曲面面積 重心 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 引力

1、 曲面的面積曲面的面積 重心重心 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 引力引力iiAS ),(iii iSi iAxyzO求由方程求由方程Dyxyxfz ),(),(所確定的曲面所確定的曲面 S 的面積的面積對(duì)區(qū)域?qū)^(qū)域 D 作分割作分割 T , niiTAS10|lim一、一、曲面和面積曲面和面積曲面面積的計(jì)算公式曲面面積的計(jì)算公式先計(jì)算先計(jì)算 Ai 的面積的面積.iiiA cos zini i iAi ),(),(11|cos|22iiyiixiff iiiyiixiffA ),(),(122 niiiiyiixTniiTffAS1220|10|),(),(1limlim Dyxyxyxfyxfdd),()

2、,(122所以若曲面方程為所以若曲面方程為Dyxyxfz ),(),(則該曲面的面積則該曲面的面積 S 為為 DyxyxyxfyxfSdd),(),(122說明說明: zyDzyzyxx ),(),(zxDzxzxyy ),(),(則曲面面積則曲面面積 S ：如果曲面方程為如果曲面方程為 yzDzyzyzyxzyxSdd),(),(122如果曲面方程為如果曲面方程為則有公式：則有公式： xzDzxzxzxyzxySdd),(),(122例例1求圓錐求圓錐22yxz 在圓柱體在圓柱體xyx 22內(nèi)那一部分的面積內(nèi)那一部分的面積.解解 DyxyxzzSdd122所求面積的曲面的方程為所求面積的曲面

3、的方程為22yxz xyxD 22:,22yxxzx ,22yxyzy 21122222222 yxyyxxzzyx所以所以 Dyxdd2 42 例例. 計(jì)算雙曲拋物面 yxz 被柱面222Ryx所截 解解: 曲面在 xoy 面上投影為,:222RyxD則yxzzADyxdd122yxyxDdd122rrrRd1d0220 )1)1( 32232R出的面積 A .設(shè)空間有設(shè)空間有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)個(gè)質(zhì)點(diǎn), ),(iiizyx, ),2,1(nimi 由力學(xué)知由力學(xué)知, ,11 nkknkkkmmxx,11 nkknkkkmmyy nkknkkkmmzz11分別位于分別位于其質(zhì)量分別為其質(zhì)量分別為該質(zhì)點(diǎn)組

4、的重心坐標(biāo)為該質(zhì)點(diǎn)組的重心坐標(biāo)為二、二、重心重心設(shè)空間物體設(shè)空間物體 V , 有連續(xù)密度函數(shù)有連續(xù)密度函數(shù)),(zyx 采用采用 “分割分割, 近似代替近似代替, 求和求和, 取極限取極限” 可導(dǎo)出其可導(dǎo)出其重心坐標(biāo)公式重心坐標(biāo)公式.求求 V 的重心坐標(biāo)的重心坐標(biāo). 將將 V 分成分成 n 小塊小塊, ),(kkk 將第將第 k 塊看作質(zhì)量集中于點(diǎn)塊看作質(zhì)量集中于點(diǎn)),(kkk 的重心坐標(biāo)的重心坐標(biāo). 例如例如,此質(zhì)點(diǎn)組的重心坐標(biāo)就近似該物體此質(zhì)點(diǎn)組的重心坐標(biāo)就近似該物體的質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn), 其質(zhì)量為其質(zhì)量為在第在第 i 塊上任取一點(diǎn)塊上任取一點(diǎn)nkkkkknkkkkkkvvx11),(),(kkk

5、kkvm ),( 令各小區(qū)域的最大直徑令各小區(qū)域的最大直徑,0|T VVzyxzyxzyxzyxxxddd),(ddd),( 即得即得其中其中 m 為物體為物體 V 的質(zhì)量，的質(zhì)量， VVzyxzyxzyxzyxyyddd),(ddd),( VVzyxzyxzyxzyxzzddd),(ddd),( mzyxzyxxV ddd),( mzyxzyxyV ddd),( mzyxzyxzV ddd),( 同理可得同理可得 ,),(常數(shù)時(shí)當(dāng)zyx則則,dddVzyxxxV ,dddVzyxyyV .dddVzyxzzV 其中其中 V 表示區(qū)域表示區(qū)域 V 的體積的體積若物體為占有若物體為占有xoy 面

6、上區(qū)域面上區(qū)域 D 的平面薄片的平面薄片, ),(yx DDyxyxyxyxxxdd),(dd),( ,常數(shù)時(shí),ddDDSyxxx (SD 為為 D 的面積的面積)則則則它的重心坐標(biāo)為則它的重心坐標(biāo)為其面密度為其面密度為 DDyxyxyxyxyydd),(dd),( ,ddDDSyxyy 4例例. 求位于兩圓求位于兩圓 sin2 r sin4 r和和之間均勻薄片的重心之間均勻薄片的重心. D解解: 利用對(duì)稱性可知利用對(duì)稱性可知0 x而而 DDyxySydd1 Drrr ddsin31rr dsin4sin22 dsin95604 2956 dsin2956204 37 0dsin31 43 2

7、12 2oyx質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn) A 對(duì)于軸對(duì)于軸 l 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J 慣量可用積分計(jì)算慣量可用積分計(jì)算. 質(zhì)點(diǎn)組的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于各質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)組的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于各質(zhì)點(diǎn)和和 A 與轉(zhuǎn)動(dòng)軸與轉(zhuǎn)動(dòng)軸 l 的距離的距離 r 的平方的乘積的平方的乘積, 即即 2mrJ 三、三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和, 故連續(xù)體的轉(zhuǎn)動(dòng)故連續(xù)體的轉(zhuǎn)動(dòng)r等于等于 A 的質(zhì)量的質(zhì)量 m 設(shè)設(shè)),(zyx 在該物體位于在該物體位于( x , y , z ) 處取一微元，處取一微元，vzyxyxd),()(22 因此該物體因此該物體 對(duì)對(duì) z 軸軸 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量: VzzyxzyxyxJddd),()(22

8、 zJdxVyoz對(duì)對(duì) z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 22yx 其體積記為其體積記為 dV ，質(zhì)量為，質(zhì)量為 Vzyxd),( 到到 z 軸的距離為軸的距離為22yx 從而從而為空間物體為空間物體 V 的密度函數(shù)，求的密度函數(shù)，求 V 對(duì)對(duì) z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. ),(zyx類似可得類似可得: VxzyxzyxJddd),( VyzyxzyxJddd),( VOzyxzyxJddd),( )(22zy )(22zx )(222zyx 對(duì)對(duì) x 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)對(duì) y 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一般說來，若一般說來，若 V 中的點(diǎn)中的點(diǎn) (

9、x , y , z ) 到轉(zhuǎn)動(dòng)軸到轉(zhuǎn)動(dòng)軸 l 的距離為的距離為則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為, ),(zyxr VlVzyxJd),( ),(2zyxr對(duì)坐標(biāo)平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為對(duì)坐標(biāo)平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為 VxyzyxzyxJddd),( VyzzyxzyxJddd),( 2z2x對(duì)對(duì) xy 平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)對(duì) yz 平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 VxzzyxzyxJddd),( 2y對(duì)對(duì) xz 平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 DyyxyxJdd),( 如果物體如果物體 D 是平面薄片是平面薄片, 面密度為面密度為 Dyxyx ),(),( DxyxyxJdd),( 則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的表達(dá)式是

10、二重積分則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的表達(dá)式是二重積分.xDyo2y2x一般說來，若一般說來，若 D 中的點(diǎn)中的點(diǎn) ( x , y ) 到轉(zhuǎn)動(dòng)軸到轉(zhuǎn)動(dòng)軸 l 的距離為的距離為則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為),(yxr DlyxyxJdd),( ),(2yxr ),(yx例例4 求密度均勻的圓環(huán)求密度均勻的圓環(huán) D 對(duì)于垂直于圓環(huán)面對(duì)于垂直于圓環(huán)面中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量zyx解解設(shè)圓環(huán)設(shè)圓環(huán) D 為為222221RyxR 密度為密度為，則，則 D 中任一點(diǎn)中任一點(diǎn) ( x , y ) 與轉(zhuǎn)軸的距離為與轉(zhuǎn)軸的距離為22yx 于是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量于是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 DyxJ d)(22)(24142RR 21dd220RRrr

11、r )(221222122RRRR )(22122RRm rraddsin0302 例例. 求半徑為求半徑為 a 的均勻半圓薄片對(duì)其直徑的均勻半圓薄片對(duì)其直徑解解: 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖,yxyIDxdd2 Drrr ddsin22 441a 241aM 半圓薄片的質(zhì)量半圓薄片的質(zhì)量 221aM 2212 oxyDaa的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. 481a 設(shè)薄片的密度為設(shè)薄片的密度為，則，則例例6. 設(shè)某球體的密度與球心的距離成正比，設(shè)某球體的密度與球心的距離成正比，求它對(duì)于切平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量求它對(duì)于切平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解解建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖,設(shè)球體為設(shè)球體為2222Rzyx 密度為密

12、度為222zyxk k 為比例常數(shù)為比例常數(shù).切平面方程為切平面方程為 z = R , VVzRzyxkJd)(2222 RrrrRrk022020dsin)cos(dd RrrrRrRk03222020dsin)coscos2(dd 6911Rk 則球體對(duì)于該切平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為則球體對(duì)于該切平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為V),(zyx 求密度為求密度為F的物體的物體 V 對(duì)物體外質(zhì)量為對(duì)物體外質(zhì)量為 1 的的的單位質(zhì)點(diǎn)的單位質(zhì)點(diǎn) A 的引力的引力在該物體位于在該物體位于( x , y , z )處取一處取一微元，其體積記為微元，其體積記為 dV ，質(zhì)量為，質(zhì)量為 Vzyxmd),(d 對(duì)質(zhì)點(diǎn)對(duì)質(zhì)點(diǎn) A 的

13、引力為的引力為設(shè)設(shè) A 點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為, ),( 四、四、引力引力),( ),(zyx該引力在坐標(biāo)軸上的投影為該引力在坐標(biāo)軸上的投影為VrxkFxdd3 ),(1d1d2 zyxrrmkF),(d),(3 zyxrVzyxk其中其中 k 為引力常數(shù)，為引力常數(shù)，222)()()( zyxrVrykFydd3 VrzkFzdd3 于是所求力在坐標(biāo)軸上的投影分別為于是所求力在坐標(biāo)軸上的投影分別為V),( ),(zyxr VxVrxkFd3 VyVrykFd3 VzVrzkFd3 所以所以),(zyxFFFF AaRxyzo例例7. 求密度求密度 的均勻球體的均勻球體 V ：2222Rzyx )(), 0 , 0(RaaA 的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力. 解解: 利用對(duì)稱性知引力分量利用對(duì)稱性知引力分量0 yxFF z