等腰三角形三線合一專題練習(xí)[1]

1、例1：如圖，四邊形ABCD中，ABDC,BE、CE分別平分ZABC、ZBCD，且點(diǎn)E在AD上。求證：BC=AB+DC。D變1：如圖，ABIICD,ZA=90°,AB=2,BC=3,CD=1,E是AD邊中點(diǎn)。求證：CE丄BE。變2：如圖，四邊形ABCD中，ADBC,E是CD上一點(diǎn)，且AE、BE分別平分ZBAD、ZABC.(1)求證：AE丄BE；(2)求證：E是CD的中點(diǎn)；(3)求證：AD+BC=AB.變3：ABC是等腰直角三角形,ZBAC=90°AB=AC.(l)若D為BC的中點(diǎn)，過D作DM丄DN分別交AB、AC于M、N,求證：(1)DM=DN。A若DM丄DN分別和BA、AC

2、延長線交于M、N。問DM和DN有何數(shù)量關(guān)系。(1)已知：如圖，AB=AC,E為AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AC延長線上一點(diǎn)，且BE=CF,EF交BC于點(diǎn)D.求證：DE=DF已知：如圖，AB=AC,E為AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AC延長線上一點(diǎn)，且，EF交BC于點(diǎn)D,且D為EF的中點(diǎn)求證：BE=CF利用面積法證明線段之間的和差關(guān)系1、如圖，在ABC中，AB=AC，P為底邊BC上的一點(diǎn)，PD丄AB于D，PE丄AC于E，CF丄AB于F,那么PD+PE與CF相等嗎變1：若P點(diǎn)在直線BC上運(yùn)動(dòng)，其他條件不變，則PD、PE與CF的關(guān)系又怎樣，請(qǐng)你作圖，證明。1、已知等腰三角形的兩邊長分別為4、9,則它的周長為（）A17B22C

3、17或22D13根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)尋求規(guī)律1.在AABC中，AB=AC,Z1=2ZABC,1Z2=2ZACB,BD與CE相交于點(diǎn)0,如圖，ZB0C的大小與ZA的大小有什么關(guān)系11若Z1=3ZABC,Z2=3ZACB，貝ZB0C與ZA大小關(guān)系如何11若Z1=ZABC,Z2=ZACB，貝ZBOC與ZA大小關(guān)系如何nn會(huì)用等腰三角形的判定和性質(zhì)計(jì)算與證明例2.如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC,一腰上的中線BD0將這個(gè)等腰三角形周長分成15和6兩部分，求這個(gè)三角形的腰長及底邊長.利用等腰三角形的性質(zhì)證線段相等例3.如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連結(jié)PA、PB、PC,以BP為邊作ZPBQ=6

4、0°，且BQ=BP,連結(jié)CQ；（1）觀察并猜想AP與CQ之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.（2）若PA：PB：PC=3：4：5,連結(jié)PQ,試判斷APQC的形狀，并說明理由.例1、等腰三角形底邊長為5cm，腰上的中線把三角形周長分為差是3cm的兩部分，則腰長為（）A、2cmB、8cmC、2cm或8cmD、不能確定例2、已知ADABC的高，AB=AC，ABC周長為20cm，ADC的周長為14cm，求AD的長。*例3、如圖，已知BC=3，ZABC和ZACB的平分線相交于點(diǎn)0,0EAB,0FAC,求厶0EF的周長。例4、如圖，已知等邊ABC中，D為AC上中點(diǎn)，延長BC到E,使CE=CD，連接D

5、E,試說明DB=DE。例5、等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角為45o,則這個(gè)三角形是（）A、銳角三角形B、鈍角三角形C、等邊三角形D、等腰直角三角形例6、（1）等腰三角形的腰長為10,底邊上的高為6,則底邊的長為?！浚?）直角三角形的周長為12cm，斜邊的長為5cm，則其面積為（3）若直角三角形三邊為1，2，c,則c=。例7、下列說法：若在ABC中a2+b2C2，貝ABC不是直角三角形； 若AABC是直角三角形，ZC=9Oo,則a2+b2=C2； 若在AABC中，a2+b2=C2,則ZC=9Oo； 若兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，可以判定這個(gè)三角形是直角三角形。正確的有（把你認(rèn)為正確的序號(hào)填

6、在橫線上）。例8、正三角形ABC所在平面內(nèi)有一點(diǎn)P,使得PAB、APBC、APCA都是等腰三角形，則這樣的P點(diǎn)有（）（A）1個(gè)（B）4個(gè)（C）7個(gè)（D）10個(gè)例9.四邊形ABCD中，AB=BC,ZABC=ZCDA=90°,BE±AD于點(diǎn)E,且四邊形ABCD的面積為8,則BE=（）A.2B.3C.2J2d.2、；3例10.已知ABC為正三角形，P為其內(nèi)一點(diǎn)，且AP=4,BP=2打,CP=2，則ABC的邊長為（）(A)2頁(B)21(C)4(D)4*2%三.鞏固練習(xí)1、已知等腰三角形的一邊等于5,另一邊等于9,求它的周長。2、在厶ABC中，AB=AC,ZB=400,則ZA=。3

7、、等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是700,則它的頂角為。4、有一個(gè)內(nèi)角為40°的等腰三角形的另外兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為.140°呢5、如圖，在RtABC中，ZC=105。，直線BD交AC于D,把直角三角形沿著直線BD翻折，點(diǎn)C恰好落在斜邊AB上,如果ABD是等腰三角形，那么ZA等于（）（A）40o（B）30o（C）25o（D）15o6、若AABC三邊分別為a、b、c,且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,則厶ABC的形狀為（）（A）等腰三角形（B）直角三角形（C）等腰直角三角形（D）等邊三角形7、判定兩個(gè)等腰三角形全等的條件可以是（）。A、有一腰和一角對(duì)應(yīng)相等B、有兩邊對(duì)應(yīng)相等

8、C、有頂角和一個(gè)底角對(duì)應(yīng)相等D、有兩角對(duì)應(yīng)相等8、等腰三角形一腰上的高線與底邊的夾角等于（）A、頂角B、底角C、頂角的一半D、底角的一半9、在等腰三角形ABC中，ZA與ZB度數(shù)之比為5:2，則ZA的度數(shù)是（）A、100°B、75°C、150°D、75°或100°10、如圖，P、Q是AABC邊BC上的兩點(diǎn)，且QC=AP=AQ=BP=PQ，貝ZBAC=-（）A、1250B、1300C、900D、120011、如圖，AABC中，AB=AC,BD、CE為中線，圖中共有等腰三角形（）個(gè)。10題圖A、4個(gè)B、6個(gè)C、11題圖12、如圖，AB=AC,AE=E

9、C,ZACE=28o，則ZB的度數(shù)是)()A、600B、700C、760D、45013、如圖是一個(gè)等邊三角形木框，甲蟲P在邊框AC上（端點(diǎn)A、C除外），設(shè)甲蟲P到另外兩邊距離之和為d,等邊三角形ABC的高為h,則d與h的大小關(guān)系是（）解題方法指導(dǎo)】例1.已知，如圖，AB=AC=CD，求證：ZB=2ZD例2.已知，如圖，AABC是等邊三角形，AD2005年蘇州）如圖，等腰三角形ABC的頂角為120°,腰長為10,則底邊上的高AD=】例2.已知，如圖，AABC中，ZC=90°,AB的垂直平分線交AB于E,交AC于D，AD=8，ZA=30°，求CD的長。例3.已知，如圖

10、，ABC是等邊三角形，E是AB上一點(diǎn)，D是AC上一點(diǎn)，且AE=CD，又BD與CE交于點(diǎn)F,試求ZBFE的度數(shù)。綜合測(cè)試】1.已知，如圖，AB=AC,ZABD=ZACD，求證：DB=DCC2.已知，如圖，D、E是BC上兩點(diǎn)，AB=AC,AD=AE，求證：BD=CE3.已知，如圖，ABC中，DE已知，如圖，AABC中，AB=AC,是AB上一點(diǎn)，E是AC延長線上一點(diǎn)，DE交BC于F,又BD=CE，求證：DF=EF5.已知，如圖，D是BC上一點(diǎn)，ABC'BDE都是等邊三角形，求證：AD=CE6.已知，如圖，AABC中，ZB=90°,AC的垂直平分線交AC于D,交BC于E,又ZC=15

11、°,EC=10，求AB的長。例6、如圖11,在AABC中，ZA=90°，AB=AC，D為BC邊中點(diǎn)，E、F分別在AB、AC上，且DE丄DF，求證：AE+AF是一個(gè)定值.證明：連接AD，VAB=AC，D為BC中點(diǎn)，.'.AD丄BC,（VZBAC=90°,AB=AC,AZB=ZC=45°,.ZBAD=45°,ZCAD=45°,.AD=BD=CD,A圖11VZEDF=90°,AZEDA+ZADF=90°,又由AD丄BC得ZBDE+ZADE=90°,AZBDE=ZADF,在bde和adf中,zb=zdaf

12、,bd=ad,zbde=zadf,.bdeAadf,.be=af,ae+af=ae+be=ab（定值）.思考：四邊形AEDF的面積是否也是定值呢為什么例4、如圖9,已知ADABC的高，E為AC上一點(diǎn),BE交AD于F,且有BF=AC,FD=CD,你認(rèn)為BE與AC之間有怎樣的位置關(guān)系你能證明它嗎證明：線段BE丄AC,理由如下：TAD丄BC,ZADB=ZADC=90°,.ZFBD+ZBFD=90°,在RtBDF和RtADC中，BF=AC,FD=CD,RtBDFRtADC,?.ZBFD=ZC,AZFBD+ZC=90°,卩卩BE丄AC.M是AB上一點(diǎn)，求證：AM2+BM2=

13、2CM2圖10?.ZBEC=180°-(ZFBD+ZC)=180°-90°=90°,例5、如圖10,在厶ABC中,ZACB=90°,AC=BC,證明：過C作CD丄AB于點(diǎn)D,VZACB=90°,AC=BC,CD丄AB,AZA=ZB=45°,ZACD=ZBCD=45°,(AZA=ZACD,ZB=ZBCD,.AD=BD,BD=CD,即卩AD=BD=CD,VCD丄AB,.DM2+CD2=CM2,.AM2+BM2二(AD-DM)2+(BD+DM)2二2(DM2+CD2)二2CM2.思考：請(qǐng)同學(xué)們?cè)囋囉昧硗獾姆椒▉碜C明本題.

14、例1、如圖5,在AABC中，AB=AC,點(diǎn)O在厶ABC內(nèi)，OB=OC，求證：A0丄BC.圖5證明：延長AO交BC于點(diǎn)D,VAB=AC,OB=OC,OA=OA,.ABOACO,?.ZBAO=ZCAO，即ZBAD=ZCAD,.AD丄BC,卩卩AO丄BC.EBCFD圖6例2、如圖6,在等邊ABC中，D、E分別在邊BC、BA的延長線上，且AE=BD,求證：CE=DE.證明：過E作EF丄CD于點(diǎn)F,.ABC是等邊三角形，.ZB=60°,.ZBEF=30°,.BE=2BF,即BA+AE=BC+BD=2BC+CD=2（BC+CF）,.CD=2CF,ACF=DF,在ACEF和ADEF中，C

15、F=DF,ZCFE=ZDFE=90°,EF=EF,.CEF竺DEF,CE=DE例3、如圖7,已知在AABC中，AB=AC,P為底邊BC上任意一點(diǎn)，PD丄AB于點(diǎn)D,PE丄AC于點(diǎn)E,解：連接AP,過點(diǎn)C作CF丄AB于點(diǎn)F,圖7求證：PD+PE是一個(gè)定值.11由S=AB-CF,S=AB-PD,AABC2APAB211S=AC-PE=AB-PE,S=S+SAPAC22AABCAPABAPAC111得：一AB-CF=AB-PD+AB-PE,222即，PD+PE=CF（定值）.說明：本例的結(jié)論可用文字語言敘述為：等腰三角形底邊上一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于腰上的高.其它條件保持不變，那么PD與P

16、E之間又有拓展：如果點(diǎn)P不是在邊BC上,而是在BC的延長線上,怎樣的關(guān)系呢解：連接AP,過點(diǎn)C作CF丄AB于點(diǎn)F,(如圖8)由SAABCSAPAC11=AB-CF,S=AB-PD,2APAB211=AC-PE=AB-PE,22=SS，APABAPAC11得：一AB-CF=_AB-PDAB-PE,22SAABC1P即,PDPE=CF（定值）.即,當(dāng)點(diǎn)P在BC延長線上時(shí),PD與PE之差為一定值.基礎(chǔ)訓(xùn)練：1、填空題：(1) 等腰三角形中,如果底邊長為6,一腰長為8,那么周長?！?2) 如果等腰三角形有一邊長是6,另一邊長是8,那么它的周長;如果等腰三角形的兩邊長分別是4、8,那么它的周長是。(3)

17、 等腰三角形的對(duì)稱軸最多有條。2、填空題：(1) 如果AABC是等腰三角形，那么它的邊長(或周長)可以是()A、三條邊長分別是5，5，11B、三條邊長分別是4，4，8C、周長為14,其中兩邊長分別是4,5D、周長為24,其中兩邊長分別是6,12(2) 等腰三角形一邊長為2，周長為5，那么它的腰長為()A、3B、2C、D、2或3、已知等腰三角形的腰長是底邊的3倍，周長為35cm,求等腰三角形各邊的長。4、已知：如圖，AD平分ZBAC,AB=AC,請(qǐng)你說明ADBC是等腰三角形。x+2y=43x+y=75、已知等腰三角形的底邊和一腰長是方程組的解，求這個(gè)三角形的各邊長。(1) 等腰三角形的頂角平分線

18、、.、互相重合。(2) 等腰三角形有一個(gè)角是120°，那么其他兩個(gè)角的度數(shù)和。(3) ABC中，ZA=ZB=2ZC,那么ZC=。(4) 在等腰三角形中，設(shè)底角為x°,頂角為y°,則用含x的代數(shù)式表示y,得y=；用含y的代數(shù)式表示x,得x=。2、選擇題：(1) 等腰三角形的一個(gè)外角為140°,那么底角等于()#A、40°B、100°C、70°D、40°或70°(2) 等腰三角形一腰上的高線與底邊的夾角等于()A、頂角B、底角C、頂角的一半D、底角的一半(3) 在等腰三角形ABC中，ZA與ZB度數(shù)之比為5:2，則ZA的度數(shù)是()A、100°B、75°C、150°D、75°或100°(4) 等腰三角形ABC中，AB=AC,AD是角平分線，則“AD丄BC，BD=DC,ZB=ZC，ZBAD=ZCAD”中，結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()A、4B、3C、2D、13、如圖，已知ABC中，D在BC上,AB=AD=DC,ZC=20。，求ZBAD。BDC4、如圖，已知AABC中，點(diǎn)D、E在BC上,AB=AC,AD=AE。請(qǐng)說明BD=CE的理由。1、填空題：(1)在厶ABC中，ZA的相鄰?fù)饨鞘?10°，要使AABC是等腰三角形，則ZB=(2) 在一個(gè)三角