熵值法的原理及實(shí)例講解

1、嫡值法1.算法簡介燔值法是一種客觀賦權(quán)法，其根據(jù)各項(xiàng)指標(biāo)觀測值所提供的信息的大小來確定指標(biāo)權(quán)重。設(shè)有m個(gè)待評方案，n項(xiàng)評價(jià)指標(biāo)，形成原始指標(biāo)數(shù)據(jù)矩陣*=（七兀=，對于某項(xiàng)指標(biāo)X）,指標(biāo)值X”的差距越大，則該指標(biāo)在綜合評價(jià)中所起的作用越大：如果某項(xiàng)指標(biāo)的指標(biāo)值全部相等，則該指標(biāo)在綜合評價(jià)中不起作用。在信息論中，埼是對不確定性的一種度量。信息量越大，不確定性就越小，埼也就越小:信息最越小，不確定性就越大，燧也越大.根據(jù)燧的特性，我們可以通過計(jì)算尷值來判斷一個(gè)方案的隨機(jī)性及無序程度，也可以用燧值來判斷某個(gè)指標(biāo)的離散程度，指標(biāo)的離散程度越大，該指標(biāo)對綜合評價(jià)的影響越大！因此，可根據(jù)各項(xiàng)指標(biāo)的變異程度，

2、利用信息燔這個(gè)工H.計(jì)算出各個(gè)指標(biāo)的權(quán)重，為多指標(biāo)綜合評價(jià)提供依據(jù)！2.算法實(shí)現(xiàn)過程2.1 數(shù)據(jù)矩陣A=；：其中X"為第i個(gè)方案第j個(gè)指標(biāo)的數(shù)值x.X口】皿/nxm2.2 數(shù)據(jù)的非負(fù)數(shù)化處理由于墻值法計(jì)算采用的是各個(gè)方案某一指標(biāo)占同一指標(biāo)值總和的比值，因此不存在量綱的影響，不需要進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，若數(shù)據(jù)中有負(fù)數(shù)，就需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行非負(fù)化處理！此外，為了避免求焙值時(shí)對數(shù)的無意義，需要進(jìn)行數(shù)據(jù)平移：對于越大越好的指標(biāo)：Xmin(X1j,X力,XQ.X,=+1,1=1,2,，n;jJmax(Xlj,X2j,.,Xnj)-miii(Xlj,X2j,.,Xnj)對于越小越好的指標(biāo)：maxKjXzj

3、,一,%)-%.%=+1,1=1,2,11；j=1,2,，mJmax(X1j,X2j,，XGmm(XX，X.)為了方便起見，仍記非負(fù)化處理后的數(shù)據(jù)為X“2.3 計(jì)算第j項(xiàng)指標(biāo)下第i個(gè)方案占該指標(biāo)的比重片(j=l,2,-m)1=12.4 計(jì)算第j項(xiàng)指標(biāo)的煙值ej=-k*之PJog?),其中kO.ln為自然對數(shù)，e3>0=,式中常數(shù)k與樣本數(shù)in有關(guān),i=l一般令k=%1m，則OVeKl2.5 計(jì)算第j項(xiàng)指標(biāo)的差異系數(shù).對于第j項(xiàng)指標(biāo)，指標(biāo)值X”的差異越大，對方案評價(jià)的作用越大，焙值就越小gj=lYj,則：gj越大指標(biāo)越重要2.6 求權(quán)數(shù)Wj=,j=l,2mZgjj=l2.7 計(jì)算各方案的綜

4、合得分(i=U,.-n)j-i3,墻值法的優(yōu)缺點(diǎn)燧值法是根據(jù)各項(xiàng)指標(biāo)指標(biāo)值的變異程度來確定指標(biāo)權(quán)數(shù)的，這是一種客觀賦權(quán)法，避免了人為因素帶來的偏差，但由于忽略了指標(biāo)本身重要程度，行時(shí)確定的指標(biāo)權(quán)數(shù)會(huì)與預(yù)期的結(jié)果相差甚遠(yuǎn)，同時(shí)烯值法不能減少評價(jià)指標(biāo)的維數(shù)！理解精值法學(xué)習(xí)嫡值法，熔值法是一種理論的數(shù)學(xué)方法，從計(jì)算機(jī)科學(xué)角度上看，屬于一種算法。要運(yùn)用精值法當(dāng)然要理解它，搞懂它。牖值法原理：焙的概念源于熱力學(xué)，是對系統(tǒng)狀態(tài)不確定性的一種度量。在信息論中信息是系統(tǒng)有序程度的一種度量。而墻是系統(tǒng)無序程度的一種度量,兩者絕對值相等，但符號相反。根據(jù)此性質(zhì)，可以利用評價(jià)中各方案的固有信息，通過精值法得到各個(gè)指

5、標(biāo)的信息烯，信息熠越小，信息的無序度越低，其信息的效用值越大，指標(biāo)的權(quán)重越大。具體的方法步驟見附圖課件。燔是不確定性的度量，如果用Pj表示的j個(gè)信息不確定度（也即出現(xiàn)的概率）則破個(gè)信息（設(shè)有n個(gè)）的不確定度量也可用下式表示:S=-k£尸,ln(Py)這就是嫡。其中K為正常數(shù)，當(dāng)各個(gè)信息發(fā)生的概率相等時(shí)，即Pj=l/n,S取值最大，此府烯最大。可利用嫡信息的概念確定權(quán)重,假設(shè)多屬性決策矩陣如下：4xx24Xy.工”X、”Af=*一mLmlm2rnn.則用p=上(/m表示第7個(gè)成性下第i個(gè)方案4的貢獻(xiàn)度。 可以用百來表示所有方案對屬性%的貢獻(xiàn)總量：mE/=-KZ舄In明)其中，常數(shù)K=l

6、/ln(m),Utk就能保證O=EjV=l,即耳最夫?yàn)?。由式中可以看出,當(dāng)某個(gè)屬性下各方案的貢獻(xiàn)度趨于,致時(shí)，與趨廣1：特別是當(dāng)全相等時(shí)，也就可以不考慮該目標(biāo)而屈性在決策中的作用，也即此時(shí)屈性的權(quán)重:為零。這樣，可看出屬性值由所有方案差異大小來決定權(quán)系數(shù)的大小.為此可定義可為第/屈性卜各方案貢獻(xiàn)度公致性程度。dj=l-Ej 則各屬性權(quán)重助如下：JdI< 當(dāng)=0時(shí)，第j屬性可以就除，其權(quán)乖等于0。 如果決策者事先已有些經(jīng)驗(yàn)的主觀估計(jì)權(quán)幣A，則可借助上述的wj來對人進(jìn)行修正。Z7» 埼值法最大的特點(diǎn)是宜接利用決策矩陣所紇小的片兄計(jì)算權(quán)重，而沒有引入決策者的主觀判斷。利用Excel

7、進(jìn)行熔值法計(jì)算求解1. 給出算例，題干是購買教車的一個(gè)決策矩陣，給出了四個(gè)方案供我們進(jìn)行選擇，每個(gè)方案中均有相同的六個(gè)屬性，我們需要利用熠值法求出各屬性的權(quán)S,級在方案中的貢獻(xiàn)度。油耗功率費(fèi)用安全性維護(hù)性操作性本田51.46357奧迪9230759桑塔納81.81157別克122.5187552.一：求第j個(gè)屬性下第i個(gè)方案Ai的貢獻(xiàn)度，公式為附圖一，在excel中，先求出各列的和，然后用每行的數(shù)值比上列和，形成新的矩陣，如附圖2a2M=.可利用燧信息的概念確定權(quán)重，假設(shè)多屬性決策矩陣如下：4則用p=_A_IX)表示第/個(gè)屬性下第i個(gè)方案4的貢獻(xiàn)度。L油耗功率急用安全性維護(hù)性操作性?本田51.

8、463573奧迪9230759桑塔納81.8115755別克122.518755347.7652222267P矩陣30.1470390.181S18O.09230769O.136364O.227273O.2f192310.2647060.259740.46153«460.3181W20.2272730.3461540.2352940.233766。16923077O.2272730.31818?，192308120.3529410.3246750.276923080.3181820.2<3G."2S08）購買辛喬車決策矩陣3.求出所有方案對屬性Xj的貢獻(xiàn)總量，用附圖一

9、所示的算法。在excel操作中，將剛才生成的矩陣每個(gè)元素變成每個(gè)元素與該In（元素）的積，如附圖2所示。可以用馬來表示所有方案對屬性%的貢獻(xiàn)總量：m馬=-K1與In代）其中，常數(shù)K=l/ln（m）,武需，就能保證OKEfj即Ej最大為L由式中可以看出，當(dāng)某個(gè)屬性下各方案的貢獻(xiàn)度趨于一致時(shí)，鳥趨于1;特別是當(dāng)全相等時(shí)，也就可以不考慮該目標(biāo)的屬性在決策中的作用，也即此時(shí)屬性的權(quán)重為零。0.1470590.1818180.092307690.1363640.2272730.2692310.2647060.259740.461538460.3181820.2272730.3461540.2352940

10、.2337660.169230770.2272730.3181820.1923080.3529410.3246750.276923080.3181820.2272730.1923081J1-0.2819-0.30995-0.2199349-0.2717-0.33673-0.35328-0.35183-0.35015-0.3568569-0.36436-0.33673-0.367220.34045-0.33976-0.3006371-0.33673-0.3643C-0.31705-0.36757-0.36524-0.3555735-0.36436-0.33673-C.317054. 求出常數(shù)k,

11、k為1/ln（方案數(shù)）,本例中有4個(gè)方案，4中車的類型，所以求得k為0.721348,再求k與新矩陣每一列和的乘積，這樣獲得的6個(gè)積為所有方案對屬性xj的貢獻(xiàn)度。至此所有的Ej就求出來了。-0.2819-0.30995-0.2199349-0.2717-0.33673-0.35328-0.35183-0.35015-0.3568569-0.36436-0.33673-0.36722-0.34045-0.339760.3006371-0.33673-0.36436-0.31705-0.36757-0.36524-0.3555735-0.36436-0.33673-0.31705-1.34175-

12、1.3651-1.2330024-1.33714-1.37455-1.354615. dj為第j屬性下各方案貢獻(xiàn)度的一致性程度。dj=l-Ej,利用上面求得的Ej,可以得到djCl9Ej=0.9678710.9847140.889423210.9645450.9915250.9771410Dj=0.0321290.0152860.110576790.0354550.0084750.0228596. 各屬性權(quán)重為對應(yīng)的dj與所有dj和的商©dj的和為0.22478,求得各89Ej=0DJ=1力之34屬性的權(quán)重為0.140.070.490.160.040.100.9678710.9847140.889423210.9645450.9915250.9771410.0321290.0152860.110576790.0354550.0084750.0228590.224787.【二二工二工Q?Q.9QQ'Q】所以在購買汽車時(shí)，據(jù)所提供信息，利用燧