振動力學第五章

1、第五章第五章 自振頻率和振型的實用計算自振頻率和振型的實用計算第一節(jié)第一節(jié) 能量法求自振頻率能量法求自振頻率根據(jù)能量守恒，在任何瞬時（忽略能量散失）根據(jù)能量守恒，在任何瞬時（忽略能量散失）常數(shù))()(tVtT一，瑞利能量法一，瑞利能量法設圖示系統(tǒng)中任一質(zhì)點的運動方程為設圖示系統(tǒng)中任一質(zhì)點的運動方程為)sin()(),(txtxy)cos()(),(txtxyvdxvxmTl02)(21dxxxmtTl)()()(cos210222振動速度振動速度系統(tǒng)的動能系統(tǒng)的動能將振動速度代入得將振動速度代入得動能的最大值發(fā)生在動能的最大值發(fā)生在 時刻，即時刻，即1)cos(tdxxxmTl)()(2102

2、2max),(),(求偏導數(shù)對時間表示式中，ttxytxy 求二階偏導數(shù)）對坐標表示式中，xtxytxydxtxyxEIVl),(),( ),()(2120 dxtxxEItVl202),()()(sin21 dxtxxEIVl20max),()(21 若只考慮彎曲變形的影響，系統(tǒng)的應變能為若只考慮彎曲變形的影響，系統(tǒng)的應變能為將運動方程代入得將運動方程代入得當當 時，應變能最大，即時，應變能最大，即1)sin(t使使 ，即可得到，即可得到maxmaxVT lldxxxmdxxxEI02022)()()()(瑞利商瑞利商),(21),()(2110txyFdxtxygxmWiniiliniil

3、FtdxxgxmtW10)sin(21)()()sin(21用外力做功的數(shù)值代替系統(tǒng)應變能的數(shù)值用外力做功的數(shù)值代替系統(tǒng)應變能的數(shù)值圖（圖（b b）系統(tǒng)上外力所做的總功為）系統(tǒng)上外力所做的總功為將運動方程代入上式得將運動方程代入上式得 : : :集中質(zhì)量作用點振幅）得重力荷載（集中質(zhì)量重力加速度式中，iiiiigmFmFgy(x,t)為靜荷載（自重、F等）引起的位移，如自重等1)sin(tiniilFdxxgxmW1021)()(21), 2 , 1(nimi 當當 時，應變能達到最大值，此時外時，應變能達到最大值，此時外力所作的功亦為最大值，力所作的功亦為最大值， 這時系統(tǒng)的動能除了分布質(zhì)量

4、這時系統(tǒng)的動能除了分布質(zhì)量m(x)m(x)的動能外，還應的動能外，還應包括各集中質(zhì)量包括各集中質(zhì)量 的動能，即的動能，即度。為各集中質(zhì)體的振動速式中iiniilvvmdxvxmT 21)(212102將振動速度代入得將振動速度代入得 )()(cos21 )()()(cos212i1220222niilmtdxxxmtT )(21 )()(212i12022maxniilmdxxxmT1)cos(tmaxmaxMT當當 時，動能達最大值時，動能達最大值由由 得到得到lniiilniiimdxxxmFdxxgxm0122012)()()()()(例：如圖（a） 所示均質(zhì)等截面簡支梁。單位梁長的質(zhì)量

5、為 ，其抗彎剛度EI為常數(shù)。若振型分別為圖（b）所示 （ 為梁中點的最大撓度）和圖（c）所示梁在自重作用下的撓曲線。分別計算自振頻率，并將所得結果進行比較。mlxyxmsin)(mylxyxmsin)(lymdxlxymTmlm22202max4sin22432022max4sin2mlmylEIdxlxlyEIV解：（1）振型為從而得442243244lmEIlymylEImm自振頻率mEIl22精確解222033442max33440.252 )2(5162)2(516)(mlmmylmdxxllxxlymTxllxxlyx2333440max6 .240.320 )2(51621mmml

6、ylEIglymdxxllxxlgymW（2）取振型為梁在自重荷載上的撓曲線。圖（c）所示為勻布自重荷載作用下簡支梁的靜力撓曲線，即最大動能外力做功的最大值EIglmym3845 4式中，因為maxmaxWT,可以解得mEIl28 . 9此值與精確解相比較，偏大約2例：計算重力壩沿水流方向的自振頻率時，可以取沿壩軸線方向單位長度的壩體近似地簡化為圖（a）所示的變截面懸臂梁。試用瑞利法計算其自振頻率。重量。為壩身材料單位體積的式中， )()(222xEbhxyx)()(xhhgbxm解：選變截面懸臂梁在其自重作用下所引起的撓曲線作為近似振型，如圖（b）所示，即從圖（b）可以看出其分布質(zhì)量為最大動

7、能和外力功的最大值為3021 )()(2193232022maxhgbEdxxxmTh1221 )()(21220maxhEbdxxgxmWhmaxmaxWT根據(jù)得到）（比精確解大 06. 3581. 12Eghb例：等截面懸臂梁yx0lm)64()(22341xllxxAx 端部有一集中質(zhì)量Slm2 用瑞利法估計基頻解：選擇等截面懸臂梁在均布載荷下的靜撓度曲線作為試函數(shù)： )()(21202*alxmdxxST*max)(TVR 411908. 1SlEI 選擇端部集中質(zhì)量作用下的靜撓度曲線作為試函數(shù)：)3()(322xlxAx 411584. 1SlEI 因集中質(zhì)量大于梁的分布質(zhì)量，選用后

8、一種試函數(shù)好2max01( )2lVEIx dx 例例. .用能量法計算圖示體系的基頻用能量法計算圖示體系的基頻. .mkmmkk321解解: : mmmm kk1101210121.1.取自重引起的位移取自重引起的位移mg1ymgmg2y3ykmgy/31kmgkmgyy/5/212kmgkmgyy/6/13 6531X 111121XmXXkXTTmkmk/2.07014精確解精確解: :mk /198.021mk /445.01mk /447.012.2.取直線取直線mkmmkk321mg1ymgmg2y3y 3211Xmk /214.0213.3.取常數(shù)取常數(shù) 1111Xmk /333

9、.021 6531X 111121XmXXkXTTmkmk/2.07014精確解精確解: :mk /198.021mk /445.01mk /447.01mk /463.01mk /577.01為待定參數(shù)。，函數(shù)為滿足位移邊界條件的，其中，nnniinnxfxfxfxfxfxfxfx )()()()( )()()()( 21211i2211二，李茲能量法李茲給出了級數(shù)形式的近似振型將上式代入瑞利商的表達式得 lniiilniiidxxfxmdxxfxEI0210212)()()()(dxxfxfxmDdxxfxfxEICjliijjliij)()()()()()(00 ninjjiijninj

10、jiijDC11112引進下列記號為所以根據(jù)頻率為極值的條件 n),1,2,(i 0)(2i n),1,2,(i 01111ninjjiijninjjiijiDC n),1,2,(i 0)()(22112111111ninjjiijninjnijijjiijninjjiijnijijDDCDC2得到即簡化上式并將 代入得n),1,2,(i 0)(12jijnjijDC或 0)(2DC02DC22j 上式為n個齊次線性方程，為了使方程組有非零解，必須得到 上式展開后得到一個 的n次方程，該方程有n個根。對于其中的每一個根 都可求得一組常數(shù) ，因此得到n個振型函數(shù)), 2 , 1(niij)(xi

11、 n),1,2,(j )()(1xfxiniijj 求得的 就是所研究的系統(tǒng)前n個自振頻率和振型函數(shù)的近似解。)(,xjj例：試用李茲法求圖所示重力壩的第一和第二階自振頻率。13221)(nnxxxx21)(xx解：為了使級數(shù)各項都滿足位移邊界條件，近似振型函數(shù)選為假設經(jīng)一次近似計算只取第一項，即代入瑞利商的表達式得樣）（與前面的結果完全一Eghb2581. 13221)(xxx3221)(,)(xxfxxfijijDC ,若取級數(shù)前兩項，即 將 代入相關式子計算出 ，這時 成為0)(2DC0)2810()2110(0)2110()156(2723316223262231523hgbhEbhg

12、bhEbhgbhEbhgbhEb展開系數(shù)行列式，并令其等于零,得頻率方程：01504200138820462284421222hbEghbEghbEghbEghb2221994. 4 535. 11解得與精確解的相對誤差為0.6， 是較高一階頻率的近似值。2例：圖所示等截面懸臂梁，用李茲法求自振頻率。 )1 ()( )1 ()(2221lxlxxflxxf22212211)1 ()1 ( )()()(lxlxlxxfxfxijijDC ,解：選取兩個函數(shù)： 這兩個函數(shù)在梁的支承處滿足固定端邊界條件。于是，近似振型函數(shù)可取為求得 如下32022011142)(lEIdxlEIdxxfEICll

13、320220112212)23(22 )()(lEIdxlxllEIdxxfxfEICCll 3220224)23(2lEIdxlxlEICl105)1)(30)1 ()()1 (5)1 (4022222012214011lmdxlxlxmDlmdxlxlxlxmDDlmdxlxmDlll0 )105(4 )30(2)30(2 )5(423232323lmlEIlmlEIlmlEIlmlEI2于是，頻率方程為從上式可得到一個關于 的方程，方程的根為4224211212 ,60.12lmEIlmEI這兩個頻率的精確值為42242152.485 ,362.12lmEIlmEI2比較得，第二階自振頻

14、率精讀很差。為了改善 得計算精讀，采用以下四個函數(shù)：24232221)1)()(25. 0)(75. 0()()1)()(5 . 0()( )1 ()( )1 ()(lxlxlxlxxflxlxlxxflxlxxflxxf4244234224214 .79296 ,8 .40120 .491 ,362.12lmEIlmEIlmEIlmEI42442314617 ,02.3807lmEIlmEI22求得結構的前四階頻率為該結構第三階和第四階自振頻率的精確值為 比較得， 的精讀最高， 次之， 的精讀最差。所以說，為了得到精讀較高的高階頻率，往往需要選取較多的函數(shù) 。2124)(xfi例：等截面簡支

15、梁梁中部有一集中質(zhì)量 Ma，大小等于梁的質(zhì)量采用里茲法，求：梁的模態(tài)函數(shù)近似解yx2/ l2/ l0Ma選取無集中質(zhì)量時的梁的模態(tài)函數(shù)作為里茲基函數(shù)：( )sin,(1,2,)iixfxil 解：基函數(shù)滿足自然邊界條件（兩端撓度和彎矩為零）( )0,( )0(0)iifxfxxorl 0048. 005742. 02)1(Sla 0102)2(Sla 7746. 005199. 02)3(Sla模態(tài)試函數(shù)：3311( ) ( )siniiiiiixxa fxal 若對第三階固有頻率的精度要求不高，取 n3代入里茲法方程，求得系數(shù)： 0048. 005742. 02)1(Sla 0102)2(S

16、la 7746. 005199. 02)3(Sla模態(tài)試函數(shù)：3311( ) ( )siniiiiiixxa fxal 梁的模態(tài)函數(shù)近似解：)3sin0048. 0sin5742. 0(2 )()1(lxlxSlx lxSlx2sin2 )()2( )3sin7746. 0sin5199. 0(2 )()3(lxlxSlx MK2121K 第二節(jié) 冪法計算自振頻率和振型一，最低階頻率和振型的計算上式兩邊左乘以211MK 首先假定一個任意的規(guī)準化振型 ，例如令其中第一個自由度振幅值為1，即 ，亦即，假定規(guī)準化振型 )0(1)0(1Tnn 1 )0()0( 1)0(2)0(1上標（0）表示假設的初

17、始形狀，即零次迭代。 把這個假定的標準化振型代入 等號左邊，經(jīng)過運算得 ，即211MK)1(1)0(11MK)1(1將 中第一個元素歸一化為1后，得)1(11)1(21)1(1)(1式中Tnn 1 )1()1( 1)1(21 這就是頻率和振型的第一次近似值 。再把 代入 ，仿此繼續(xù)循環(huán)迭代計算，直到經(jīng)過連續(xù)迭代前后兩次的 給出相同或近乎相同的數(shù)值為止，這樣得到的就是系統(tǒng)的最低自振頻率 及相應的振型 。)1(1)1(1,1,11MK1)0(1)0(1)1(1)0(1)1 (21)1 (1)(1如果假定的形狀 是一個真實的振型，則因此， 那么， 中任何一對對應元素的比值都能得到相同的頻率 ，則)1

18、(1)0(1,1n),1,2,(i )1()0(21ii 一般來說，經(jīng)過一次迭代后的 和假定的 的形狀是不一樣的。對于上式中的每一次位移坐標會得到不同的 值。)1(1)0(11在這種情況下，max)1()0(21min)1()0() () (iiiiMT)()1(1)0(1) 1 (21) 1 (1)(1 為了求出較好的頻率近似值，通常采用以質(zhì)量作為加權系數(shù)的平均法，用 左乘以)1 (1)1 (1)0(1)1 (121)()(MMTT 當真實振型或是自重作用下的撓曲線都不能很快給出時，習慣上總是把各質(zhì)體的幅值假定為1，即取T 1 1 1)0(例：如圖所示三層剛架，試用冪法計算它的最低自振頻率和

19、振型。kgM3105 . 1 0 0 0 .5 1 0 0 0 1 180 mkN-K/5 . 4 2 02 3 10 1 1 10983解：該系統(tǒng)的勁度矩陣和質(zhì)量矩陣分別為因此，這個結構的柔度矩陣是.03 .03 .02.03 .756 .54.03 .756 .59 104918.02 .02 .02.02 .54 .54.02 .54 .59 104913141MKK由此得321232131.03 .03 .02.03 .756 .54.03 .756 .59 104918T1 1 1)0(1將假定的初始迭代振型 代入上式等號左邊，得)1(1)1(2133)1(1)(1416. 0740

20、. 0000. 1104925.191800. 825.1525.19104918T416. 0 740. 0 000. 1)1(1)2(1)2(2133)2(1)(1347. 0682. 0000. 11049742.1518467. 5742.10742.15104918T347. 0 682. 0 000. 1)2(1將 代入，算得將 代入，算得)3(1)3(2133)3(1)(1336. 0670. 0000. 11049145. 518087. 5145.10145.15104918T336. 0 670. 0 000. 1 )3(1)4(1)4(2133)4(1)(1334. 06

21、67. 0000. 11049031.1518018. 5031.10031.15104918將 代入，算得 因為前后兩次迭代的振型基本相同，迭代至此停止，求得的第一振型為 ，相應的自振頻率為T334. 0 667. 0 000. 1 1s1458.13 1049031.151811321即精確解s1445.1312)1(3)0(3max212)1(1)0(1min21s1278.403 )(s1141.414 )(max)1()0(21min)1()0() () (iiii如果按照 來求第一自振啤頻率，則 可見，第一次迭代求得的頻率精度較差。采用質(zhì)量為權系數(shù)平均，只需迭代一次就能得到較好的頻

22、率近似值23)1(1)1(1)0(1)1(121s1185.769 00. 8 4.251 9.251000.12 375.21 25.1900. 1 .001 00. 1000.12 375.21 25.19181049 )()(TTTTMM211 : MKDD-式中)0( 現(xiàn)在來證明上述迭代法求出頻率和振型就是系統(tǒng)的最低自振頻率和相應的振型。 當給出假定的振型 后，逐次迭代可以作出如下的一系列向量)0()0(1)0(2)0()0()( )(kkDDDDDDD階振型。為第為常數(shù)；式中，iqqqqiinn 2211)0()0(對于開始所假定的振型 可表示為將上式前乘以D,則nknnkkknnn

23、nnnnnqqqDqqqDqqqDqDqDqD222111)0(222221211)0(22221112211)0( 111)0(kkqDn210021n 由于 即 ，故當?shù)螖?shù)k充分大時， ，只要 時，則有knkk2101q 這就說明，在 迭代k次后，向量 與向量 僅相差一常數(shù)倍數(shù)，或者說向量 收斂于向量 。由于每迭代一次 都要歸一化一次，所提出的因子就是 ，所以迭代k次后，就收斂到系統(tǒng)的第一自振頻率和對應的振型。)0()0(kD1)0(kD111kq)0(kD21111MMK221KM二，最高階頻率和振型的計算用 左乘以 則基于上式的迭代計算結果將得到最高階的自振頻率和相應的振型。為了論

24、證這一點，令2N按照前面同樣的論證方法可以得到迭代k次的向量為nknnkkkqqqN222221211)0(nknnkqN2121nnkkknkn2122212 因為 ，當k充分大時， ，所以上面等式右端各項比最后一項要小得多，略去前面（n-1）項，于是得到 這就說明，迭代k次后就收斂到系統(tǒng)的最高一階振型。給出第n階自振頻率的近似值n),1,2,(i )0()1(2iin或)0()1 ()1 ()1 (2)()(nTnnTnnMM例：圖所示三層剛架，試用冪法計算它的最高自振頻率和振型。21KM321232133 34 034 2 320 1 1 1801098T1 1 1)0(解：按 ，有 假

25、定初始振型 ，并設 ，代入上式等號左邊，得到18010983C)1(2)1(100667. 1667. 1000. 0000. 0cc繼續(xù)迭代計算，得)4(2)4()3(2)3()2(2)2(000. 1 694. 0194. 0 824. 3824. 3 652. 2742. 0 000. 1 618. 0124. 0 592. 3592. 3 221. 2444. 0 000. 1 444. 0000. 0 000. 3000. 3 333. 1000. 0 cccccc)6(2)6()5(2)5(000. 1 740. 0240. 0 968. 3968. 3 936. 2952. 0

26、000. 1 726. 0226. 0 925. 3925. 3 851. 2888. 0 ccccT000. 1 740. 0 240. 03 前后兩次迭代振型已基本接近，迭代中止，得到第三階振型為與前面所得第三階振型一致，其相應的第三階自振頻率為sc1480.46968. 31801098968. 33323三，高階頻率和振興的計算Dnnqqq2211)0(1r假設振型 逐階消頻法：當要求第r+1階振型 時，可以在假設振型 中清除掉所有前面r階振型分量，逐步收斂到第r+1階振型，從而求出所需若干階振型。)0(在上式等號兩邊前乘以 ,并利用振型的正交性得MTiiiTijmjjTiTiqMqM

27、M1)0(iqn),1,2,(i )0(iTiTiiMMq)0()0(1)0(1)0(1)0( )( rrjjTjTjjjTjTjrjjrjjjSMMIMMq從上式中解出 為了在假設的振型中清掉所有前面r階振型分量，可取初始迭代向量為 式中， 為r階清型矩陣或淘汰矩陣；I為主對角元素為1的對角矩陣。rSrjjTjTjjrMMIS1 在實際迭代計算過程中，應該在每次迭代后都要重新清型。也就是說，只是在求系統(tǒng)的第一階振型時用矩陣D前乘，在以后各階振型的計算中，每次都要用清型后的矩陣來前乘。經(jīng)過清型后的各階矩陣稱為收縮矩陣，可表示為rTrTrrrrjjTjTjjjrjjTjTjjjrjjTjTjjrrM