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1、baxxfd)() )(txtttfd)()(定積分換元法二重積分換元法二重積分換元法 ),(),(:vuyyvuxxTDDvu),(滿足上在Dvuyvux),(, ),() 1 (一階導數連續(xù);雅可比行列式上在D)2(;0),(),(),(vuyxvuJ(3) 變換DDT:則Dyxyxfdd),(Dvuyvuxf),(),(定理定理:,),(上連續(xù)在閉域設Dyxf變換:是一一對應的 ,vuvuJdd),(ovuDoyxDToyxDovuD證證: 根據定理條件可知變換 T 可逆. 用平行于坐標軸的 ,坐標面上在vou 直線分割區(qū)域 ,D任取其中一個小矩T形, 其頂點為),(, ),(21vhu

2、MvuM1Mu4M3M2Mhu vkv通過變換T, 在 xoy 面上得到一個四邊形, 其對應頂點為)4, 3, 2, 1(),(iyxMiii1M4M3M2M,22kh 令則12xx ),(),(vuxvhux).,(, ),(43kvuMkvhuM)(),(ohvuux14xx ),(),(vuxkvux)(),(okvuvx12yy )(),(ohvuuy同理得14yy )(),(okvuvy當h, k 充分小時,曲邊四邊形 M1M2M3M4 近似于平行四 邊形, 故其面積近似為4121MMMM14141212yyxxyyxxkhkhvyvxuyuxhkvyuyvxuxhkvuJ),(vu

3、vuJdd),(d因此面積元素的關系為從而得二重積分的換元公式: Dyxyxfdd),(Dvuyvuxf),(),(vuvuJdd),(例如例如, 直角坐標轉化為極坐標時, sin,cosryrx),(),(ryxJcossinrsincosrrDyxyxfdd),(Drrrrfdd)sin,cos(例例1. 計算其中D 是 x 軸 y 軸和直線2 yx所圍成的閉域. 解解: 令,xyvxyu則2,2uvyuvx),(),(vuyxJyxeDxyxyddvuevuDdd2120d21vvveed)(211201ee2 yxDxoy2121212121vvvuue dxyxye,ddyx)(DD DD2vvu vuuovybx 2yax 2Doyxxqy 2xpy 2,22yxvxyu例例2. 計算由,22xqyxpyybxyax22,)0,0(baqp所圍成的閉區(qū)域 D 的面積 S .解解: 令Duvopqab則bvaqupD :D),(),(vuyxJ),(),(1yxvu31DyxSddbaqpvudd31vuJDdd)(31abpq例例3. 試計算橢球體1222222czbyax解解: yxzVDdd2yxcDbyaxdd122222由對稱性, 1:2222byaxD取令,sin,cosrbyrax則D 的原象為20,1: rD),(),(r

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