大學(xué)數(shù)學(xué)(高數(shù)微積分)第七章線性變換第四節(jié)課件(課堂講義)

1、我們知道，在有限維線性空間中，取了一組基之后，線性變換就可以用矩陣來(lái)表示.為了利用矩陣來(lái)研究線性變換，對(duì)于每個(gè)給定的線性變換，我們希望能找到一組基使得它的矩陣具有最簡(jiǎn)單的形式.從現(xiàn)在開(kāi)始，我們主要來(lái)討論，在適當(dāng)?shù)倪x擇基之后，一個(gè)線性變換的矩陣可以化成什么樣的簡(jiǎn)單形式.為了這個(gè)目的，先介紹特征值和特征向量的概念. 這里需要注意，特征值 0 是數(shù)域 P 中的數(shù)量,特征向量 是非零向量.顯然，零向量對(duì)任意的0 都滿足 A = 0，因此這不具有“特征”意義.在幾何向量空間 R2 和 R3 中，線性變換 A 的特征值與特征向量的幾何意義是：例如：在 R2 中，向量繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 角的旋轉(zhuǎn)變換 S

2、 ，當(dāng) 0 時(shí)，對(duì)任意非零向量 R2 ， S ( ) 與 都不共線 ( 圖 7-8所示 )S ( )O此時(shí)， S 沒(méi)有實(shí)特征值；當(dāng) = 時(shí)，R2 中任何非零向量 都與 S ( )共線，且S ( ) = - (圖 7-9所示)，S 的特征值，而且任何非零向量 都是其特征向量.O1S (1)2S (2)所以，- 1 是如果 是線性變換 A 的屬于特征值 0 的特征向量，那么 的任何一個(gè)非零倍數(shù) k 也是 A 的屬于 0 的特征向量 .因?yàn)閺?A = 0 可以推出A (k ) = 0 (k ) . 這說(shuō)明特征向量不是被特征值唯一決定的.相反，特征值卻是被特征向量所唯一決定，因?yàn)橐粋€(gè)特征向量只能屬于一

3、個(gè)特征值.設(shè) V 是數(shù)域 P 上的 n 維線性空間，1 , 2 , , n 是它的一組基，線性變換 A 在這組基下的矩陣是 A.又設(shè) 0 是 A 的特征值， 是 A 的屬于0 的一個(gè)特征向量， 在基 1 , 2 , , n 下的坐標(biāo)是x01 , x02 , , x0n .則 A 的坐標(biāo)是.00201nxxxA0 的坐標(biāo)是.002010nxxx因此 A = 0 相當(dāng)于坐標(biāo)之間的等式.00201000201nnxxxxxxA上式可進(jìn)一步變形成. 0)(002010nxxxAE這說(shuō)明特征向量 的坐標(biāo) (x01 , x02 , , x0n ) 滿足齊次方程組( 0E - A ) X = 0 .由于 0

4、，所以它的坐標(biāo) x01 , x02 , , x0n 不全為零，即齊次方程組 ( 0E - A ) X = 0 有非零解.我們知道，齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是它的系數(shù)行列式等于零，即. 0|02122220211121100nnnnnaaaaaaaaaAE我們引入以下定義. nnnnnaaaaaaaaaAE2122222111211|上面的分析說(shuō)明，這時(shí)，如果(x01 , x02 , , x0n ) 是方程組 ( 0E - A ) X = 0 的一個(gè)非零解，那么非零向量 = x011 + x022 + + x0nn 滿足 A = 0 ，即 0 是線性變換 A 的一個(gè)特征值線性變換 A

5、 的特征值與特征向量的步驟如下：計(jì)算 A 的特征多項(xiàng)式，并求出特征方程在數(shù)域 P 中的所有根. 的特征值 1 , 2 , , s ，它們也就是線性變換 A 就是屬于特征值 0 的一個(gè)特征向量.于是可得求在線性空間 V 中取一組基1 , 2 , , n ，寫(xiě)出 A 在這組基下的矩陣 A ；設(shè)矩陣 A 有 s 個(gè)不同的全部特征值.特征向量在基 1 , 2 , , n 下的坐標(biāo). 對(duì) A 的每個(gè)特征值 i ( i = 1, 2,s ), 求解齊次線性方程組 (i E - A ) X = 0，該方程組的全部解即為矩陣 A 的對(duì)應(yīng)于 i 的全部矩陣 A 的特征多項(xiàng)式的根有時(shí)也稱為 A 的特征值，而相應(yīng)的

6、線性方程組 (i E - A ) X = 0 的解也就稱為 A 的屬于這個(gè)特征值的特征向量. 在 n 維線性空間中，數(shù)乘變換 K 在任意一組基下的矩陣都是 kE，它的特征多項(xiàng)式是| E - kE | = ( - k)n .因此，數(shù)乘變換 K 的特征值只有 k .由定義可知,每個(gè)非零向量都是屬于數(shù)乘變換 K 的特征向量. 設(shè)線性變換 A 在基1 , 2 , 3下的矩陣是,122212221A求 A 的特征值與特征向量.122212221AEA 的特征多項(xiàng)式為. )5() 1(2所以，A 的特征值為, 15321,0)5(XAE當(dāng)51時(shí), 解方程組, 0422242224321xxx即解之得基礎(chǔ)解

7、系為,) 1,1,1 (T所以屬于51的一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量就是, 0422242224321xxx 1 = 1 + 2 + 3，全部特征向量就是. )(111Pkk,0)(XAE當(dāng)132時(shí), 解方程組, 0222222222321xxx即,0222222222321xxx解之得基礎(chǔ)解系為,) 1,1,0(,)0,1,1(TT).,(323322Pkkkk132所以屬于的一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量就是全部特征向量就是,323212 在空間 Pxn 中，線性變換D f (x) = f (x)在基)!1(,! 2,112nxxxn下的矩陣是0000100001000010DD 的特征多項(xiàng)式是.000

8、1000010001|nDE因此，D 的特征值只有 0 .通過(guò)解相應(yīng)的齊次線性方程組知道，屬于特征值 0 的線性無(wú)關(guān)的特征向量組只能是任一非零常數(shù).這表明微商為零的多項(xiàng)式只能是零或非零的常數(shù). 平面上全體向量構(gòu)成實(shí)數(shù)域上一個(gè)二維線性空間，第一節(jié)中旋轉(zhuǎn) S 在直角坐標(biāo)系下的矩陣為.cossinsincos它的特征多項(xiàng)式為.1cos2cossinsincos2當(dāng) k 時(shí)，這個(gè)多項(xiàng)式?jīng)]有實(shí)根，因而，當(dāng) k 時(shí)， S 沒(méi)有特征值.容易看出，對(duì)于線性變換 A 的任一個(gè)特征值0 ，全部適合條件A = 0的向量 所成的集合，部特征向量再添上零向量所成的集合，是 V 的一個(gè)子空間，.0V顯然，0V的維數(shù)就是屬

9、于 0 的線性無(wú)關(guān)的特征向的最大個(gè)數(shù).也就是 A 的屬于 0 的全稱為 A 的一個(gè)，記為 由行列式的定義可知, 矩陣 A 的特征多 6 項(xiàng)式nnnnnnaaaaaaaaaAE212222111211因而, A 的特征多項(xiàng)式中, n 與 n-1 的系數(shù)由該項(xiàng)中, 有一項(xiàng)是主對(duì)角線上 n 個(gè)元素的乘積( - a11) ( - a22) ( - ann)而其他各項(xiàng)至多含有主對(duì)角線上的 n - 2 個(gè)元素. | E - A | = n - (a11 + a22 + + ann)n-1 + + (-1)n |A| . 確定.不難看出, n 的系數(shù)為 1 , n-1 的系數(shù)為-(a11 + a22 + +

10、 ann).另外, 在特征多項(xiàng)式中令 = 0 可得其常數(shù)項(xiàng)為 |A| .故稱niiia1為矩陣 A 的, 記作 trA.由于 1 , 2 , , n 是 A 的 n 個(gè)特征值, 所以| E - A | = ( - 1)( - 2) ( - n) .比較上述兩式可得特征值自然是被線性變換所決定的.但是在有限維空間中，任取一組基之后，特征值就是線性變換在這組基下矩陣的特征多項(xiàng)式的根.隨著基的不同，線性變換的矩陣一般是不同的.但是這些矩陣是相似的，因此，對(duì)于相似矩陣我們有以下定理 設(shè) A B，即有可逆矩陣 X，使B = X-1AX .于是| E - B | =| E - X-1AX | = | X-

11、1(E - A)X |= | X-1 | | E - A | | X |= | E - A | .定理 7 正好說(shuō)明，線性變換的矩陣的特征多項(xiàng)式與基的選擇無(wú)關(guān)，它是直接被線性變換決定的.因此，以后就可以說(shuō)線性變換的特征多項(xiàng)式了.既然相似的矩陣有相同的特征多項(xiàng)式，當(dāng)然特征多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)對(duì)于相似的矩陣來(lái)說(shuō)都是相同的.譬如說(shuō)，考慮特征多項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)，得到因此，以后就可以說(shuō)線性變換的行列式了.應(yīng)該指出，定理 7 的逆是不對(duì)的，特征多項(xiàng)式相同的矩陣不一定是相似的.例如.1011,1001BA它們的特征多項(xiàng)式都是 ( - 1)2 ，但 A 和 B不相似,因?yàn)楹?A 相似的矩陣只能是 A 本身. 設(shè) B(

12、 ) 是 E - A 的伴隨矩陣，由行列式的性質(zhì)，有B( ) (E - A) = | E - A |E = f ( ) E .因?yàn)榫仃?B( ) 的元素是 | E - A | 的各個(gè)代數(shù)余子式，都是 的多項(xiàng)式，其次數(shù)不超過(guò) n - 1 .因此由矩陣的運(yùn)算性質(zhì)， B( ) 可以寫(xiě)成B( ) = n-1B0 + n-2B1 + + Bn-1 .其中 B0 , B1 , , Bn-1都是 n n 數(shù)字矩陣.再設(shè) f ( ) = n + a1n-1 + + an-1 + an ，則 f ( )E = nE + a1n-1E + + an-1E + an E .而B(niǎo)( ) (E - A)= (n-1B0 + n-2B1 + + Bn-1)(E - A)= nB0 + n-1(B1 - B0A) + n-2 (B2 - B1A)+ + (Bn-1 - Bn-2 A) - Bn-1A .比較上述兩式，得.,11212121010EaABEaABBEaABBEaABBEBnnnnn以 An , An-1 , , A , E 依