速和靜力實用教案

1、 我們討論的是一個(y )坐標系原點相對于某個常見的世界參考坐標系的速度，而不考慮相對于任意坐標系中一般點的速度，對于這種情況，定義一個(y )縮寫符號: 式中的點為坐標系 C的原點，參考坐標系為 U. 用 表示坐標系 C原點的速度， 是坐標系C的原點在坐標系A(chǔ)中表示的速度 (盡管微分是相對于坐標系 U進行的). ACvUCCORGvVCv第1頁/共45頁第一頁，共45頁。 例子: U 是固定世界坐標系. T固連在速度為 100 mph的火車上.坐標系 C固連在速度為 30 mph的汽車上. 兩車前進方向(fngxing)為 U的X方向(fngxing)。旋轉(zhuǎn)矩陣 已知并且為常數(shù). 30UUU

2、CORGCORGCdPVvXdt1()(100)100CUCCCUTORGTUTUCVvRvRXRX 1()70CTCTUUCORGTCORGCTVR VRRX,UUTCRR第2頁/共45頁第二頁，共45頁。 2. 角速度 線速度描述了點的一種屬性，角速度描述了剛體的一種屬性。坐標系總是固連在被描述的剛體上，所以可以用角速度來描述坐標系的旋轉(zhuǎn)運動. 描述了坐標系 B相對于A的旋轉(zhuǎn). 的方向就是 B 相對于 A的瞬時(shn sh)旋轉(zhuǎn)軸, 大小表示旋轉(zhuǎn)速度. ABAB第3頁/共45頁第三頁，共45頁。 像任意矢量一樣, 角速度矢量可以在任意坐標系中描述，所以需要附加另一個左上標,例如(lr)

3、就是坐標系 B 相對于 A 的角速度在坐標系 C中的描述. 一種情況下的簡化符號: 這里, 為坐標系 C 相對于某個已知參考坐標系 U的角速度. 例如(lr), 是坐標系 C 的角速度在坐標系 A 中的描述(盡管這個角速度是相對于 U的). ACC()CABUCC第4頁/共45頁第四頁，共45頁。 1. 線速度 把坐標系 B 固連在一個剛體上，要求描述相對于坐標系 A 的運動 . 坐標系B 相對于A的位置矢量用 和旋轉(zhuǎn)矩陣 來描述.假設(shè)方位 不隨時間變化(binhu)，則Q點相對于坐標系A(chǔ)的運動是由于 或 隨時間的變化(binhu)引起的. 坐標系A(chǔ) 中的Q點的線速度: 適用于坐標系B和坐標系

4、A的相對方位保持不變的情況.ABORGPABORGPABRBQAAABQBORGBQVVR VBQABR第5頁/共45頁第五頁，共45頁。 2. 角速度 考慮兩坐標系重合，相對(xingdu)線速度為零的情況. 它們原點始終保持重合.坐標系 B相對(xingdu)于 A的方位隨時間變化。B相對(xingdu)于A的旋轉(zhuǎn)速度用矢量 來表示, 已知 是坐標系B中一個固定點的位置。 Question: 從坐標系 A看固定在坐標系 B中的矢量，這個矢量將如何隨時間變化?這個系統(tǒng)是否轉(zhuǎn)動？ BQAB第6頁/共45頁第六頁，共45頁。 假設(shè)從坐標系 B看矢量Q是不變的: . 從坐標系A(chǔ)中看點Q的速度為旋轉(zhuǎn)

5、角速度 . 的微分增量一定垂直于 和 . 微分增量的大小(dxio)為: 矢量的大小(dxio)和方向滿足: AAAQBVQ AQABAQ(sin )()AABQQt0BQV ABxxyyzzkkKk 第7頁/共45頁第七頁，共45頁。 如果 Q 相對于 B是變化的: 利用(lyng)旋轉(zhuǎn)矩陣消掉雙上標: 3. 線速度和角速度同時存在的情況 ()AABAAQQBVVQ AABAABQBQBBVR VR Q AAABAABQBORGBQBBVVR VR Q 第8頁/共45頁第八頁，共45頁。 1. 正交矩陣的導(dǎo)數(shù)性質(zhì)(xngzh) 對任何 的正交矩陣 R ，有: 求導(dǎo)，得到: 定義 , 由此有

6、. S 是一個反對稱陣（skew-symmetric matrix）. 正交矩陣的微分與反對稱陣之間存在如下特性: .TSRR1SRR()0TTTTTnRRRRRRRRnnTnRRI0TnSS第9頁/共45頁第九頁，共45頁。 2. 由于參考系旋轉(zhuǎn)的點速度 假定固定矢量 相對于坐標系 B是不變的. 如果坐標系 B是 旋轉(zhuǎn)的 ( 的微分非零), 也是變化的，即使(jsh) 為常數(shù)。 引入 的表達式 : 利用正交矩陣的性質(zhì): 旋轉(zhuǎn)矩陣通常稱為角速度矩陣.APBPAABAABBPBPR PorVR P1AABAAAPBBBVR PR RPABRBPAAAPBVS PBP第10頁/共45頁第十頁，共4

7、5頁。 3. 反對稱陣和矢量積 如果反對稱陣 S 的各元素如下: 容易證明: (P 是任意矢量). 定義 為角速度矢量. 因此(ync)，得到: 這里與 相關(guān)的的符號 表明該角速度矢量確定了坐標系 B 相對于 A運動.00,0 zyxzxyyxzSSPP AAAPBVP 第11頁/共45頁第十一頁，共45頁。 4. 角速度矢量的物理概念 對旋轉(zhuǎn)(xunzhun)矩陣 直接求導(dǎo): 把 寫成兩個矩陣的組合: 式中，在時間間隔 中, 繞軸 的微量旋轉(zhuǎn)(xunzhun)為 0()( )limtR ttR tRt ()R tt ()() ( )KR ttRR t tK3300()()lim( )lim(

8、) ( )KKttRIRIRR tR ttt 第12頁/共45頁第十二頁，共45頁。 已知 于是(ysh)有:1()11zyKzxyxkkRkkkk( )xxxyzxzyKxyzyyyzxxzyyzxzzk k vck k vk sk k vk sRk k vk sk k vck k vk sk k vk sk k vk sk k vc0000lim() ( )zyzxyxtkkkkkkRR tt sin()cos()1第13頁/共45頁第十三頁，共45頁。 最后，用 除以這個矩陣，并取極限得: 于是有: 角速度矢量 的物理意義是，在任一時刻，旋轉(zhuǎn)坐標系方位(fngwi)的變化可以看作是繞著某

9、個軸 的旋轉(zhuǎn)。這個瞬時轉(zhuǎn)動軸，可作為單位矢量，與繞這個軸的旋轉(zhuǎn)速度標量 構(gòu)成角速度矢量。1000zyzxyxRR00( )0zyzxyxkkRkkR tkkxxyyzzkkKk tK第14頁/共45頁第十四頁，共45頁。 操作臂是一個鏈式結(jié)構(gòu)，每一個連桿的運動都與它的相鄰桿有關(guān)，由于這種結(jié)構(gòu)的特點，我們可以由基坐標系依次計算各連桿的速度。連桿i+1的速度就是連桿i的速度加上那些附加(fji)到關(guān)節(jié)i+1上新的速度分量. 第15頁/共45頁第十五頁，共45頁。 1. 角速度 連桿i+1的角速度等于連桿的角速度加上一個由于關(guān)節(jié)(gunji)i+1的角速度引起的分量 11111iiiiiiiiiRZ

10、111111iiiiiiiiiRZ第16頁/共45頁第十六頁，共45頁。 2. 線速度 坐標系 i+1原點的線速度等于坐標系 i原點的線速度加上一個 由于(yuy)連桿i的角速度引起的新的分量. 在坐標系 i+1中: 對于轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié): 對于移動關(guān)節(jié):1111111111()iiiiiiiiiiiiiiiiiiiRvR vPdZ11iiiiiiiivvP1111111111()iiiiiiiiiiiiiiiiiiiRZvR vP1111()iiiiiiiiiivR vP第17頁/共45頁第十七頁，共45頁。 從一個連桿到下一個連桿依次應(yīng)用這些公式，可以計算出最后一個連桿的角速度(sd) 和線速度(

11、sd) ，注意，這兩個速度(sd)是按照坐標系N表達的。在后面可以看到。如果用基坐標來表達角速度(sd)和線速度(sd)的話，就可以用 去左乘速度(sd)，向基坐標進行旋轉(zhuǎn)變換.NN0NRNNv0NNNNvR v0NNNNR第18頁/共45頁第十八頁，共45頁。 例子(l zi): 一個具有兩個轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)的操作臂.計算操作臂末端的速度，將它表達成關(guān)節(jié)速度的函數(shù)。給出兩種形式的解答，一種是用坐標系3來表示的，另一種是用坐標系0來表示的。 221221200 0001 0000 1cslscT22310001 0000 1 000 0 1lT110111000000100001csscT121200

12、123123121200001csRR R Rsc第19頁/共45頁第十九頁，共45頁。 基坐標系的速度(sd)為零: Frame 13: 11011100011001100011000,()00RZvRvP 22221 2 11221112111222221 11 2 110000()0 00 0000100100cscsl slvR vPscscll c 2222122211222222112000000001csRzscz 00000,0v第20頁/共45頁第二十頁，共45頁。 1 2 11 2 123322233222321 2 11 2 1212120()(00 )()000l sl

13、 slvRvPRl cl cl 12121 2 11 1 1212120312121 2 12121 1 1212120()0()()00100csl sl sl svscl cll cl c332323322321200RZ第21頁/共45頁第二十一頁，共45頁。 1. 雅可比 Jacobian 假設(shè)6個函數(shù)(hnsh)，每個函數(shù)(hnsh)都有6個獨立的變量： 計算 的微分關(guān)于 的微分的函數(shù)(hnsh) :111234562212345666123456( ,)( ,)( ,)yf x x x x x xyfx x x x x xyfx x x x x xjxiy()FYXJ XXX()Y

14、F X111112612622221261266666126126fffyxxxxxxfffyxxxxxxfffyxxxxxx第22頁/共45頁第二十二頁，共45頁。 雅可比Jacobian: 偏導(dǎo)數(shù)(do sh)矩陣就是雅可比矩陣, 這些偏導(dǎo)數(shù)(do sh)都是 的函數(shù) . 將上式兩端同時除以時間微分，將雅可比矩陣看成是X中的速度向Y中速度的映射: . 在任一瞬時，X都有一個確定的值， 是一個線性變換。在每一個新時刻，如果X改變，線性變換也會隨之而變。所以，雅可比是時變的線性變換.()J X()YJ X Xix66第23頁/共45頁第二十三頁，共45頁。 2. 在機器人中的 應(yīng)用 在機器人學(xué)

15、中，通常使用雅可比將關(guān)節(jié)速度與操作臂末端的笛卡爾速度聯(lián)系起來: 這里 是操作臂關(guān)節(jié)角矢量， 是笛卡爾速度矢量. 給雅可比表達式附加上左上標，以此表示笛卡爾速度所參考的坐標系. 對于任意已知的操作臂位形，關(guān)節(jié)速度和操作臂末端的速度的關(guān)系是線性的，然而(rn r)這種線性關(guān)系僅僅是瞬時的，因為在下一刻，雅可比矩陣就會有微小的變化.00( ) vJv第24頁/共45頁第二十四頁，共45頁。 對于通常(tngchng)的6關(guān)節(jié)機器人，雅可比矩陣是 66階的矩陣，61的笛卡爾速度矢量是由一個 31的線速度矢量和一個 31 的角速度矢量組合起來的： 雅可比矩陣的行數(shù)等于操作臂在笛卡爾空間的自由度數(shù)量，雅可

16、比矩陣的列數(shù)等于操作臂的關(guān)節(jié)數(shù)量。000v第25頁/共45頁第二十五頁，共45頁。 例子: 以兩連桿操作臂為例, 寫出該操作臂的雅可比矩陣(j zhn)，該矩陣(j zhn)將關(guān)節(jié)速度和末端執(zhí)行器的速度聯(lián)系起來。 We could also consider a 32 Jacobian that would include the angular velocity of the end-effector. 1 231 2220( ) l sJl cll1 2 1331 2 1212()0l svl cl1 1 12 1212031 1 12 1212()()0l sl svl cl c1 12

17、 122 1201 12 122 12( ) l sl sl sJl cl cl c第26頁/共45頁第二十六頁，共45頁。1121211212coscos()sinsin()BBxllyllqqqqqq=+=+ 1112121211121212sinsin()()coscos()()BBdxldldddyldlddq qqqqqq qqqqq= -+=+ 112122121112122122sinsin()sin()coscos()cos()BBdxlllddyllldqqqqqqqqqqqq輊輊輊-+-+犏犏犏=犏犏犏+臌臌臌另一種(y zhn)雅可比矩陣的計算方法第27頁/共45頁第二十

18、七頁，共45頁。 另一種雅可比矩陣的計算方法，通過對操作臂的運動方程直接(zhji)微分求雅克比矩陣： 這種方法可以直接(zhji)求得線速度，但得不到 31的方位矢量，而這個矢量的導(dǎo)數(shù)就是 . 還有很多方法求雅可比矩陣.1231231 12 121231231 12 120000100001BWcsl cl cscl sl sT1 12 121 12 12xl cl cyl sl s1 12 122 1211 12 122 122 l sl sl sxyl cl cl c第28頁/共45頁第二十八頁，共45頁。 3. 奇異性 如果這個矩陣是非奇異的，那么一直笛卡爾速度(sd)的話，就可以對該

19、矩陣求逆計算出關(guān)節(jié)的速度(sd): 雅可比矩陣可逆性的性質(zhì): 雅可比矩陣對于所有的 值都是可逆的嗎？如果不是，在什么位置不可逆? 大多數(shù)操作臂都有使得雅可比矩陣出現(xiàn)奇異的 值，這些位置就稱為操作臂的奇異位形或簡稱奇異狀態(tài)。 所有的操作臂在工作空間的邊界都存在奇異位形，并且大多數(shù)操作臂在它們的工作空間也有奇異位形. 1( ) Jv第29頁/共45頁第二十九頁，共45頁。 奇異位形大致分為兩類: 1) 工作空間邊界的奇異位形 出現(xiàn)在操作臂完全展開或者收回(shu hu)使得末端執(zhí)行器處于或非常接近空間邊界的情況. 2) 工作空間內(nèi)部的奇異位形 出現(xiàn)在遠離工作空間的邊界，通常是由于兩個或兩個以上的關(guān)

20、節(jié)軸線共線引起的. 第30頁/共45頁第三十頁，共45頁。 當一個操作臂處于奇異位形時，它會失去一個或多個自由度。.在笛卡爾空間的某個方向上（或某個子空間中），無論選擇(xunz)什么樣的關(guān)節(jié)速度都不能使機器人手臂運動.第31頁/共45頁第三十一頁，共45頁。 例子: 簡單的兩連桿操作臂，奇異位形在 什么位置?奇異位形的物理意義是什么? 它們是工作空間邊界的奇異位形還是工作空間內(nèi)部的奇異位形? 當 等于0 或者 180度時，操作臂處于奇異位形.當 , 操作臂完全展開，末端執(zhí)行器僅可以沿著笛卡爾坐標的某個方向，因此，操作臂失去了一個自由度.當 , 操作臂完全收回，手臂只能沿著一個方向運動. 由于

21、(yuy)這類奇異位形處于操作臂工作空間的邊界上，因此稱為工作空間邊界的奇異位形.2021 21 2 21 2220 ( )0l sDET Jl l sl cll02180第32頁/共45頁第三十二頁，共45頁。 例子: 對于兩自由度操作臂，末端執(zhí)行器沿著 軸以1.0m/s的速度運動.當操作臂遠離奇異(qy)位形時， 關(guān)節(jié)速度都在允許范圍內(nèi)。但是當 操作臂接近奇異(qy)位形，此時關(guān)節(jié)速度趨向于無窮大. 首先計算坐標系 0中雅可比矩陣的逆: 當末端執(zhí)行器以 1m/s 的速度沿著 方向運動時，按照操作臂位形的函數(shù)計算出關(guān)節(jié)速度: 當操作臂伸展到接近 , 兩個關(guān)節(jié)的速度趨向無窮大.20121121

22、21 22 21 2, cccl sl sl sX2 122 12011 12 121 12 121 2 21( ) l cl sJl cl cl sl sl l sX20第33頁/共45頁第三十三頁，共45頁。 例子: 對于puma560，給出兩個可能出現(xiàn)的奇異位形的位置. 當 接近于 -90 度，存在(cnzi)一個奇異位形.在這種情況下，連桿2和連桿3完全展開。這種情況屬于工作空間邊界的奇異位形. 只要 , 操作臂都會處于奇異位置.在這個位形，關(guān)節(jié)軸4和關(guān)節(jié)軸6成一直線，所以這兩個關(guān)節(jié)軸的動作會使末端執(zhí)行器產(chǎn)生相同的運動。由于這個奇異位形出現(xiàn)在工作空間內(nèi)部，所以它屬于工作空間內(nèi)部的奇異位

23、形。503第34頁/共45頁第三十四頁，共45頁。 1. 作用在操作臂上的靜力 考慮力和力矩如何從一個連桿向下(xin xi)一個連桿傳遞 考慮操作臂的自由末端在工作空間推動某個物體.或者用操作臂舉起某個負載的情況. 我們希望求出 保持系統(tǒng)靜態(tài)平衡的關(guān)節(jié)扭矩. 首先鎖定所有的關(guān)節(jié)已使操作臂的結(jié)構(gòu)固定. 寫出力和力矩對于各連桿坐標系的平衡關(guān)系. 最后，為了保持操作臂的靜態(tài)平衡，計算出需要對各關(guān)節(jié)軸依次施加多大的靜力矩. 第35頁/共45頁第三十五頁，共45頁。 為相鄰(xin ln)連桿所施加的力和力矩定義以下特殊符號： 連桿i-1施加在連桿i上的力 連桿i-1施加在連桿i上的力矩 將力相加并令

24、其等于零: 將繞坐標系i原點的力矩相加： ifin10iiiiff1110iiiiiiiinnPf第36頁/共45頁第三十六頁，共45頁。 我們從施加于手部的力和力矩的描述開始，從末端連桿到基座進行計算就可以計算出作用出每一個連桿上的力和力矩: 為了按照(nzho)定義在連桿本體坐標系中的力和力矩寫出這些表達式，用坐標系i+1相對于坐標系i描述的旋轉(zhuǎn)矩陣進行變換，得到連桿之間靜力傳遞的表達式: 一個問題：為了平衡施加在連桿上的力和力矩，需要在關(guān)節(jié)上施加多大的力矩？1111iiiiiiiiiiiiffnnPf1111111iiiiiiiiiiiiiiiifRfnRnPf第37頁/共45頁第三十七

25、頁，共45頁。 除了繞關(guān)節(jié)軸的力矩外，力和力矩矢量(shling)的所有分量都可以由操作臂機構(gòu)本身來平衡，為求出保持系統(tǒng)靜平衡所需的關(guān)節(jié)力矩，應(yīng)計算關(guān)節(jié)軸矢量(shling)和施加在連桿上的力矩矢量(shling)的點積: 對于關(guān)節(jié)是移動關(guān)節(jié)的情況，可以計算出關(guān)節(jié)驅(qū)動力為： 通常，將使關(guān)節(jié)角增大的旋轉(zhuǎn)方向定義為關(guān)節(jié)力矩的正方向.iT iiiinZiT iiiifZ第38頁/共45頁第三十八頁，共45頁。 例: 兩連桿操作臂，在末端(m dun)執(zhí)行器施加作用力矢量 ，求出所需的關(guān)節(jié)力矩. Starting from the last link and going toward the base of the robot:3F33330,000 xyfffn 11011100001cs