專(zhuān)題86空間向量及空間位置關(guān)系練解析版

1、專(zhuān)題8.6空間向量及空間位置關(guān)系1.（廣東佛山一中2019屆期中）平面”的法向量為（1,2,2）,平面3的法向量為（一2,4,k）,若all3,則k等于（）A.2B.-4C.4D.-2【解析】all3，兩平面的法向量平行,k2，k4.2 .（廣西河池高級(jí)中學(xué)2019屆期末）在空間直角坐標(biāo)系中，已知A（1,2,3）,B（-2,1,6）,0（3,2,1）,D（4,3,0）,則直線(xiàn)AB與CD的位置關(guān)系是（）A.垂直B.平行C.異面D.相交但不垂直【答案】B【解析】由題意得，AB=(-3,3,3),Cb=(1,1,1),所以AB=3CD,所以AB與CD共線(xiàn),又AB與CD沒(méi)有公共點(diǎn)，所以AB/CD.3

2、.（山東日照一中2019屆期中）已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)都等于a,點(diǎn)E,F分別是BC,AD的中點(diǎn)，則AEAF的值為()A.a2B.1a2C.1a2D.fa2244【答案】C【解析】如圖，設(shè)AB=a,AC=b,AD=c,則|a|=|b|=|c|=a,且a,b,c三向量?jī)蓛蓨A角為60.AE=1(a+b),AF=2c,AEAF=2(a+b)2c4(ac+bc)=4(a,3吟cos60+a2cos60)=4a2.4.（黑龍江鶴崗一中2019屆期末）如圖，在空間四邊形OABC中，OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,1CW/OAC=45°,ZOAB=60°,則OA

3、與BC所成角的余弦值為（）【解析】因?yàn)镋BC=.AC-AB,所以O(shè)ABC=OAaC-OA能=|OA|AC|cos<OA,AC-|OA|AB|cos<OA,AB=8X4Xcos135-8X6>os120=16避+24.所以cos<OA,BC>=OABC|OA|bC|24-16723-22=8X5=5.即OA與BC所成角的余弦值為3-斗.55 .（江蘇金陵中學(xué)2019屆期中）如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為a,M,N分別為AiB和AC上的點(diǎn)，AiM=AN=,則MN與平面BB1C1C的彳立置關(guān)系是（）A.斜交B.平行C.垂直D.MN在平面BBiCiC

4、內(nèi)【答案】B【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由于A1M=AN=、a，則Ma,2a3,N2a2aa,M-a，0,1a又CiDi，平面BBiCiC,所以C；Di=(0,a,0)為平面BBiCiC的一個(gè)法向量.因?yàn)閙NciDi=0,所以亦，CDi,又MN?平面BBiCiC,所以MN/平面BBiCiC.6 .(安徽淮北一中20i9屆期末)已知AB=(i,5,2),BC=(3,i,z),若AfeBC,BP=(x-i,y,3),且BP,平面ABC,則實(shí)數(shù)x+y=.【答案】253+5-2z=0,【解析】由條件得x-i+5y+6=0,3(xi)+y3z=0,右力/日40i5,解得x=,y=-z=4,40

5、i525-x+y=一一一=一777.7 .(浙江余姚中學(xué)20i9屆期中)正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2,E,F分別為BC,AD中點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)為.【答案】2【解析】|EF|2=(EC+CD+IDF)2=EC2+CD2+DF2+2(ECCD+ECDF+CDDF)=12+22+12+2(1>2Xcos120+0+2X1>dos120)=2,|E|=V2,EF的長(zhǎng)為位.8 .(一中2019屆期末)已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點(diǎn)，如果AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1).對(duì)于結(jié)論：APXAB;APLAD;動(dòng)是平面ABCD的法向量；簿M此.其中正

6、確的序號(hào)是.【答案】【解析】:A&AP=0,A6AP=0,AB1AP,AD±AP,則正確；又ABCAD=A,.APL平面ABCD,茹是平面ABCD的法向量，則正確；b6=Ab-Ab=(2,3,4),扉=(1,2,-1),前)與乖不平行，故錯(cuò)誤.9.(黑龍江齊齊哈爾市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2019屆期中)正方體ABCDA1B1C1D1中，M,N分別是CiC,B1C1的中點(diǎn).求證：MN平面AiBD.證明如圖所示，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DDi所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則一.1.1D(0,0,0),Ai(1,0,1),B(1,1,0),M0,1,萬(wàn)，

7、N2，11,于是而=1，0，2,DA=(1,0,1),DB=(1,1,0).設(shè)平面ABD的法向量為n=(x,y,z),一一-一zt,x+z=0,則nDA1=0,且nDB=0,得x+y=0.取x=1,得y=1,z=1.所以n=(1,1,-1).1一1又mNn=2，0,2(1,1,1)=0,所以MNn.又MN?平面A1BD,所以MN/平面ABD.10.(江蘇省丹陽(yáng)高級(jí)中學(xué)2019屆期末)如圖所示，已知四棱錐PABCD的底面是直角梯形，/ABC=/BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,側(cè)面PBC,底面ABCD.證明：(1)PA±BD;(2)平面PAD，平面PAB.證明(

8、1)取BC的中點(diǎn)O,連接PO,APBC為等邊三角形，即POXBC,平面PBS底面ABCD,BC為交線(xiàn)，PO?平面PBC,.POL底面ABCD.以BC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC所在直線(xiàn)為x軸，過(guò)點(diǎn)O與AB平行的直線(xiàn)為y軸，OP所在直線(xiàn)為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示不妨設(shè)CD=1,貝UAB=BC=2,P0=3.A(1,-2,0),B(1,0,0),D(-1,-1,0),P(0,0,啊-Bb=(-2,-1,0),潴=(1,-2,-3).V晶茂=(2)M+(1)X2)+023)=0,r!b6,FAXBD.取PA的中點(diǎn)M,連接DM,則M-1,9.-DM=I，0,PB=(1,o,-3),.而PB=|

9、xi+0X)+x(-"j3)=0,DM±PB,即DM±PB.'DMPA=|x1+0>(-2)+><(-V3)=0,而±R,即DM±FV,又,PAnPB=P,PA,PB?平面FAB,DM，平面PAB.DM?平面FAD,平面FAD，平面PAB.11 .（遼寧沈陽(yáng)二中2019屆高三模擬）有下列命題：若p=xa+yb,則p與a,b共面；若p與a,b共面，則p=xa+yb;若演=xMA+yMfe,則P,M,A,B共面；若P,M,A,B共面，則lMP=xMA+yMB.其中真命題的個(gè)數(shù)是（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】

10、正確；中若a,b共線(xiàn)，p與a不共線(xiàn)，則p=xa+yb就不成立；正確；中若M,A,B共線(xiàn)，點(diǎn)P不在此直線(xiàn)上，則MP=xlMA+yMB不正確.12 .（河北辛集中學(xué)2019屆高三質(zhì)檢）如圖，正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=J2,AF=1,M在EF上，且AM/平面BDE.則M點(diǎn)的坐標(biāo)為（）B.A.(1,1,1)D.【解析】設(shè)AC與BD相交于。點(diǎn)，連接OE,由AM/平面BDE,且AM?平面ACEF,平面ACEFn平面BDE=OE,AM/EO,又O是正方形ABCD對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)，M為線(xiàn)段EF的中點(diǎn).在空間坐標(biāo)系中，E（0,0,I）,f（、2,、2,I）.由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，知點(diǎn)M的坐標(biāo)（，祟

11、1.一_._.、，、一、.一.，.13 .（陜西西安市第一中學(xué)2019屆局二模擬）已知空間任意一點(diǎn)O和不共線(xiàn)的二點(diǎn)A,B,C,若OP=xOA+yOfe+zOt（x,y,zCR）,則x=2,y=-3,z=2”是P,A,B,C四點(diǎn)共面”的（）A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當(dāng)x=2,y=-3,z=2時(shí)，即OP=2OA3OB+20b.則APAO=2OA3（ABAO）+2（ACAO）,即AP=3AB+2AC,根據(jù)共面向量定理知，P,A,B,C四點(diǎn)共面；反之，當(dāng)P,A,B,C四點(diǎn)共面時(shí)，根據(jù)共面向量定理，設(shè)AP=mAfe+nAt（m,nR）,即O

12、POA=m（OBOA）+n（OCOA）,即OP=（1mn）OA+mOfe+nOC,即x=1mn,y=m,z=n,這組數(shù)顯然不止2,-3,2.故x=2,y=-3,z=2”是P,A,B,C四點(diǎn)共面”的充分不必要條件.14 .（重慶巴蜀中學(xué)2019屆高三調(diào)研）如圖，正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=亞，AF=1,M在EF上，且AM/平面BDE,則M點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A.(1,1,1)B.【解析】又E(0,25，1D.M點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,V,1）,因?yàn)锳CABD=O,所以O(shè)字，半，0,0,所以O(shè)E=1),A(2,2,0),多_/1，AM=(x-*,y-2,1),因?yàn)锳M/平面BDE,x一也

13、一也X222)所以y-2=-三,所以O(shè)E/AM,Y_2x-2,?y=23，y2'所以M點(diǎn)的坐標(biāo)為¥，ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2,AB=BC=1,15 .（廣西南寧三中2019屆高三模擬）如圖，在正四棱柱動(dòng)點(diǎn)P,Q分別在線(xiàn)段C1D,AC上，則線(xiàn)段PQ長(zhǎng)度的最小值是DQ=DA+MDCDA)=(1,0,0)+K1,1,0)=(1內(nèi)0).所以|向|=|DQDP|=|(1白門(mén)人2研='(1。2+(科萬(wàn)2+4?2nr519=y5卜51+TL9+-.l，4=3，當(dāng)且僅當(dāng)上蘭產(chǎn)5所以線(xiàn)段PQ長(zhǎng)度的最小值為2.故選C.316 .(廣東惠州一中2019屆高三調(diào)研)在正三棱柱

14、ABC-A1B1C1中，側(cè)棱長(zhǎng)為2,底面邊長(zhǎng)為1,M為BC的中點(diǎn)，Ch=NC,且ABdMN,則入的值為.【答案】15【解析】如圖所示，取B1C1的中點(diǎn)P,連接MP,以MC,MA,MP的方向?yàn)閤,y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，311一一1一一因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)為1,側(cè)棱長(zhǎng)為2,則A0,寸，0,B1(-,0,2),C2，0,0,C120,2,、一1M(0,0,0),設(shè)N2，。，t,因?yàn)镃N=?nC,所以n1,0,十，21十人所以aB=；-23,2,mN=20,12-卜.又因?yàn)锳B1XMN,所以AB1MN=0.14所以-1+'=0,所以入=15.41+入17.（湖北襄樊五中2019屆高三模擬）

15、如圖，正方體ABCDAiBiCiDi的棱長(zhǎng)為1,E,F分別是棱BC,DDi上的點(diǎn)，如果BiEL平面ABF,則CE與DF的和的值為【答案】i【解析】以DiAi,DiCi,DiD分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CE=x,DF=y,則易知E(x,i,i),Bi(i,i,0),F(0,0,i-y),B(i,i,i),BiE=(x-i,0,i),FB=(i,i,y),由于BiEL平面ABF,所以FBb1e=(i,i,y)(xi,0,i)=0?x+y=i.18 .(河南新鄉(xiāng)一中20i9屆高三模擬)如圖，正ABC的邊長(zhǎng)為4,CD為AB邊上的高，E,F分別是AC和BC邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將ABC沿CD翻折成直

16、二面角A-DC-B.(1)試判斷直線(xiàn)AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；RP一(2)在線(xiàn)段BC上是否存在一點(diǎn)P,使APLDE?如果存在，求出赤的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由BC【解析】(1)AB/平面DEF,理由如下：在ABC中，由E,F分別是AC,BC的中點(diǎn)，得EF/AB.又因?yàn)锳B?平面DEF,EF?平面DEF,所以AB/平面DEF.(2)以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)DB,DC,DA分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示)，則A(0,0,2),B(2,0,0),C(0,2-3,0),E(0,®1),故DE=(0,1).假設(shè)存在點(diǎn)P(x,v,0)滿(mǎn)足條件,則后=(x,y,

17、2),APlDi=N3y-2=0,所以y=醇.3又BP=(x2,y,0),PC=(-x,23-y,0),EBP/PC,所以(x2)(2或y)=xy,所以4x+y=2P.把y=2代入上式得x=4,所以BP=1bC,333所以在線(xiàn)段BC上存在點(diǎn)P使APLDE,此時(shí)襄=；BC31_.一一qBC,二面角Ai-AB-C是直19 .(山東濟(jì)南外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2019屆高三質(zhì)檢)如圖，在多面體ABC-AiBiCi中，四邊形AiABBi是正方形，AB=AC,BC=>/2AB,BiCi二面角.求證：(i)AiBi,平面AAiC;(2)ABi/平面A1C1C.證明：因?yàn)槎娼茿i-AB-C是直二面角,四邊形AiA

18、BBi為正方形，所以AAi,平面BAC.又因?yàn)锳B=AC,BC=2AB,所以/CAB=90°,即CAXAB,所以AB,AC,AAi兩兩互相垂直.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,設(shè)AB=2,則A(0,0,0),Bi(0,2,2),Ai(0,0,2),C(2,0,0),Ci(i,i,2).溫i=(0,2,0),AA=(0,0,-2),AC=(2,0,0),-2z=0,2x=0,設(shè)平面AAiC的一個(gè)法向量n=(x,y,z),nAiA=0,即nAC=0,x=0,即取y=i,則n=(0,i,0).z=0,所以A；Bi=2n,即AiBiHn.所以AiBi,平面AAiC.(2)易知ABi=(

19、0,2,2),AiCi=(i,i,0),AiC=(2,0,2),設(shè)平面AiCiC的一個(gè)法向量m=(xi,yi,zi),mAiCi=0,xi+yi=0,貝u即ymAb=0,2x1-2Z1=0,令Xi=1,則yi=1,zi=1,即m=(1,1,1).所以ABim=0M+2X1)+2M=0,所以ABi±m,又ABi?平面AiCiC,所以ABi/平面AiCiC.20 .(江西臨川一中2019屆高三模擬)如圖所示，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的小倍,P為側(cè)棱SD上的點(diǎn).(1)求證：ACXSD;(2)若SDL平面PAC,側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E,使得BE/平面FAC

20、?若存在，求SE：EC的值；若不存在，試說(shuō)明理由.【解析】(1)證明：連接BD,設(shè)AC交BD于點(diǎn)O,連接SO,則ACXBD.由題意知SO±¥面ABCD.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，Ob,Oo,OW別為X軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.設(shè)底面邊長(zhǎng)為a,則高SO=26a,是S0,0,，a,D-22a,0,0,B黃，0,0,C0,§a,0,OC=0,號(hào)a,0,SD=-22a,0,-26a,故OCXSD.從而ACXSD.(2)棱SC上存在一點(diǎn)E,使BE/平面RAC.理由如下:由已知條件知DS是平面RAC的一個(gè)法向量,且DS=/a,0,226a,CS=0,W，*a,B

21、C=一,得a,0.設(shè)CE=tCS,則Bfe=Bfc+Cfe=BC+tCS22-、6=2a,2a(1t),2at,而B(niǎo)EDS=0,解得t=T.3即當(dāng)SE:EC=2：1時(shí)，BE±dS.而B(niǎo)E?平面PAC,故BE/平面PAC.21 (2018年天津卷)如圖，且AD=2BC,，且EG=AD,且CD=2FG,DA=DC=DG=2.(I)若M為CF的中點(diǎn)，N為EG的中點(diǎn)，求證：；(II)求二面角的正弦值；(III)若點(diǎn)P在線(xiàn)段DG上，且直線(xiàn)BP與平面ADGE所成的角為60。，求線(xiàn)段DP的長(zhǎng).【答案】(I)證明見(jiàn)解析；(II);(出).【解析】依題意，可以建立以D為原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)閤軸，y軸

22、，z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系(如圖)，可得D(0,0,0),A(2,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),E(2,0,2),F(0,1,2),G(0,0,2),M(0,1),N(1,0,2).(I)依題意=(0,2,0),=(2,0,2).設(shè)n0=(x,y,z)為平面CDE的法向量，則即不妨令z=-1,可得n0=(1,0,T).又=(1,1),可得，又因?yàn)橹本€(xiàn)MN平面CDE,所以MN/平面CDE.(n)依題意，可得=(T,0,0),二(0,T,2).設(shè)n=(x,y,z)為平面BCE的法向量，則即不妨令z=1,可得n=(0,1,1).設(shè)m=(x,y,z)為平面BCF的法向量，則即不妨令z=1,可得m=(0,2,1).因止匕有cos<