貝特朗悖論(幾何概型).doc

1、一個(gè)幾何概型試題的題源探究中學(xué)教研2010年第09期第38頁(yè)福建中學(xué)數(shù)學(xué)2010年第05期第23頁(yè)1題目點(diǎn)A為周長(zhǎng)等于3的圓周上的一個(gè)定點(diǎn)，若在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)B，則劣弧AB的長(zhǎng)度小于1的概率為.（2009年福建省數(shù)學(xué)高考文科試題）解：如圖1,另一端點(diǎn)B只能在優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)，因此所求概率為BB優(yōu)弧長(zhǎng)2P=1_2=.圓周長(zhǎng)3B2題源圖22.1源于歷史名題初看此題以為是數(shù)學(xué)史上得一個(gè)經(jīng)典的悖論貝特朗悖論，其實(shí)這是一個(gè)根據(jù)貝特朗悖論改編的題目.貝特朗悖論：“在半徑為1的圓周上任取兩點(diǎn)，連成一條弦，問弦長(zhǎng)超過其內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)的概率是多少？”從不同方向考慮這道試題，可得不同結(jié)果：解法1如圖2,滿足條件

2、得弦為AP.不失一般性，先固定其中一點(diǎn)A于圓周上，則另一端點(diǎn)P只能在弧BC上運(yùn)動(dòng),因此所求概率P=BC=1圓周長(zhǎng)=3解法2如圖3,應(yīng)用對(duì)稱性可預(yù)先固定直徑AB，點(diǎn)C,D為AB的四等分點(diǎn)作垂直于直徑AB的弦，若弦長(zhǎng)要大于內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)，則半弦長(zhǎng)£,于是弦心距2，即弦的中點(diǎn)須在線段CD上運(yùn)動(dòng)（弦中點(diǎn)與弦對(duì)應(yīng)），故所求概率為p=cb=1AB2B圖3CA人2f、21、圖4解法3如圖4所示，弦長(zhǎng)要大于內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)，則半弦長(zhǎng)£，于是弦心距2,即弦中點(diǎn)必須在以o為圓心、半徑為2的圓內(nèi)或圓上，故所求概率p=42兀4這導(dǎo)致同一事件有不同概率，因此為悖論.同一問題有3中不同的答案，原因在

3、于取弦時(shí)采取不同的等可能性假設(shè)！解法1假設(shè)端點(diǎn)在圓周上是均勻分布的；解法2假設(shè)弦中點(diǎn)在直徑上是均勻分布的；解法3是假設(shè)弦的中點(diǎn)在圓內(nèi)是均勻分布的.這3種解答是針對(duì)3種不同的隨機(jī)試驗(yàn)，對(duì)于各自的隨機(jī)試驗(yàn)而言，它們都是正確的.因此，在試驗(yàn)術(shù)語(yǔ)“隨機(jī)”、“等可能”、“均勻分布”等時(shí)，應(yīng)明確指明其含義，這又因試驗(yàn)而異.幾何概率是19世紀(jì)末新發(fā)展起來的一門學(xué)科，使很多概率問題的解決變得簡(jiǎn)單而不用運(yùn)用微積分的知識(shí)。然而，1899年，法國(guó)學(xué)者貝特朗提出了所謂“貝特朗悖論”（亦稱”貝特朗怪論“），矛頭直指幾何概率概念本身.悖論提出后，在數(shù)學(xué)界引起很大震動(dòng)，促使數(shù)學(xué)家理性反思概率論的基礎(chǔ)理論.1932，這個(gè)問題

4、才由前蘇聯(lián)的數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫解決，他在其經(jīng)典的著作概率論基礎(chǔ)中建立了在測(cè)度論的基礎(chǔ)上的概率論公理系統(tǒng)，從而把概率論建立在完全嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之上貝特朗悖論貝特朗概率悖論是一個(gè)著名的悖論題，與其他的集合悖論不一樣，這個(gè)悖論只是我們看起來“錯(cuò)”而已，也并沒有像集合悖論一樣帶來一次數(shù)學(xué)危機(jī)，正確審視它，就是讓我們對(duì)“幾何概型”這一概念更加地深入了解而已.“貝特朗悖論問題”：在半徑為1的圓內(nèi)隨機(jī)地取一條弦，則其長(zhǎng)超過該圓內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)的概率是多少？取單位圓O，門O的內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)等于：3，取門O的任一弦長(zhǎng)AB，記“AB爲(wèi)”B圖2解法1因?yàn)橄议L(zhǎng)只和它與圓心的距離有關(guān)，而與方向無(wú)關(guān)，因此不妨固定弦

5、的方向，考慮弦AB與垂直于它的直徑PQ的交點(diǎn)G,分別以P,Q為一個(gè)頂點(diǎn)作圓內(nèi)接正三角形，這兩個(gè)正三角形的邊與PQ分別交于點(diǎn)M,N，交點(diǎn)G位于MN上時(shí)(如圖1)，有弦AB>J3，否則AB.由于MN=1PQ，P(A)=22解法2任何弦都交圓周于兩點(diǎn)，不失一般性，不妨固定弦的一端A于圓上，以此點(diǎn)位頂點(diǎn)作一圓內(nèi)接正三角形AAPQ，弦的另一端B在圓周上“隨機(jī)地”變動(dòng)(如圖2)，當(dāng)B點(diǎn)落在ZPAQ所夾弧上時(shí)，有弦AB>J3，否則AB/，PQ的長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的-,P(A)=-.解法3因?yàn)橄议L(zhǎng)被中點(diǎn)唯一確定，在圓內(nèi)“隨機(jī)地”取一點(diǎn)P作為弦AB的中點(diǎn)，若OP<*，則弦AB>斗3，否則AB二爲(wèi)

6、，故點(diǎn)P在以O(shè)為圓心，2為半徑的圓內(nèi)(如圖3)，而小圓的面積=大圓面積的;，二P(A)=.44幾何概率是十九世紀(jì)末新發(fā)展起來的一門學(xué)科，使很多概率問題的解決變得簡(jiǎn)單而不用運(yùn)用微積分的知識(shí)。然而，1899年，法國(guó)學(xué)者貝特朗提出了所謂“貝特朗悖論”（亦稱”貝特朗怪論“），矛頭直指幾何概率概念本身.在一給定圓內(nèi)所有的弦中任選一條弦,求該弦的長(zhǎng)度長(zhǎng)于圓的內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)的概率.取單位圓O，口O的內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)等于7亍,取口O的任一弦長(zhǎng)AB,記“AB運(yùn)”2兀4兀1. L,如果,其發(fā)生的概率為112. L空3,如果r2,其發(fā)生的概率為2-3-L再，如果（x,y）在半徑為2的圓內(nèi)，其發(fā)生的概率為4-悖論

7、分析1）由于對(duì)稱性，可預(yù)先固定弦的一端。僅當(dāng)弦與過此端點(diǎn)的切線的交角在60120之o01間，其長(zhǎng)才合乎要求所有方向是等可能的，則所求概率為3此時(shí)假定端點(diǎn)在圓周上均勻分布.132）由于對(duì)稱性，可預(yù)先指定弦的方向作垂直于此方向的直徑，只有交直徑于丁點(diǎn)與丁441點(diǎn)間的弦，其長(zhǎng)才大于內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)。所有交點(diǎn)是等可能的，則所求概率為2此時(shí)假定弦的中心在直徑上均勻分布.3）弦被其中點(diǎn)位置唯一確定.只有當(dāng)弦的中點(diǎn)落在半徑縮小了一半的同心圓內(nèi)，其長(zhǎng)1才合乎要求.中點(diǎn)位置都是等可能的，則所求概率為此時(shí)假定弦長(zhǎng)被其中心唯一確定4這導(dǎo)致同一事件有不同概率，因此為悖論幾何概率是十九世紀(jì)末新發(fā)展起來的一門學(xué)科，使很多

8、概率問題的解決變得簡(jiǎn)單而不用運(yùn)用微積分的知識(shí)。在19世紀(jì)，人們一度認(rèn)為任何概率問題都有唯一的解答。然而，1899年，法國(guó)學(xué)者貝特朗(JosephBertrand)提出了所謂“貝特朗悖論”，矛頭直指一些數(shù)學(xué)基本概念。貝特朗的這個(gè)悖論以及他的概率論對(duì)幾何概率的不確定性提出的批評(píng)，促使概率論向公理化方向發(fā)展。然而，人類也因此再一次錯(cuò)失了一次糾偏的大好時(shí)機(jī)！在半徑為1的圓內(nèi)的所有弦中任選一條弦，求該弦的長(zhǎng)度長(zhǎng)于圓的內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)的概率.解法一：由于對(duì)稱性，可預(yù)先固定弦的一端。僅當(dāng)弦與過此端點(diǎn)的切線的交角在60120之間，其00長(zhǎng)才合乎要求。所有方向是等可能的，則所求概率為1.解法二：由于對(duì)稱性，可預(yù)

9、先指定弦的方向。作垂直于此方向的直徑，只有交直徑于1點(diǎn)與3點(diǎn)間的44弦，其長(zhǎng)才大于內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)。所有交點(diǎn)是等可能的,則所求概率為2.解法三：弦被其中點(diǎn)位置唯一確定。只有當(dāng)弦的中點(diǎn)落在半徑縮小了一半的同心圓內(nèi)，其長(zhǎng)才合乎要1求。中點(diǎn)位置都是等可能的，則所求概率為丁.4三個(gè)看似都有道理的解法卻得到了不同的結(jié)果，所以我們稱其為paradox。其實(shí)，這些結(jié)果都是對(duì)的。因?yàn)樗鼈儾捎昧瞬煌牡瓤赡苄约俣ǎ航夥ㄒ患俣ǘ它c(diǎn)在圓上均勻分布；解法二假定半徑在圓內(nèi)均勻分布以及弦的中點(diǎn)在半徑上均勻分布；解法三假定弦的中點(diǎn)在圓內(nèi)均勻分布.這三種解法針對(duì)三種不同的隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，對(duì)于各自的隨機(jī)實(shí)驗(yàn)它們都是正確的.現(xiàn)在，如果

10、我們假定弦的中點(diǎn)在圓內(nèi)均勻分布。那么前兩種假設(shè)中弦的中點(diǎn)便不是均勻分布了.它們的分布情況如下：解法一的弦中點(diǎn)分布：從貝特朗的這個(gè)悖論，我們可以清醒地看到數(shù)學(xué)家們對(duì)點(diǎn)的分布狀態(tài)影響問題的結(jié)果是有認(rèn)識(shí)的！事實(shí)上，貝特朗悖論告訴了我們一個(gè)很淺顯的道理：我們?cè)诮鉀Q一個(gè)問題之前，就應(yīng)該設(shè)定點(diǎn)的分布狀態(tài)。然而，遺憾的是數(shù)學(xué)家們不去反省由此悖論反應(yīng)出來的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是否牢固，而總是弄出一大堆理論來試圖亡羊補(bǔ)牢。說句不好聽的話，數(shù)學(xué)的公理化是什么？就是如果你說的一大堆謬論沒有自相矛盾，那么恭喜你，你創(chuàng)造了一套理論.現(xiàn)在問題來了！數(shù)學(xué)中我們經(jīng)常所說的“點(diǎn)”究竟是什么？平面或者空間中點(diǎn)的分布狀態(tài)到底是怎么樣的？我們一般傾向于假設(shè)點(diǎn)在平面或者空間是均勻分布的，但是“均勻”這個(gè)詞并不能表達(dá)所有，是在每個(gè)方向上是均勻的嗎？在每條直線上的密度是一樣的嗎？我們能建立直角坐標(biāo)系嗎？如果我們建立了直角坐標(biāo)平面xOy，那么就等于宣布了平面上的點(diǎn)在x軸和y軸方向上都是均勻的，而且在X軸和y軸上的“密度”是相同的！我們?cè)谙蜃约旱膶W(xué)生講授函數(shù)知識(shí)的時(shí)候，總是說單調(diào)函數(shù)是從定義域A到值域B上的一一對(duì)應(yīng)。果真是這樣嗎？下面我也仿照貝特朗悖論，提出下面一個(gè)悖論：首先我們假設(shè)平面內(nèi)的點(diǎn)在x軸和y軸上都是均勻分布的，這個(gè)大家沒有意見吧？！給定一(x,0<x<1個(gè)分段函數(shù)：y=f。這是一個(gè)單調(diào)函數(shù)，按照數(shù)