立體幾何專題之三垂線定理

1、 高三同學(xué)在對立體幾何的基本知識進(jìn)行了系統(tǒng)的復(fù)習(xí)之后，對于比較重要的定理、概念以及在學(xué)習(xí)過程中感到難于掌握的問題進(jìn)行綜合性的專題復(fù)習(xí)是很必要的。在專題復(fù)習(xí)中應(yīng)通過分類、總結(jié)，提高對所學(xué)內(nèi)容的認(rèn)識和理解。今天我和大家共同探討高中立體幾何中的三垂線問題。 學(xué)習(xí)三垂線定理中，感到困難的是分辨直線與直線之間的位置關(guān)系，加上往往題目中線條較多，加大了判斷難度。另外，許多同學(xué)對定理內(nèi)容不清楚，導(dǎo)致做題時思路混亂。我們首先來說明以下幾點，以澄清定理內(nèi)容： 對于平面的斜線OP，在平面內(nèi)必存在射影OAPAOa 如果平面內(nèi)的直線a垂直于斜線OP的射影OA，那么必垂直于斜線OP；反之也成立PAOa 滿足條件（2）的

2、直線a必垂直于斜線及射影所確定的平面PAOa 運(yùn)用三垂線定理及逆定理的規(guī)律：確定平面、找到斜線、找到（做出）垂線、連成射影、查面內(nèi)線PAOa 關(guān)于三垂線定理及逆定理的圖形，有以下三種情況：直線a可能過O點；直線a可能與OA相交；直線a可能與AO或OA的延長線相交PAOa 直線a可能過O點ABCDEFGo如圖，已知在直角三角形ABC中， C=90 ，AC=18，BC=32，D是AB的中點，DE平面ABC，DE=12,求：E到AC、BC的距離221 16122 20 2015DFACDFACFEFEFACDFBCDERt DEFEFDFDEEACEBC解：作，連接， 根據(jù)三垂線定理可知，即 點到的

3、距離是，同理可求得到的距離是 。ABCDEFG 直線a可能與AO或OA的延長線相交ABCDABCDACBDADBC如圖，已知在四面體中，求證：ABCDEFGO: AOBCDOBOCDEBOCOABACBCDABCDBECDCFBDOBCDDOBCGDGBCAD證明 作底面， 為垂足，連結(jié)并延長交于 ，則、分別為、在底面上的射影。，（三垂線定理的逆定理）同理可證：為的垂心，連并延長交于 ，則由三垂線定理知，BCABCDEFGO 平行于平面的直線a，如果垂直于斜線OP在平面內(nèi)的射影OA，那么直線a也垂至于斜線OP，它在解某些較復(fù)雜的問題時可能化難為易PAOa587ABBDACABABABcmACB

4、DcmABcmCD如圖，線段平行于平面 ，、為垂直于的兩條相等的斜線，且分別在的兩側(cè)，若，和平面 的距離為，求的長ABCDA1B1OABCDA1B1O11111111111, 7 5 2.5 ABABACABBDABACBDACB DAABBcmAABBABABcmACOB DOAOcm分析：因為平面 ，又因為，則應(yīng)想到也垂直于、在平面 內(nèi)的射影、因為且，所以 因為直角直角（銳角、直角邊），所以22112211 15 222 85ACACAAcmCDCOACAOcm因為所以 大家往往習(xí)慣于在水平放置地平面上運(yùn)用三垂線定理，而在豎直或傾斜放置的平面上需用三垂線定理解題時，即使是很明顯的問題，有時

5、也會感到力不從心。應(yīng)明確的是，三垂線定理及其逆定理的適用與平面所在的位置無關(guān)。可做一些練習(xí)加深這種印象。111111ABCDABC DACABD如圖，已知正方體，求證：平面ABCDA1B1C1D1ABCDA1B1C1D11111111111111 ADAAD DACADADADADACADACBDACABD證明：如圖，連結(jié)，對于平面，是斜線，是它的射影，是面內(nèi)直線，（三垂線定理）同理平面 應(yīng)用這兩個定理時，首先要明確是針對哪個平面應(yīng)用定理，尤其是應(yīng)注意此平面非水平面放置的情況，然后再明確斜線、垂線、斜線的射影及面內(nèi)直線的位置，有時需要添加其中某些線，這樣可以確保正確應(yīng)用定理 判定空間中兩條直線

6、相互垂直 求平面外一點到平面內(nèi)一條定直線的距離 求二面角的平面角 判定空間中兩條直線相互垂直PABCABC已知：正方體中截去以 為定點的一角得截面求證：所截得的是銳角三角形ABCP 判定空間中兩條直線相互垂直 PPDABDABPRtPDDABCDCDABCDABCABABABCBCACBCACABCABCABC證明：過 作于 ，是，的垂足 在內(nèi)，連結(jié)，由三垂線定理可知，為中邊上的高線且滿足垂足在內(nèi)，同理可證中邊、邊上的高線的垂足也在、內(nèi)的垂心在內(nèi)，故為銳角三角形ABCPD 判定空間中兩條直線相互垂直222222222222222222 cos2()()() 22 02 bcaCABbcxzxy

7、yzxzxyxxzxyCABABCACBACB證明：由余弦定理，為銳角，同理，也是銳角，為銳角三角形ABCP 求平面外一點到平面內(nèi)一條定直線的距離 90oABCaDEAB ACABCDEAAABC已知：正的邊長為 ， 、 分別為、的中點，將沿線段折成的二面角，此時 點變到 點的位置求： 點到的距離ABCDEFG 求平面外一點到平面內(nèi)一條定直線的距離 3 236 446 4AAFDEAFDEFADEABCAFABCADEAFDEFDEAFBCGAGBCAGAGBCAGaAFFGaAGaABCa解：過 作， 平面平面，平面，是正三角形，又，為的中點，連結(jié)，并使其延長線交于 ，則，連結(jié)則，即 點到的

8、距離是ABCDEFG 求平面外一點到平面內(nèi)一條定直線的距離 說明：這種求平面外一定點到平面內(nèi)一條定直線的距離的問題，一般方法是過定點做平面的垂線，再過垂足作定直線的垂線，找到這條垂線與定直線的交點，則定點和交點的距離就是所求的距離。這種運(yùn)用三垂線定理的練習(xí)十分多，比如上題可以轉(zhuǎn)換成其他角度即為多個練習(xí)，同學(xué)們可以自己嘗試一下。 求二面角的平面角1111112ABCDABC DEBCC DECDE已知：如圖，是正四棱柱，側(cè)棱長為， 底面邊長為 ， 是側(cè)棱的中點求：面與面所成二面角的正切值A(chǔ)1B1C1D1ABCDEF 求二面角的平面角 說明：運(yùn)用三垂線定理及其逆定理是找出二面角的平面角的常用手段，應(yīng)當(dāng)熟練掌握，其過程是在二面角的一個面上找一點P，過P分別作棱和另