多元函數(shù)的極值及其求法

1、第十一講二元函數(shù)的極值要求：理解多元函數(shù)極值的概念，會(huì)用充分條件判定二元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值。問題提出：在實(shí)際問題中，往往會(huì)遇到多元函數(shù)的最大值，最小值問題，與一元函數(shù)相類似，多元函數(shù)的最大值，最小值與極大值，極小值有密切的關(guān)系，因此以二元函數(shù)為例，來討論多元函數(shù)的極值問題一二元函數(shù)的極值定義設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)的所有00(x,y)豐(x,y),如果總有f(x,y)<f(x,y),則稱函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處有000000極大值；如果總有f(x,y)>f(x,y)，則稱函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)

2、有極小值.0000函數(shù)的極大值，極小值統(tǒng)稱為極值，使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)例1函數(shù)z二xy在點(diǎn)(0,0)處不取得極值，因?yàn)樵邳c(diǎn)(0,0)處的函數(shù)值為零，而在點(diǎn)(0,0)的任一鄰域內(nèi)總有使函數(shù)值為正的點(diǎn)，也有使函數(shù)值為負(fù)的點(diǎn)例2.函數(shù)z二3x2+4y2在點(diǎn)(0,0)處有極小值.因?yàn)閷?duì)任何(x,y)有f(x,y)>f(0,0)=0.從幾何上看，點(diǎn)(0,0,0)是開口朝上的橢圓拋物面z二3x2+4y2的頂點(diǎn)，曲面在點(diǎn)(0,0,0)處有切平面z=0，從而得到函數(shù)取得極值的必要條件.定理1(必要條件)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)(x,y)處有極值，則它在該點(diǎn)的0000

3、偏導(dǎo)數(shù)必然為零，即f(x,y)二0，f(x,y)二0.x00y00幾何解釋若函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)取得極值z，那么函數(shù)所表示的曲面在點(diǎn)(x,y,z)000000處的切平面方程為z-z二f(x,y)(x-x)+f(x,y)(y-y)0x000y000是平行于xoy坐標(biāo)面的平面z二z0.類似地有三元及三元以上函數(shù)的極值概念，對(duì)三元函數(shù)也有取得極值的必要條件為f(x,y,z)二0，f(x,y,z)二0，f(x,y,z)二0x000y000z000說明上面的定理雖然沒有完全解決求極值的問題，但它明確指出找極值點(diǎn)的途徑，即f(x,y)=0只要解方程組0°、n，求得解(x,y),(x

4、,y)(x,y)，那么極值點(diǎn)必包If(x,y)=01122nny00含在其中，這些點(diǎn)稱為函數(shù)z=f(x,y)的駐點(diǎn).注意1駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，如zxy在(0,0)點(diǎn).怎樣判別駐點(diǎn)是否是極值點(diǎn)呢？下面定理回答了這個(gè)問題定理2(充分條件)設(shè)函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(x,y)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又000,y0)0fy(x0,y0)0，令fxx(x0,y0)A，fxy(x0,y0)B，fyy5='，則(1)當(dāng)AC-B2>0時(shí)，函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(x,y)取得極值，且當(dāng)A<0時(shí)，有極00大值f(x,y)，當(dāng)A>0時(shí)，有極小值f(x,y)；0000(2)

5、當(dāng)AC-B2<0時(shí)，函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(x,y)沒有極值；00(3) 當(dāng)AC-B20時(shí)，函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(x,y)可能有極值，也可能沒有極值,00還要另作討論.求函數(shù)zf(x,y)極值的步驟：解方程組fx(x0,y0)-0，fy(x0,y0)-0，求得一切實(shí)數(shù)解，即可求得一切駐點(diǎn)1,y12,y2),y)；nn(2)對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)(x,y)(i1,2,“)，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ),B,C；ii(3) 確定AC-B2的符號(hào)，按定理2的結(jié)論判定f(x,y)是否是極值，是極大值還是極ii小值；(4) 考察函數(shù)f(x,y)是否有導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，若有加以判別是否為極值點(diǎn).例3.考察z-*x2

6、+y2是否有極值.zz解因?yàn)樨?，=在x=0,y=0處導(dǎo)數(shù)不存在，但是對(duì)所xJx2+y2oyJx2+y2有的(x,y)豐(0,0)，均有f(x,y)<f(0,0)0，所以函數(shù)在(0,0)點(diǎn)取得極大值.注意2極值點(diǎn)也不一定是駐點(diǎn)，若對(duì)可導(dǎo)函數(shù)而言，怎樣？例4.求函數(shù)f(x,y)二x3-y3+3x2+3y2-9x的極值.f-3x2+6x-9=0解先解方程組/C，求得駐點(diǎn)為(1,0),(1,2),(-3,0),(-3,2),f=3y2+6y二0y再求出二階偏導(dǎo)函數(shù)f二6x+6,f二0,f-6y+6.xxxyyy在點(diǎn)(1,0)處，AC-B2=12x6=72>0，又A>0，所以函數(shù)在點(diǎn)

7、(1,0)處有極小值為f(1,0)=-5；在點(diǎn)(1,2)處，AC-B2=-72<0，所以f(1,2)不是極值；在點(diǎn)(-3,0)處，ACB2=-72<0，所以f(-3,0)不是極值；在點(diǎn)(-3,2)處，AC-B2=72>0，又A<0，所以函數(shù)在點(diǎn)(-3,2)處有極大值為f(-3,2)=31.二.函數(shù)的最大值與最小值求最值方法：將函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)的全部極值點(diǎn)求出；求出f(x,y)在D邊界上的最值；即分別求一元函數(shù)f(x,申(x)，f(x,申(x)的12最值；將這些點(diǎn)的函數(shù)值求出，并且互相比較，定出函數(shù)的最值.實(shí)際問題求最值根據(jù)問題的性質(zhì)，知道函數(shù)f(x,y)的最值

8、一定在區(qū)域D的內(nèi)部取得，而函數(shù)在D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，那么可以肯定該駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是函數(shù)f(x,y)在D上的最值.例4.求把一個(gè)正數(shù)a分成三個(gè)正數(shù)之和，并使它們的乘積為最大.解設(shè)x,y分別為前兩個(gè)正數(shù)，第三個(gè)正數(shù)為a-x-y，問題為求函數(shù)u=xy(a-x-y)在區(qū)域D:x>0，y>0，x+y<a內(nèi)的最大值.=x(a-2y-x)，dy因?yàn)槎?y(a-x-y)-xy=y(a-2x-y)，dxIa2xy=0解方程組a-2y-x=0由實(shí)際問題可知，函數(shù)必在D內(nèi)取得最大值，而在區(qū)域D內(nèi)部只有唯一的駐點(diǎn)，則函數(shù)必在該點(diǎn)處取得最大值，即把a(bǔ)分成三等份，乘積(3)3最大.另外還可得出，若令z二

9、axy，貝yu=xyz<(-)3/X+y+z=(-)33；xyz<三個(gè)數(shù)的幾何平均值不大于算術(shù)平均值三條件極值，拉格朗日乘數(shù)法引例求函數(shù)z二X2+y2的極值.該問題就是求函數(shù)在它定義域內(nèi)的極值，前面求過在(0,0)取得極小值；若求函數(shù)z二x2+y2在條件x+y=1下極值，這時(shí)自變量受到約束，不能在整個(gè)函數(shù)定義域上求極值，而只能在定義域的一部分x+y=1的直線上求極值，前者只要求變量在定義域內(nèi)變化，而沒有其他附加條件稱為無條件極值，后者自變量受到條件的約束，稱為條件極值如何求條件極值？有時(shí)可把條件極值化為無條件極值，如上例從條件中解出y=1x，代入z二x2+y2中，得z二x2+(1x

10、)2二2x22x+1成為一元函數(shù)極值問題，令1111z4x20，得x=，求出極值為z(,)=.x2222但是在很多情形下，將條件極值化為無條件極值并不這樣簡單，我們另有一種直接尋求條件極值的方法，可不必先把問題化為無條件極值的問題，這就是下面介紹的拉格朗日乘數(shù)法利用一元函數(shù)取得極值的必要條件求函數(shù)z=f(x,y)在條件申(x,y)=0下取得極值的必要條件若函數(shù)z=f(x,y)在(x,y)取得所求的極值，那么首先有009(x,y)二0.00假定在(x,y)的某一鄰域內(nèi)函數(shù)z=f(x,y)與均有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且9(x,y)豐0.00y00有隱函數(shù)存在定理可知，方程9(x,y)=0確定一個(gè)單值可

11、導(dǎo)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y=屮(x)，將其代入函數(shù)z=f(x,y)中，得到一個(gè)變量的函數(shù)z=f(x,屮(x)于是函數(shù)z=f(x，y)在(x0,y0)取得所求的極值，也就是相當(dāng)于一元函數(shù)zf(x,屮(x)在x二x0取得極值由一元函數(shù)取得極值的必要條件知道dzdxx=x0=fx(x0,y0)+fy(x0,y0)興x=x0而方程申(x,y)=0所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為dydx9(x,y)=009(x,y)y00將上式代入fx(x0,y0)+fy(x0,y0)dx=0中，得x=x09(x,y)f(x,y)-f(x,y)r0吒二0，x00y009(x,y)y00因此函數(shù)z=f(x,y)在條件申(x,y)=0

12、下取得極值的必要條件為r()r()9(x,y)0f(x,y)-f(x,y)xoo=0<x00y009(x,y)y009(x,y)=000為了計(jì)算方便起見，我們令f(x,y).y00=入，9(x,y)y00則上述必要條件變?yōu)榱?x,y)+九申(x,y)二0x00x00<f(x,y)+九申(x,y)二0，y00y009(x,y)二000容易看出，上式中的前兩式的左端正是函數(shù)F(x,y)=f(x,y)+"(x,y)的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)在(x,y)的值，其中九是一個(gè)待定常數(shù).00拉格朗日乘數(shù)法求函數(shù)z=f(x,y)在條件9(x,y)=0下的可能的極值點(diǎn).構(gòu)成輔助函數(shù)F(x,y)=f(

13、x,y)+冷(x,y),(九為常數(shù))(2)求函數(shù)F對(duì)x，對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，解方程組f(x,y)+九Q(x,y)二0xx<f(x,y)+九Q(x,y)二0yyQ(x,y)二0得x,y,九，其中x,y就是函數(shù)在條件Q(x,y)=0下的可能極值點(diǎn)的坐標(biāo)；如何確定所求點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？在實(shí)際問題中往往可根據(jù)實(shí)際問題本身的性質(zhì)來判定拉格朗日乘數(shù)法推廣求函數(shù)u=f(x,y,z,t)在條件Q(x,y,z,t)=0，屮(x,y,z,t)=0下的可能的極值點(diǎn).構(gòu)成輔助函數(shù)F(x,y,z,t)二f(x,y,z,t)+Xq(x,y,z,t)+九屮(x,y,z,t)12其中九，九為常數(shù)，求函數(shù)F對(duì)x,y,

14、z的偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，解方程組12”f+九Q+九屮=0x1x2xf+九Q+九屮=0y1y2yf+九Q+九屮=0z1z2zf+九Q+九屮=0t1t2tQ(x,y,z,t)=0、屮(x,y,z,t)=0得x,y,z就是函數(shù)u=f(x,y,z,t)在條件Q(x,y,z,t)=0，屮(x,y,z,t)=0下的極值點(diǎn).注意：一般解方程組是通過前幾個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的方程找出x,y,z之間的關(guān)系，然后再將其代入到條件中，即可以求出可能的極值點(diǎn).例6.求表面積為a2而體積為最大的長方體的體積.解設(shè)長方體的三棱長分別為x,y,z，則問題是在條件q(x,y,z)=2xy+2yz+2xz一a2=0下，求函數(shù)v二xyz(x

15、>0,y>0,z>0)的最大值.構(gòu)成輔助函數(shù)F(x,y,z)二xyz+九(2xy+2yz+2xz-a2)，求函數(shù)F對(duì)x,y,z偏導(dǎo)數(shù)，使其為0,得到方程組yz+2九(y+z)=0xz+2九(x+z)=0(1)(2)(3)(4)zx+zxy+2九(x+y)=02xy+2yz+2xz一a2=0即有，x(y+z)=y(x+z),x=y,y(x+z)=z(x+y),y=z,可得x=y=z，將其代入方程2xy+2yz+2xz-a2=0中，得這是唯一可能的極值點(diǎn)，因?yàn)橛蓡栴}本身可知最大值一定存在，所以最大值就是在這可能的極值點(diǎn)處取得，即在表面積為a2的長方體中，以棱長為上6a的正方體的體

16、積為最大,最大體積為v=a3.36例7.試在球面x2+y2+z2=4上求出與點(diǎn)(3,1,-1)距離最近和最遠(yuǎn)的點(diǎn).解設(shè)M(x,y,z)為球面上任意一點(diǎn)，則到點(diǎn)(3,1,-1)距離為d=、j(x-3)2+(y-1)2+(z+1)2但是，如果考慮d2，則應(yīng)與d有相同的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)，為了簡化運(yùn)算，故取f(x,y,z)=d2=(x3)2+(y1)2+(z+1)2，又因?yàn)辄c(diǎn)M(x,y,z)在球面上，附加條件為9(x,y,z)=x2+y2+z24=0.構(gòu)成輔助函數(shù)F(x,y,z)=(x一3)2+(y一1)2+(z+1)2+九(x2+y2+z2-4).求函數(shù)F對(duì)x,y,z偏導(dǎo)數(shù)，使其為0,得到方程組(1)(2)(3)(4)2(x-3)+2九x=02(y-1)+2九y=02(z