[理學(xué)]線性代數(shù)(1)ppt課件

1、 第二章第二章 矩陣及其運(yùn)算矩陣及其運(yùn)算1 矩陣矩陣 mn2m1mn22221n11211aaaaaaaaaA),(ija也可以記成也可以記成行矩陣（行向量行矩陣（行向量)，列矩陣（列向量列矩陣（列向量)， n 階矩陣階矩陣( n 階方陣階方陣). 定義定義 1 由由 mn 個(gè)數(shù)個(gè)數(shù) aij (i = 1,2,m; j = 1,2,n )實(shí)矩陣實(shí)矩陣nmija )(.等等或或nmA 稱為稱為mn 矩陣矩陣.排成的排成的 m 行行n 列數(shù)表列數(shù)表, 記成記成 例例1 （價(jià)格矩陣）四種商品在三家商店中，單位量的售價(jià)（價(jià)格矩陣）四種商品在三家商店中，單位量的售價(jià) 191581819139152111

2、717這里的行表示商店，列表示商品這里的行表示商店，列表示商品ai j 表示每生產(chǎn)一萬元第表示每生產(chǎn)一萬元第 j 類產(chǎn)品需要消耗的第類產(chǎn)品需要消耗的第 10. 030. 020. 020. 010. 035. 050. 040. 025. 0aaaaaaaaaA333231232221131211a23 = 0.20 就表示每生產(chǎn)一萬元就表示每生產(chǎn)一萬元 第第 3 類產(chǎn)品需要消耗掉類產(chǎn)品需要消耗掉0.20萬元萬元 例例2 （投入（投入產(chǎn)出矩陣）設(shè)某地區(qū)有產(chǎn)出矩陣）設(shè)某地區(qū)有3個(gè)經(jīng)濟(jì)部門，假定每個(gè)個(gè)經(jīng)濟(jì)部門，假定每個(gè)（以某種貨幣單位計(jì)）可以用以下矩陣表示：（以某種貨幣單位計(jì)）可以用以下矩陣表示：

3、部門只生產(chǎn)一類產(chǎn)品，每個(gè)部門生產(chǎn)的產(chǎn)品與消耗的商品都用部門只生產(chǎn)一類產(chǎn)品，每個(gè)部門生產(chǎn)的產(chǎn)品與消耗的商品都用貨幣來表示貨幣來表示, i 類產(chǎn)品的價(jià)值類產(chǎn)品的價(jià)值的第的第 2 類產(chǎn)品的價(jià)值類產(chǎn)品的價(jià)值例（通路矩陣）甲省兩個(gè)城市例（通路矩陣）甲省兩個(gè)城市 s1 , s2 與乙省三個(gè)城市與乙省三個(gè)城市 t1 , t2 , s1s2t1t2t341322每條線上的數(shù)字表示連接該兩每條線上的數(shù)字表示連接該兩 220314s1s2t1 t2 t3同型矩陣同型矩陣. 矩陣矩陣A與與B相等相等, 記成記成 A = B. 零矩陣零矩陣, 記成記成 0 .城市的不同通路的總數(shù)以由此得到城市的不同通路的總數(shù)以由此得

4、到的通路信息，可用矩陣表示為：的通路信息，可用矩陣表示為：t3 的交通連接情況如下圖所示，的交通連接情況如下圖所示，2 矩陣的運(yùn)算矩陣的運(yùn)算一一 矩陣的加法矩陣的加法 定義定義 2 設(shè)設(shè)A =(aij ) , B =(bij ) 都是都是 mn 矩陣矩陣, 矩陣矩陣 A 與與B 的和的和 mnmn2m2m1m1mn2n222222121n1n112121111bababababababababaBA例例 1 112310351321 )()(131521331201 261031記成記成 A + B, 規(guī)定為規(guī)定為 矩陣的加法運(yùn)算滿足規(guī)律矩陣的加法運(yùn)算滿足規(guī)律 2. ( A + B ) + C

5、 = A + ( B + C ) ( 結(jié)合律結(jié)合律) 3. A + 0 = A 4. 設(shè)設(shè)A = ( aij ) ,記記 A = ( aij ) , 規(guī)定規(guī)定 A B = A + ( B )二二 數(shù)與矩陣的乘法數(shù)與矩陣的乘法 定義定義 3 ，或或的的乘乘積積記記成成（與與矩矩陣陣數(shù)數(shù) AAaAnmij ) 規(guī)定為規(guī)定為 mn2m1mn22221n11211aaaaaaaaaA 稱稱 A 為為 A 的負(fù)矩陣的負(fù)矩陣, 1. A + B = B + A (交換律交換律) 易知易知 A + ( A ) = 0例例 2 若若,100311B,012531A 那么那么B BA 03615933A = A

6、3,100311 ,112220 數(shù)乘矩陣的運(yùn)算滿足規(guī)律：數(shù)乘矩陣的運(yùn)算滿足規(guī)律：AA1)()(. BABA3 )(.AAA2 )(., 為數(shù)為數(shù)其中其中 A, B為矩陣為矩陣.三三 矩陣與矩陣的乘法矩陣與矩陣的乘法 定義定義4 設(shè)設(shè) A = ( aij ) 是一個(gè)是一個(gè) ms 矩陣矩陣, B = ( bij ) 是一個(gè)是一個(gè) sn.,;,n21jm21ibababacjssij22ij11iji A 與與 B 的乘積記成的乘積記成 AB， 即即 C = AB .規(guī)定規(guī)定 A 與與 B 的積為一個(gè)的積為一個(gè) mn 矩陣矩陣 C = ( cij ) ，其中其中 A B = ABms sn mn

7、矩陣矩陣,列列行行jcbbbaaaiijsjj2j1is2i1i 例例 3 2014112103 1454312 例例 4 321321bbbaaa 332313322212312111bababababababababa 321bbb 321aaa332211ababab 例例 5 00111010, 0000 10100011 0020 例例 6 323122211211aaaaaa100010001 323122211211aaaaaa 1001aaaaaa323122211211一般來說，一般來說，AB BA , 若矩陣若矩陣 A、B 滿足滿足 AB = 0, n 階矩陣階矩陣 100

8、010001En 稱為稱為單位矩陣單位矩陣. 如果如果 A 為為 mn 矩陣，那么矩陣，那么AAEAEnm 即矩陣的乘法不滿足交換律即矩陣的乘法不滿足交換律.未必有未必有 A = 0 或或 B = 0 的結(jié)論的結(jié)論. 323122211211aaaaaa n 階矩陣階矩陣n21000000 稱為對角矩陣稱為對角矩陣.兩個(gè)對角矩陣的和是對角矩陣，兩個(gè)對角矩陣的和是對角矩陣，兩個(gè)對角矩陣的積也是對角矩陣兩個(gè)對角矩陣的積也是對角矩陣.矩陣的乘法滿足下述運(yùn)算規(guī)律矩陣的乘法滿足下述運(yùn)算規(guī)律結(jié)結(jié)合合律律)()(.BCACAB1 ACABCBA2 )(.).()()(.BABAAB3 分分配配律律CABAA

9、CB )( )(CBAACAB 4321 31134321解解1 ACAB 11654 41125 15571解解2.,ACAB1201C2312B4321A7 求求如果如果例例 23124321 12014321 12012312 15571矩陣的冪矩陣的冪 A 是一個(gè)是一個(gè)n 階矩陣階矩陣, k 是一個(gè)正整數(shù)是一個(gè)正整數(shù),規(guī)定規(guī)定 個(gè)個(gè)kkAAAA 矩陣的冪滿足規(guī)律矩陣的冪滿足規(guī)律 .,lklklklkAAAAA 其中其中 k , l 為正整數(shù)為正整數(shù).對于兩個(gè)對于兩個(gè) n 階矩陣階矩陣 A與與 B，一般說，一般說.)(kkkBAAB kn21000000 knk2k1000000 例例

10、8A2A 101020101A 92 求求已知已知例例, 1010201012101020101101020101A2A2AE2AA2A2)( 202040202 202040202 101000101 101020101 000000000 000000000 解一解一 解二解二 343433323213124243232221211414313212111bxaxaxaxabxaxaxaxabxaxaxaxa 例例 10 已知線性方程組已知線性方程組如果記如果記, 343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA, 4321xxxxx 321bbbb那么上述線性方

11、程組可記成那么上述線性方程組可記成. bAx 4321343332312423222114131211xxxxaaaaaaaaaaaaAx 4343332321314243232221211414313212111xaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxa于是于是四四 矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣的轉(zhuǎn)置 定義定義 5 將矩陣將矩陣 A 的各行變成同序數(shù)的列得到的矩陣稱為的各行變成同序數(shù)的列得到的矩陣稱為 A , 321011A11若若例例 TA則則 矩陣的轉(zhuǎn)置滿足下述運(yùn)算規(guī)律矩陣的轉(zhuǎn)置滿足下述運(yùn)算規(guī)律AA1TT )(.TTTBABA2 )(.TTAA3 )(.TAB4)(.記為記為 AT. 31120

12、1TTAB 的轉(zhuǎn)置矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣, 解一解一 因?yàn)橐驗(yàn)?2101321011AB 652120所以所以 622510ABT)( 解二解二 TTTABAB )( 3112012011 622510, 2101B321011A12 已已知知例例.)(TAB求求 矩陣矩陣 A 稱為對稱矩陣，稱為對稱矩陣， 容易知道容易知道, A = ( aij )nn是對稱矩陣的充要條件是是對稱矩陣的充要條件是 例例 13如果如果 A 是一個(gè)是一個(gè) n 階矩陣，那么，階矩陣，那么，A+A是對稱矩陣是對稱矩陣i , j = 1,2 , ,n. 矩陣矩陣 A 稱為反對稱矩陣，稱為反對稱矩陣，如果如果 AT = A .如

13、果如果 AT = A . 矩陣矩陣 A = ( aij )nn是反對稱矩陣的充要條件是是反對稱矩陣的充要條件是 aij = aji , 證證 因?yàn)橐驗(yàn)門TTTTAAAA)()( AAT ,TAA A A是反對稱矩陣是反對稱矩陣所以所以A+A是對稱矩陣是對稱矩陣 aij = aji , i , j = 1,2 , , n. TTTTTAAAA)()( 因?yàn)橐驗(yàn)锳AT ),(TAA 所以所以A A是反對稱矩陣是反對稱矩陣 例例 14 設(shè)設(shè) A 為為 mn 矩陣矩陣, .階對稱矩陣階對稱矩陣為為那么那么mAAT證證 由矩陣的乘法可知由矩陣的乘法可知 AA是是 m 階的階的.TTTTTAAAA)()(

14、 ,TAA 所以所以 AA是對稱矩陣是對稱矩陣.TTTXX2EH)( 1.證明證明 H 為對稱矩陣為對稱矩陣. 1. 證證 因?yàn)橐驗(yàn)門TTXX2E)( ,HXX2ET 所以所以H 為對稱矩陣為對稱矩陣. 因?yàn)橐驗(yàn)門TTXX2E)( 2.計(jì)算計(jì)算 H2 .,TTn21XX2EH1XXxxxX15 令令滿足滿足設(shè)列矩陣設(shè)列矩陣?yán)齆oImage2T2XX2EH2)(. )(TTTXXXX4XX4E TTTXXXX4XX4E)( TTXX4XX4E =E.方陣的行列式運(yùn)算滿足下述規(guī)律方陣的行列式運(yùn)算滿足下述規(guī)律 ， AA1T .AA2n .BAAB3 . 例例 16 設(shè)設(shè) A 是是 n 階矩陣，階矩

15、陣， nnn2n12n22121n2111AAAAAAAAAA稱為矩陣稱為矩陣A的伴隨矩陣的伴隨矩陣. .EAAAAA 式式 Aij 所構(gòu)成的矩陣所構(gòu)成的矩陣 五五 方陣的行列式方陣的行列式 定義定義6 由由 n 階矩陣階矩陣 A 的元素（按原來的位置）構(gòu)成的行列式，的元素（按原來的位置）構(gòu)成的行列式，.A記記作作稱為方陣稱為方陣 A 的行列式的行列式, 證明證明為數(shù)）為數(shù)）階矩陣，階矩陣，是是其中其中 nBA,( 由行列式由行列式 |A| 的各元素的代數(shù)余子的各元素的代數(shù)余子TTAA .A ，設(shè)設(shè) 333231232221131211aaaaaaaaaA1.， 332313322212312

16、111TaaaaaaaaaA332313322212312111TaaaaaaaaaA 333231232221131211aaaaaaaaaA 那么那么332313322212312111TaaaaaaaaaA 于是于是3332312322211312113aaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaaA 333231232221131211aaaaaaaaaA 2. 設(shè)設(shè) A 為為 3 階矩陣階矩陣, 333231232221131211aaaaaaaaaA .A3 那么那么于是于是,為數(shù)為數(shù) 先就先就 3 階矩陣給出證明階矩陣給出證明.證證 設(shè)設(shè) 333231

17、232221131211332313322212312111333231232221131211bbbbbbbbbAAAAAAAAAaaaaaaaaaAA于是有于是有13131212111111AaAaAab 23132212211112AaAaAab 33133212311113AaAaAab 13231222112121AaAaAab 23232222212122AaAaAab 0AaAaAab33233222312123 .,Ab0b0b333231 因此因此 A000A000AAA同理可證，同理可證，.EAAA A = 0= 0= 0A .EA 證證 設(shè)設(shè) A = ( a i j )n

18、n , ),(ijbAA 記記 nn2n1nn22221n11211nnn2n12n22121n2111nn2n1nn22221n11211bbbbbbbbbAAAAAAAAAaaaaaaaaa也就是也就是于是有于是有 jnin2j2i1j1iijAaAaAab因此因此EAAA 同理可證同理可證，.EAAA .時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)ji0jiA3 逆矩陣逆矩陣 定義定義 7 設(shè)設(shè) A 是是 n 階矩陣，如果有階矩陣，如果有 n 階矩陣階矩陣 B ，使，使 如果矩陣如果矩陣 A 是可逆的，則是可逆的，則 A 的逆矩陣是唯一的，記其為的逆矩陣是唯一的，記其為 A-1. 定理定理 1 若矩陣若矩陣 A 是

19、可逆的，是可逆的， 證證 因?yàn)橐驗(yàn)?A 可逆，可逆， . 1EAA1 于于是是 定理定理 2 若若 |A|0， 則則 A 可逆可逆, 且且 AA1A1.的的伴伴隨隨矩矩陣陣矩矩陣陣是是其其中中AA 則稱則稱 A 是可逆矩陣，是可逆矩陣，且稱且稱 B 為為 A 的逆矩陣的逆矩陣. AB = BA = E 即有即有 A-1 使使 A A-1= E . 所以所以 |A|0 .則則 |A|0 . 證證 由由2的的 例例 16 可知可知.EAAAAA 根據(jù)逆矩陣的定義，即有根據(jù)逆矩陣的定義，即有. AA1A1EAAA1AA1A 所以有所以有因?yàn)橐驗(yàn)?|A|0 ， 設(shè)設(shè) A 是是 n 階矩陣，如果階矩陣，

20、如果|A|0 , 那么那么A稱為非奇異矩陣稱為非奇異矩陣. A 是可逆矩陣的充分必要條件是是可逆矩陣的充分必要條件是|A|0 A 是可逆矩陣的充分必要條件是是可逆矩陣的充分必要條件是A為非奇異的為非奇異的, 441431321A 例例1 判斷下列矩陣判斷下列矩陣, 111111111B是否為可逆矩陣？是否為可逆矩陣？ 推論推論 設(shè)設(shè) A, B 都為都為 n 階矩陣階矩陣 , .1AB 且且EBB .存存在在因因而而1A 于是于是BAA1)( ）（ABA1 EA1 .1A 則則 A 為可逆矩陣，為可逆矩陣，若若 AB = E（或（或 B A = E），），所以所以 |A|0 ， 解解 因?yàn)橐驗(yàn)?

21、 01441431321A ,|0111111111B 所以所以A 為可逆矩陣，為可逆矩陣，B是不可逆矩陣是不可逆矩陣 證證 因?yàn)橐驗(yàn)閨A|B|=|AB|=|E|=1, 例例2 因?yàn)橐驗(yàn)? 100110211021所以所以, 102110211. 102110211方陣的逆矩陣滿足下述運(yùn)算規(guī)律方陣的逆矩陣滿足下述運(yùn)算規(guī)律：.AAAA1111 ）也也可可逆逆，且且（可可逆逆，則則若若.,.11A1AA0A2 ）也也可可逆逆，且且（則則可可逆逆，數(shù)數(shù)若若.)(111ABAB .)(.T11TTAAAA4 ）也可逆，且（也可逆，且（可逆，則可逆，則若若.,.0A2 數(shù)數(shù)可逆可逆設(shè)設(shè)證證可逆，可逆，所

22、以所以A EAAAEA11 可逆，可逆，所以所以AB11A1A )且且（.111ABAB ）且（且（EA1A1 )( 因?yàn)橐驗(yàn)橐驗(yàn)橐驗(yàn)?111ABBAABAB )()(（3.設(shè)設(shè)A ,B 為同階可逆矩陣為同階可逆矩陣,則則 AB 也可逆，且也可逆，且3.設(shè)設(shè)A ,B 為同階可逆矩陣為同階可逆矩陣, 例例 3 求矩陣求矩陣 441431321A的逆矩陣的逆矩陣. 解解 由由1441431321A 知知 A 的逆矩陣的逆矩陣 A-1 存在存在.T1T1TAAAA)()( EET 可逆，可逆，所以所以TA.)()(T11TAA 且且4.設(shè)設(shè)A 為可逆矩陣為可逆矩陣,因?yàn)橐驗(yàn)樵儆稍儆?)(444431

23、11 1A1A0A322212 12111014411 21A1A31 AA1A1 121110144 11A,)(44432112 332313322212312111AAAAAAAAAA11A2A1A332313 得得 130231C441431321A, 例例 4 已知已知求矩陣求矩陣 X 滿足滿足 AX = C . 解解 由例由例3 知知 A-1存在，于是存在，于是得得 X = A-1C ，即，即,)(CAAXA11 121110144X 4011131 130231 4 矩陣的分塊法矩陣的分塊法子塊子塊 用分塊法計(jì)算矩陣用分塊法計(jì)算矩陣 A 與與 B的乘積的乘積 , 左矩陣左矩陣 A 的列的分法與右的列的分法與右 .,AB111101021001B1011012100100001A1，求，求設(shè)設(shè)例例 ， EA0E21 解解 把把 A，B 分塊成分塊成 10110121001