卡諾圖：五變量卡諾圖： 有有25=32個(gè)最小項(xiàng)，個(gè)最小項(xiàng)， 其卡諾圖如圖所示。其卡諾圖如圖所示。 7ABCDE0001111011001326548911101415131224252726303129281617191822232120000001011010111101100 從以上分析可以看出，卡諾圖具有如下特點(diǎn)：從以上分析可以看出，卡諾圖具有如下特點(diǎn)：(1) n變量卡諾圖有變量卡諾圖有2n個(gè)方格，對(duì)應(yīng)表示個(gè)方格，對(duì)應(yīng)表示2n個(gè)個(gè)最小項(xiàng)。最小項(xiàng)。 每當(dāng)變量數(shù)增加一個(gè)，卡諾圖的方格數(shù)就擴(kuò)每當(dāng)變量

14、數(shù)增加一個(gè)，卡諾圖的方格數(shù)就擴(kuò)大一倍。大一倍。 (2) 卡諾圖中任何相鄰位置的兩個(gè)最小項(xiàng)都卡諾圖中任何相鄰位置的兩個(gè)最小項(xiàng)都是相鄰項(xiàng)。是相鄰項(xiàng)。 即兩個(gè)最小項(xiàng)中除一個(gè)變量不同外，其他的即兩個(gè)最小項(xiàng)中除一個(gè)變量不同外，其他的變量都相同，變量都相同， 這兩個(gè)最小項(xiàng)叫做這兩個(gè)最小項(xiàng)叫做邏輯上具有相鄰邏輯上具有相鄰性性。 變量取值順序按變量取值順序按格雷碼格雷碼(循環(huán)碼循環(huán)碼)排列排列，以確，以確保各相鄰行（列）之間只有一個(gè)變量取值不同，保各相鄰行（列）之間只有一個(gè)變量取值不同，從而保證了卡諾圖具有這一重要特點(diǎn)。從而保證了卡諾圖具有這一重要特點(diǎn)。相鄰位置包括三種情況：相鄰位置包括三種情況： 一是相接，

15、即緊挨著；一是相接，即緊挨著； 二是相對(duì)，即任意一行或一列的兩頭；二是相對(duì)，即任意一行或一列的兩頭； 三是相重，即對(duì)折起來(lái)位置重合。三是相重，即對(duì)折起來(lái)位置重合。 卡諾圖的主要缺點(diǎn)是隨著輸入變量增加圖形卡諾圖的主要缺點(diǎn)是隨著輸入變量增加圖形迅速?gòu)?fù)雜，相鄰項(xiàng)不那么直觀。迅速?gòu)?fù)雜，相鄰項(xiàng)不那么直觀。 因此，卡諾圖只適于表示因此，卡諾圖只適于表示6個(gè)以下變量的邏輯個(gè)以下變量的邏輯函數(shù)。函數(shù)。2、邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法、邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法 若邏輯函數(shù)式是最小項(xiàng)表達(dá)式，則可在相應(yīng)若邏輯函數(shù)式是最小項(xiàng)表達(dá)式，則可在相應(yīng)變量的卡諾圖中直接表示出該函數(shù)。如：變量的卡諾圖中直接表示出該函數(shù)。如： 在卡諾圖相

16、應(yīng)方格中填上在卡諾圖相應(yīng)方格中填上1，其余填，其余填0。 上述函數(shù)的卡諾圖表示如下圖上述函數(shù)的卡諾圖表示如下圖1.3.4所示。所示。1567_mmmmCBACBACABABCF 圖圖 1.3.4 邏輯函數(shù)用卡諾圖表示邏輯函數(shù)用卡諾圖表示1567_mmmmCBACBACABABCF 【例【例】 用卡諾圖表示邏輯函數(shù)。用卡諾圖表示邏輯函數(shù)。 )7, 6, 5, 3(),(mCBAF如果邏輯函數(shù)不是最小項(xiàng)表達(dá)式形式，則先將如果邏輯函數(shù)不是最小項(xiàng)表達(dá)式形式，則先將邏輯函數(shù)變換成最小項(xiàng)表達(dá)式，然后再填寫卡諾圖。邏輯函數(shù)變換成最小項(xiàng)表達(dá)式，然后再填寫卡諾圖。ACBDACBAF 卡諾圖見下圖卡諾圖見下圖1.

17、3.5。 。ACBDACBAF 【例【例】用卡諾圖表示邏輯函數(shù)】用卡諾圖表示邏輯函數(shù)解：解：ABCDDABCCDBADCBABCDADCBADCBADCBA 15,14,11,10, 7, 5, 9, 8 m圖圖1.3.5 上例卡諾圖上例卡諾圖 15,14,11,10, 7, 5, 9, 8m 如果給出的是邏輯函數(shù)真值表，只要一一對(duì)如果給出的是邏輯函數(shù)真值表，只要一一對(duì)應(yīng)填入函數(shù)值即可，更加方便。應(yīng)填入函數(shù)值即可，更加方便。 實(shí)際中，一般函數(shù)式也可直接用卡諾圖表示。實(shí)際中，一般函數(shù)式也可直接用卡諾圖表示。 例：將例：將 用卡諾圖表示。用卡諾圖表示。ABCDDCACDBDCCBF _解：逐項(xiàng)用卡

18、諾圖表示，然后再合起來(lái)即可。解：逐項(xiàng)用卡諾圖表示，然后再合起來(lái)即可。_CB ：在在B=1, C=0對(duì)應(yīng)方格對(duì)應(yīng)方格(不管不管A，D取值取值)，得得m4、 m5、m12、m13，在對(duì)應(yīng)在對(duì)應(yīng) 位置填位置填1； ：在在C=1, D=0所對(duì)應(yīng)的方格中填所對(duì)應(yīng)的方格中填1， 即即m2、m6、m10、m14； _DC ：在：在B=0，C=D=1對(duì)應(yīng)方格中填對(duì)應(yīng)方格中填1， 即即m3、m11； CDB_ ： 在在A=C=0, D=1對(duì)應(yīng)方格中填對(duì)應(yīng)方格中填1，即，即m1、 m5；DCA_ABCD ： 即即m15。 圖圖 1.3.5 邏輯函數(shù)直接用卡諾圖表示邏輯函數(shù)直接用卡諾圖表示3、相鄰最小項(xiàng)合并規(guī)律、相

19、鄰最小項(xiàng)合并規(guī)律 (1) 兩個(gè)相鄰項(xiàng)合并為一項(xiàng)，兩個(gè)相鄰項(xiàng)合并為一項(xiàng)， 消去一個(gè)消去一個(gè)取值取值不同的變量，保留相同變量；不同的變量，保留相同變量； (2) 四個(gè)相鄰項(xiàng)合并為一項(xiàng)，四個(gè)相鄰項(xiàng)合并為一項(xiàng)， 消去兩個(gè)消去兩個(gè)取值取值不同的變量，不同的變量， 保留相同變量；保留相同變量； (3) 八個(gè)相鄰項(xiàng)合并為一項(xiàng)，八個(gè)相鄰項(xiàng)合并為一項(xiàng)，消去三個(gè)消去三個(gè)取值不取值不同的變量，保留相同變量。同的變量，保留相同變量。 2個(gè)相鄰個(gè)相鄰1格合并消去一個(gè)變量格合并消去一個(gè)變量 ABC01(a)1100 01 11 10ABC01(b)1100 01 11 10ABC00 01 11 1001(c)11ABC

20、D00011110(d)1100 01 11 10ABCD00011110(e)110001 11 102個(gè)相鄰個(gè)相鄰1格合并消去一個(gè)變量格合并消去一個(gè)變量 1ABCD00011110(f)100 01 11 10(g)ABCD000111101100 01 11 104個(gè)相鄰個(gè)相鄰1格合并消去兩個(gè)變量格合并消去兩個(gè)變量 ABC01(b)111100 01 11 10ABC00 01 11 1001(c)1111ABCD00011110(d)111100 01 11 10ABCD00011110(e)11110001 11 10ABC01(a)111100 01 11 104個(gè)相鄰個(gè)相鄰1格合

21、并消去兩個(gè)變量格合并消去兩個(gè)變量 ABCD00011110(f)111100 01 11 10(g)1ABCD0001111011100 01 11 10 8個(gè)相鄰個(gè)相鄰1格合并消去三個(gè)變量格合并消去三個(gè)變量 A1BC01(a)11111110001 11 10ABCD00011110(b)00 01 111011111111ABCD00011110(c)1111000111101111 8個(gè)相鄰個(gè)相鄰1格合并消去三個(gè)變量格合并消去三個(gè)變量 ABCD00 01 111000011110(d)11111111ABCDE00011110(e)11111111000 001 011 010 110

22、111 101 100 按以上規(guī)律可知，按以上規(guī)律可知，16個(gè)相鄰項(xiàng)合并的規(guī)律。個(gè)相鄰項(xiàng)合并的規(guī)律。 需要指出：合并規(guī)律是需要指出：合并規(guī)律是2n個(gè)最小項(xiàng)的相鄰項(xiàng)個(gè)最小項(xiàng)的相鄰項(xiàng)合并，不滿足合并，不滿足2n關(guān)系的最小項(xiàng)不可合并。關(guān)系的最小項(xiàng)不可合并。 如如2、4、8、16個(gè)相鄰項(xiàng)可合并，其它均不個(gè)相鄰項(xiàng)可合并，其它均不能合并，而且相鄰關(guān)系是封閉的，如能合并，而且相鄰關(guān)系是封閉的，如m0、m1、m3、m2四個(gè)最小項(xiàng)，四個(gè)最小項(xiàng)，m0與與m1，m1與與m3，m3與與m2均相鄰，且均相鄰，且m2和和m0還相鄰。還相鄰。 這樣的這樣的2n個(gè)相鄰最小項(xiàng)可合并。個(gè)相鄰最小項(xiàng)可合并。 而而m0、m1、m3、

23、m7，由于，由于m0與與m7不相鄰，不相鄰，因而這四個(gè)最小項(xiàng)不可合并為一項(xiàng)。因而這四個(gè)最小項(xiàng)不可合并為一項(xiàng)。(4) 為為1的格都不能漏圈，否則，最后化簡(jiǎn)出的的格都不能漏圈，否則，最后化簡(jiǎn)出的表達(dá)式與所給函數(shù)不相等。表達(dá)式與所給函數(shù)不相等。 (5) 在不違反在不違反(1)(4)原則下，合并圈應(yīng)盡可能原則下，合并圈應(yīng)盡可能大，圈的個(gè)數(shù)盡可能少。大，圈的個(gè)數(shù)盡可能少。 圈大，消去變量多，與項(xiàng)中的變量數(shù)少；圈大，消去變量多，與項(xiàng)中的變量數(shù)少； 圈的個(gè)數(shù)少，與項(xiàng)個(gè)數(shù)也少，這樣有利于達(dá)圈的個(gè)數(shù)少，與項(xiàng)個(gè)數(shù)也少，這樣有利于達(dá)到最簡(jiǎn)。到最簡(jiǎn)。 下圖下圖1.3.6和圖和圖1.3.7是兩個(gè)例子。是兩個(gè)例子。 圖圖

24、1.3.6 圈的面積盡可能大圈的面積盡可能大 ABCD00011110111111110000001100011110(a)1ABCD0001111011111110000001100011110(b)圖圖1.3.7 圈的個(gè)數(shù)盡可能少圈的個(gè)數(shù)盡可能少 ABCD00011110110101110011000000011110(a)1ABCD0001111010101110011000000011110(b)(6) 允許為允許為1的格重復(fù)圈，但每個(gè)圈至少應(yīng)包的格重復(fù)圈，但每個(gè)圈至少應(yīng)包含含1個(gè)新的個(gè)新的1格。格。 可以重復(fù)圈的依據(jù)是同一律可以重復(fù)圈的依據(jù)是同一律AA=A。 但是，如果某個(gè)圈中所有但

25、是，如果某個(gè)圈中所有1格都已被其他圈格都已被其他圈圈過(guò)，那么這個(gè)圈對(duì)應(yīng)的與項(xiàng)是多余項(xiàng)，如圖圈過(guò)，那么這個(gè)圈對(duì)應(yīng)的與項(xiàng)是多余項(xiàng)，如圖1.3.8所示。所示。 圖圖1.3.8 每個(gè)圈至少應(yīng)包含一個(gè)新的最小項(xiàng)每個(gè)圈至少應(yīng)包含一個(gè)新的最小項(xiàng) ABCD00011110010001111110001000011110(a)0ABCD0001111010001111110001000011110(b)用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)時(shí)，由于合并最小項(xiàng)方用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)時(shí)，由于合并最小項(xiàng)方式不同，最后所得到的最簡(jiǎn)與或式也會(huì)不同。式不同，最后所得到的最簡(jiǎn)與或式也會(huì)不同。 這種方法簡(jiǎn)單直觀、這種方法簡(jiǎn)單直觀、 容易掌握。容

26、易掌握。 但是，如果邏輯變量個(gè)數(shù)大于但是，如果邏輯變量個(gè)數(shù)大于5， 就會(huì)因圖就會(huì)因圖形復(fù)雜而失去實(shí)用意義。形復(fù)雜而失去實(shí)用意義。 4、用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的步驟、用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的步驟 運(yùn)用最小項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)式，運(yùn)用最小項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)式， 在卡諾圖上進(jìn)行邏輯函在卡諾圖上進(jìn)行邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)，數(shù)化簡(jiǎn)， 得到的基本形式是得到的基本形式是與或邏輯與或邏輯。 其步驟如其步驟如下：下： (1) 將原始函數(shù)用卡諾圖表示；將原始函數(shù)用卡諾圖表示； (2) 根據(jù)最小項(xiàng)合并規(guī)律畫卡諾圈，根據(jù)最小項(xiàng)合并規(guī)律畫卡諾圈， 圈住全部圈住全部為為“”的方格；的方格； (3) 將全部卡諾圈的結(jié)果，將全部卡諾圈的結(jié)果， “或或”起來(lái)即得起來(lái)

27、即得化簡(jiǎn)后的新函數(shù)；化簡(jiǎn)后的新函數(shù)； (4) 由邏輯門電路，由邏輯門電路， 組成邏輯電路圖。組成邏輯電路圖。 例：化簡(jiǎn)例：化簡(jiǎn)。CBADCACBCDBF_ 解解 第一步：第一步： 用卡諾圖表示該邏輯函數(shù)。用卡諾圖表示該邏輯函數(shù)。 CDB_： 對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)m3、m11：_CB對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)m4、m5、m12、m13：DCA_對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)m1、m5：DCA_對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)m10、m11本例函數(shù)的卡諾圖表示本例函數(shù)的卡諾圖表示 第二步：第二步： 畫卡諾圈圈住全部為畫卡諾圈圈住全部為“”的方格。的方格。 具體化簡(jiǎn)過(guò)程如下圖所示。具體化簡(jiǎn)過(guò)程如下圖所示。 為便于檢查，每個(gè)卡諾圈化簡(jiǎn)結(jié)果應(yīng)標(biāo)在卡為便于檢查，每個(gè)卡諾圈化簡(jiǎn)結(jié)果

28、應(yīng)標(biāo)在卡諾圖上。諾圖上。圖圖1.3.9 本例的化簡(jiǎn)過(guò)程本例的化簡(jiǎn)過(guò)程 第三步：第三步： 組成新函數(shù)。組成新函數(shù)。 每一個(gè)卡諾圈對(duì)應(yīng)一個(gè)與項(xiàng)，然后再將每一個(gè)卡諾圈對(duì)應(yīng)一個(gè)與項(xiàng)，然后再將各與項(xiàng)各與項(xiàng)“或或”起來(lái)得新函數(shù)。故化簡(jiǎn)結(jié)果為：起來(lái)得新函數(shù)。故化簡(jiǎn)結(jié)果為： 第四步：畫出邏輯電路。第四步：畫出邏輯電路。 邏輯電路如圖邏輯電路如圖1.3.10所示。所示。 DBACBACBF_ 圖圖1.3.10 本例化簡(jiǎn)后的邏輯圖本例化簡(jiǎn)后的邏輯圖例：化簡(jiǎn)例：化簡(jiǎn))15,13,12, 7 , 6 , 5 , 2 , 1 , 0(F 解：其卡諾圖及化簡(jiǎn)過(guò)程如圖解：其卡諾圖及化簡(jiǎn)過(guò)程如圖1.3.11所示。所示。圖圖1

29、.3.11 本例化簡(jiǎn)過(guò)程本例化簡(jiǎn)過(guò)程 需要注意的是，在卡諾圈有多種圈法時(shí)，要需要注意的是，在卡諾圈有多種圈法時(shí)，要注意如何使卡諾圈數(shù)目最少，同時(shí)又要盡可能地注意如何使卡諾圈數(shù)目最少，同時(shí)又要盡可能地使卡諾圈大。使卡諾圈大。 比較圖比較圖(a)、 (b)兩種圈法，顯然圖兩種圈法，顯然圖(b)圈法優(yōu)圈法優(yōu)于圖于圖(a)圈法，因?yàn)樗僖粋€(gè)卡諾圈，組成電路就圈法，因?yàn)樗僖粋€(gè)卡諾圈，組成電路就少用一個(gè)與門。少用一個(gè)與門。 化簡(jiǎn)結(jié)果應(yīng)為圖化簡(jiǎn)結(jié)果應(yīng)為圖(b)，邏輯圖如圖，邏輯圖如圖1.3.12所示。所示。其化簡(jiǎn)函數(shù)為其化簡(jiǎn)函數(shù)為:_DCABDCABCBAF 圖圖1.3.12 本例邏輯圖本例邏輯圖例：化簡(jiǎn)

30、例：化簡(jiǎn)F(ABCD) )14,13,12,11, 7 , 6 , 5 , 4 , 2 , 1( 解：該函數(shù)的卡諾圖如下圖解：該函數(shù)的卡諾圖如下圖(a)所示。所示。化簡(jiǎn)情況如圖化簡(jiǎn)情況如圖(b)、 (c)所示。所示。_DBBACBDCADCACDBAF 圖圖(b)是初學(xué)者常圈成的結(jié)果，圖是初學(xué)者常圈成的結(jié)果，圖(c)是正確結(jié)是正確結(jié)果，即果，即:這二者的差別在于圖這二者的差別在于圖(b)將將m6和和m14圈為二單元圈。圈為二單元圈。圖圖(c)將將m4、 m6、m12、m14圈成四單元圈。前者圈成四單元圈。前者化簡(jiǎn)結(jié)果為化簡(jiǎn)結(jié)果為BCD，而后者為，而后者為BD，少了一個(gè)變量。，少了一個(gè)變量。圖圖

31、 1.3.13 本例的化簡(jiǎn)過(guò)程本例的化簡(jiǎn)過(guò)程例：化簡(jiǎn)例：化簡(jiǎn) )15,14,11,10, 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 2 , 0()(ABCDF 解：其卡諾圖及化簡(jiǎn)過(guò)程如圖解：其卡諾圖及化簡(jiǎn)過(guò)程如圖1.3.14(a)所示，所示，邏輯圖如圖邏輯圖如圖(b)所示。所示。化簡(jiǎn)結(jié)果：化簡(jiǎn)結(jié)果：BCBDABADBF _ 此例在圈的過(guò)程中注意四個(gè)角此例在圈的過(guò)程中注意四個(gè)角m0、m2、m8、m10可以圈成四單元圈?？梢匀Τ伤膯卧?。圖圖 1.3.14 本例化簡(jiǎn)過(guò)程及邏輯圖本例化簡(jiǎn)過(guò)程及邏輯圖例：化簡(jiǎn)例：化簡(jiǎn) 。)15,14,13, 9 , 7 , 5 , 4 , 3()(ABCDF 解：化簡(jiǎn)過(guò)

32、程如圖解：化簡(jiǎn)過(guò)程如圖1.3.15(a)、 (b)所示，所示， (a)中出現(xiàn)了多余圈。中出現(xiàn)了多余圈。m5、m7、m13、m15雖然可圈成四單元圈，但它的雖然可圈成四單元圈，但它的每一個(gè)最小項(xiàng)均被別的卡諾圈圈過(guò)，是多余圈，每一個(gè)最小項(xiàng)均被別的卡諾圈圈過(guò)，是多余圈，此時(shí)最佳結(jié)果應(yīng)如圖此時(shí)最佳結(jié)果應(yīng)如圖(b)所示。所示?；?jiǎn)結(jié)果的邏輯電路圖如圖化簡(jiǎn)結(jié)果的邏輯電路圖如圖1.3.15(c)所示。所示。CDAABCDCACBAF_ 化簡(jiǎn)結(jié)果化簡(jiǎn)結(jié)果:圖圖 1.3.15 本例化簡(jiǎn)過(guò)程及邏輯圖本例化簡(jiǎn)過(guò)程及邏輯圖作業(yè)作業(yè)P381.15 1.201.3.4 具有無(wú)關(guān)具有無(wú)關(guān)(約束約束)項(xiàng)的邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)項(xiàng)的邏輯

33、函數(shù)化簡(jiǎn)1、具有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)、具有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)邏輯問(wèn)題分為邏輯問(wèn)題分為完全描述完全描述和和非完全描述非完全描述兩種。兩種。如果對(duì)于輸入變量的每一組取值，邏輯函數(shù)都有如果對(duì)于輸入變量的每一組取值，邏輯函數(shù)都有確定的值，則稱這類函數(shù)為完全描述的邏輯函數(shù)。確定的值，則稱這類函數(shù)為完全描述的邏輯函數(shù)。 如果對(duì)于輸入變量的某些取值組合，邏輯函如果對(duì)于輸入變量的某些取值組合，邏輯函數(shù)值不確定，即函數(shù)值可以為數(shù)值不確定，即函數(shù)值可以為0，也可以為，也可以為1，那，那么稱這類函數(shù)為非完全描述的邏輯函數(shù)。么稱這類函數(shù)為非完全描述的邏輯函數(shù)。 對(duì)應(yīng)輸出函數(shù)值不確定的輸入最小項(xiàng)（或最對(duì)應(yīng)輸出函數(shù)值不確定的輸

34、入最小項(xiàng)（或最大項(xiàng)）稱為大項(xiàng)）稱為無(wú)關(guān)項(xiàng)無(wú)關(guān)項(xiàng)。 具有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)就是非完全描述的邏具有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)就是非完全描述的邏輯函數(shù)。輯函數(shù)。 完全描述真值表完全描述真值表 A B CF00001111001100110101010100010010非完全描述真值表非完全描述真值表 A B CF0000111100110011010101010101在一些應(yīng)用中，存在以下兩種情況：在一些應(yīng)用中，存在以下兩種情況：(1) 由于某種條件的限制由于某種條件的限制(或約束或約束)使得輸入變使得輸入變量的某些組合不會(huì)出現(xiàn)或者不允許出現(xiàn)，因而在量的某些組合不會(huì)出現(xiàn)或者不允許出現(xiàn)，因而在這些取值下對(duì)應(yīng)的函數(shù)

35、值是這些取值下對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是“無(wú)關(guān)無(wú)關(guān)”緊要的，它緊要的，它可以為可以為1，也可以為，也可以為0。 (2) 輸入變量的某些組合出現(xiàn)時(shí)，輸出可為任輸入變量的某些組合出現(xiàn)時(shí)，輸出可為任意值，即這些輸入組合所產(chǎn)生的輸出并不影響整意值，即這些輸入組合所產(chǎn)生的輸出并不影響整個(gè)系統(tǒng)的功能，因此可以不必考慮輸出是個(gè)系統(tǒng)的功能，因此可以不必考慮輸出是0還是還是1。 這樣的輸入組合所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)稱為這樣的輸入組合所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)稱為無(wú)關(guān)項(xiàng)無(wú)關(guān)項(xiàng)(或稱或稱任意項(xiàng)任意項(xiàng)、約束項(xiàng)約束項(xiàng)、隨意項(xiàng)隨意項(xiàng))。 無(wú)關(guān)項(xiàng)一般用以下方法表示：無(wú)關(guān)項(xiàng)一般用以下方法表示： )15,12,10, 2(9 , 7 , 5 , 3 , 1)

36、,(dmDCBAF(1) 在真值表或卡諾圖中填在真值表或卡諾圖中填 或或 ，表示函，表示函數(shù)值既可為數(shù)值既可為 0 也可為也可為 1 。 (2) 在邏輯表達(dá)式中有兩種表示方法：在邏輯表達(dá)式中有兩種表示方法： 用用m()表示表示 F中中 取值為取值為“1”的所有最小的所有最小項(xiàng)；用項(xiàng)；用d()表示函數(shù)中的無(wú)關(guān)項(xiàng)。表示函數(shù)中的無(wú)關(guān)項(xiàng)。 如：如： 用約束條件式表示無(wú)關(guān)項(xiàng)。用約束條件式表示無(wú)關(guān)項(xiàng)。 0)7 , 5 , 4 , 3 , 1(),(ABmDCBAF例如，下式中例如，下式中AB = 0是函數(shù)是函數(shù)F的約束條件，表示必的約束條件，表示必須保證須保證AB = 0，即，即A和和B不同時(shí)為不同時(shí)為1

37、，因此，在卡，因此，在卡諾圖中對(duì)應(yīng)諾圖中對(duì)應(yīng)AB為為11的項(xiàng)是無(wú)關(guān)項(xiàng)。的項(xiàng)是無(wú)關(guān)項(xiàng)。 再例如，函數(shù)式再例如，函數(shù)式AB+AC=0表示約束條件時(shí)，表示約束條件時(shí)，其含意指：在卡諾圖中，對(duì)應(yīng)其含意指：在卡諾圖中，對(duì)應(yīng)AB為為11的項(xiàng)內(nèi)，的項(xiàng)內(nèi)，F(xiàn)值應(yīng)填入值應(yīng)填入“”，對(duì)應(yīng)，對(duì)應(yīng)AC為為11的項(xiàng)內(nèi)，的項(xiàng)內(nèi)，F(xiàn)值也應(yīng)填值也應(yīng)填入入“”。 對(duì)于含有無(wú)關(guān)項(xiàng)邏輯函數(shù)既可表示為：對(duì)于含有無(wú)關(guān)項(xiàng)邏輯函數(shù)既可表示為：)7 , 6 , 5 , 3()4 , 1()( dABCF _0CBACBAFBCACAB約束條件為約束條件為也可表示為：也可表示為：即不允許即不允許AB或或AC或或BC同為同為1。對(duì)于邏輯函數(shù)對(duì)于

38、邏輯函數(shù) 的化簡(jiǎn)，的化簡(jiǎn)， 如果不考慮無(wú)關(guān)項(xiàng)，如果不考慮無(wú)關(guān)項(xiàng)， 則不可再化簡(jiǎn)，則不可再化簡(jiǎn)， 如下圖所示。如下圖所示。 )7 , 6 , 5 , 3()4 , 1()( dABCF圖圖 1.3.16 不考慮無(wú)關(guān)項(xiàng)的化簡(jiǎn)不考慮無(wú)關(guān)項(xiàng)的化簡(jiǎn)_CBACBAF 邏輯函數(shù)結(jié)果為：邏輯函數(shù)結(jié)果為：考慮無(wú)關(guān)項(xiàng)時(shí)邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)如下圖?？紤]無(wú)關(guān)項(xiàng)時(shí)邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)如下圖。其結(jié)果為：其結(jié)果為：F=A+C圖圖 1.3.17 考慮無(wú)關(guān)項(xiàng)函數(shù)化簡(jiǎn)考慮無(wú)關(guān)項(xiàng)函數(shù)化簡(jiǎn)2、具有無(wú)關(guān)項(xiàng)邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)、具有無(wú)關(guān)項(xiàng)邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)包含無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)時(shí)，應(yīng)充分、合理化簡(jiǎn)包含無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)時(shí)，應(yīng)充分、合理地利用無(wú)關(guān)項(xiàng)，使邏輯函數(shù)得到

39、更加簡(jiǎn)單的結(jié)果。地利用無(wú)關(guān)項(xiàng)，使邏輯函數(shù)得到更加簡(jiǎn)單的結(jié)果。 化簡(jiǎn)時(shí)，將卡諾圖中的化簡(jiǎn)時(shí)，將卡諾圖中的（或（或）究竟作為）究竟作為1還是作為還是作為0來(lái)處理應(yīng)以卡諾圈數(shù)最少、卡諾圈最大來(lái)處理應(yīng)以卡諾圈數(shù)最少、卡諾圈最大為原則。為原則。 因此，并不是所有的無(wú)關(guān)項(xiàng)都要覆蓋。因此，并不是所有的無(wú)關(guān)項(xiàng)都要覆蓋。 例：化簡(jiǎn)例：化簡(jiǎn) )15,14,13,12,11,10()9 , 8 , 7 , 6 , 5()(dABCDF解：化簡(jiǎn)過(guò)程如下圖所示。解：化簡(jiǎn)過(guò)程如下圖所示。圖圖 1.3.18 本例化簡(jiǎn)及邏輯圖本例化簡(jiǎn)及邏輯圖例：化簡(jiǎn)例：化簡(jiǎn)。 )15,14,11,10, 7 , 3()12, 8 , 5 ,

40、 1()(dABCDF 解：化簡(jiǎn)過(guò)程如下圖所示，由于解：化簡(jiǎn)過(guò)程如下圖所示，由于m11和和m15對(duì)化對(duì)化簡(jiǎn)不利，簡(jiǎn)不利， 因此就沒(méi)圈進(jìn)。因此就沒(méi)圈進(jìn)。圖圖 1.3.19 本例化簡(jiǎn)及邏輯圖本例化簡(jiǎn)及邏輯圖DADAF_ 例：化簡(jiǎn)例：化簡(jiǎn)約束條件約束條件 0_ABCBCBAF 解：解： AB=0即表示即表示A與與B不能同時(shí)為不能同時(shí)為1，則，則AB=11所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)為無(wú)關(guān)項(xiàng)。所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)為無(wú)關(guān)項(xiàng)。 其卡諾圖及化簡(jiǎn)過(guò)程如下圖所示。其卡諾圖及化簡(jiǎn)過(guò)程如下圖所示。圖圖 1.3.20 本例化簡(jiǎn)過(guò)程本例化簡(jiǎn)過(guò)程作業(yè)作業(yè)P381.18 1.191.3.5 多輸出邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)多輸出邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)多輸出函數(shù)的方框

41、圖多輸出函數(shù)的方框圖例：對(duì)多輸出函數(shù)例：對(duì)多輸出函數(shù) 進(jìn)行化簡(jiǎn)。進(jìn)行化簡(jiǎn)。 )7 , 4 , 3()7 , 5 , 4 , 3 , 1(21FF 解：各自的卡諾圖和各自化簡(jiǎn)結(jié)果如下圖所示。解：各自的卡諾圖和各自化簡(jiǎn)結(jié)果如下圖所示。圖圖 1.3.21 本例各函數(shù)獨(dú)立化簡(jiǎn)結(jié)果本例各函數(shù)獨(dú)立化簡(jiǎn)結(jié)果 如果將兩個(gè)輸出函數(shù)視為一個(gè)整體，其化簡(jiǎn)如果將兩個(gè)輸出函數(shù)視為一個(gè)整體，其化簡(jiǎn)過(guò)程及結(jié)果如下圖所示。過(guò)程及結(jié)果如下圖所示。圖圖 1.3.22 本例將本例將F1F2函數(shù)作為整體考慮的化簡(jiǎn)函數(shù)作為整體考慮的化簡(jiǎn)本章小結(jié)本章小結(jié)本章主要介紹了本章主要介紹了數(shù)制和碼制數(shù)制和碼制、邏輯代數(shù)的基本邏輯代數(shù)的基本定律定律、常用公式常用公式、邏輯函數(shù)的表示方法邏輯函數(shù)的表示方法和和邏輯函數(shù)邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法的化簡(jiǎn)方法。 數(shù)字系統(tǒng)中常用的計(jì)數(shù)制有數(shù)字系統(tǒng)中常用的計(jì)數(shù)制有十進(jìn)制十進(jìn)制、二進(jìn)制二進(jìn)制、八進(jìn)制八進(jìn)制和和十六進(jìn)制十六進(jìn)制。 掌握各種計(jì)數(shù)制的構(gòu)成及相掌握各種計(jì)數(shù)制的構(gòu)成及相互間的轉(zhuǎn)換非常重要?；ラg的轉(zhuǎn)換非常重要。 由于二進(jìn)制只有由于二進(jìn)制只有0、1兩個(gè)數(shù)值，