無限長單位沖激響應數(shù)字濾波器的設計

1、1數(shù)數(shù) 字字 信信 號號 處處 理理Digital Signal Processing2第五章第五章 無限長單位沖激響應（無限長單位沖激響應（IIRIIR）數(shù)字濾波器的設計數(shù)字濾波器的設計3學習重點學習重點 掌握數(shù)字濾波器的類型、性能指標以及數(shù)字掌握數(shù)字濾波器的類型、性能指標以及數(shù)字濾波器設計的基本步驟。濾波器設計的基本步驟。 熟悉原型模擬濾波器特性、原理及設計步驟熟悉原型模擬濾波器特性、原理及設計步驟（主要是巴特沃斯模擬低通型）。（主要是巴特沃斯模擬低通型）。 掌握沖激響應不變法設計掌握沖激響應不變法設計IIRIIR數(shù)字濾波器的數(shù)字濾波器的基本原理與應用。基本原理與應用。 掌握雙線性變換法設

2、計掌握雙線性變換法設計IIRIIR數(shù)字濾波器的基數(shù)字濾波器的基本原理與應用。本原理與應用。 掌握模擬域頻率變換法設計掌握模擬域頻率變換法設計IIRIIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器（低通、高通、帶通、帶阻）。（低通、高通、帶通、帶阻）。 掌握數(shù)字域頻率變換法設計掌握數(shù)字域頻率變換法設計IIRIIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器（低通、高通、帶通、帶阻、）。（低通、高通、帶通、帶阻、）。45.1 5.1 引言引言1.1.無限長單位脈沖響應（無限長單位脈沖響應（IIRIIR）數(shù)字濾波器，屬）數(shù)字濾波器，屬于遞歸型濾波器。這類濾波器設計的一種主要方于遞歸型濾波器。這類濾波器設計的一種主要方法是借助于模擬濾波器成熟的設

3、計技術(shù)進行設計。法是借助于模擬濾波器成熟的設計技術(shù)進行設計。依據(jù)模擬濾波器的設計技術(shù)和已有的完善設計圖依據(jù)模擬濾波器的設計技術(shù)和已有的完善設計圖表，可以較為方便地對無限長單位脈沖響（表，可以較為方便地對無限長單位脈沖響（IIRIIR）數(shù)字濾波器進行設計。數(shù)字濾波器進行設計。2.2.介紹濾波器的定義、分類（介紹濾波器的定義、分類（IIRIIR濾波器的分類）、濾波濾波器的分類）、濾波器性能指標等。器性能指標等。3.3.詳細介紹歸一化模擬低通原型濾波器的設計方法和詳細介紹歸一化模擬低通原型濾波器的設計方法和步驟（最基本的）。步驟（最基本的）。4.4.主要有兩種離散化方法主要有兩種離散化方法沖激響應不

4、變法和雙線性沖激響應不變法和雙線性變換法，將模擬濾波器離散成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。變換法，將模擬濾波器離散成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。55. 5. 用頻率變換法設計用頻率變換法設計IIRIIR數(shù)字濾波器，有兩種頻率數(shù)字濾波器，有兩種頻率變換設計方法變換設計方法a a、模擬頻率域變換法設計、模擬頻率域變換法設計IIRIIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器b b、數(shù)字頻率域變換法設計、數(shù)字頻率域變換法設計IIRIIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器* * *頻率變換法設計頻率變換法設計IIRIIR數(shù)字濾波器均以歸一化模擬數(shù)字濾波器均以歸一化模擬低通原型濾波器的設計方法為重要基礎，在此基低通原型濾波器的設計方法為重要基礎，在此

5、基礎上進行設計的拓展和延伸。礎上進行設計的拓展和延伸。=01( )531MrrrkNkkkb zH zaa z，（其中不全為零）（）IIRIIR和和FIRFIR兩種濾波器的傳遞函數(shù)（系統(tǒng)函數(shù)）分別為兩種濾波器的傳遞函數(shù)（系統(tǒng)函數(shù)）分別為如下形式。如下形式。無限長單位脈沖濾波器（無限長單位脈沖濾波器（IIRIIR）的系統(tǒng)函數(shù)（遞歸型）：）的系統(tǒng)函數(shù)（遞歸型）：6 有限長單位脈沖響應濾波器（有限長單位脈沖響應濾波器（FIRFIR）的系統(tǒng)函數(shù)）的系統(tǒng)函數(shù)（非遞歸型）（非遞歸型）11( )( ),(54)NnnH zh n z濾波器濾波器： 對輸入信號頻率成分進行選擇的器件、系統(tǒng)和對輸入信號頻率成分進

6、行選擇的器件、系統(tǒng)和裝置，讓某些頻率分量通過濾波器的同時，抑制其它頻率裝置，讓某些頻率分量通過濾波器的同時，抑制其它頻率分量。分量。數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器：是指輸入是指輸入/ /輸出均為數(shù)字信號，通過一輸出均為數(shù)字信號，通過一 定定運算關(guān)系調(diào)整輸入信號所含頻率成分的相對比例，同時運算關(guān)系調(diào)整輸入信號所含頻率成分的相對比例，同時抑制或濾除某些頻率成分的器件、裝置和系統(tǒng)。抑制或濾除某些頻率成分的器件、裝置和系統(tǒng)。5.2 濾波器性能指標與設計步驟濾波器性能指標與設計步驟5.2.1 5.2.1 濾波器概述濾波器概述7數(shù)字濾波器設計數(shù)字濾波器設計： 構(gòu)建因果穩(wěn)定的構(gòu)建因果穩(wěn)定的LSILSI系統(tǒng)（保證可實現(xiàn)

7、性和可用系統(tǒng)（保證可實現(xiàn)性和可用性），并使之具有所期望的頻率選擇特性（滿足性能性），并使之具有所期望的頻率選擇特性（滿足性能指標要求）。通常指標要求）。通常按頻率選擇特性不同可以分為低通、按頻率選擇特性不同可以分為低通、高通、帶通、帶阻等類型。高通、帶通、帶阻等類型。如圖如圖5-25-2和圖和圖5-35-3所示。所示。1.1.無限長沖激響應濾波器（無限長沖激響應濾波器（IIRIIR）2.2.有限長沖激響應濾波器（有限長沖激響應濾波器（FIRFIR）數(shù)字濾波器分類數(shù)字濾波器分類（沖激響應（沖激響應）：8 圖圖5-2 5-2 模擬濾波器的類型模擬濾波器的類型 圖圖5-3 5-3 數(shù)字濾波器的類型數(shù)

8、字濾波器的類型9（1 1）圖）圖5-25-2表示模擬低通、高通、帶通和帶阻濾波器。表示模擬低通、高通、帶通和帶阻濾波器。 （2 2）濾波器的幅度特性（或衰減特性）均是理想化的，）濾波器的幅度特性（或衰減特性）均是理想化的，即通帶和阻帶之間沒有過渡帶。即通帶和阻帶之間沒有過渡帶。 （3 3）幅度特性為理想化的濾波器，都是不可實現(xiàn)的，只）幅度特性為理想化的濾波器，都是不可實現(xiàn)的，只能用實際的濾波器的特性逼近該特性。能用實際的濾波器的特性逼近該特性。1 1模擬濾波器的類型及其特點模擬濾波器的類型及其特點（4 4）頻率）頻率 是連續(xù)變量，從是連續(xù)變量，從00連續(xù)變化連續(xù)變化102 2數(shù)字濾波器的類型及

9、其特點數(shù)字濾波器的類型及其特點（1 1）圖）圖5-35-3表示數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻濾波器表示數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻濾波器 （2 2）濾波器的幅度特性（或衰減特性）均是理想化的，）濾波器的幅度特性（或衰減特性）均是理想化的，即通帶和阻帶之間沒有過渡帶。即通帶和阻帶之間沒有過渡帶。 （4 4）數(shù)字頻率）數(shù)字頻率 變化從變化從00包括所有頻率，與連續(xù)頻包括所有頻率，與連續(xù)頻率的重要區(qū)別，且幅度特性呈現(xiàn)周期性重復。率的重要區(qū)別，且幅度特性呈現(xiàn)周期性重復。 （5 5）數(shù)字頻率，低頻頻率成分位于數(shù)字頻率，低頻頻率成分位于的偶數(shù)倍附近，的偶數(shù)倍附近，而高頻成份位而高頻成份位的奇數(shù)倍附近。的奇數(shù)倍附

10、近。 （3 3）幅度特性為理想化的濾波器，都是不可實現(xiàn)的。）幅度特性為理想化的濾波器，都是不可實現(xiàn)的。115.2.2 5.2.2 數(shù)字濾波器性能指標數(shù)字濾波器性能指標濾波器的特性主要由頻率響應表述濾波器的特性主要由頻率響應表述( (設設DFDF的單位脈沖響應為的單位脈沖響應為h(nh(n)| )(|jeH其中其中稱為濾波器的稱為濾波器的幅度響應幅度響應)(je稱為濾波器的稱為濾波器的相位響應相位響應對于相位響應，令對于相位響應，令()dd 稱為濾波器的群延遲響應稱為濾波器的群延遲響應當濾波器的群延遲響應當濾波器的群延遲響應為常數(shù)時，稱為線性相位濾波器為常數(shù)時，稱為線性相位濾波器jjjjj ()

11、e(e)( )e( )(e) enznHh nH zH 反映濾波器對信號幅頻和相頻的處理功能反映濾波器對信號幅頻和相頻的處理功能 12要求不失真?zhèn)鬏?，則濾波器必須具有線性相位特性，同時要求不失真?zhèn)鬏敚瑒t濾波器必須具有線性相位特性，同時對幅度特性有嚴格要求。即必須同時具備如下兩個條件：對幅度特性有嚴格要求。即必須同時具備如下兩個條件： 在通帶內(nèi)濾波器幅度特性為常數(shù)；在通帶內(nèi)濾波器幅度特性為常數(shù)； 在通帶內(nèi)相位函數(shù)為在通帶內(nèi)相位函數(shù)為 的線性函數(shù)。的線性函數(shù)。線性相位函數(shù)有兩種情況，一種是通過坐標原點線性相位函數(shù)有兩種情況，一種是通過坐標原點的線性函數(shù)，另一種是在縱坐標上有截相（的線性函數(shù)，另一種

12、是在縱坐標上有截相（ ）/2的線性相位函數(shù)（相角與頻率的關(guān)系成直線關(guān)系）。的線性相位函數(shù)（相角與頻率的關(guān)系成直線關(guān)系）。13 理想濾波器對應的時域響應為非因果的（不可實理想濾波器對應的時域響應為非因果的（不可實現(xiàn)），因而實際的濾波器頻率特性是用一個具有因果現(xiàn)），因而實際的濾波器頻率特性是用一個具有因果沖激響應的系統(tǒng)函數(shù)對理想濾波器頻率特性的逼近。沖激響應的系統(tǒng)函數(shù)對理想濾波器頻率特性的逼近。11|() |1jH e2|)(|jeHsp|過渡帶過渡帶p|通通帶帶p通通帶帶截截止止頻頻率率1通通帶帶容容限限|s阻帶阻帶s阻帶截止頻率阻帶截止頻率2阻帶容限阻帶容限低通濾波器幅頻特性低通濾波器幅頻特性

13、0p通帶截止頻率通帶截止頻率p通帶通帶 通帶容限通帶容限 1| )(|jeH通帶阻帶過渡帶111 2ps14通帶和阻帶的衰減用分貝數(shù)表示為通帶和阻帶的衰減用分貝數(shù)表示為通帶最大衰減通帶最大衰減p01|() |20 lg20 lg |() |20 lg(1)|() |ppjjpjHeHeHe 阻帶最小衰減阻帶最小衰減s02|() |20 lg20 lg |() |20 lg|() |ssjjsjHeHeHe 此時此時 為為 截止頻率，對應的帶寬為截止頻率，對應的帶寬為3 3dB帶寬帶寬通常通常1|)(|0jeH當當22|)(|pjeH時時，3,pdBdB3通帶最大衰減，越小越好通帶最大衰減，越小

14、越好 阻帶最小衰減，越大越好阻帶最小衰減，越大越好 p15IIRIIR數(shù)字濾波器設計主要工作：數(shù)字濾波器設計主要工作：用一因果穩(wěn)定的離散用一因果穩(wěn)定的離散LSILSI系統(tǒng)逼近給定的性能指標系統(tǒng)逼近給定的性能指標01( )5101MkkkkNkkkb zHzaa z（ 其 中 系 數(shù)不 全 為 零 ）（） 主要的方法是首先設計一個模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)主要的方法是首先設計一個模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)H H( (s s) )，然后通過離散化的方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系，然后通過離散化的方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)統(tǒng)函數(shù)H H( (z z) )。 由式（由式（5-105-10）可見，設計一個）可見，設計一個I

15、IRIIR數(shù)字濾波器，實數(shù)字濾波器，實質(zhì)上是尋找一組系數(shù)質(zhì)上是尋找一組系數(shù) a ak k、b bk k 合適的值，使數(shù)字濾波器合適的值，使數(shù)字濾波器的性能指標滿足給定的指標要求的性能指標滿足給定的指標要求 本質(zhì)上是屬于數(shù)學逼近問題。這與模擬濾波器的本質(zhì)上是屬于數(shù)學逼近問題。這與模擬濾波器的設計思想是完全一致的。設計思想是完全一致的。16 根據(jù)具體設計任務，確定濾波器性能指標。根據(jù)具體設計任務，確定濾波器性能指標。 轉(zhuǎn)換數(shù)字濾波器指標成模擬低通指標（一般需兩次轉(zhuǎn)換數(shù)字濾波器指標成模擬低通指標（一般需兩次轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換, ,低通除外低通除外) )。( (通、阻帶邊界頻率和通、阻帶通、阻帶邊界頻率和通、阻

16、帶衰減）衰減） 設計一個滿足設計指標的歸一化模擬濾波器系統(tǒng)函設計一個滿足設計指標的歸一化模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)數(shù) 。 去歸一化并轉(zhuǎn)換成與數(shù)字濾波器同型的模擬濾波器去歸一化并轉(zhuǎn)換成與數(shù)字濾波器同型的模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)即系統(tǒng)函數(shù)即 H Ha a( (s s) ) 將設計的模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)將設計的模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)H Ha a( (s s) )離散化成數(shù)字濾離散化成數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)波器系統(tǒng)函數(shù)H HD D( (z z) )IIRIIR濾波器設計主要步驟濾波器設計主要步驟( )aHs( )aH s 175.2.3 5.2.3 常用模擬濾波器設計方法常用模擬濾波器設計方法1 1 由幅度平方函數(shù)確定系統(tǒng)函

17、數(shù)由幅度平方函數(shù)確定系統(tǒng)函數(shù)模擬濾波器幅度響應用幅度平方函數(shù)表示模擬濾波器幅度響應用幅度平方函數(shù)表示2*|() |()(),aaaHjHjHj 模擬濾波器的理論已經(jīng)相當成熟，濾波器設計有嚴模擬濾波器的理論已經(jīng)相當成熟，濾波器設計有嚴 格的設計公式，還有完善的曲線和圖表供設計者使用，格的設計公式，還有完善的曲線和圖表供設計者使用， 這些以歸一化低通原型為基礎，常見的模擬濾波器包括巴這些以歸一化低通原型為基礎，常見的模擬濾波器包括巴特沃斯（特沃斯（ButterworthButterworth）濾波器、切比雪夫（）濾波器、切比雪夫（ChebyshevChebyshev）濾波器、橢圓函數(shù)濾波器（濾波器

18、、橢圓函數(shù)濾波器（EllipseEllipse或或CauerCauer）、貝賽爾）、貝賽爾（BesselBessel）濾波器等。）濾波器等。 重點介紹巴特沃斯（重點介紹巴特沃斯（Butterworth）模擬歸一化）模擬歸一化低通濾波器的設計方法。低通濾波器的設計方法。 18因為濾波器沖激響應因為濾波器沖激響應 是實函數(shù)，則有是實函數(shù)，則有)(tha)()(*jHjHaa所以所以2|()|()()( )( )|aaaaas jH jH jHjH s Hs )(sHa 為模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù), ,它是關(guān)于它是關(guān)于s s的多項的多項式之比的形式（關(guān)于式之比的形式（關(guān)于s s的有

19、理函數(shù)）的有理函數(shù)） 可見為頻率響應函數(shù)與頻率響應函數(shù)取共軛之積可見為頻率響應函數(shù)與頻率響應函數(shù)取共軛之積 其中其中:19 模擬濾波器設計是根據(jù)一組設計指來設計模擬濾模擬濾波器設計是根據(jù)一組設計指來設計模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)波器的系統(tǒng)函數(shù)H Ha a( (s s) )，使其逼近某個理想幅度，使其逼近某個理想幅度特性。例如逼近理想模擬低通濾波器的幅頻特性，特性。例如逼近理想模擬低通濾波器的幅頻特性，具體如圖具體如圖5-55-5所示。所示。 圖5-5 5-5 理想模擬低通濾波器的幅頻特性理想模擬低通濾波器的幅頻特性這是根據(jù)幅度平方函數(shù)來逼近的。這是根據(jù)幅度平方函數(shù)來逼近的。202 2 巴特沃斯濾波器

20、巴特沃斯濾波器( (模擬濾波器）模擬濾波器）巴特沃斯低通濾波器幅度平方函數(shù)定義為巴特沃斯低通濾波器幅度平方函數(shù)定義為NCajH22)(11| )(|N N為濾波器階次為濾波器階次為濾波器截止頻率為濾波器截止頻率C巴特沃斯低通濾波器的巴特沃斯低通濾波器的特點：特點：（1 1）處無衰減處無衰減0 , 1| )(|02 jHa為為3 3dB dB 頻率頻率, ,且對應于巴特沃斯低通濾波器的且對應于巴特沃斯低通濾波器的3dB3dB帶寬帶寬C（2 2）21|() |2CaHj 21| )(jHa|( 0) |20 lg3,|() |pCHjdBHj為通帶最大衰減為通帶最大衰減, ,越小濾波越好越小濾波越

21、好p與數(shù)字濾波器類似則有與數(shù)字濾波器類似則有21且在且在 處處0（3 3）C前（前（2N2N1 1）階導數(shù)為）階導數(shù)為0 02| )(|jHa即具有最大平坦幅度特性，即具有最大平坦幅度特性， 附近最平坦附近最平坦, ,在通帶內(nèi)單調(diào)減小，在通帶內(nèi)單調(diào)減小，階次越高，衰減越慢。（通帶內(nèi)）階次越高，衰減越慢。（通帶內(nèi)）2| )(|jHa（4 4）C2| )(|jHa的增加而快速減小。階次越高，衰減越快。（阻帶內(nèi)）的增加而快速減小。階次越高，衰減越快。（阻帶內(nèi)）隨著隨著可見巴特沃斯濾波器的幅頻濾波特性由濾波器的階次決定?？梢姲吞匚炙篂V波器的幅頻濾波特性由濾波器的階次決定。NCaaajssHsHjHjs

22、22)(11)()(| )(| 0圖圖5-6 巴特沃斯低通的幅度特性與巴特沃斯低通的幅度特性與N的關(guān)系的關(guān)系221121222( 1)()1,2,3,2kjNNCCksjekN 極點（特征根）極點（特征根） 的極點分布特點如圖的極點分布特點如圖5-75-7所示。所示。 極點為：以虛軸為對稱軸，且不會分極點為：以虛軸為對稱軸，且不會分布在虛軸上。布在虛軸上。 N N為奇數(shù)時，實軸上有兩個極點，為奇數(shù)時，實軸上有兩個極點，N N為偶數(shù)時，實為偶數(shù)時，實軸上沒有極點。軸上沒有極點。 極點間隔為極點間隔為 。取左半取左半s s平面極點，即為平面極點，即為H Ha a( (s s) )的極點，這是由于濾

23、波的極點，這是由于濾波器必須是穩(wěn)定的，因此系統(tǒng)函數(shù)的極點必須在器必須是穩(wěn)定的，因此系統(tǒng)函數(shù)的極點必須在s s平面平面的左平面。的左平面。2211()01()NNCCssjjaa( )()Hs Hs特征方程特征方程aa( )()Hs Hs巴特沃斯低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)和極點分別為：巴特沃斯低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)和極點分別為： / N23圖圖5-7 5-7 三階巴特沃斯濾波器的極點分布三階巴特沃斯濾波器的極點分布1/Crad s 012( )()()()aNKHsssssss02012( )aNNKHsaa sa sa s當當 時時, ,稱為歸一化頻率，通常在設計中頻率都稱為歸一化頻率，通常在設計中頻

24、率都采用歸一化形式采用歸一化形式 歸一化后的低通濾波器為原型濾波器。歸一化后的低通濾波器為原型濾波器。 或或NkessssHNkjCkNkkNCa,3 , 2 , 1)()(212211當 C1rad/s24【例【例5-1】試寫出三階巴特沃斯低通濾波器的系統(tǒng)函試寫出三階巴特沃斯低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，設數(shù)，設解：三階巴特沃斯歸一化原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)為解：三階巴特沃斯歸一化原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)為sradC/20230123( )aKHsaa sa sa s由附錄由附錄A-1可查出可查出 所以所以2,221aa023( )122aKHssss若令若令 ，則有，則有1)0(anH10K在在 頻率下頻率下

25、sradC/2 Ca238( )( )()884saasCsHsHsHsss在設計中用在設計中用 替代替代 中的中的 ( (即去歸一化），得到所需即去歸一化），得到所需要的實際濾波器系統(tǒng)函數(shù)要的實際濾波器系統(tǒng)函數(shù)Cs( )aHss( )aHs253 3 根據(jù)實際濾波器性能指標設計巴特沃斯濾波器根據(jù)實際濾波器性能指標設計巴特沃斯濾波器通帶最大衰通帶最大衰減減阻帶最小衰減阻帶最小衰減 給定給定ps| )(|jH通帶阻帶過渡帶1psps濾波器類型轉(zhuǎn)換衰減指標不變?yōu)V波器類型轉(zhuǎn)換衰減指標不變26從該題的求解過程中，可以總結(jié)出由從該題的求解過程中，可以總結(jié)出由N N求實際低通求實際低通 濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的

26、步驟如下。濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的步驟如下。 由給定指標（兩個邊界頻率和兩個衰減等），由給定指標（兩個邊界頻率和兩個衰減等），計算出濾波器的階數(shù)。計算出濾波器的階數(shù)。 根據(jù)根據(jù)N N查找歸一化表格（有三種形式，根據(jù)需要查找歸一化表格（有三種形式，根據(jù)需要選一種，附錄選一種，附錄A A提供兩種），得到歸一化原型低通提供兩種），得到歸一化原型低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。 根據(jù)選定的歸一化頻率，進行去歸一化，求出根據(jù)選定的歸一化頻率，進行去歸一化，求出實際的低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。實際的低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。如何利用實際濾波器給定的性能指標，推導出求巴特如何利用實際濾波器給定的性能指標，推導出求

27、巴特沃斯低通濾波器的階數(shù)沃斯低通濾波器的階數(shù)N和求歸一化截止頻率和求歸一化截止頻率c公式？公式？ 27分別由通帶最大衰減和阻帶最小衰減求分別由通帶最大衰減和阻帶最小衰減求N N和歸一化頻率和歸一化頻率| )(|lg20| )(| )0(|lg20papaapjHjHjH| )(|lg20| )(| )0(|lg20sasaasjHjHjH代入代入NCajH22)(11| )(|)(1lg102NCPp)(1lg102NCSs 有有及及212)(11| )(|NCppajH 212)(11| )(|NCssajH 1.求求 N28lg2/ 110110lg101 . 01 . 0spSPN2.2

28、.求求:C阻帶指標滿足，通帶指標有富裕量阻帶指標滿足，通帶指標有富裕量通帶指標滿足，阻帶指標有富裕量通帶指標滿足，阻帶指標有富裕量NsCs211 . 0 110NpCp211 . 0 110NPCCPNNCPppp2110/2110/210/) 110() 110()(110 (取大于或等于計算取大于或等于計算結(jié)果的整數(shù)結(jié)果的整數(shù)N)29例例5-2設要求在通帶頻率低于設要求在通帶頻率低于1kHz時，允許幅度誤差在時，允許幅度誤差在1dB以內(nèi)，在頻率大于以內(nèi)，在頻率大于1.8kHz的阻帶內(nèi)，衰減大于的阻帶內(nèi)，衰減大于14dB。試設計一個巴特沃斯模擬低通濾波器。試設計一個巴特沃斯模擬低通濾波器。解

29、：解： 模擬低通濾波器的兩個邊界頻率和衰減指標分別為模擬低通濾波器的兩個邊界頻率和衰減指標分別為巴特沃斯低通濾波器階數(shù)為巴特沃斯低通濾波器階數(shù)為取取N=4，根據(jù)根據(jù)N值查附錄值查附錄A得到歸一化模擬低通濾波得到歸一化模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為器的系統(tǒng)函數(shù)為 pp22000 rad/sfp1dB ss23600 rad/sfs14dB，通帶最大衰減，阻帶最小衰減sp0.1 s0.1 p1011.9692lg/2lg3.85700.5105101N30將通帶邊界頻率和通帶最大衰減值代入上式有將通帶邊界頻率和通帶最大衰減值代入上式有Css10.12101pNCp a2341( )12.6131 +3

30、.41422.6131Hsssss 去歸一化，求出實際濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。去歸一化，求出實際濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。 C7439rad/sc1.1840kHz (2 )ff（去歸一化）得到實際模擬低通系通函數(shù)（去歸一化）得到實際模擬低通系通函數(shù) c caLPaLP234=4 c432234 c c c c151512824341( )( )12.6131 +3.41422.61312.61313.41422.61313.0624 103.0624 101.0757 101.8893 101.9438 10ssssHsHsssssssssssss315.3 5.3 沖激響應不變法沖激響應不變法5.3.1

31、5.3.1變換原理變換原理( )()ah nThnT沖激響應不變法是用數(shù)字濾波器對應的時域單位脈沖沖激響應不變法是用數(shù)字濾波器對應的時域單位脈沖響應響應h(n)模仿模擬濾波器的沖激響應模仿模擬濾波器的沖激響應h(t)。其過程如下。其過程如下aa( )( )( )( )tnTZHsh th nH z 拉氏反變換離散化變換a( )h ttnTa( )h ta( )h t對模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)求拉氏逆變換，得到模仿模擬對模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)求拉氏逆變換，得到模仿模擬濾波器的沖激響應濾波器的沖激響應 ，用，用 離散化離散化 ，使使h(n)的的序列值正好等于序列值正好等于 的離散點上的采樣值，即有的離散

32、點上的采樣值，即有a( )()h nh nT由由h(n)的的Z變換和抽樣信號變換和抽樣信號的拉氏變換之間的變換關(guān)系的拉氏變換之間的變換關(guān)系aae12( )( )(j)sTzkkH zHsHsTT取取 32兩者之間的轉(zhuǎn)換是兩者之間的轉(zhuǎn)換是s平面與平面與z平面之間的映射關(guān)系即平面之間的映射關(guān)系即 esTz 下面討論下面討論s平面到平面到z平面的映射關(guān)系，由圖平面的映射關(guān)系，由圖5-9可見：可見：圖圖5-9 沖激響應不變法映射關(guān)系沖激響應不變法映射關(guān)系332/T2/T2/T( )H za( )HsesTz s s平面左半平面縱軸方向，每條寬度為平面左半平面縱軸方向，每條寬度為 橫條都重疊橫條都重疊地

33、映射到地映射到z z平面的單位圓內(nèi)。平面的單位圓內(nèi)。 s s平面右半平面縱軸方向，每條寬度為平面右半平面縱軸方向，每條寬度為 橫條都橫條都重疊地映射到重疊地映射到z平面的單位圓外。平面的單位圓外。，在單位圓上兜一圈。這些特點正是反映了在單位圓上兜一圈。這些特點正是反映了 和和之間的變換關(guān)系，即之間的變換關(guān)系，即 s平面的虛軸上都映射到平面的虛軸上都映射到z平面的單位圓上。這部分平面的單位圓上。這部分也是重疊映射，也是重疊映射，s平面的虛軸上每段長度為平面的虛軸上每段長度為注意：注意：a.此種映射關(guān)系不遵從簡單代數(shù)映射關(guān)系此種映射關(guān)系不遵從簡單代數(shù)映射關(guān)系 b.b.用這種方法離散化在頻率高時必然

34、混疊用這種方法離散化在頻率高時必然混疊 c.這種離散化方法不會對穩(wěn)定性帶來問題。這種離散化方法不會對穩(wěn)定性帶來問題。345.3.2 5.3.2 模擬濾波器的數(shù)字化方法模擬濾波器的數(shù)字化方法NkkkassAsH1)(NktskaatueAsHLthk11)()()(對應濾波器的沖激響應為對應濾波器的沖激響應為)(tha對對 求求z變換，變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) )(nh 為了使討論問題簡單化，假定模擬濾波器的系統(tǒng)函為了使討論問題簡單化，假定模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)數(shù)H Ha a( (s s) )只有單階極點（共軛和重階也可參照信號與系統(tǒng)只有單階極點（共軛和重階也可參照信

35、號與系統(tǒng)處理），且分母的階次大于或等于分子的階次處理），且分母的階次大于或等于分子的階次（模擬濾波器的可實現(xiàn)性要求）將（模擬濾波器的可實現(xiàn)性要求）將H Ha a( (s s) )展開部分分式展開部分分式形式，其形式為形式，其形式為110110( )( )(e)(e)kkNNs Ts TnnnkknnkknH zh n zTAzTAz351e1ks Tzeks Tz若若 或或 ，級數(shù)收斂，級數(shù)收斂，Z Z變換存在，利用變換存在，利用等比級數(shù)前等比級數(shù)前N N項和公式有項和公式有111011( )(e)1 ekkNNs Tnkks TknkH zTAzTAz與模擬系統(tǒng)濾波器系統(tǒng)函數(shù)部分分式展開形式

36、比較，則與模擬系統(tǒng)濾波器系統(tǒng)函數(shù)部分分式展開形式比較，則a111( )( )1 ekNNkks TkkkATAHsH zsszeks Tz 0ksse0ks Tz 兩者的系統(tǒng)函數(shù)比較有如下的對應關(guān)系。兩者的系統(tǒng)函數(shù)比較有如下的對應關(guān)系。兩者部分分式展開式差一個系數(shù)兩者部分分式展開式差一個系數(shù)T T 。eks Tz s s平面單極點平面單極點s s= =s sk k變換到變換到z z平面上平面上 處單階處單階極點，極點， 和和 為各自系統(tǒng)的特征方程為各自系統(tǒng)的特征方程（求極點）。（求極點）。穩(wěn)定的模擬濾波器一定映射為穩(wěn)定的數(shù)字濾波器。穩(wěn)定的模擬濾波器一定映射為穩(wěn)定的數(shù)字濾波器。36 設計濾波器時

37、，設計濾波器時， 都是實數(shù)，因此都是實數(shù)，因此 的極點一定的極點一定是以共軛形式出現(xiàn)。對于這種共軛極點，是以共軛形式出現(xiàn)。對于這種共軛極點， 形成二階的形成二階的基本節(jié)，其模擬濾波器的二階基本節(jié)與數(shù)字濾波器二階基本基本節(jié)，其模擬濾波器的二階基本節(jié)與數(shù)字濾波器二階基本節(jié)的對應的兩種形式節(jié)的對應的兩種形式)(tha)(sHa)(sHa22()kkkss kkkjs極點極點TkTkTkkkezTezTez2211cos21cos11 1。2 2。22()kkks kkkjs 極點極點12121sin12coskkkTkTTkz eTz eTze37沖激響應不變法設計的數(shù)字濾波器具有模擬濾波器的沖激響

38、應不變法設計的數(shù)字濾波器具有模擬濾波器的相似特性（兩者頻率成現(xiàn)性關(guān)系相似特性（兩者頻率成現(xiàn)性關(guān)系 ）。）。5.3.3 5.3.3 沖激響應不變法實現(xiàn)步驟沖激響應不變法實現(xiàn)步驟T 用沖激響應不變法設計數(shù)字濾波器（低通和帶通）的主用沖激響應不變法設計數(shù)字濾波器（低通和帶通）的主要步驟如下要步驟如下: : 1 1確定數(shù)字濾波器性能指標確定數(shù)字濾波器性能指標 數(shù)字低通指標：兩個邊界頻率數(shù)字低通指標：兩個邊界頻率 、 和兩個和兩個衰減衰減 、 。pp()(),ss 、（pspsps。 數(shù)字帶通指標：通帶上、下邊界頻率，阻帶上、數(shù)字帶通指標：通帶上、下邊界頻率，阻帶上、下邊界頻率和兩個衰減下邊界頻率和兩個

39、衰減 、 。2 2將數(shù)字濾波器指標轉(zhuǎn)換成模擬濾波器指標將數(shù)字濾波器指標轉(zhuǎn)換成模擬濾波器指標 數(shù)字低通指標轉(zhuǎn)換成模擬低通指標（用公式數(shù)字低通指標轉(zhuǎn)換成模擬低通指標（用公式 T、） 衰減不變衰減不變38 數(shù)字帶通指標轉(zhuǎn)換成模擬帶通指標（用公數(shù)字帶通指標轉(zhuǎn)換成模擬帶通指標（用公式式 ）。）。Tp1 p2 p s1s2 s(、），（，） 模擬帶通指標轉(zhuǎn)換成模擬低通指標模擬帶通指標轉(zhuǎn)換成模擬低通指標、兩個衰減保持不變。兩個衰減保持不變。3 3按照模擬濾波器的設計方法，設計歸一化模擬低通按照模擬濾波器的設計方法，設計歸一化模擬低通濾波器。濾波器。4 4求實際模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)求實際模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)

40、（去歸一化）（去歸一化）a( )Hs5 5利用沖激響應不變法離散化，將模擬濾波器系統(tǒng)函利用沖激響應不變法離散化，將模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)。數(shù)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)。 模擬低通到數(shù)字低通直接離散化。模擬低通到數(shù)字低通直接離散化。 數(shù)字帶通濾波器設計，則要將模擬低通變換為模擬數(shù)字帶通濾波器設計，則要將模擬低通變換為模擬帶通，再將其離散化成數(shù)字帶通濾波器。帶通，再將其離散化成數(shù)字帶通濾波器。39a23( )54Hsss1T a2311( )1454Hsssss【例【例5-35-3】 設模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為設模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 , , 試利用沖激響應不變法設計試利用沖激響應

41、不變法設計IIRIIR數(shù)字濾波器。設采數(shù)字濾波器。設采樣周期為樣周期為 。解：模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)展開為部分分式（兩個解：模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)展開為部分分式（兩個一階節(jié)一階節(jié)）所以數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)與之對應的一階的形式如下所以數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)與之對應的一階的形式如下114( )1e1eTTTTH zzz將采樣周期將采樣周期 代入則有代入則有1T 1120.34956( )1 0.38620.0067zH zzz40aa2j3(j )( )5j4sHHs jjjej2j0.3496e(e)( )10.3862e0.0067zHH z 模擬濾波器的頻率響應為模擬濾波器的頻率響應為數(shù)字濾波器的頻率響應

42、為數(shù)字濾波器的頻率響應為415.3.4 5.3.4 沖激響應不變法的優(yōu)點和缺點沖激響應不變法的優(yōu)點和缺點 沖激響應模仿模擬濾波器，時域特性逼進近程度好。沖激響應模仿模擬濾波器，時域特性逼進近程度好。 模擬角頻率和數(shù)字角頻率之間為線性關(guān)系即模擬角頻率和數(shù)字角頻率之間為線性關(guān)系即T沖激響應不變法的優(yōu)點如下沖激響應不變法的優(yōu)點如下保證頻率之間不存在失真，保持離散化后的不變性保證頻率之間不存在失真，保持離散化后的不變性 轉(zhuǎn)換關(guān)系簡單，并有現(xiàn)成的一階和二階基本節(jié)，轉(zhuǎn)換時轉(zhuǎn)換關(guān)系簡單，并有現(xiàn)成的一階和二階基本節(jié)，轉(zhuǎn)換時所需的部分分式展開形式亦可借助于所需的部分分式展開形式亦可借助于MATLAB環(huán)境。環(huán)境。

43、沖激響應不變法的缺點如下沖激響應不變法的缺點如下 高頻頻譜混疊高頻頻譜混疊 混疊是沖激響應不變法固有的缺點混疊是沖激響應不變法固有的缺點僅適合于低通、帶通濾波器設計僅適合于低通、帶通濾波器設計425.4 5.4 雙線性變換法雙線性變換法5.4.15.4.1變換原理變換原理 為了克服沖激響應不變法離散化產(chǎn)生的頻率混疊失真，為了克服沖激響應不變法離散化產(chǎn)生的頻率混疊失真，雙線性變換法采用兩次映射的方法，如下所述。雙線性變換法采用兩次映射的方法，如下所述。 頻率軸壓縮頻率軸壓縮 多值映射轉(zhuǎn)化成一一對應的單值映射多值映射轉(zhuǎn)化成一一對應的單值映射 穩(wěn)定性不變性穩(wěn)定性不變性問題：頻率畸變性（連續(xù)頻率與數(shù)字

44、頻率轉(zhuǎn)換的非線性）問題：頻率畸變性（連續(xù)頻率與數(shù)字頻率轉(zhuǎn)換的非線性）映射關(guān)系如圖映射關(guān)系如圖5-15所示所示 43圖圖5-15 雙線性變換映射關(guān)系雙線性變換映射關(guān)系TT（）第一，第一，s平面映射到平面映射到s1平面上的水平帶域平面上的水平帶域（相當于頻率軸壓縮）。（相當于頻率軸壓縮）。44第二，第二，s s1 1平面上的水平帶域平面上的水平帶域 映射至映射至z z平面。平面。TT（）第三，穩(wěn)定性不變性。第三，穩(wěn)定性不變性。 通過上述兩次映射，將整個通過上述兩次映射，將整個s平面到平面到z平面上多值映射平面上多值映射 變成一點對一點的單值映射，消除了多值映射造成的混變成一點對一點的單值映射，消除

45、了多值映射造成的混疊。由三個平面之間的映射關(guān)系，決定了雙線性變換法疊。由三個平面之間的映射關(guān)系，決定了雙線性變換法保證系統(tǒng)穩(wěn)定性不會因離散化而帶來穩(wěn)定性問題。保證系統(tǒng)穩(wěn)定性不會因離散化而帶來穩(wěn)定性問題。455.4.2 5.4.2 模擬濾波器數(shù)字化方法模擬濾波器數(shù)字化方法11jsjs 可得可得s s平面到平面到s s1 1平面的關(guān)系為平面的關(guān)系為 / /TT（）把把s s平面映射到平面映射到s s1 1平面的水平帶域平面的水平帶域取兩個平面之間的變換關(guān)系為：取兩個平面之間的變換關(guān)系為： 1tan2Tc當當 頻率軸壓縮頻率軸壓縮 1T ，C：為預畸變待定常數(shù)，：為預畸變待定常數(shù)， ：是：是s平面的

46、連續(xù)頻率，平面的連續(xù)頻率， 1 ：是：是s s1 1平面的頻率，平面的頻率， 1T 利用歐拉公式改寫上式為利用歐拉公式改寫上式為 1 1 1 1 1jj22jj 1222jsinee2jj2cosee2TTTTTccT令令46 1 1 1 1 1jj22jj 1222jsinee2jj2cosee2TTTTTccT1es Tz 利用利用 （代入上式）的變換關(guān)系，映射（代入上式）的變換關(guān)系，映射s s1 1平面到平面到z z平面，則有平面，則有1111zscz以及以及scscz上式稱為雙線性變換上式稱為雙線性變換(分子、分母均為線性關(guān)系）分子、分母均為線性關(guān)系）C C：用來調(diào)解模擬頻率和數(shù)字頻率

47、之間的對應關(guān)系：用來調(diào)解模擬頻率和數(shù)字頻率之間的對應關(guān)系（頻率預畸變，（頻率預畸變，選擇選擇c通常有兩種方法通常有兩種方法,如下所述如下所述 ）（1 1）在低頻頻率處使模擬濾波器和數(shù)字濾波器有較確切）在低頻頻率處使模擬濾波器和數(shù)字濾波器有較確切的對應關(guān)系的對應關(guān)系，（即（即 ，條件是低頻時），條件是低頻時） 147 1 1tan22TTcc由由令令 有有 122tantan22TTT12cT 1T1)T 可見模擬與數(shù)字頻率相等（利用可見模擬與數(shù)字頻率相等（利用，當?shù)皖l時當?shù)皖l時, ,且且）。 s s平面和平面和z z平面的映射關(guān)系（雙線性變換）為平面的映射關(guān)系（雙線性變換）為 1122 12/

48、tan,22/1zTsszTTTsz可見在低頻時，模擬濾波器和數(shù)字濾波器的特性很相近可見在低頻時，模擬濾波器和數(shù)字濾波器的特性很相近（模擬和數(shù)字頻率近似相等）。（模擬和數(shù)字頻率近似相等）。48T由對應關(guān)系由對應關(guān)系 ，若希望有，若希望有 CC對于對于）（）（22)2tan()2tan(1ccccottanccTc c則有：則有：)2cot(cCc cc cT（2 2）模擬濾波器在某一特定頻率處（）模擬濾波器在某一特定頻率處（ ）和數(shù)字濾波器和數(shù)字濾波器的某一頻率（的某一頻率（ ）有嚴格的對應關(guān)系。即）有嚴格的對應關(guān)系。即 第二種方法選擇第二種方法選擇c c，僅僅保證模擬濾波器特定頻率點，僅僅保

49、證模擬濾波器特定頻率點及其附近頻率與數(shù)字濾波器頻率的某個頻率對應，而且及其附近頻率與數(shù)字濾波器頻率的某個頻率對應，而且頻率響應完全相等，可以準確控制截止頻率的位置。但頻率響應完全相等，可以準確控制截止頻率的位置。但在其他點，兩個平面的頻率呈現(xiàn)非線性關(guān)系。當強調(diào)某在其他點，兩個平面的頻率呈現(xiàn)非線性關(guān)系。當強調(diào)某一點及其附件的頻率響應時，用第二種方法。一點及其附件的頻率響應時，用第二種方法。強調(diào)：強調(diào)：雙線性變換方法消除頻率混疊是以犧牲頻率的雙線性變換方法消除頻率混疊是以犧牲頻率的線性變換關(guān)系為代價的。線性變換關(guān)系為代價的。495.4.3 5.4.3 雙線性變換法實現(xiàn)步驟雙線性變換法實現(xiàn)步驟)2t

50、an(c利用雙線性變換法設計利用雙線性變換法設計IIR數(shù)字低通濾波器的步驟如下。數(shù)字低通濾波器的步驟如下。ps、ps、確定數(shù)字低通濾波器指標設計（兩個邊界頻率：通帶確定數(shù)字低通濾波器指標設計（兩個邊界頻率：通帶和阻帶邊界頻率，分別為和阻帶邊界頻率，分別為 ；兩個衰減：通帶最兩個衰減：通帶最大衰減和阻帶最小衰減，分別為大衰減和阻帶最小衰減，分別為數(shù)字低通濾波器指標轉(zhuǎn)換為模擬低通濾波器指標數(shù)字低通濾波器指標轉(zhuǎn)換為模擬低通濾波器指標（兩個邊界頻率和兩個衰減，利用（兩個邊界頻率和兩個衰減，利用 轉(zhuǎn)換邊界轉(zhuǎn)換邊界頻率：頻率： ，兩個衰減保持不變）。兩個衰減保持不變）。 c css，按照轉(zhuǎn)換過來的技術(shù)指標

51、設計歸一化模擬低通濾波器按照轉(zhuǎn)換過來的技術(shù)指標設計歸一化模擬低通濾波器（設計方法同前），去歸一化得到所要求的實際的模擬（設計方法同前），去歸一化得到所要求的實際的模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)濾波器的系統(tǒng)函數(shù)a( )Hs利用雙線性變換公式，將模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)利用雙線性變換公式，將模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換為數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)（直接代入雙線性公式，換為數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)（直接代入雙線性公式，參見下式）。參見下式）。50111a1( )( )zs czH zHs一般情況下，一般情況下，c c取取2/2/T T，T T取取1 1（還可以按特定頻率（還可以按特定頻率確定取確定取c c值，即值，即

52、 ） 雙線性變換法從根本上消除了頻率混疊。雙線性變換法從根本上消除了頻率混疊。c ccot2c采樣周期采樣周期T T可任選，為簡化取可任選，為簡化取T T = 1 = 1。 ca c( )Hss【例【例5-55-5】 已知一階模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)為已知一階模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)為其中其中 為其為其3dB3dB帶寬。用雙線帶寬。用雙線性變換法將其轉(zhuǎn)換為數(shù)性變換法將其轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)，并要求其，并要求其3dB帶寬為帶寬為p0.1解：解：1將數(shù)字低通濾波器指標（兩個邊界頻率和兩個將數(shù)字低通濾波器指標（兩個邊界頻率和兩個衰減）轉(zhuǎn)換為模擬低通濾波器指標：衰減）轉(zhuǎn)換為

53、模擬低通濾波器指標： c51利用頻率轉(zhuǎn)換公式利用頻率轉(zhuǎn)換公式 , ,將數(shù)字濾波器將數(shù)字濾波器3dB3dB帶帶寬頻率寬頻率 ,轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的通帶轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的通帶3dB3dB截止頻率截止頻率 ，模擬濾波器的通帶截止頻率為模擬濾波器的通帶截止頻率為cctan2c p p 兩個衰減兩個衰減 cctan(/2)ctan(0.1 57.3 0.5)0.1583cc本題對衰減指標沒要求，給出一階模擬低通濾波器的系本題對衰減指標沒要求，給出一階模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，因此省略了求一階模擬低通系統(tǒng)函數(shù)的步驟，統(tǒng)函數(shù)，因此省略了求一階模擬低通系統(tǒng)函數(shù)的步驟，確定模擬濾波器的通帶確定模擬濾波器的通帶3d

54、B3dB截止頻率截止頻率 后，直接離散化后，直接離散化. c將將 代入模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)中，則有代入模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)中，則有 c0.1583c c c0.1584( )0.1584cH sssc522 2利用雙線性變換公式利用雙線性變換公式 將模擬低通濾波器將模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換為數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換為數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 1111zscz111111111110.1584(1)0.1367(1)0.1584( )( )110.1584(1)1 0.72650.15841zs czzzcH zH szzzzccz（注意：已經(jīng)求出的（注意：已經(jīng)求出的 是預畸變的）

55、。是預畸變的）。c( )H z3. 求數(shù)字濾波器的頻率響應（令求數(shù)字濾波器的頻率響應（令 代入代入 ),則有則有） jezjjjej0.1367(1 e)(e)( )1 0.7265ezHH z4.4.驗證指標驗證指標0時，時， j201(e)0g H0.1時，時， j201g(e)3dBH 滿足設計要求。滿足設計要求。 53總結(jié)雙線性變換的優(yōu)點和缺點?？偨Y(jié)雙線性變換的優(yōu)點和缺點。優(yōu)點：優(yōu)點： 從根本上避免了頻率混疊現(xiàn)象；從根本上避免了頻率混疊現(xiàn)象； 通過常數(shù)通過常數(shù)c c 的選擇可以預畸變（可以在低頻或在的選擇可以預畸變（可以在低頻或在特定頻率點處）；特定頻率點處）； 離散化簡單，只需將離散

56、化簡單，只需將 代入模擬低通濾波代入模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)中替換器的系統(tǒng)函數(shù)中替換s即可。即可。1111zscz對于低通、高通、帶通和帶阻濾波器均可離散化對于低通、高通、帶通和帶阻濾波器均可離散化 缺點：缺點： 連續(xù)與數(shù)字頻率之間為非線性關(guān)系，轉(zhuǎn)換后的幅頻連續(xù)與數(shù)字頻率之間為非線性關(guān)系，轉(zhuǎn)換后的幅頻和相頻特性與原模擬濾波器的幅相特性有偏離。和相頻特性與原模擬濾波器的幅相特性有偏離。 545.5 5.5 模擬低通濾波器設計模擬低通濾波器設計IIRIIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器本節(jié)介紹用頻率域變換法設計本節(jié)介紹用頻率域變換法設計IIR濾波器，有兩種方法：濾波器，有兩種方法：數(shù)字頻率數(shù)字頻率數(shù)字頻率變

57、換（簡稱為數(shù)字域頻率變換數(shù)字頻率變換（簡稱為數(shù)字域頻率變換模擬頻率模擬頻率模擬頻率變換（模擬域頻率變換或模擬頻率變換（模擬域頻率變換或s域頻率變換法）域頻率變換法）法，或法，或z域頻率變換法）。域頻率變換法）。1 1模擬域頻率變換法設計模擬域頻率變換法設計IIRIIR濾波器的基本步驟濾波器的基本步驟 確定的數(shù)字濾波器的性能指標，按照某種頻率轉(zhuǎn)確定的數(shù)字濾波器的性能指標，按照某種頻率轉(zhuǎn)換關(guān)系，轉(zhuǎn)換成與數(shù)字濾波器同一類換關(guān)系，轉(zhuǎn)換成與數(shù)字濾波器同一類型型（低通、高通、（低通、高通、帶通和帶阻濾波器）的模擬濾波器的性能指標（注意：帶通和帶阻濾波器）的模擬濾波器的性能指標（注意：沖激響應不變法和雙線性

58、變換法離散化，頻率轉(zhuǎn)換用沖激響應不變法和雙線性變換法離散化，頻率轉(zhuǎn)換用不同的公式）。不同的公式）。55 用模擬域頻率變換轉(zhuǎn)換成模擬低通指標，設計歸一用模擬域頻率變換轉(zhuǎn)換成模擬低通指標，設計歸一化模擬低通原型濾波器?；M低通原型濾波器。 用頻率域變換轉(zhuǎn)換成與數(shù)字濾波器同一類型的用頻率域變換轉(zhuǎn)換成與數(shù)字濾波器同一類型的模擬濾波器（高通、帶通和帶阻濾波器）。模擬濾波器（高通、帶通和帶阻濾波器）。 用離散化方法（注意方法適用范圍），將模擬濾波器用離散化方法（注意方法適用范圍），將模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)離散化成要設計的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。系統(tǒng)函數(shù)離散化成要設計的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。2數(shù)字域頻率變換法設

59、計數(shù)字域頻率變換法設計IIR濾波器的基本步驟濾波器的基本步驟 將數(shù)字濾波器的性能指標轉(zhuǎn)換為與數(shù)字濾波器同一類將數(shù)字濾波器的性能指標轉(zhuǎn)換為與數(shù)字濾波器同一類（低通、高通、帶通和帶阻濾波器）型的模擬濾波器指標（低通、高通、帶通和帶阻濾波器）型的模擬濾波器指標（沖激響應不變法和雙線性變換法離散化，頻率轉(zhuǎn)換用不（沖激響應不變法和雙線性變換法離散化，頻率轉(zhuǎn)換用不同的公式）。同的公式）。56 用模擬域頻率變換轉(zhuǎn)換成模擬低通指標，設計歸一化用模擬域頻率變換轉(zhuǎn)換成模擬低通指標，設計歸一化模擬低通原型濾波器。模擬低通原型濾波器。 用離散化方法（兩種方法選擇其中之一，根據(jù)濾波器的用離散化方法（兩種方法選擇其中之一

60、，根據(jù)濾波器的類型而定），將模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)離散化成數(shù)字類型而定），將模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)離散化成數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。 用數(shù)字域頻率變換法將數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換用數(shù)字域頻率變換法將數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換成所要設計的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。成所要設計的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。兩種頻率設計法的流程以框圖形式給出，如圖兩種頻率設計法的流程以框圖形式給出，如圖5-18所示。所示。57圖圖5-18 通過頻率變換法設計通過頻率變換法設計IIR濾波器濾波器模擬域頻率變換法設計模擬域頻率變換法設計IIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器 用模擬頻率用模擬頻率模擬頻率變換方法設計，在