天津大學(xué)理論力學(xué)動力學(xué)動能定理ppt課件

1、前往總目錄Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics 第三篇第三篇 動動 力力 學(xué)學(xué) 第第9 9章章 動能定理動能定理制造與設(shè)計 賈啟芬 劉習(xí)軍 郝淑英 前往首頁Theoretical Mechanics 第第9章章 動能定理動能定理9.1 力的功力的功9.2 質(zhì)點的動能定理質(zhì)點的動能定理9.3 質(zhì)點系和剛體的動能質(zhì)點系和剛體的動能9.4 質(zhì)點系的動能定理質(zhì)點系的動能定理9.5 功率功率 功率方程功率方程9.6 權(quán)利場權(quán)利場 勢能勢能 機械能守恒定律機械能守恒定律目目 錄錄 Theoretical Mechanics 第第9章章 動能定理動能定理9.

2、1 力的功力的功 前往首頁Theoretical Mechanics 第第9章章 動能定理動能定理9.1 力的功力的功9.1.1 功的普通表達(dá)式功的普通表達(dá)式 9.1.2 幾種常見力的功幾種常見力的功 9.1.3 質(zhì)點系內(nèi)力的功質(zhì)點系內(nèi)力的功 9.1.4 約束力的功約束力的功 前往首頁Theoretical Mechanics力的元功:在一無限小位移中力所做的功?；?qū)懗芍苯亲鴺?biāo)方式在普通情況下，上式右邊不表示某個坐標(biāo)函數(shù)的全微分，所以元功用符號W而不用dW 。 rF dW sFtWddvF sFWdcoszFyFxFWzyxddd 前往首頁9.1 力的功力的功9.1.1 功的普通表達(dá)式功的普通

3、表達(dá)式Theoretical Mechanics力在有限路程上的功為力在此路程上元功的定積分力在有限路程上的功為力在此路程上元功的定積分,即即21dMMWrF21dddMMzZyYxXW功的量綱為 22TLMLFW9.1 力的功力的功9.1.1 功的普通表達(dá)式功的普通表達(dá)式 前往首頁Theoretical Mechanics常力的功 cosdcos0FsWsFWs當(dāng) 時功為正；當(dāng) 時，功為負(fù)；當(dāng) 時S不作功。由此可知，功為代數(shù)量。 222 前往首頁9.1.2 幾種常見力的功幾種常見力的功9.1 力的功力的功Theoretical Mechanics重力的功重力的功)(d211221zzmgzm

4、gWzz 重力的功僅與質(zhì)點運動重力的功僅與質(zhì)點運動開場和終了位置的高度差開場和終了位置的高度差有關(guān)，而與運動軌跡無關(guān)有關(guān)，而與運動軌跡無關(guān))(2112CCzzmgW 前往首頁9.1.2 幾種常見力的功幾種常見力的功9.1 力的功力的功Theoretical Mechanics彈性力的功彈性力的功彈性力可表示為彈性力可表示為rlrkeF)(0rerFd)(d01221rMMlrkW202201012)()(21d)(21lrlrkrlrkWrr)d(21ddrrrrrerrrrrrdd212 前往首頁9.1.2 幾種常見力的功幾種常見力的功9.1 力的功力的功Theoretical Mechan

5、ics彈性力的功彈性力的功202201012)()(21d)(21lrlrkrlrkWrr)(21222112kW 彈性力在有限路程上的功只決議于彈簧在起始彈性力在有限路程上的功只決議于彈簧在起始及終了位置的變形量，而與質(zhì)點的運動途徑無關(guān)。及終了位置的變形量，而與質(zhì)點的運動途徑無關(guān)。 前往首頁9.1.2 幾種常見力的功幾種常見力的功9.1 力的功力的功Theoretical Mechanics滑動摩擦力的功滑動摩擦力的功 物體沿粗糙軌道滑動時，動滑動摩擦力 ，其方向總與滑動方向相反，所以，功恒為負(fù)值 NFFf2121ddNMMMMsFfsFW 前往首頁9.1.2 幾種常見力的功幾種常見力的功9

6、.1 力的功力的功Theoretical Mechanics滑動摩擦力的功滑動摩擦力的功 當(dāng)物體純滾動時，圓輪與地面之間沒有相對滑動，其滑動摩擦力屬于靜滑動摩擦力。輪與地面的接觸點C是圓輪在此瞬時的速度瞬心vC=0，得 0ddtWCCvFrF圓輪沿固定軌道滾動而無滑動時，滑動摩擦力不作功。 前往首頁9.1.2 幾種常見力的功幾種常見力的功9.1 力的功力的功Theoretical Mechanics定軸轉(zhuǎn)動剛體上作用力的功定軸轉(zhuǎn)動剛體上作用力的功作用于定軸轉(zhuǎn)動剛體上的力的元功為作用于定軸轉(zhuǎn)動剛體上的力的元功為dddRFsFWrFzzMFMRF)(dzMW21d12zMW 前往首頁9.1.2 幾

7、種常見力的功幾種常見力的功9.1 力的功力的功Theoretical Mechanics如下圖，剛體上恣意一點的無限小位移可寫為iCCirrrddd作用于點 M i上的力的元功為iCiCiiiWrFrFrFddddcosdiiiCiCMFrFd)(iCMF作用于剛體上的全部力的元功為平面運動剛體上力系的功平面運動剛體上力系的功ddd)(dCCRCCMMWrFFrF 前往首頁9.1.2 幾種常見力的功幾種常見力的功9.1 力的功力的功Theoretical Mechanics其中FR為力系的主矢量，MC為力系對質(zhì)心的主矩。dd2121R12CCCCMWrFddd)(dCCRCCMMWrFFrF9

8、.1.2 幾種常見力的功幾種常見力的功 前往首頁9.1 力的功力的功Theoretical Mechanics9.1.3 質(zhì)點系內(nèi)力的功質(zhì)點系內(nèi)力的功當(dāng)質(zhì)系內(nèi)質(zhì)點間的間隔變化時，內(nèi)力的元功之和不為零。因此剛體內(nèi)力的功之和恒等于零。)(dddddBAABAAABBAAWrrFrFrFrFrF如下圖，兩質(zhì)點間有相互作用的內(nèi)力BAFFABABBABArrrr,ABWAdF)(dABFWA 前往首頁9.1 力的功力的功Theoretical Mechanics光滑鉸鏈或軸承約束光滑鉸鏈或軸承約束由于約束力的方向恒與位移的方向垂直，所以約束力的功為零。由于約束力的方向恒與位移的方向垂直，所以約束力的功為

9、零。 常見的理想約束有：常見的理想約束有：光滑固定面和輥軸約束光滑固定面和輥軸約束其約束力垂直于作用點的位移，約束力不做功。其約束力垂直于作用點的位移，約束力不做功。理想約束：約束力的元功的和等于零的約束。理想約束：約束力的元功的和等于零的約束。 前往首頁9.1 力的功力的功9.1.4 約束力的功約束力的功Theoretical Mechanics 剛性銜接的約束剛性銜接的約束 這種約束和剛體的內(nèi)力一樣，其元功之和恒等于零。這種約束和剛體的內(nèi)力一樣，其元功之和恒等于零。結(jié)合兩個剛體的鉸結(jié)合兩個剛體的鉸: :兩個剛體相互間的約束力，大小相等、兩個剛體相互間的約束力，大小相等、方向相反，即，兩力在

10、點的微小位移上的元功之和等于零。方向相反，即，兩力在點的微小位移上的元功之和等于零。 柔性而不可伸長的繩索柔性而不可伸長的繩索 繩索兩端的約束力繩索兩端的約束力, ,大小相等，大小相等，即，由于繩索不可伸長，所以兩點即，由于繩索不可伸長，所以兩點的微小位移和在繩索中心線上的投的微小位移和在繩索中心線上的投影必相等，因此不可伸長的繩索的影必相等，因此不可伸長的繩索的約束力元功之和等于零。約束力元功之和等于零。具有理想約束的質(zhì)點系，有具有理想約束的質(zhì)點系，有WN = 0 WN = 0 9.1 力的功力的功9.1.4 約束力的功約束力的功 前往首頁 Theoretical Mechanics 第第9

11、章章 動能定理動能定理9.2 質(zhì)點的動能定質(zhì)點的動能定理理 前往首頁Theoretical Mechanics9.2 質(zhì)點的動能定質(zhì)點的動能定理理 質(zhì)系內(nèi)一切質(zhì)點在某瞬時動能質(zhì)系內(nèi)一切質(zhì)點在某瞬時動能的算術(shù)和為該瞬時質(zhì)系的動能的算術(shù)和為該瞬時質(zhì)系的動能 221mvT動能是描畫質(zhì)系運動強度的一個物理量221iivm任一質(zhì)點在某瞬時的動能為 前往首頁Theoretical Mechanics9.2 質(zhì)點的動能定質(zhì)點的動能定理理牛頓第二定律牛頓第二定律 即作用于質(zhì)點上力的元功等于質(zhì)點動能的微分。即作用于質(zhì)點上力的元功等于質(zhì)點動能的微分。質(zhì)點動能定理質(zhì)點動能定理的微分方式的微分方式Fa mFtvmdd

12、由于 ，將上式右端乘以ds，左端乘以vdt后，得 tvsdd sFvmvddWmv21d2 前往首頁Theoretical Mechanics9.2 質(zhì)點的動能定質(zhì)點的動能定理理1221222121Wmvmv21d12MMrFW作用于質(zhì)點上的力在作用于質(zhì)點上的力在 有限路程上的功有限路程上的功 質(zhì)點動能定理的積分方式，即作用于質(zhì)點上的質(zhì)點動能定理的積分方式，即作用于質(zhì)點上的力在有限路程上的功等于質(zhì)點動能的改動量。力在有限路程上的功等于質(zhì)點動能的改動量。WmvMMvv21d21212Wmv21d2積分積分 前往首頁 Theoretical Mechanics 第第9章章 動能定理動能定理9.3

13、質(zhì)點系和剛體的動能質(zhì)點系和剛體的動能 前往首頁Theoretical Mechanics9.3 質(zhì)點系和剛體的動能質(zhì)點系和剛體的動能9.3.1 質(zhì)點系的動能質(zhì)點系的動能 9.3.2 平移剛體的動能平移剛體的動能 9.3.3 定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能 9.3.4 平面運動剛體的動能平面運動剛體的動能 前往首頁Theoretical Mechanics9.3 質(zhì)點系和剛體的動能質(zhì)點系和剛體的動能9.3.1 質(zhì)點系的動能質(zhì)點系的動能 2121iinivmT質(zhì)點系的動能為組成質(zhì)點系的各質(zhì)點動能的算術(shù)和 前往首頁Theoretical Mechanics9.3 質(zhì)點系和剛體的動能質(zhì)點系和剛體

14、的動能9.3.2 平移剛體的動能平移剛體的動能 當(dāng)剛體平動時，剛體上各點速度一樣，于是平動剛體的動能為222212121CmvmvmvT 前往首頁Theoretical Mechanics9.3 質(zhì)點系和剛體的動能質(zhì)點系和剛體的動能9.3.3 定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能 于是繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能為于是繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能為22222212121iiiiiirmrmvmT 剛體繞定軸 z 轉(zhuǎn)動的角速度為，任一點mi的速度為 iirv 221zIT 前往首頁Theoretical Mechanics9.3 質(zhì)點系和剛體的動能質(zhì)點系和剛體的動能9.3.4 平面運動剛體的動能平面運動剛體的動

15、能 剛體作平面運動時，可視為繞經(jīng)過速度瞬心并與運動平面垂直的軸的轉(zhuǎn)動平面運動剛體的動能等于隨質(zhì)心平動的動能與繞經(jīng)過質(zhì)心的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的動能之和。221CIT2222222121)(2121MdIMdIITCCC222121CCIMvT2MdIICC 前往首頁 Theoretical Mechanics 第第9章章 動能定理動能定理9.4 質(zhì)點系的動能定理質(zhì)點系的動能定理 前往首頁Theoretical Mechanicsn個方程相加，得2121ddiinivmT 質(zhì)點系由n個質(zhì)點組成，其中某一質(zhì)量為mi質(zhì)點受自動力和約束力作用。根據(jù)質(zhì)點動能定理的微分方式有niWWvmiNiFii, 2, 121d

16、2nininiiNiFiiWWvm111221d零零FWTd 前往首頁9.4 質(zhì)點系的動能定理質(zhì)點系的動能定理Theoretical Mechanics9.4 質(zhì)點系的動能定理質(zhì)點系的動能定理 質(zhì)系動能定理的微分方式：在質(zhì)系無限小的位移質(zhì)系動能定理的微分方式：在質(zhì)系無限小的位移中，質(zhì)系動能的微分等于作用于質(zhì)系全部力所做的中，質(zhì)系動能的微分等于作用于質(zhì)系全部力所做的元功之和元功之和 質(zhì)系動能定理的積分方式：質(zhì)系在恣意有限路質(zhì)系動能定理的積分方式：質(zhì)系在恣意有限路程的運動中，起點和終點動能的改動量，等于作用程的運動中，起點和終點動能的改動量，等于作用于質(zhì)系的全部力在這段路程中所做功的和于質(zhì)系的全部

17、力在這段路程中所做功的和iWTT12FWTd 前往首頁Theoretical Mechanics例 圖示系統(tǒng)中，滾子A 、滑輪B 均質(zhì)，分量和半徑均為Q 及r，滾子沿傾角為 的斜面向下滾動而不滑動，借跨過滑輪B的不可伸長的繩索提升重P的物體，同時帶動滑輪B繞O軸轉(zhuǎn)動，求滾子質(zhì)心C的加速度aC 。 解法一 求加速度宜用動能定理的微分方式 FWTd系統(tǒng)在恣意位置的動能222221212121pBOACCvgPIIvgQTA輪純滾動，D為A輪瞬心，所以 rvCA 前往首頁9.4 質(zhì)點系的動能定理質(zhì)點系的動能定理例例 題題Theoretical Mechanics由 ，得 2221,21,rgQIrg

18、QIvvrvOCCPCB222CvgQPTCCvvgQPTd2d自動力Q、P的元功 sPQWFd)sin(因純滾動，滑動摩擦力F不作功 代入式 ，兩邊再除以dt，且知 ，得 CvtsddFWTdCCCvPQtvvgQP)sin(dd2gQPPQtvaCC2sindd 前往首頁9.4 質(zhì)點系的動能定理質(zhì)點系的動能定理例例 題題Theoretical Mechanics解法二 此題亦可用動能定理的積分方式，求出恣意瞬時的速度表達(dá)式，再對時間求一階導(dǎo)數(shù)，得到加速度。 系統(tǒng)的初始動能為T0恣意位置的動能 222221212121pBOACCvgPIIvgQT設(shè)圓輪質(zhì)心C走過間隔s，動能定理的積分方式s

19、PQTvgQPC)sin(2202 前往首頁9.4 質(zhì)點系的動能定理質(zhì)點系的動能定理例例 題題Theoretical Mechanics設(shè)圓輪質(zhì)心C走過間隔s，動能定理的積分方式sPQTvgQPC)sin(2202vC和s均為變量，將上式兩邊對時間求一階導(dǎo)數(shù)，得 tsPQtvgQPvCCdd)sin(0dd222gQPPQaC2sin 前往首頁9.4 質(zhì)點系的動能定理質(zhì)點系的動能定理例例 題題Theoretical Mechanics例 橢圓規(guī)位于程度面內(nèi)，由曲柄帶動規(guī)尺AB運動，如下圖。曲柄和AB都是均質(zhì)桿，分量分別為P和2P，且OCACBCl，滑塊A和B分量均為Q。常力偶M作用在曲柄上，設(shè)

20、0時系統(tǒng)靜止，求曲柄角速度和角加速度 (以轉(zhuǎn)角 表示)。 Isin2cos2lvlvBAAvBv解：由幾何條件，OCBC， ，因此OC = AB = ，系統(tǒng)由靜止開場運動，當(dāng)轉(zhuǎn)過角時，系統(tǒng)的動能222221212121IIvgQvgQTOBA瞬心為，有運動關(guān)系為 前往首頁9.4 質(zhì)點系的動能定理質(zhì)點系的動能定理例例 題題Theoretical MechanicsIAvBvglPQlgPlgPlgQlgQT2)34()2(231213121)sin2(21)cos2(2122222222系統(tǒng)中力做的功為 MW 由動能定理的積分方式 WTT12TTT21, 02)34(2lPQgM 前往首頁9.4

21、 質(zhì)點系的動能定理質(zhì)點系的動能定理例例 題題Theoretical MechanicsIAvBvd)34(d2glPQT由動能定理的微分方式，得 前往首頁9.4 質(zhì)點系的動能定理質(zhì)點系的動能定理例例 題題dMW tWtTdddMglPQ/)34(22)34(lPQMgTheoretical Mechanics 例 圖示系統(tǒng)中，物塊A重P，均質(zhì)圓輪B重Q，半徑為R，可沿程度面純滾動，彈簧剛度系數(shù)為k，初位置y=0時，彈簧為原長，系統(tǒng)由靜止開場運動，定滑輪D 的質(zhì)量不計，繩不可伸長。試建立物塊 A 的運動微分方程，并求其運動規(guī)律。 解：為建立物塊 A 的運動微分方程，宜對整個系統(tǒng)運用動能定理。以

22、A 的位移為變量，當(dāng)A從初始位置下降恣意間隔y時，它的速度為vA，系統(tǒng)動能 222212121BBBAIvgQvgPT由運動關(guān)系RvvvABAB2,21221RgQIB 前往首頁9.4 質(zhì)點系的動能定理質(zhì)點系的動能定理例例 題題Theoretical Mechanics21638AvgQPT系統(tǒng)的初動能 00T2202ykPyWF初始位置時，彈簧為原長 ，當(dāng)A下降y時，彈簧伸長 ，功為 002y22801638ykPyvgQPA由動能定理的積分方式 WTT12對時間求一階導(dǎo)數(shù)，其中 ，得 tyvAdd 前往首頁9.4 質(zhì)點系的動能定理質(zhì)點系的動能定理例例 題題Theoretical Mecha

23、nics對時間求一階導(dǎo)數(shù)，其中 ，得 tyvAdd04382dd22kPyQPkgty物塊A的運動微分方程 用微分方式的動能定理求解2d2dyykyPWFyykPWFd4代入式 ，得 FWTd 前往首頁9.4 質(zhì)點系的動能定理質(zhì)點系的動能定理例例 題題Theoretical MechanicsyykPvgQPAd41638d2此式兩邊被dt除，令 Cyy104382dd1212kPCyQPkgty令 ，得到以y1為變量的規(guī)范方式的微分方程 kPC40382dd1212yQPkgty 前往首頁9.4 質(zhì)點系的動能定理質(zhì)點系的動能定理例例 題題Theoretical Mechanics設(shè)其解為)s

24、in(01tAy物塊A的運動規(guī)律為)sin(0tACy)cos(dd00tAty初始條件：t = 0時， 代入得 0, 0ddyty物塊A的運動規(guī)律為kPtQPkgkPy42382sin4物塊A作簡諧振動9.4 質(zhì)點系的動能定理質(zhì)點系的動能定理例例 題題kPA4,2QPkg3820 前往首頁Theoretical Mechanics9.4 質(zhì)點系的動能定理質(zhì)點系的動能定理 1 1具有理想約束的一個自在度系統(tǒng)，運用動能定具有理想約束的一個自在度系統(tǒng)，運用動能定理可直接建立系統(tǒng)的速度量與位移量之間的關(guān)系；理可直接建立系統(tǒng)的速度量與位移量之間的關(guān)系；進(jìn)一步對時間求導(dǎo)數(shù)，可求出系統(tǒng)的加速度量。所進(jìn)一步

25、對時間求導(dǎo)數(shù)，可求出系統(tǒng)的加速度量。所以，在這種情形下運用動能定理求解知力求運動的以，在這種情形下運用動能定理求解知力求運動的問題是很方便的。問題是很方便的。 2 2運用動能定了解題的步驟：運用動能定了解題的步驟：1 1明確分析對象，普通以整個系統(tǒng)為研討對象。明確分析對象，普通以整個系統(tǒng)為研討對象。2 2分析系統(tǒng)的受力，區(qū)分自動力與約束力，在理分析系統(tǒng)的受力，區(qū)分自動力與約束力，在理想約束的情況下約束力不做功。想約束的情況下約束力不做功。小小 結(jié)結(jié) 前往首頁Theoretical Mechanics 3.分析系統(tǒng)的運動，計算系統(tǒng)在恣意位置的動能或在起始和終了位置的動能。 4.運用動能定理建立系

26、統(tǒng)動力學(xué)方程，而后求解。 5.對問題的進(jìn)一步分析與討論。動能定理最適用于動力學(xué)的第二類根本問題：知動能定理最適用于動力學(xué)的第二類根本問題：知自動力求運動，即求速度、加速度或建立運動微自動力求運動，即求速度、加速度或建立運動微分方程。分方程。 9.4 質(zhì)點系的動能定理質(zhì)點系的動能定理小小 結(jié)結(jié) 前往首頁 Theoretical Mechanics 第第9章章 動能定理動能定理9.5 功率功率 功率方程功率方程 前往首頁Theoretical Mechanics9.5 功率功率 功率方程功率方程9.5.1 功率功率 力在單位時間內(nèi)所做的功，稱為功率。它是用來衡量機器性能的一項重要目的，P表示功率v

27、FttWPvFrFddd力偶或轉(zhuǎn)矩M的功率 MnMtMP30dd功率的量綱為132 TLFTLFTMN功率的單位是焦耳/秒，稱為瓦特W。1 W=1 J/s=1 Nm/s。 前往首頁Theoretical Mechanics9.5 功率功率 功率方程功率方程9.5.2 功率方程功率方程由動能定理 無用有用WWWTd等號兩邊除以dt，即 無用有用NNNtTdd闡明機器的輸入、耗費的功率與動能變化率的關(guān)系。 功率方程 前往首頁 Theoretical Mechanics 第第9章章 動能定理動能定理9.6 權(quán)利場權(quán)利場 勢能勢能 機械能守恒定律機械能守恒定律 前往首頁Theoretical Mech

28、anics9.6 權(quán)利場權(quán)利場 勢能勢能 機械能守恒定律機械能守恒定律9.6.1 權(quán)利場權(quán)利場 9.6.2 勢能勢能 9.6.3 機械能守恒定律機械能守恒定律 9.6.4 有權(quán)利與勢能的關(guān)系有權(quán)利與勢能的關(guān)系 前往首頁Theoretical Mechanics9.6 權(quán)利場權(quán)利場 勢能勢能 機械能守恒定律機械能守恒定律9.6.1 權(quán)利場權(quán)利場 如質(zhì)點在某空間內(nèi)任一位置都受有一個大小和方向完全由所在位置確定的力作用，具有這種特性的空間就稱為力場，例如地球外表的空間為重力場。如質(zhì)點在某一力場內(nèi)運動時，力場力對于質(zhì)點所做的功僅與質(zhì)點起點與終點位置有關(guān)，而與質(zhì)點運動的途徑無關(guān)，那么這種力場稱為權(quán)利場或保守力場。質(zhì)點在權(quán)利場內(nèi)所受的力稱為權(quán)利或保守力。如重力、彈性力及萬有引力都是權(quán)利。 前往首頁Theoretical Mechanics9.6 權(quán)利場權(quán)利場 勢能勢能 機械能守恒定律機械能守恒定律9.6.2 勢能勢能 zFVP勢能：在權(quán)利場中，質(zhì)點由某一位置勢能：在權(quán)利場中，質(zhì)點由某一位置M運動到選定運動到選定的參考點的參考點M0的過程中，有權(quán)利所做的功。以的過程中，有權(quán)利所做的功。以V表示，表示，即即00ddddxMMMMzyzFyFxFVrF重力場中的勢能重力場中的勢能ozzzzFzFV)(d0PP零