MATLAB實(shí)用技巧精講之五

1、數(shù)學(xué)物理建模與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)第二章第二章 復(fù)變函數(shù)的計(jì)算機(jī)仿真復(fù)變函數(shù)的計(jì)算機(jī)仿真數(shù)學(xué)物理建模與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)物理建模與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)Page 2本部分內(nèi)容本部分內(nèi)容 復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)運(yùn)算 復(fù)變函數(shù)的圖形 復(fù)變函數(shù)的極限與導(dǎo)數(shù) 解析函數(shù)的圖形 復(fù)變函數(shù)的積分 留數(shù)和級(jí)數(shù)的計(jì)算數(shù)學(xué)物理建模與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)物理建模與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)Page 3解析函數(shù)的圖形解析函數(shù)的圖形 解析函數(shù)的概念 如果函數(shù)f (z)在點(diǎn)z0及其鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)處處可導(dǎo)，那么稱f (z)在點(diǎn)z0解析解析。如果f (z)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)都解析，那么稱f (z)在D內(nèi)解析，或者稱f (z)是D內(nèi)的一個(gè)解析函數(shù)解析函數(shù)。 函數(shù)解析的

2、充分必要條件 函數(shù)f (z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定義域D內(nèi)解析的充分必要條件是： u(x,y)和v(x,y)在D內(nèi)任意一點(diǎn)z=x+iy可微，而且滿足柯西黎曼條件,uvuvxyyx 數(shù)學(xué)物理建模與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)物理建模與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)Page 4解析函數(shù)的圖形解析函數(shù)的圖形 調(diào)和函數(shù)的概念 如果二元函數(shù) 在區(qū)域D內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足拉普拉斯方程： 則稱 為區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù)。 共軛調(diào)和函數(shù)的概念 若兩實(shí)函數(shù) 和 均為區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，且滿足柯西黎曼條件，則v為u的共軛調(diào)和函數(shù)。 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)之間的關(guān)系 任何在區(qū)域D內(nèi)解析的函數(shù)f(x,y)=u(x,y)+i

3、v(x,y)，其實(shí)部和虛部都是區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，且虛部為實(shí)部的共軛調(diào)和函數(shù), x y22220 xy, x y,u x y,v x y數(shù)學(xué)物理建模與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)物理建模與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)Page 5解析函數(shù)的圖形解析函數(shù)的圖形 解析函數(shù)的物理意義平面矢量場(chǎng) 用解析函數(shù)表示平面矢量場(chǎng) 如果所有的矢量場(chǎng)E(x,y)都平行于某一個(gè)固定的平面S，則該矢量場(chǎng)可用平面S上的矢量場(chǎng)來表示，若在平面上S采用矢量的復(fù)數(shù)記數(shù)法，那么對(duì)于矢量 就唯一確定了一個(gè)復(fù)變函數(shù) 其中Ex和Ey分別表示矢量E在x軸和y軸方向的兩個(gè)分量，復(fù)變函數(shù)就是通過這樣的途徑被引入到矢量場(chǎng)中進(jìn)行研究的。,xxyyx yEEEeeixy

4、EEE數(shù)學(xué)物理建模與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)物理建模與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)Page 6解析函數(shù)的圖形解析函數(shù)的圖形 解析函數(shù)的物理意義平面矢量場(chǎng) 靜電場(chǎng)的復(fù)勢(shì)的描述 考慮在xy平面上的區(qū)域D內(nèi)的平面靜電場(chǎng)，其場(chǎng)強(qiáng)為 再假設(shè)平面場(chǎng)內(nèi)沒有其他的帶電體，則該場(chǎng)為一個(gè)無源無旋平面矢量場(chǎng)。 由于電勢(shì)函數(shù)滿足關(guān)系 因此電勢(shì)函數(shù)U(x, y)是二維調(diào)和函數(shù)，因此可以將之看成區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)w=f(z)=u+iv的實(shí)部或虛部。設(shè)電勢(shì)U=u為該解析函數(shù)的實(shí)部，利用解析函數(shù)的虛部和實(shí)部的共軛關(guān)系即可求出w的虛部v。這樣得到的解析函數(shù)w稱為靜電場(chǎng)的復(fù)電勢(shì)。,xxyyx yEEEee22220UUUxy數(shù)學(xué)物理建模與計(jì)算機(jī)輔助

5、設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)物理建模與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)Page 7解析函數(shù)的圖形解析函數(shù)的圖形1( , )u x yc2( , )v x yc表示的曲線族是靜電場(chǎng)的等勢(shì)線。表示的曲線族是靜電場(chǎng)的電力線。假設(shè)電勢(shì)為解析函數(shù)的實(shí)部，那么數(shù)學(xué)物理建模與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)物理建模與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)Page 8解析函數(shù)的圖形解析函數(shù)的圖形 解析函數(shù)的物理意義平面矢量場(chǎng) 電場(chǎng)用復(fù)勢(shì)描述(1) 設(shè)電勢(shì)對(duì)應(yīng)于實(shí)部U(x, y)=u, 則(2) 設(shè)電勢(shì)對(duì)應(yīng)于虛部U(x, y)=v, 則可以得到 iuvwfzxxiiixyUUuvEEExyxx iuvEfzxx i Efz數(shù)學(xué)物理建模與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)物理建模與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)Page

6、 9解析函數(shù)的圖形解析函數(shù)的圖形 解析函數(shù)的物理意義平面矢量場(chǎng)例1：已知平面電場(chǎng)的復(fù)電勢(shì)是 并設(shè)電勢(shì)對(duì)應(yīng)復(fù)電勢(shì)的實(shí)部，試作出它的電力線和等勢(shì)線。方法I(解析法)：為畫出電力線和等勢(shì)線，把 代入 有同理可有電力線方程iwz222iiiwuvzxy 22,2xuvyuv 22vux2224yu v22222244yuuxyccx等勢(shì)線2224yddx數(shù)學(xué)物理建模與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)物理建模與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)Page 10解析函數(shù)的圖形解析函數(shù)的圖形例1：方法II(計(jì)算機(jī)仿真)：V=input(請(qǐng)輸入電勢(shì)方程，V(x,y)=:,s); xMax=5;yMax=5;NGrid=20; xPlot=lin

7、space(-xMax,xMax,NGrid); x,y=meshgrid(xPlot); VPlot=eval(V); ExPlot,EyPlot=gradient(-VPlot); subplot(1,2,1),meshc(VPlot); xlabel(x);ylabel(y);zlabel(電位)subplot(1,2,2)axis(-xMax,xMax,-yMax,yMax); cs=contour(x,y,VPlot); hold onquiver(x,y,ExPlot,EyPlot); xlabel(x);ylabel(y);數(shù)學(xué)物理建模與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)物理建模與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)

8、Page 11解析函數(shù)的圖形解析函數(shù)的圖形數(shù)學(xué)物理建模與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)物理建模與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)Page 12復(fù)變函數(shù)的積分與留數(shù)定理復(fù)變函數(shù)的積分與留數(shù)定理 非閉合路徑的積分計(jì)算 非閉合路徑的積分可以用命令 int(F(z),z,a,b) 0613ixch zdz【例【例1】求積分】求積分 ; 。 02(1)izxze dzx1=int(cosh(3*z),z,pi/6*i,0) x1 = -1/3*i x2=int(z-1)*exp(-z),z,0,i) x2 = -i/exp(i)數(shù)學(xué)物理建模與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)物理建模與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)Page 13復(fù)變函數(shù)的積分與留數(shù)定理復(fù)變函數(shù)的積

9、分與留數(shù)定理 閉合路徑的積分計(jì)算1.求孤立奇點(diǎn)的留數(shù)求孤立奇點(diǎn)的留數(shù) 對(duì)于一階極點(diǎn)R=limit(F*(z-z0),z,z0) 對(duì)于m階極點(diǎn)R=limit(diff(F*(z-z0)m,z,m-1)/prod(1:m-1);z,z0)數(shù)學(xué)物理建模與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)物理建模與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)Page 14復(fù)變函數(shù)的積分與留數(shù)定理復(fù)變函數(shù)的積分與留數(shù)定理【例【例2】試求函數(shù)】試求函數(shù) 的孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)。的孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)。231( )sin()(1)3f zzezz syms z f=sin(z+pi/3)*exp(-2*z)/(z3*(z-1); R=limit(diff(f*z3,z,2)/

10、prod(1:2),z,0) R2=limit(f*(z-1),z,1)R = -1/4*3(1/2)+1/2 R2 = 1/2*exp(-2)*sin(1)+1/2*exp(-2)*cos(1)*3(1/2)數(shù)學(xué)物理建模與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)物理建模與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)Page 15復(fù)變函數(shù)的積分與留數(shù)定理復(fù)變函數(shù)的積分與留數(shù)定理2 . 利用留數(shù)定理計(jì)算閉合路徑的積分利用留數(shù)定理計(jì)算閉合路徑的積分對(duì)于有理函數(shù)f(z)的留數(shù)計(jì)算，在MATLAB中用函數(shù)residue。調(diào)用格式如下：R,P,K=residue(B,A)向量B為f(z)的分子系數(shù)；向量A為f(z)的分母系數(shù)；向量R為留數(shù)；向量P為極點(diǎn)位

11、置；向量K為直接項(xiàng)。數(shù)學(xué)物理建模與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)物理建模與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)Page 16復(fù)變函數(shù)的積分與留數(shù)定理復(fù)變函數(shù)的積分與留數(shù)定理【例【例1】求函數(shù)】求函數(shù) 在奇點(diǎn)處的留數(shù)。在奇點(diǎn)處的留數(shù)。211zz【解【解】 R,P,K=residue(1 0 1,1,1) R = 2 P = -1 K = 1 -131( )(1)f zzz數(shù)學(xué)物理建模與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)物理建模與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)Page 17復(fù)變函數(shù)的積分與留數(shù)定理復(fù)變函數(shù)的積分與留數(shù)定理【例【例2】仿真計(jì)算積分】仿真計(jì)算積分 的值，其中的值，其中 C是正向圓周，是正向圓周， 。41Czdzz 2z 【解【解】方法一：方法一： R

12、,P,K=residue(1,0,1,0,0,0,-1) s=2*pi*i*sum(R)R = 0.2500 0.2500 -0.2500 + 0.0000i -0.2500 - 0.0000iP = -1.0000 1.0000 0.0000 + 1.0000i 0.0000 - 1.0000iK = s = 0數(shù)學(xué)物理建模與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)物理建模與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)Page 18復(fù)變函數(shù)的積分與留數(shù)定理復(fù)變函數(shù)的積分與留數(shù)定理【例【例2】仿真計(jì)算積分】仿真計(jì)算積分 的值，其中的值，其中 C是正向圓周，是正向圓周， 。41Czdzz 2z 【解【解】方法二：方法二： clear syms t

13、 z z=2*cos(t)+i*2*sin(t); f=z/(z4-1); inc=int(f*diff(z),t,0,2*pi) inc = 0數(shù)學(xué)物理建模與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)物理建模與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)Page 19復(fù)變函數(shù)的積分與留數(shù)定理復(fù)變函數(shù)的積分與留數(shù)定理【例【例3】仿真計(jì)算積分】仿真計(jì)算積分 的值的值1021() (1)(3)zdzzizz【解【解】 syms t z z=2*cos(t)+i*2*sin(t); f=1/(z+i)10/(z-1)/(z-3); inc=int(f*diff(z),t,0,2*pi) inc = 237/312500000*pi+779/781250

14、00*i*pi 數(shù)學(xué)物理建模與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)物理建模與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)Page 20復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù) 復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)的收斂及其收斂半徑復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)的收斂及其收斂半徑1. 復(fù)數(shù)列的收斂 【例【例2】 計(jì)算機(jī)仿真判斷下列數(shù)列計(jì)算機(jī)仿真判斷下列數(shù)列 是否收斂，如果收斂求出其極限。是否收斂，如果收斂求出其極限。n1+=1ninin【解【解】 clear syms n f1=(1+i*n)/(1-i*n); limit(f1,n,Inf) ans =-1數(shù)學(xué)物理建模與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)物理建模與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)Page 21復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)2. 冪級(jí)數(shù)的收斂半徑可以利用復(fù)變函數(shù)求收斂半徑的

15、比值法或根值法，得到收斂半徑：1limnnnCRC11limlimnnnnnnRCC數(shù)學(xué)物理建模與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)物理建模與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)Page 22復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù) 【例【例3】 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑0(1)innne z1(2)nnz（）ni【解【解】 clear syms n C1=exp(i*pi/n); C2=1/(i*n)n; R1=abs(limit(C1(-1/n),n,inf) R2=abs(limit(C2(-1/n),n,inf) R1 = 1 R2 = Inf數(shù)學(xué)物理建模與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)物理建模與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)Page 23單變量

16、函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開單變量函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開 函數(shù)f (z)在點(diǎn) 的泰勒級(jí)數(shù)展開式如下：0z230000000()()( )()()()()()2!3!fzfzf zf zfzzzzzzz在MATLAB中可以由函數(shù)taylor實(shí)現(xiàn)：taylor(f)%返回函數(shù)f的五次冪多項(xiàng)式近似taylor(f,n)%返回n-1次冪多項(xiàng)式(n可以是任意自然數(shù))taylor(f,a)%返回a點(diǎn)附近的冪多項(xiàng)式近似taylor(f,z,n)%按x=0進(jìn)行Taylor冪級(jí)數(shù)展開，并返回n-1次多項(xiàng)式taylor(f,z,a,n) %按x=a進(jìn)行Taylor冪級(jí)數(shù)展開，并返回n-1次多項(xiàng)式數(shù)學(xué)物理建模與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)

17、物理建模與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)Page 24單變量函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開單變量函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開 【例【例1】求下列函數(shù)在指定點(diǎn)的泰勒展開式?！壳笙铝泻瘮?shù)在指定點(diǎn)的泰勒展開式。021(1),1zz 點(diǎn)0(2)tan( ),4zz點(diǎn)解解syms ztaylor(1/z2,-1)taylor(tan(z),pi/4) ans = 3+2*z+3*(z+1)2+4*(z+1)3+5*(z+1)4+6*(z+1)5 ans = 1+2*z-1/2*pi+2*(z-1/4*pi)2+8/3*(z-1/4*pi)3+10/3*(z-1/4*pi)4+64/15*(z-1/4*pi)5數(shù)學(xué)物理建模與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)

18、物理建模與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)Page 25單變量函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開單變量函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開【例【例2】試對(duì)正弦函數(shù)】試對(duì)正弦函數(shù) 進(jìn)行進(jìn)行Taylor級(jí)數(shù)展開，觀級(jí)數(shù)展開，觀察不同階次下的近似效果。察不同階次下的近似效果。sinyx解解x0=-2*pi:0.01:2*pi;y0=sin(x0);plot(x0,y0,r),axis(-2*pi,2*pi,-1.5,1.5);hold onsyms x;y=sin(x);for n=6:2:16p=taylor(y,x,n);y1=subs(p,x,x0);line(x0,y1);text(-3.5,-1.2,fontsize14itn=6);tex

19、t(-5,-0.3,fontsize14itn=10);text(-3,0.7,fontsize14itn=8);end數(shù)學(xué)物理建模與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)物理建模與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)Page 26多變量函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開多變量函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開 多變量函數(shù) 的Taylor冪級(jí)數(shù)展開可以寫成1111()()(,)nnnnxaxaf aaxx12( ,)nf x xx11( ,)( ,)nnf xxf aa211111()()(,)2!nnnnxaxaf aaxx11111()()(,)!knnnnxaxaf aakxx數(shù)學(xué)物理建模與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)物理建模與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)Page 27多變量函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開多變量函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開 可以調(diào)用可以調(diào)用Maple語言中的語言中的mtaylor( )函數(shù)來直接求取多變量函數(shù)來直接求取多變量函的函的Taylor冪級(jí)數(shù)展開，該函數(shù)的調(diào)用冪級(jí)數(shù)展開，該函數(shù)的調(diào)用 格式為：格式為：1(, , )nFmaple mtaylorfxxk11(, )nnFm