混沌原理與應(yīng)用

1、課程論文課程系統(tǒng)科學(xué)概論學(xué)生姓名學(xué)號(hào)院系專(zhuān)業(yè)二0一五年月日混沌理論與應(yīng)用摘要：本文首先介紹了混沌理論的產(chǎn)生與背景。接著由混沌理論的產(chǎn)生引出了理解混沌系統(tǒng)需要注意的幾個(gè)基本概念，并就兩個(gè)容易混淆的概念進(jìn)行了區(qū)分。然后本文對(duì)混沌系統(tǒng)的幾個(gè)基本特征進(jìn)行了闡述，而且詳細(xì)解釋了每個(gè)具體特征含義。在結(jié)尾部分本文簡(jiǎn)要敘述了混沌理論的應(yīng)用前景。關(guān)鍵詞：混沌理論；混沌系統(tǒng)；基本特征；應(yīng)用1混沌理論的產(chǎn)生與背景混沌一詞很早就出現(xiàn)在人類(lèi)的歷史中，在世界的幾個(gè)較為發(fā)達(dá)的古代文明中基本上都用自己的方式對(duì)混沌進(jìn)行過(guò)描述，混沌基本就等同于未知。同時(shí)這些文明有一個(gè)對(duì)混沌有一個(gè)共同的觀點(diǎn)，那就是：宇宙起源于混沌1,這種觀點(diǎn)可以

2、說(shuō)在某些方面與現(xiàn)代的理論不謀而合。雖然古人的這些觀點(diǎn)大部分是基于自己的想象而且其含義也局限于哲學(xué)方面，但是可以說(shuō)這是人類(lèi)早期對(duì)混沌狀態(tài)的一種探索。在此后的上千年中，一代又一代的研究者們探索了無(wú)數(shù)未知的領(lǐng)域。以至于在混沌理論之前，沒(méi)有人懷疑過(guò)精確預(yù)測(cè)的能力是可以實(shí)現(xiàn)的，一般認(rèn)為只要收集夠足夠的信息就可以實(shí)現(xiàn)。十八世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯甚至宣稱(chēng)，如果已知宇宙中每一個(gè)粒子的位置與速度，他就能預(yù)測(cè)宇宙在整個(gè)未來(lái)的狀態(tài)。然而混沌現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)徹底打破了這一假設(shè)?；煦缦到y(tǒng)對(duì)初始條件的敏感性使得系統(tǒng)在其運(yùn)動(dòng)軌跡上幾乎處處不穩(wěn)定，初始條件的極小誤差都會(huì)隨著系統(tǒng)的演化而呈現(xiàn)指數(shù)形式的增長(zhǎng)，迅速達(dá)到系統(tǒng)所在空間的大小

3、，使得預(yù)測(cè)能力完全消失2。例如，著名的蝴蝶效應(yīng)：上個(gè)世紀(jì)70年代，美國(guó)一個(gè)名叫洛倫茲的氣象學(xué)家在解釋空氣系統(tǒng)理論時(shí)說(shuō)，亞馬遜雨林一只蝴蝶翅膀偶爾振動(dòng)，也許兩周后就會(huì)引起美國(guó)得克薩斯州的一場(chǎng)龍卷風(fēng)3,可以說(shuō)對(duì)天氣的精準(zhǔn)預(yù)測(cè)一直是人類(lèi)未曾解決的問(wèn)題。面對(duì)這樣的問(wèn)題，科學(xué)家們又用到了混沌這個(gè)詞，看似又回到了起點(diǎn)，實(shí)際上今天的混沌理論與過(guò)去的說(shuō)法已經(jīng)有了天壤之別。1903年，美國(guó)數(shù)學(xué)家J.H.Poincare在科學(xué)與方法一書(shū)中提到Poincare猜想，他把動(dòng)力系統(tǒng)和拓?fù)鋵W(xué)兩大領(lǐng)域結(jié)合起來(lái)指出了混沌存在的可能性4。1963年美國(guó)氣象學(xué)家愛(ài)德華諾頓洛倫茨提出混沌理論（Chaos）,非線(xiàn)性系統(tǒng)具有的多樣性和

4、多尺度性。混沌理論解釋了決定系統(tǒng)可能產(chǎn)生隨機(jī)結(jié)果5?；煦缫脖徽J(rèn)為是繼量子力學(xué)和相對(duì)論之后，20世紀(jì)物理學(xué)界第三次重大革命，混沌也一樣沖破了牛頓力學(xué)的教規(guī)。從此，混沌系統(tǒng)理論開(kāi)始飛速發(fā)展，氣象學(xué)、生理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)中都發(fā)現(xiàn)了一種關(guān)于混沌的有序性?；煦缋碚撜秸Q生。2混沌系統(tǒng)的基本概念本文上一節(jié)簡(jiǎn)要敘述了混沌理論的產(chǎn)生與背景,這一節(jié)本文將針對(duì)混沌系統(tǒng)的基本概念做一個(gè)介紹?；煦绗F(xiàn)象起因于物體不斷以某種規(guī)則復(fù)4。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，混沌是指發(fā)生在確定性混沌實(shí)際上目前并沒(méi)有一個(gè)通用的嚴(yán)格的定義，制前一階段的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，而產(chǎn)生無(wú)法預(yù)測(cè)的隨機(jī)效果系統(tǒng)中的貌似隨機(jī)的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)，一個(gè)確定性理論描述的系統(tǒng)，其行為卻表現(xiàn)為不確定性

5、-不可重復(fù)、不可預(yù)測(cè)，這就是混沌現(xiàn)象。具體而言，混沌現(xiàn)象發(fā)生在易變動(dòng)的物體或系統(tǒng)，這個(gè)物體或者系統(tǒng)在其初始狀態(tài)非常的單純，但經(jīng)過(guò)一定規(guī)則的連續(xù)變動(dòng)之后，卻會(huì)產(chǎn)生無(wú)法預(yù)料的后果?；煦缦到y(tǒng)雖然不可預(yù)測(cè)，但是卻并不能完全等同于混亂無(wú)章，有些確定的系統(tǒng)也會(huì)處于混沌狀態(tài)。很多人在這里會(huì)混淆確定性與可預(yù)測(cè)性，錯(cuò)誤的將確定的系統(tǒng)等同為可以預(yù)測(cè)的系統(tǒng)6。在動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中，確定性指的是系統(tǒng)在任意時(shí)刻被初始狀態(tài)所決定。雖然我們可以根據(jù)物體的初始狀態(tài)和運(yùn)動(dòng)規(guī)律推算出其在任意時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，但是，由于初始條件有可能不能完全被考慮到，所以很可能造成預(yù)測(cè)的失敗或者完全無(wú)法被預(yù)測(cè)，就比如對(duì)天氣系統(tǒng)的預(yù)測(cè)。一個(gè)系統(tǒng)即便是確定的

6、，也有可能是不可預(yù)測(cè)的，兩者并不矛盾。在現(xiàn)實(shí)中有許多非線(xiàn)性的系統(tǒng)，盡管系統(tǒng)是確定的，但是卻對(duì)初始條件極為敏感，形成了一種看起來(lái)隨機(jī)的不可預(yù)測(cè)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，這就是混沌狀態(tài)。3混沌系統(tǒng)的特征在上一節(jié)本文描述了混沌的基本概念，這一節(jié)本文將對(duì)混沌系統(tǒng)的基本特征進(jìn)行闡述。通過(guò)對(duì)混沌系統(tǒng)的研究，人們認(rèn)識(shí)到混沌的奇特之處在于它把“表現(xiàn)”的無(wú)序與內(nèi)在的決定論機(jī)制巧妙地溶為一體。具體來(lái)講，混沌系統(tǒng)有以下三個(gè)基本特征7：(1)內(nèi)在隨機(jī)性非平衡非線(xiàn)性混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的類(lèi)似無(wú)規(guī)的非周期行為，常叫做內(nèi)在隨機(jī)性，或稱(chēng)內(nèi)稟隨機(jī)性，意思是隨機(jī)性完全是系統(tǒng)自身的屬性，而與外在因素?zé)o關(guān)。可以從兩個(gè)層面理解上述內(nèi)容：其一，一個(gè)確定性系統(tǒng)

7、，由于系統(tǒng)參數(shù)值的不同，其解的狀態(tài)是不確定的；其二，在系統(tǒng)參數(shù)值已知的條件下，其解可能是隨機(jī)的，即沒(méi)有一個(gè)確定性值8。正如洛侖茲動(dòng)力學(xué)方程體現(xiàn)的那樣，混沌是從完全確定論的方程中出現(xiàn)的。洛侖茲方程是確定論方程，其中不含任何隨機(jī)項(xiàng)，方程的系數(shù)、初始條件等都是確定的，然而確定的原因卻引出來(lái)隨機(jī)的結(jié)果。內(nèi)在隨機(jī)性是相對(duì)于外在隨機(jī)性而言的。在量子力學(xué)中，做熱運(yùn)動(dòng)的粒子，由于其數(shù)量太大，只能用統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法來(lái)尋求其規(guī)律。而單個(gè)粒子的隨機(jī)性是由于觀測(cè)儀器引起的。這樣的隨機(jī)性就看作是外在隨機(jī)性，外在隨機(jī)性可以通過(guò)統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法把隨機(jī)性去掉，揭示其內(nèi)在的規(guī)律。然而混沌理論中發(fā)現(xiàn)的內(nèi)在隨機(jī)性與這樣的外在隨機(jī)性有本質(zhì)的

8、不同，它要求人們突破原來(lái)對(duì)隨機(jī)性的認(rèn)識(shí)。(2)對(duì)初值的敏感性系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)，無(wú)論是離散的或連續(xù)的，低維的或高維的，保守的或耗散的。時(shí)間演化的還是空間分布的，均具有一個(gè)基本特征，即系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌道對(duì)初值的極度敏感性5。例如，著名的“蝴蝶效應(yīng)”理論，它的提出者洛倫茨提出一個(gè)簡(jiǎn)化的氣象模型，這個(gè)模型簡(jiǎn)化到只剩3個(gè)必不可少的變量的非線(xiàn)性微分方程組，其中不含有任何外加隨機(jī)因素，利用計(jì)算機(jī)計(jì)算天氣的變化。用同一組初值輸入計(jì)算機(jī)，重復(fù)計(jì)算，兩次計(jì)算的差別僅在于一次采用的初值比另一次只少最后一位有效數(shù)字。在線(xiàn)性系統(tǒng)中這點(diǎn)微小差別也許不會(huì)影響計(jì)算結(jié)果，但是在混沌系統(tǒng)中隨著計(jì)算進(jìn)程不斷前進(jìn)，兩次計(jì)算結(jié)果差別越來(lái)越大

9、，最后導(dǎo)致兩組數(shù)據(jù)完全不同。這表明個(gè)別結(jié)果對(duì)于初始條件的敏感依賴(lài)行為。因此，洛倫茲斷言：長(zhǎng)期預(yù)報(bào)注定要失敗。(3)非規(guī)則的有序自從嫡的統(tǒng)計(jì)解釋被引入生命與社會(huì)現(xiàn)象之后，有序與無(wú)序的講法日漸頻繁。根據(jù)常識(shí)有序和無(wú)序是一個(gè)相對(duì)的概念，二者互不包含。而非平衡非線(xiàn)性混沌既不是簡(jiǎn)單的無(wú)序，也不是通常意義下的有序，科學(xué)家建議將其稱(chēng)為“混沌序”7。混沌現(xiàn)象表面是無(wú)序的。但混沌區(qū)的系統(tǒng)行為并非真正的混亂不堪，而是不具備周期性和其他明顯對(duì)稱(chēng)特征的有序態(tài)，確定性的非線(xiàn)性系統(tǒng)的控制參量按一定方向部斷變化，當(dāng)達(dá)到某種極限狀態(tài)時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)混沌這種非周期運(yùn)動(dòng)體制。但是非周期運(yùn)動(dòng)不是無(wú)序運(yùn)動(dòng)，而是另一種類(lèi)型的有序運(yùn)動(dòng)。因此

10、，混沌現(xiàn)象表面上是無(wú)序的，但這種無(wú)序不是絕對(duì)的無(wú)序，而是在無(wú)序中存在有序。當(dāng)然，它的有序又不是通常意義上的有序。而且混沌系統(tǒng)在不同層次上其結(jié)構(gòu)具有相似性，即所謂的自相似性?；煦鐓^(qū)的系統(tǒng)行為往往體現(xiàn)出無(wú)窮嵌套自相似結(jié)構(gòu)，這種不同層次上的結(jié)構(gòu)相似性是標(biāo)度變換下的不變性，這種不變性體現(xiàn)出混沌運(yùn)動(dòng)的規(guī)律9。4混沌理論的應(yīng)用上一節(jié)本文講的是混沌系統(tǒng)的基本特征，在這一節(jié)同時(shí)也是本文最后一節(jié)我們將探討混沌理論的應(yīng)用前景?；煦缋碚撌且婚T(mén)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，它不是一個(gè)對(duì)最基本粒子的探索，而是關(guān)于流通變遷以及模型的形成和解體的探索10?；煦缫膊皇仟?dú)立存在的科學(xué)，它與其它各門(mén)科學(xué)互相促進(jìn)、互相依靠，由此派生出許多交叉學(xué)科，

11、如混沌氣象學(xué)、混沌經(jīng)濟(jì)學(xué)、混沌數(shù)學(xué)等?；煦鐚W(xué)不僅極具研究?jī)r(jià)值，而且有現(xiàn)實(shí)應(yīng)用價(jià)值，能直接或間接創(chuàng)造財(cái)富。在過(guò)去20年中，混沌在工程系統(tǒng)中逐漸由被認(rèn)為僅僅是一種有害的現(xiàn)象轉(zhuǎn)變到被認(rèn)為是具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值的現(xiàn)象來(lái)加以探討。近年來(lái)的大量研究工作表明，混沌與工程技術(shù)聯(lián)系愈來(lái)愈密切，它在生物醫(yī)藥工程、動(dòng)力學(xué)工程、化學(xué)反應(yīng)工程、電子信息工程、計(jì)算機(jī)工程、應(yīng)用數(shù)學(xué)和實(shí)驗(yàn)物理等領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用前景?；煦绲木唧w的潛在應(yīng)用可概括如下11(1)優(yōu)化：利用混沌運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)性Z遍歷性和規(guī)律性尋找最優(yōu)點(diǎn)，可用于系統(tǒng)辨識(shí)、最優(yōu)參數(shù)設(shè)計(jì)等眾多方面。(2)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：將混沌與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相融合，使神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由最初的混沌狀態(tài)逐漸退化到

12、一般的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，利用中間過(guò)程混沌狀態(tài)的動(dòng)力學(xué)特性使神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逃離局部極小點(diǎn)，從而保證全局最優(yōu)，可用于聯(lián)想記憶、機(jī)器人的路徑規(guī)劃等。(3)圖像數(shù)據(jù)壓縮：把復(fù)雜的圖像數(shù)據(jù)用一組能產(chǎn)生混沌吸引子的簡(jiǎn)單動(dòng)力學(xué)方程代替，這樣只需記憶存儲(chǔ)這一組動(dòng)力學(xué)方程組的參數(shù)，其數(shù)據(jù)量比原始圖像數(shù)據(jù)大大減少，從而實(shí)現(xiàn)了圖像數(shù)據(jù)壓縮。(4)高速檢索：利用混沌的遍歷性可以進(jìn)行檢索，即在改變初值的同時(shí)，將要檢索的數(shù)據(jù)和剛進(jìn)入混沌狀態(tài)的值相比較，檢索出接近于待檢索數(shù)據(jù)的狀態(tài)。這種方法比隨機(jī)檢索或遺傳算法具有更高的檢索速度。(5)非線(xiàn)性時(shí)間序列的預(yù)測(cè)：任何一個(gè)時(shí)間序列都可以看成是一個(gè)由非線(xiàn)性機(jī)制確定的輸入輸出系統(tǒng)，如果不規(guī)則的運(yùn)動(dòng)

13、現(xiàn)象是一種混沌現(xiàn)象，則通過(guò)利用混沌現(xiàn)象的決策論非線(xiàn)性技術(shù)就能高精度地進(jìn)行短期預(yù)測(cè)。(6)模式識(shí)別：利用混沌軌跡對(duì)初始條件的敏感性，有可能使系統(tǒng)識(shí)別出只有微小區(qū)別的不同模式。(7)故障診斷：根據(jù)由時(shí)間序列再構(gòu)成的吸引子的集合特征和采樣時(shí)間序列數(shù)據(jù)相比較，可以進(jìn)行故障診斷。隨著混沌不同學(xué)科領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，混沌理論已經(jīng)日益成熟。但是還有很多問(wèn)題值得當(dāng)今的研究者們?nèi)ヅμ綄ぃ缛绾慰刂苹煦缇褪钱?dāng)下熱門(mén)的一個(gè)領(lǐng)域，不過(guò)這就涉及更深層次的問(wèn)題了，本文在此暫且不予討論。參考文獻(xiàn)1混沌EB/OL.(2014-03-18)2015-11-10.http:2混沌理論簡(jiǎn)介EB/OL.(2014-07-30)201

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