希爾伯特變換的定義和性質(zhì)(精)

1、1希爾伯特變換的定義1卷積積分設(shè)實(shí)值函數(shù);，其中:,它的希爾伯特變換為常記為'II(2I由于廠是函數(shù)與，的卷積積分，故可寫(xiě)成I(32相位設(shè)u門(mén)宀：，根據(jù)(3式和傅里葉變換性質(zhì)可知，廠是的傅里葉變換二和“的傅里葉變換的乘積。由,hj.r>o,-jsguf)=,Mr<。-(4得鬥f)=-jsgn(門(mén)沖0z'：可表達(dá)為鳳門(mén)-/Sgn(o_eJ"°.產(chǎn)f".或者71.<所以是一個(gè)、相移系統(tǒng)，即希爾伯特變換等效于r的相移，對(duì)正頻JT龍率產(chǎn)生'的相移，對(duì)負(fù)頻率產(chǎn)生'相移，或者說(shuō)，在時(shí)域信號(hào)中每一頻率成分移位波長(zhǎng)。因此，希爾伯特

2、變換又稱為90度移相器。3解析信號(hào)的虛部為進(jìn)一步理解希爾伯特變換的意義，引入解析函數(shù)八1:也可以寫(xiě)成八門(mén)m(6其中，I稱為希爾伯特變換的包絡(luò)；八稱為瞬時(shí)響應(yīng)信號(hào)。希爾伯特變換包絡(luò)I定義為:(7相位定義為fit)(8瞬時(shí)頻率定義為根據(jù)傅里葉變換式Ig=如'：I'(10為計(jì)算川門(mén)，由hn=-jwto-知從黑(ii其中億/>0Bf=f<0因此，可以簡(jiǎn)單地從二得到，而的虛部即小。2.希爾伯特變換的性質(zhì)1線性性質(zhì)若a,b為任意常數(shù)，且叫，則有門(mén)|川-：i.!.；<(122移位性質(zhì)3希爾伯特變換的希爾伯特變換（14此性質(zhì)表明，兩重希爾伯特變換的結(jié)果僅使原函數(shù)加一負(fù)號(hào)，由此

3、可以進(jìn)一步得到'（154逆希爾伯特變換/v）=比'hnj二一-血（16I為u與，的卷積，可表示為宀：/I宀I八（17其中，£（門(mén)=尸"仃）。5奇偶特性如果原函數(shù)是的偶（奇），貝康希爾伯特變換'僦是-的奇（偶）函數(shù)，即/偶心奇.八（186能量守恒根據(jù)帕塞瓦爾定理可知嚴(yán)曲=F（f2dfJH=J和尸曲=（df(19因而有7正交性質(zhì)I：l(20(228調(diào)制性質(zhì)對(duì)任意函數(shù)，其傅里葉變換是帶限的，即jo.-.Kiik則有H/"(Ocas2斥歷F-f)sinHf血"算=ft)cos2«i；r9卷積性質(zhì)另外，希爾伯特變換具有周期性和同域性，即希爾伯特變換不改變?cè)瘮?shù)的周期性，也不改變域表示，而不像傅里葉變換那樣，把時(shí)間函數(shù)（信號(hào)）從時(shí)域表示換成頻域表示。SSBLiB-波形A鞅卜悄陽(yáng)41H5吟卄r吒MdtEGii止HJt"4rvvt,.：-i;!，Ussl.-；»!l-fj沽笊-就品k倨劣的豈電業(yè)于裟詩(shī)相祥FlSHTjrr.山坷璉g上ifla岬ntiB