212橢圓的簡單幾何性質(zhì)

1、12.1.2橢圓的簡橢圓的簡單幾何性質(zhì)單幾何性質(zhì)高二數(shù)學(xué)高二數(shù)學(xué) 選修選修1-1 第二章第二章 圓錐曲線與方程圓錐曲線與方程2復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)：1.橢圓的定義:到兩定點(diǎn)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和為常數(shù)（大于的距離之和為常數(shù)（大于|F1F2 |）的）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：3.橢圓中a,b,c的關(guān)系是:a2=b2+c2|)|2(2|2121FFaaPFPF當(dāng)焦點(diǎn)在當(dāng)焦點(diǎn)在X軸上時(shí)軸上時(shí)當(dāng)焦點(diǎn)在當(dāng)焦點(diǎn)在Y軸上時(shí)軸上時(shí))0( 12222babyax)0( 12222babxay橢圓的簡單幾何性質(zhì)橢圓的簡單幾何性質(zhì)v1、范圍、范圍v2、對(duì)稱性、對(duì)稱性) 0( 122

2、22babyax利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程來研究橢圓的性質(zhì)v3、頂點(diǎn)、頂點(diǎn)v4、離心率、離心率4 橢圓橢圓 簡單的幾何性質(zhì)簡單的幾何性質(zhì)12222byax -axa, -byb 知知, 122 ax得：得：122 by oyB2B1A1A2F1F2cab1、范圍：、范圍： 橢圓落在橢圓落在x=a , y= b組成的矩形中組成的矩形中5橢圓的對(duì)稱性橢圓的對(duì)稱性YXOP（x，y）P1（-x，y）P2（-x，-y）62、對(duì)稱性、對(duì)稱性： oyB2B1A1A2F1F2cab從圖形上看，從圖形上看，橢圓關(guān)于橢圓關(guān)于x軸、軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱。軸、原點(diǎn)對(duì)稱。從方程上看：從方程上看：（1）把）把x換成換成-x方程不變

3、，圖象關(guān)于方程不變，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；軸對(duì)稱；（2）把）把y換成換成-y方程不變，圖象關(guān)于方程不變，圖象關(guān)于x軸對(duì)稱；軸對(duì)稱；（3）把）把x換成換成-x，同時(shí)把，同時(shí)把y換成換成-y方程不變，圖象關(guān)于原點(diǎn)成中方程不變，圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱。心對(duì)稱。坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱軸，坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱中心，原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱中心，叫橢圓的中心。叫橢圓的中心。3、頂點(diǎn)、頂點(diǎn)橢圓和對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)橢圓和對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)在橢圓的方程在橢圓的方程 里里，12222byax)0 ,(),0 ,(21aAaA 0 x令 得 ， 因此橢圓和因此橢圓和 軸有兩個(gè)交點(diǎn)軸有兩個(gè)交點(diǎn) by

4、yxax0y令 得 ，因此橢圓和因此橢圓和 軸有兩個(gè)交點(diǎn)軸有兩個(gè)交點(diǎn)),0(),0(21bBbBxyo)0 ,(2aAB1(0, )bB2(0, )b)0 ,(1aA 21AA叫橢圓的長軸，長為a2ba, 分別為橢圓的長半軸長和短半軸長. 21BB叫橢圓的短軸長為b2為橢圓的焦距, 為橢圓的半焦距c2caFBFBFBFB22122111xyoA2A1F2F1.B2B1.xyo9123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x根據(jù)前面所學(xué)有關(guān)知識(shí)畫出下列圖形根據(jù)前面所學(xué)有關(guān)知識(shí)畫出下列圖形1162522yx142

5、522yx（1）（2）A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A1 4、離心率、離心率概念概念：橢圓 焦距 與 長軸長 之比.定義式：定義式： ace 2)(1abe范圍：范圍： 10 e?B?2?B?1?A?2?A?1 x O y0, 0ce橢圓變圓，直至成為極限位置：圓橢圓變圓，直至成為極限位置：圓, 1ace橢圓變扁，直至成為極限位置：線段橢圓變扁，直至成為極限位置：線段1122222 1612:9362,yxxyC1問：對(duì)于橢圓C與橢圓：更接近于圓的是。2C12標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程范圍范圍對(duì)稱性對(duì)稱性頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)半軸長半軸長離心率離心率 a a、b b、c c的的關(guān)系

6、關(guān)系22221(0)xyabab|x| a,|y| b關(guān)于關(guān)于x x軸、軸、y y軸成軸對(duì)稱；關(guān)于原點(diǎn)成軸成軸對(duì)稱；關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱中心對(duì)稱(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)長半軸長為長半軸長為a a, ,短半軸長為短半軸長為b. b. ababceaa2=b2+c213標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程范圍范圍對(duì)稱性對(duì)稱性 頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)半軸長半軸長離心率離心率 a a、b b、c c的關(guān)的關(guān)系系22221(0)xyabab|x| a,|y| b關(guān)于關(guān)于x x軸、軸、y y軸成軸對(duì)稱；軸成軸對(duì)稱；關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(a,0)、(-a

7、,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)長半軸長為長半軸長為a a, ,短短半軸長為半軸長為b. b. ababceaa2=b2+c222221(0)xyabba|x| b,|y| a同前同前(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0 , c)、(0, -c)同前同前同前同前同前同前例題分析例題分析例例1、求橢圓求橢圓16x225y2400的長軸和短軸長，離心的長軸和短軸長，離心率，焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)率，焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)1162522yxn解：把已知方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程解：把已知方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程3, 4, 5cba所以橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)是橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)是A A1 1( (5,0)

8、5,0)、A A2 2(5,0)(5,0) B B1 1(0,(0,4)4)、B B2 2(0,4(0,4) 離心率離心率53ace焦點(diǎn)焦點(diǎn)F F1 1( (3,0)3,0)和和F F2 2(3,0),(3,0),因此長軸長因此長軸長 短軸長短軸長 102 a82 b15例例5 如圖，一種電影放映燈泡的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞如圖，一種電影放映燈泡的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分。過對(duì)稱軸的截口其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分。過對(duì)稱軸的截口BAC是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F1上，片門位于另一上，片門位

9、于另一個(gè)焦點(diǎn)個(gè)焦點(diǎn)F2上上,由橢圓一個(gè)焦點(diǎn)由橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F1出發(fā)的光線，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射出發(fā)的光線，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個(gè)焦點(diǎn)后集中到另一個(gè)焦點(diǎn)F2.所在橢圓的方程。求截口已知BACcmFFcmBFFFBC,5 . 4,8 . 2,21121解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)所求橢圓方程為設(shè)所求橢圓方程為. 12222byax22221212215 . 48 . 2FFBFBFFBFRt中，在所以由橢圓的性質(zhì)知，,221aBFBF1 . 4)5 . 48 . 28 . 2(21)(212221BFBFayF2F1xoBC4 . 325. 21 . 422

10、22cab222214.13.4xy所求的橢圓方程為A16的軌跡。，求點(diǎn)的距離的比是常數(shù)的距離和它到直線與定點(diǎn)點(diǎn)例MxlFyxM54425:)0 , 4(),(6,54425:dMFMPMxlMd的軌跡就是集合點(diǎn)的距離，根據(jù)題意，到直線是點(diǎn)解：設(shè).54425)4(2xyx由此得,22525922yx簡，得將上式兩邊平方，并化192522yx即所以，點(diǎn)所以，點(diǎn)M的軌跡是長軸、短軸長分別為的軌跡是長軸、短軸長分別為10、6的橢圓。的橢圓。FlxoyMHd17例例1 1已知橢圓方程為已知橢圓方程為 9x 9x2 2+25y+25y2 2=225=225, , 它的長軸長是它的長軸長是： 。短軸長是短

11、軸長是： 。焦距是焦距是： 。 離心率等于離心率等于： 。焦點(diǎn)坐標(biāo)是焦點(diǎn)坐標(biāo)是： 。頂點(diǎn)坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)是： 。 外切矩形的面積等于外切矩形的面積等于： 。 1068( 5,0),(0, 3)(0, 4)60解題的關(guān)鍵：解題的關(guān)鍵：192522yx2、確定焦點(diǎn)的位置和長軸的位置、確定焦點(diǎn)的位置和長軸的位置45題型一：利用橢圓方程，研究其幾何性質(zhì)題型一：利用橢圓方程，研究其幾何性質(zhì)1、將橢圓方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程明確、將橢圓方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程明確a、b18練習(xí)練習(xí)求下列橢圓的長軸長、短軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)和離求下列橢圓的長軸長、短軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)和離心率。心率。（1）x2+9y2=81 (

12、2) 25x2+9y2=225 (3) 16x2+y2=25 (4) 4x2+5y2=122(1)1819xy22(3)1252516xy22(2)1925xy22(4)11145xy19例例2求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)P(3,0)、Q(0,2)；長軸長等于長軸長等于20，離心率，離心率3/5。22194xy所求橢圓方程為：解：解： 方法一：方法一：設(shè)方程為設(shè)方程為mx2ny21（m0，n0，mn），），注注：待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟：待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟： 定位；定位； 定量定量題型二：利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程題型二：利用橢圓

13、的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程將點(diǎn)的坐標(biāo)方程，求出將點(diǎn)的坐標(biāo)方程，求出m1/9,n1/4。20例例2求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)P(3,0)、Q(0,2)；長軸長等于長軸長等于20，離心率，離心率3/5。22194xy解：解：(1)方法二：利用橢圓的幾何性質(zhì)方法二：利用橢圓的幾何性質(zhì) 注注：待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟：待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟： 定位；定位； 定量定量題型二：利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程題型二：利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓與坐標(biāo)軸的以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)就是橢圓的頂點(diǎn)，交點(diǎn)就是橢圓的頂點(diǎn)， 于是焦點(diǎn)

14、在于是焦點(diǎn)在x軸上，且點(diǎn)軸上，且點(diǎn)P、Q分別是分別是橢圓長軸與短軸的一個(gè)端點(diǎn)，橢圓長軸與短軸的一個(gè)端點(diǎn)， 故故a3，b2，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 21例例2求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)P(3,0)、Q(0,2)；長軸長等于長軸長等于20，離心率，離心率3/5。注注：待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟：待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟： 定位；定位； 定量定量2222111006410064xyyx橢圓方程為：或題型二：利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程題型二：利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程3220,5caea：解(2)10,6ac8.b 22練

15、習(xí)：已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)練習(xí)：已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，長軸是短軸的三倍，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)軸上，長軸是短軸的三倍，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)P P（3 3，0 0），求橢圓的方程。），求橢圓的方程。2222119981xxyy或分類討論分類討論的數(shù)學(xué)思想的數(shù)學(xué)思想232ab3ab3,1ab39ba或，23練習(xí)：練習(xí)：1. 根據(jù)下列條件，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。根據(jù)下列條件，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。? ?長軸長和短軸長分別為長軸長和短軸長分別為8 8和和6 6，焦點(diǎn)在，焦點(diǎn)在x x軸上軸上? ?長軸和短軸分別在長軸和短軸分別在y y軸，軸，x x軸上，經(jīng)過軸上，經(jīng)過P(-2,0)P(-2,0)，?Q(

16、0,-3)Q(0,-3)兩點(diǎn)兩點(diǎn). .一焦點(diǎn)坐標(biāo)為（一焦點(diǎn)坐標(biāo)為（3 3，0 0）一頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）一頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0 0，5 5）兩頂點(diǎn)坐標(biāo)為（兩頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0 0，6），且經(jīng)過點(diǎn)（），且經(jīng)過點(diǎn)（5，4）焦距是焦距是1212，離心率是，離心率是0.60.6，焦點(diǎn)在，焦點(diǎn)在x x軸上。軸上。22169xy+=12294yx+=1223425xy+=12210064xy+=1224536xy+=124105x練習(xí)：已知橢圓中心在原點(diǎn)，它在 軸的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直，且這個(gè)焦點(diǎn)與較近的長軸的端點(diǎn)距離為，求這個(gè)橢圓方程。105acbc2ac221105xy橢圓方程為：5c 10,5ab2512212FFFPFPF()221. C.2- 2. 2122ABD1.設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 、 ，過 作橢圓長軸的垂線交橢圓于點(diǎn) ，若為等腰直角三角形