第六章三角函數(shù)(高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽標(biāo)準(zhǔn)教材)

1、第六章三角函數(shù)（高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽標(biāo)準(zhǔn)教材）第六章三角函數(shù)一、基礎(chǔ)知識(shí)定義1角，一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的圖形叫做角。若旋轉(zhuǎn)方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较颍瑒t角為正角，若旋轉(zhuǎn)方向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较?，貝y角為負(fù)角，若不旋轉(zhuǎn)則為零角。角的大小是任意的。定義2角度制，把一周角360等分，每一等價(jià)為一度，弧度制：把等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做一弧度。360度=2n弧度。若圓心角的弧長(zhǎng)為L(zhǎng),則其弧度數(shù)的絕對(duì)值|a|=,其中r是圓的半徑。定義3三角函數(shù)，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，把角a的頂點(diǎn)放在原點(diǎn)，始邊與X軸的正半軸重合，在角的終邊上任意取一個(gè)不同于原點(diǎn)的點(diǎn)P,設(shè)它的坐標(biāo)為，至U原點(diǎn)的距離為r,則正弦函數(shù)sina=,余弦函數(shù)co

2、sa=,正切函數(shù)tana=，余切函數(shù)cota=，正割函數(shù)seca=,余割函數(shù)CSCa=定理1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，倒數(shù)關(guān)系：tana=,sina=,cosa=;商數(shù)關(guān)系：tana=;乘積關(guān)系：tanaxcosa=sina,cotaxsina=cosa;平方關(guān)系：sin2a+cos2a=1,tan2a+1=sec2a,cot2a+1=csc2a.定理2誘導(dǎo)公式sin=-sina,cos=-cosa,tan=tana,cot=cota;sin=-sina,cos=cosa,tan=-tana,cot=cota;sin=sina,cos=-cosa,tan=-tana,cot=-cota;sin

3、=cosa,cos=sina,tan=cota。定理3正弦函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)圖象可得y=sinx的性質(zhì)如下。單調(diào)區(qū)間：在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，最小正周期為2.奇偶數(shù).有界性：當(dāng)且僅當(dāng)x=2x+時(shí)，y取最大值1,當(dāng)且僅當(dāng)x=3-時(shí),y取最小值-1。對(duì)稱性：直線x=+均為其對(duì)稱軸，點(diǎn)均為其對(duì)稱中心，值域?yàn)椴?，1。這里Z.定理4余弦函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)圖象可得y=cosx的性質(zhì)。單調(diào)區(qū)間：在區(qū)間2n,2n+n上單調(diào)遞減，在區(qū)間2n-n,2n上單調(diào)遞增。最小正周期為2n。奇偶性：偶函數(shù)。對(duì)稱性：直線x=n均為其對(duì)稱軸，點(diǎn)均為其對(duì)稱中心。有界性：當(dāng)且僅當(dāng)x=2n時(shí)，y取最大值1;當(dāng)且僅當(dāng)x=2n

4、-n時(shí)，y取最小值-1。值域?yàn)?1,1。這里Z.定理5正切函數(shù)的性質(zhì)：由圖象知奇函數(shù)y=tanx在開(kāi)區(qū)間上為增函數(shù)，最小正周期為n，值域?yàn)?，點(diǎn)，均為其對(duì)稱中心。定理6兩角和與差的基本關(guān)系式：cos=cosacosBsinasinB,sin=sinacosBcosasinB;tan=定理7和差化積與積化和差公式：sina+sinB=2sincos,sina-sinB=2sincos,cosa+cosB=2coscos,cosa-cosB=-2sinsin,sinacosB=sin+sin,cosasinB=sin-sin,cosacosB=cos+cos,sinasinB=-cos-cos.定理

5、8倍角公式:sin2a=2sinacosa,cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a,tan2a=定理9半角公式：sin=,cos=,tan=定理10萬(wàn)能公式:,定理11輔助角公式：如果a,b是實(shí)數(shù)且a2+b20，則取始邊在x軸正半軸，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)的一個(gè)角為B，則sinB=,cosB=，對(duì)任意的角a.asina+bcosa=sin.定理12正弦定理：在任意ABc中有，其中a,b,c分別是角A,B,c的對(duì)邊，RABc外接圓半徑。定理13余弦定理：在任意ABc中有a2=b2+c2-2bcosA,其中a,b,c分別是角A,B,c的對(duì)邊。定理14圖象之間的關(guān)系：y=sinx

6、的圖象經(jīng)上下平移得y=sinx+的圖象；經(jīng)左右平移得y=sin的圖象；縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，得到y(tǒng)=sin的圖象；橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A倍，得到y(tǒng)=Asinx的圖象；y=Asin的圖象；橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A倍，得到y(tǒng)=Asinx的圖象；y=Asin的圖象向右平移個(gè)單位得到y(tǒng)=Asinx的圖象。定義4函數(shù)y=sinx的反函數(shù)叫反正弦函數(shù)，記作y=arcsinx，函數(shù)y=cosx的反函數(shù)叫反余弦函數(shù)，記作y=arccosx.函數(shù)y=tanx的反函數(shù)叫反正切函數(shù)。記作y=arctanx.y=cosx的反函數(shù)稱為反余切函數(shù)，記作y=arccotx.定理15三角方程的解集，如果

7、a，方程sinx=a的解集是x|x=nn+narcsina,nZ。方程cosx=a的解集是x|x=2xarccosa,Z.如果aR方程tanx=a的解集是x|x=n+arctana,Z。恒等式：arcsina+arccosa=;arctana+arccota=.定理16若，則sinx-1，所以cos,所以sin<0,又00,所以cos>sin.若，貝U因?yàn)閟inx+cosx=sin<cos=sin.綜上，當(dāng)x時(shí)，總有cosO,求證：【證明】若a+B>，貝Ux>0,由a>-B>0得cosasin=cosB,所以0cos=sinB>0,所以>1

8、。又01,所以，得證。注：以上兩例用到了三角函數(shù)的單調(diào)性和有界性及輔助角公式，值得注意的是角的討論.最小正周期的確定。例4求函數(shù)y=sin的最小正周期?！窘狻渴紫?，T=2n是函數(shù)的周期；其次，當(dāng)且僅當(dāng)x=n+時(shí)，y=0,所以若最小正周期為T(mén)0,貝UT0=n,N+,又sin=sin2sin，所以T0=2n。.三角最值問(wèn)題。例5已知函數(shù)y=sinx+，求函數(shù)的最大值與最小值?！窘夥ㄒ弧苛顂inx=,則有y=因?yàn)?，所以，所以w1,所以當(dāng)，即x=2n-時(shí)，yin=0,當(dāng)，即x=2n+時(shí)，yax=2.【解法二】因?yàn)閥=sinx+,=2,且|sinx|w1w,所以0wsinx+w2,所以當(dāng)=sinx，即x

9、=2n+時(shí),yax=2,當(dāng)=-sinx，即x=2n-時(shí),yin=0。例6設(shè)00,cos>0.所以sin=2sin?cos2=w=當(dāng)且僅當(dāng)2sin2=cos2,即tan=,=2arctan時(shí)，sin取得最大值。例7若A,B,c為厶ABc三個(gè)內(nèi)角，試求sinA+sinB+sinc的最大值?！窘狻恳?yàn)閟inA+sinB=2sincos,sinc+sin,又因?yàn)?，由，得sinA+sinB+sinc+sin<4sin,所以sinA+sinB+sinc<3sin=,當(dāng)A=B=c=寸，ax=.注：三角函數(shù)的有界性、|sinx|<1、|cosx|<1、和差化積與積化和差公式、均值

10、不等式、柯西不等式、函數(shù)的單調(diào)性等是解三角最值的常用手段。.換元法的使用。例8求的值域?！窘狻吭O(shè)t=sinx+cosx=因?yàn)樗杂忠驗(yàn)閠2=1+2sinxcosx,所以sinxcosx=，所以，所以因?yàn)閠-1,所以，所以y-1.所以函數(shù)值域?yàn)槔?已知aO=1,an=，求證：an>.【證明】由題設(shè)an>0，令an=tanan,an，則an=因?yàn)?，an，所以an=,所以an=又因?yàn)閍0=tana1=1，所以a0=,所以？。又因?yàn)楫?dāng)Ox，所以注：換元法的關(guān)鍵是保持換元前后變量取值范圍的一致性。另外當(dāng)x時(shí)，有tanx>x>sinx，這是個(gè)熟知的結(jié)論，暫時(shí)不證明，學(xué)完導(dǎo)數(shù)后，證明

11、是很容易的。.圖象變換：y=sinx與y=Asin.由y=sinx的圖象向左平移個(gè)單位，然后保持橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A倍，然后再保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，得到y(tǒng)=Asin的圖象；也可以由y=sinx的圖象先保持橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A倍，再保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，最后向左平移個(gè)單位，得到y(tǒng)=Asin的圖象。例10例10已知f=sin是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求和的值?！窘狻坑蒮是偶函數(shù)，所以f=f，所以sin=sin，所以cossinx=0，對(duì)任意xR成立。又OWWn,解得=,因?yàn)閒圖象關(guān)于對(duì)稱，所以=0。取x=0，得=0，所以si

12、n所以，即=.又0,取=0時(shí)，此時(shí)f=sin在0,上是減函數(shù)；取=1時(shí)，=2，此時(shí)f=sin在0，上是減函數(shù)；取=2時(shí),此時(shí)f=sin在0,上不是單調(diào)函數(shù)，綜上，=或2。.三角公式的應(yīng)用。例11已知sin=,sin=-，且a-p,a+BJ求sin2a,cos2B的值?！窘狻恳?yàn)閍-B，所以cos=-又因?yàn)閍+B，所以cos=所以sin2a=sin+=sincos+cossin=,cos2B=cos-=coscos+sinsin=-1.例12已知ABc的三個(gè)內(nèi)角A,B,c成等差數(shù)列，且，試求的值。【解】因?yàn)锳=1200-c，所以cos=cos,又由于一?所以=0。解得或。又0,所以。例13求證：

13、tan20+4cos70.【解】tan20+4cos70=+4sin20三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題.已知銳角x的終邊上一點(diǎn)A的坐標(biāo)為，貝Ux的弧度數(shù)為。.適合-2cscx的角的集合為。.給出下列命題：若aB,則sinasinB;若sinasinB,則aB；若sina>0,則a為或第二象限角；若a為或第二象限角，貝ysina>0.上述四個(gè)命題中，正確的命題有個(gè)。.已知sinx+cosx=），貝Ucotx=。.簡(jiǎn)諧振動(dòng)x仁Asin和x2=Bsin疊加后得到的合振動(dòng)是x=。.已知3sinx-4cosx=5sin=5sin=5cos=5cos，貝U1,2,3,4分別是第象限角。.滿足sin=cos的銳

14、角x共有個(gè)。.已知，貝H=。0.cot15cos25cot35cot85=。1.已知a,B,tan,sin=，求cosB的值。.已知函數(shù)f=在區(qū)間上單調(diào)遞減，試求實(shí)數(shù)的取值范圍。四、高考水平訓(xùn)練題.已知一扇形中心角是a,所在圓半徑為R若其周長(zhǎng)為定值c,當(dāng)扇形面積最大時(shí)，a=.函數(shù)f=2sinx的單調(diào)遞減區(qū)間是函數(shù)的值域?yàn)?方程=0的實(shí)根個(gè)數(shù)為.若sina+cosa=tana,a，貝Ua.若00,=-1，求f的單調(diào)區(qū)間；試求最小正整數(shù)，使得當(dāng)x在任意兩個(gè)整數(shù)間變化時(shí)，函數(shù)f至少取得一次最大值和一次最小值。五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題.若x,yR貝Uz=cosx2+cosy2-cosxy的取值范圍是.已

15、知圓x2+y2=2至少蓋住函數(shù)f=的一個(gè)最大值點(diǎn)與一個(gè)最小值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.f=5+8cos+4cos2+cos3的最小值為.方程sinx+cosx+a=0在內(nèi)有相異兩實(shí)根a,B,貝Ua+B=.函數(shù)f=|tanx|+|cotx|的單調(diào)遞增區(qū)間是設(shè)sina>0>cosa,且sin>cos,則的取值范圍是.方程tan5x+tan3x=0在0,n中有個(gè)解.若x,yR,貝y=cosx+cosy+2cos的最小值為.若00恒成立，則的取值范圍是.0.已知sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0,貝Ucos2x+cos2y+cos2z=.1.已知a1,a2,an是n個(gè)實(shí)常數(shù)，考慮關(guān)于x的函數(shù)：f=cos+cos+cos。求證：若實(shí)數(shù)x1,x2滿足f=f=O,則存在整數(shù)，使得x2-x仁n.在ABc中，已知，求證：此三角形中有一個(gè)內(nèi)角為。3.求證：對(duì)任意自然數(shù)n,均有|sin1|+|sin2|+|sin|+|sin3n|>.六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題.已知x>0,y>0,且x+y0.已知a為銳角，n>2,nN+,求證：2n-