絕對(duì)值三角不等式及其應(yīng)用

1、 絕對(duì)值不等式絕對(duì)值不等式復(fù)習(xí)回顧：我們知道,一個(gè)實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值的意義:(0)0(0)(0)aaaaa a ;（定義）關(guān)于絕對(duì)值還有什么性質(zhì)呢關(guān)于絕對(duì)值還有什么性質(zhì)呢? ?實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)a a的的絕對(duì)值絕對(duì)值|a|a|的幾何意義是：表示數(shù)軸上的幾何意義是：表示數(shù)軸上坐標(biāo)為坐標(biāo)為a a的點(diǎn)的點(diǎn)A A到原點(diǎn)的距離：到原點(diǎn)的距離：O Oa aA Ax x|a|a|x xA AB Ba ab b|a-b|a-b|任意兩個(gè)實(shí)數(shù)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a,ba,b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A A、B B，那么那么|a-b|a-b|的幾何意義是：的幾何意義是：根據(jù)絕對(duì)值的定義，實(shí)數(shù)根據(jù)絕對(duì)值的定義，實(shí)數(shù)a

2、a的的絕對(duì)值絕對(duì)值|a|a|有明確的幾何意義：有明確的幾何意義：A A、B B兩點(diǎn)間的距離即線段兩點(diǎn)間的距離即線段ABAB的長(zhǎng)度。的長(zhǎng)度。 聯(lián)系絕對(duì)值的幾何意義，從聯(lián)系絕對(duì)值的幾何意義，從“運(yùn)算運(yùn)算”的角度研的角度研究究|a|,|b|,|a+b|,|a-b|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之間的關(guān)系：等之間的關(guān)系：分分ab0ab0和和ab0ab0ab0時(shí)，如下圖可得時(shí)，如下圖可得|a+b|=|a|+|b|a+b|=|a|+|b|O Ox xa ab ba+ba+bO Ox xa ab ba+ba+b（2 2）當(dāng)）當(dāng)ab0ab0,b0,b0，如下圖可得：如下圖可得：|a+b|a|+|b|a

3、+b|a|+|b|O Ob ba ax xa+ba+b如果如果a0a0，如下圖可得：，如下圖可得：|a+b|a|+|b|a+b|a|+|b|a+ba+ba ab bx xO O（3 3）如果）如果ab=0ab=0，則，則a=0a=0或或b=0b=0，易得：，易得： |a+b|=|a|+|b|a+b|=|a|+|b| 定理定理1 1 如果如果a, ba, b是實(shí)數(shù)，則是實(shí)數(shù)，則 |a+b|a+b|a|+|b|a|+|b|當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)ab0ab0時(shí)，等號(hào)成立。時(shí)，等號(hào)成立。探究探究 如果把定理如果把定理1 1中的實(shí)數(shù)中的實(shí)數(shù)a, ba, b分別換成向分別換成向量量a, b, a, b, 能得出

4、什么結(jié)果？你能解釋它的幾何能得出什么結(jié)果？你能解釋它的幾何意義嗎？意義嗎？x xa b ab a b ab 為了更好地理解定理為了更好地理解定理1 1，我們?cè)?，我們?cè)購拇鷶?shù)推理的角度給出證明從代數(shù)推理的角度給出證明由于定理由于定理1 1與三角形之間的這種關(guān)系，我們與三角形之間的這種關(guān)系，我們稱稱|a+b|a+b|a|+|b|a|+|b|這個(gè)不等式為這個(gè)不等式為絕對(duì)絕對(duì)值三角不等式。值三角不等式。證明證明: 1: 10 0. .當(dāng)當(dāng)ab0 0時(shí)時(shí), , |,|()|(|)|22222222 ababababaabbaa bbabab2 20 0. . 當(dāng)當(dāng)ab0 0 0, , | |x x- -

5、a a| | , , | |y y- -b b| | , , 求求 | |2 2x x+ +3 3y y- -2 2a a- -3 3b b| | 5 5證證: :證明： |2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)| =|2(x-a)+3(y-b)|2(x-a)|+|3(y-b)| =2|x-a|+3|y-b|2 +3=5.所以所以 |2x+3y-2a-3b|5|2x+3y-2a-3b|5. .例2 兩個(gè)施工隊(duì)分別被安排在公路沿線的兩個(gè)地點(diǎn)施工，這兩個(gè)地點(diǎn)分別位于公路路碑的第10km和第20km處。現(xiàn)要在公路沿線建兩個(gè)施工隊(duì)的共同臨時(shí)生活區(qū)，每個(gè)施工隊(duì)每天在生活區(qū)和施工地點(diǎn)之間往返一次。要使兩個(gè)施工隊(duì)每天往返的路程之和最小，生活區(qū)應(yīng)該建于何處？ 分析：分析：假設(shè)生活區(qū)建在公路路碑的第假設(shè)生活區(qū)建在公路路碑的第xkm處，兩處，兩個(gè)施工隊(duì)每天往返的路程之和為個(gè)施工隊(duì)每天往返的路程之和為S(x)km，則有，則有 S(x)=2(|