系統(tǒng)辨識(shí)各類最小二乘法匯總

1、最小二乘方法的總結(jié)與比較Y30150638控制二班王思明（作業(yè)二）最小二乘法大約是1795年高斯在他那著名的星體運(yùn)動(dòng)軌跡研究工作中提出來的。后來，最小二乘法就成了理論的奠基石。由于最小二乘原理簡單，編程程序也不困難，所以它頗受人們重視，應(yīng)用相當(dāng)廣泛。最小二乘的基本結(jié)果有兩種形式，一種是經(jīng)典的一次完成算法，另一種是現(xiàn)代的遞推算法。本次作業(yè)只討論遞推算法和其他擴(kuò)展的最小二乘方法比較。一、最小二乘法最小二乘法具有兩個(gè)缺陷：1、當(dāng)噪聲模型是有色噪聲時(shí)，最小二乘參數(shù)估計(jì)不是你無偏、一致估計(jì)。2、隨著數(shù)據(jù)的增長，最小二乘法出現(xiàn)數(shù)據(jù)飽和現(xiàn)象，以致算法慢慢失去修正能力。下面是其分別在白噪聲和有色噪聲時(shí)的參數(shù)估

2、計(jì)曲線。最小二乘的程序見附錄。圖1-1RLS白噪聲時(shí)參數(shù)估計(jì)變化曲線QFigure4fileEditViewInsertTeoDesktopWindowHelpClUUJ氐1%踏工/氫E國圖1-2RLS有色噪聲時(shí)參數(shù)估計(jì)變化曲線從圖中可以很明顯的看出，當(dāng)噪聲變成有色噪聲時(shí)，RLS算法是有偏的，始終不能得出參數(shù)的真值，而且可以看出隨著數(shù)據(jù)的增多，算法對參數(shù)的修正能力明顯下降，到最后參數(shù)值幾乎不變，這說明RLS算法進(jìn)入了數(shù)據(jù)飽和狀態(tài)。二、遺忘因子法和限定記憶法這兩種算法（RFERFM）是基于RLS的數(shù)據(jù)飽和現(xiàn)象而提出來的一種辨識(shí)算法。RFF很簡單，在老數(shù)據(jù)加上遺忘因子以降低老數(shù)據(jù)提供的信息量，增加

3、新數(shù)據(jù)的信息量。僅僅在RLS兌法內(nèi)部加入遺忘因子系數(shù)，這里因?yàn)槠邢蓿唤o出其程序以及最后的參數(shù)變化曲線。RFM就比較特殊，其限定有效數(shù)據(jù)的長度L,即始終只有長度L的數(shù)據(jù)在影響參數(shù)估計(jì)，可以從根本上解決數(shù)據(jù)飽和現(xiàn)象。下面是其實(shí)驗(yàn)的參數(shù)估計(jì)變化曲線。圖2-1RFM白噪聲時(shí)的參數(shù)估計(jì)曲線從圖中可以看出，相比于RLS的白噪聲時(shí)的參數(shù)估計(jì)，變化曲線圍繞真值震蕩變化，這說明沒有數(shù)據(jù)飽和現(xiàn)象，辨識(shí)結(jié)果良好。三、偏差補(bǔ)償法當(dāng)噪聲是有色噪聲時(shí)，我們提出偏差補(bǔ)償最小二乘法，因?yàn)閺膱D12我們可以看出，最后的參數(shù)估計(jì)是有偏的，所以我們在算法中每次都減去這個(gè)偏差量,使得最后的結(jié)果能夠逼近真值。我們稱這種算法為RCL

4、So但是，既然我們加入了偏差量，如果我們的噪聲是白噪聲時(shí)，那這個(gè)偏差量就變成了誤差量，使得參數(shù)估計(jì)軌跡偏真值。下圖是其參數(shù)估計(jì)曲線，程序見附錄。圖3-1RCLS有色噪聲時(shí)的參數(shù)變化曲線圖,2RCLS白噪聲時(shí)的參數(shù)估計(jì)曲線從圖中可以很清楚的看出，RCLS可以對有色噪聲情況下，對參數(shù)進(jìn)行無偏一致估計(jì)，但是在白噪聲的情況下，卻不能得到無偏估計(jì)，其原因上面也提到了,這里就不在贅述了。四、增廣最小二乘和廣義最小二乘針對不同的有色噪聲模型，我們用不同的辨識(shí)方法，并能順帶求出噪聲的模型模型，通過擴(kuò)充參數(shù)向量和數(shù)據(jù)向量:的維數(shù)，把噪聲模型的辨識(shí)同時(shí)考慮進(jìn)去。當(dāng)噪聲模型：e(k)=D(Z-1)*v(k)(v(k

5、)為白噪聲)時(shí)，我們采用增廣最小二乘方法。其實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下，其程序見附錄。圖4-1RELS參數(shù)估計(jì)曲線當(dāng)噪聲模型：e(k)=i*v(k)(v(k)為白噪聲)時(shí)，我們采用廣義最C'Z)小二乘方法。其實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下，其程序見附錄。圖4-2RGLS參數(shù)估計(jì)曲線從上圖可以看出，針對不同的參數(shù)模型，RELS和RGLS分別能發(fā)揮不同的作用，并且給出參數(shù)的無偏一致估計(jì)，并順帶求出了噪聲參數(shù)，其辨識(shí)結(jié)果良好，符合要求.五、輔助變量法在有些問題中，我們并不能事先知道參數(shù)的模型，而且我們也不需要求出噪聲參數(shù)，這時(shí)普通的RLS算法已經(jīng)不能滿足我們的要求，我們提出了輔助變量法，RIV.下圖給出其實(shí)驗(yàn)結(jié)果，具體程序

6、見附錄。DFigure4-deFileEditViewInsertJoolsDesktopVtfndowHelp引JGIiblQI0AO電娓/|。|。目|口參數(shù)變化曲線圖5-1RIV有色噪聲時(shí)參數(shù)估計(jì)變化曲線從圖中可以看出，RIV算法對有色噪聲的情況，也能給出參數(shù)的無偏估計(jì),其結(jié)果與RLS（圖12）比較可以看出區(qū)別。六、總結(jié)RLS：當(dāng)噪聲模型是有色噪聲時(shí)，最小二乘參數(shù)估計(jì)不是你無偏、一致估計(jì)。而且隨著數(shù)據(jù)的增長，最小二乘法出現(xiàn)數(shù)據(jù)飽和現(xiàn)象，以致算法慢慢失去修正能力。RFF.RFM：RFF很簡單，在老數(shù)據(jù)加上遺忘因子以降低老數(shù)據(jù)提供的信息量，增加新數(shù)據(jù)的信息量，RFM就比較特殊，其限定有效數(shù)據(jù)的

7、長度L,即始終只有長度L的數(shù)據(jù)在影響參數(shù)估計(jì)，可以從根本上解決數(shù)據(jù)飽和現(xiàn)象RCLS：當(dāng)噪聲是有色噪聲時(shí)，我們提出偏差補(bǔ)償最小二乘法，在算法中每次都減去這個(gè)偏差量，使得最后的結(jié)果能夠逼近真值。但卻不適合噪聲為白噪聲的時(shí)候。RELS：當(dāng)噪聲模型：e(k)=D(Z-1)*v(k)(v(k)為白噪聲)時(shí)，我們采用增廣最小二乘方法。能辨識(shí)出參數(shù)(包括噪聲參數(shù))的無偏估計(jì)。RGLS：當(dāng)噪聲模型：e(k)=-4r-*v(k)(v(k)為白噪聲)時(shí)，我們采用廣義最C(Zx)小二乘方法。能辨識(shí)出參數(shù)(包括噪聲參數(shù))的無偏估計(jì)。RIV：當(dāng)不確定參數(shù)模型時(shí)，我們可以直接采用RIV模型得到參數(shù)的無偏一致估計(jì)。七、附錄

8、1、RLS實(shí)驗(yàn)程序：clc%產(chǎn)牛高斯白噪聲clear%yl=randii(l2500)：%yl=yl/std(yl);%yl=yl-mean(yl);%a=0;%b=sqrt(0.1);%yl=a+b*yl;%figure(l);%plot(yl);%title(高斯白噪聲);fori=l:2500%產(chǎn)生有色噪聲yi(i)=i;endN=400;uk=rand(l,N);fori=l:N%產(chǎn)生隨機(jī)輸入uk(i)=uk(i)*(-l)A(i-l);endfigure。)；plot(uk);titlef隨機(jī)輸入曲線);yk=zeros(l,N);fork=3:N%定義輸出yk(k)=l.5*yk(

9、k-l)-0.7*yk(k-2)+uk(k-l)+0.5*ukQc-2)+yl(k);endfigure。)；plot(yk);title,對應(yīng)輸出曲線)；theta=O;O;O;O;p=10A6*eye(4);fort=3:N%迭代計(jì)算（Is算法）h=(-yk(t-l);-yk(t-2);uk(t-l);uk(t-2);x=l+h,*p*h;p=(p-p*h*l/x*h，+p);theta=theta+p*h*(yk(t)-hr*theta);alt(t)=theta(l);a2t(t)=theta(2);blt(t)=theta(3);b2t(t)=tlieta(4);endthetat=

10、l:N;%繪制參數(shù)變化曲線figure(4);titleC參數(shù)變化曲線)；text(300,1.5,'al);text(300,0.7/a2r);text(300,l/bl);text(300,0.5,1529;2、RFM實(shí)驗(yàn)程序（部分）只給出算法更改部分：fors=3:100;h=(yk(s-l);yk(s-2);uk(s-l);uk(s-2);p=pp*h*(inv(l+lT*p*h)*h*p;theta=theta+p*h*(yk(s)-ir*tlieta);endsfort=3:N-100m=s-H;h=(yk(m-l);yk(m-2);uk(m-l);uk(m-2);p=p-

11、p*h*(inv(l+li,*p*h)*h*p;tlieta=theta-Fp*h*(yk(m)-h,*tlieta);h=(yk(t-l);yk(t-2);uk(t-l);uk(t-2);p=p+p*h*(inv(l-h,*p*h)*h,*p;theta=theta+p*h*(yk(t)-ir*theta);alt(t)=theta(l);a2t(t)=theta(2);blt(t)=tlieta(3);b2t(t)=tlieta(4);end3、RCLS實(shí)驗(yàn)程序(部分)theta=O;O;O;O;p=10A6*eye(4);j=0；thetc=O;O;O;O;fort=3:Nh=(-yk(

12、t-l);-yk(t-2);uk(t-l);uk(t-2);x=l+l產(chǎn)p*h;j=j+(yk(t)-h*theta)A2)/(l-Hi,*p*h);p=(p-p*h*l/x+h,*p);theta=theta+p*h*(yk-htheta)d=l000;0100;0000;0000;w=j/(t*(14-thetcr*d*theta);thetc=theta-t*w*p*d*thetc;alt(t)=thetc(l);a2t(t)=thetc(2);blt(t)=tlietc(3);b2t(t)=thetc(4);end4、RELS實(shí)驗(yàn)程序(部分)fort=3:Nx=l+iV*p*h;p=(

13、p-p*h*l/x*hr*p);theta=theta+p*h*(yk(t)-h,*theta);alt(t)=theta(l);a2t(t)=theta(2);blt(t)=tlieta(3);b2t(t)=tlieta(4);dlt(t)=theta(5);d2t(t)=theta(6);end5、RGLS試驗(yàn)程序(部分)fort=3:Nhe=(-e(t-l);-e(t-2);xe=H-he，+pe+he;pe=(pe-pe*he*l/xe*he,*pe);thete=thete+pe*he*(e(t)-he*thete);clKt)=thete(l)；c2t(t)=thete(2);endfort=3:Nykf(t)=yk(t)+clt(t)*yk(t-l)4-c2t(t)*yk(t-2);ukf(t)=iik(t)+clt(t)*uk(t-l)+c2t(t)*uk(t-2);h=(-ykf(t-l);-ykf(t-2);ukf(t-l);ukf(t.2);x=l+hr*p*h;p=(p-p*h*l/x*h，+p);theta=tlieta+p*h*(ykf(t)-h'*theta);alt(t)=theta(l);a2t(t)=theta(2);blt(t)=theta(3);b2t(t)=tlieta(4);