第5講數(shù)量場的方向?qū)?shù)與梯度ppt課件

1、第二章第二章 場論場論第第5講講 數(shù)量場的方向?qū)?shù)和梯度數(shù)量場的方向?qū)?shù)和梯度主要內(nèi)容主要內(nèi)容l1. 數(shù)量場的方向?qū)?shù)數(shù)量場的方向?qū)?shù)l2. 數(shù)量場的梯度數(shù)量場的梯度l教材：第教材：第2章章 第第2節(jié)節(jié)方向?qū)?shù)定義：方向?qū)?shù)定義：l1.數(shù)量場的方向?qū)?shù)數(shù)量場的方向?qū)?shù) 設(shè)設(shè)M0M0是數(shù)量場是數(shù)量場u =u(M)u =u(M)中的一個已知點，從點中的一個已知點，從點M0M0出出發(fā)沿某一方向引一條射線發(fā)沿某一方向引一條射線l, l, 在在l l上點上點M0M0的鄰近取一動點的鄰近取一動點M M，記，記 ，如下圖。若當，如下圖。若當M M 趨于趨于M0M0時時( (即即趨于趨于零時零時) )， MM

2、0的極限存在，的極限存在，MMMuMuu00)()(方向?qū)?shù)的定義方向?qū)?shù)的定義則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)u(M)u(M)在點在點M0M0處沿處沿l l方向的方向?qū)?shù)，方向的方向?qū)?shù)，記為記為: : MMMuMuluMMM00)()(lim00定理定理1.若函數(shù)若函數(shù)u =u(x, y, z)在點在點M0(x0, y0, z0)處可處可微，則函數(shù)微，則函數(shù)u在點在點M0處沿處沿l方向的方向?qū)?shù)必定方向的方向?qū)?shù)必定存在，且其數(shù)值由如下公式給出：存在，且其數(shù)值由如下公式給出：coscoscos0zuxuxuluM 其中其中 ， ， 是在點是在點M0M0處的偏處的偏數(shù)，數(shù)， ， ， 為為 l

3、 l 方向的方向余弦。方向的方向余弦。coscoscosxuyuzu 證明：證明：M M點的坐標為點的坐標為M(x0+x, y0+y, z0+z)M(x0+x, y0+y, z0+z)，由，由于函數(shù)于函數(shù)u u在在M0M0處可微，故處可微，故 其中其中在在00時趨于零，上式兩邊除以時趨于零，上式兩邊除以，可得：，可得： coscoscoszuyuxuzzuyyuxxuuzzuyyuxxuMuMuu)()(0令令00取極限，注意到此時有取極限，注意到此時有00，則得到定理，則得到定理1.1.例例1 1： 求函數(shù)求函數(shù) 在點在點M(1,0,1)M(1,0,1)處處沿沿 方向的方向?qū)?shù)。方向的方向?qū)?/p>

4、數(shù)。222zyxukjil22 解：解：222zyxxxu222zyxyyu222zyxzzu在點在點M(1,0,1)M(1,0,1)處有：處有：21xu0yu21zu而而l l的方向余弦為：的方向余弦為：31cos32cos32cos由定理由定理1 1可得：可得：2232213203121coscoscoszuyuxulu定理定理2.2.若在有向曲線若在有向曲線C C上取定一點上取定一點M0M0作為計算作為計算弧長弧長s s的起點，并以的起點，并以C C之正向作為之正向作為s s增大的方向增大的方向；M M為為C C上的一點，在點上的一點，在點M M處沿處沿C C之正向作一與之正向作一與C

5、C相切的射線相切的射線l,l,如圖，則當曲線如圖，則當曲線C C光滑，函數(shù)光滑，函數(shù)u u在在點點M M處可微時，函數(shù)處可微時，函數(shù)u u沿沿l l方向的方向?qū)?shù)就等方向的方向?qū)?shù)就等于函數(shù)于函數(shù)u u對對s s的全導數(shù)，即：的全導數(shù)，即：dsdulu證明： 由于曲線由于曲線C C是光滑的，因此可用弧長是光滑的，因此可用弧長s s作為參作為參數(shù)在描述其參數(shù)方程：數(shù)在描述其參數(shù)方程： x=x(s), y=y(s), z=z(s).沿曲線沿曲線C,C,函數(shù)表示為函數(shù)表示為 u=ux(s), y(s),z(s). u=ux(s), y(s),z(s).點點M M處，函數(shù)處，函數(shù)u u可微，則可微，則

6、u u對對s s的全導數(shù)為：的全導數(shù)為：dsdzzudsdyyudsdxxudsdu注意到注意到 ， ， 是曲線是曲線C C的正向切線的正向切線l l的方向余弦，的方向余弦，即：即：dsdxdsdxdsdxcosdsdxcosdsdzcosdsdyluzuxuxudsducoscoscos即有：即有：證畢證畢! !函數(shù)沿曲線方向的方向?qū)?shù)：函數(shù)沿曲線方向的方向?qū)?shù)：定義：定義： 如圖，從如圖，從M M點出發(fā)沿點出發(fā)沿C C之正向取一點之正向取一點M1,M1,記弧記弧長長 , ,若當若當M1MM1M時，比式：時，比式：11)()(MMMuMusu的極限存在，稱之為函的極限存在，稱之為函數(shù)數(shù)u u

7、在點在點M M處沿曲線正處沿曲線正向的方向?qū)?shù)記為：向的方向?qū)?shù)記為：susMM1定理定理3.3.若曲線若曲線C C光滑，在點光滑，在點M M處函數(shù)處函數(shù)u u可微，則有：可微，則有：dsdusu證明：由于曲線證明：由于曲線C C光滑，在點光滑，在點M M處函數(shù)可微，故全導處函數(shù)可微，故全導數(shù)數(shù) 存在。而存在。而 按定義實際上是一個右極限按定義實際上是一個右極限dsdususususlim0故當故當 存在時，就有存在時，就有dsdususudsduslim0推論：推論：若曲線若曲線C C光滑，在點光滑，在點M M處函數(shù)處函數(shù)u u可微。則有：可微。則有：lusu 也就是說，函數(shù)也就是說，函數(shù)u

8、 u在點在點M M處沿曲線處沿曲線C C正向的正向的方向?qū)?shù)與函數(shù)方向?qū)?shù)與函數(shù)u u在點在點M M處沿處沿C C的切線方向指向的切線方向指向C C的的正向一側(cè)的方向?qū)?shù)相等。正向一側(cè)的方向?qū)?shù)相等。 例例2 2： 求函數(shù)求函數(shù) 在點在點M M2,32,3處沿曲處沿曲線線 朝朝x x增大一方的方向?qū)?shù)。增大一方的方向?qū)?shù)。223yyxu12 xy解：根據(jù)推論，只需求出函數(shù)解：根據(jù)推論，只需求出函數(shù)u沿曲線沿曲線 在在點點M(2,3)處沿處沿x增大方向的切線方向?qū)?shù)即可。增大方向的切線方向?qū)?shù)即可。12 xy將曲線方程改為矢量形式：將曲線方程改為矢量形式：jxxiyjxir) 1(2其導矢：其導

9、矢：xjir2就是曲線沿就是曲線沿x x增大方向的切向矢量，代入點增大方向的切向矢量，代入點M M2,32,3得得jirM4其方向余弦為：其方向余弦為：171cos174cos函數(shù)函數(shù)u u在點在點M M處的偏導數(shù)為：處的偏導數(shù)為：. 6)23(,3662MMMMyxyuxyxu所求方向?qū)?shù)為：所求方向?qū)?shù)為：1760174617136coscosyuxusul2.數(shù)量場的梯度數(shù)量場的梯度coscoscoszuxuxulu考察方向?qū)?shù)的公式：考察方向?qū)?shù)的公式：可以看成是矢量可以看成是矢量G G與矢量與矢量 的數(shù)量積的數(shù)量積0l),cos(00lGGlGlu其中：其中：, kzujyuixuG

10、kjilcoscoscos0 顯然顯然 為為 方向上的單位矢量，因此函數(shù)方向上的單位矢量，因此函數(shù)u u在在 方向方向上的方向?qū)?shù)等于上的方向?qū)?shù)等于G G在在 方向上的投影，如下式：方向上的投影，如下式：),cos(00lGGlGlu0llll 因此當方向因此當方向 與與G G 的方向一致時，即的方向一致時，即 函數(shù)函數(shù)u u的方向?qū)?shù)取得最大值為：的方向?qū)?shù)取得最大值為：lGlu1),cos(0lG 由此可見矢量由此可見矢量G G的方向就是函數(shù)的方向就是函數(shù)u uM M變化率最大的變化率最大的方向，其模就是最大變化率的數(shù)值，我們把方向，其模就是最大變化率的數(shù)值，我們把G G稱為函數(shù)稱為函數(shù)

11、u u在給定點處的梯度。在給定點處的梯度。（1 1梯度的定義：梯度的定義： 在數(shù)量場在數(shù)量場u(M)u(M)中的一點中的一點M M處，存在這樣一個矢量處，存在這樣一個矢量G G，其方向為函數(shù)其方向為函數(shù)u(M)u(M)在點在點M M處變化率最大的方向，其模也處變化率最大的方向，其模也正好是這個最大變化率的數(shù)值。則稱矢量正好是這個最大變化率的數(shù)值。則稱矢量G G為函數(shù)為函數(shù)u(M)u(M)在點在點M M處的梯度，記作處的梯度，記作grad u,grad u,即：即：Gugrad 我們可以借助于方向?qū)?shù)的公式求出梯度在直我們可以借助于方向?qū)?shù)的公式求出梯度在直角坐標系中的表達式為：角坐標系中的表達

12、式為：kzujyuixuGgradu（2 2梯度的性質(zhì)：梯度的性質(zhì)：性質(zhì)性質(zhì)1 1：函數(shù)：函數(shù)u u沿沿l l方向的方向?qū)?shù)等于梯度在該方向方向的方向?qū)?shù)等于梯度在該方向 的投影。寫作：的投影。寫作：ugradlul性質(zhì)性質(zhì)2 2：數(shù)量場：數(shù)量場u(M)u(M)中每一點中每一點M M處的梯度，垂直與過該點的處的梯度，垂直與過該點的等值面，且指向函數(shù)等值面，且指向函數(shù)u(M)u(M)增大的一方。增大的一方。 由性質(zhì)由性質(zhì)2 2可知：在等值面上任一點處的單位法矢量可知：在等值面上任一點處的單位法矢量 ，就可以通過在該點的梯度表示為：就可以通過在該點的梯度表示為：0n,0gradugradun符號由

13、符號由 的取向來確定。的取向來確定。0n 把數(shù)量場中每一點的梯度與場中之點一一對應(yīng)起來就把數(shù)量場中每一點的梯度與場中之點一一對應(yīng)起來就得到一個矢量場，成為此數(shù)量場產(chǎn)生的梯度場。得到一個矢量場，成為此數(shù)量場產(chǎn)生的梯度場。例例3 3： 設(shè)設(shè) 為點為點M(x,y,z)M(x,y,z)的矢徑的矢徑r r的模，的模，試證：試證：222zyxr0rrrrgrad證明：證明：,222rxzyxxxr同理同理,rzzrryyr0rrrkrzjryirxkzrjyrixrrgrad于是于是例例4 4： 求數(shù)量場求數(shù)量場 在點在點M(2,-1,1)M(2,-1,1)處的處的梯度及在矢量梯度及在矢量 方向的方向?qū)?shù)

14、。方向的方向?qū)?shù)。32yzxyukjil22解：解：kyzjzxyiykzujyuixuugrad2323)2(kjiugradM33 M M點的梯度為：點的梯度為：kjilll3132320l 方向的單位矢量為：方向的單位矢量為：M M點在點在l l 方向的方向?qū)?shù)為梯度在方向的方向?qū)?shù)為梯度在l l方向的投影）方向的投影）31)31()3(32)3(321MoMlMlugradugradlu例例5 5： 求常數(shù)求常數(shù)a,b,ca,b,c之值，使函數(shù)之值，使函數(shù) 在點在點M(1,2,-1)M(1,2,-1)處沿平行于處沿平行于z z軸方向上的方向?qū)?shù)取軸方向上的方向?qū)?shù)取得最大值得最大值32

15、. 32. 322xczbyzaxyu解：解：由題意知梯度方向平行于由題意知梯度方向平行于z z軸，且其模等于軸，且其模等于3232，則有，則有kczxbyjbzaxyixczaykzujyuixuugrad)2()2()3(3222kcbjbaicaugradM)22()4()34(3222 ,4 , 034cbbaca解得：解得：a=3,b=12,c=-4; 或或 a=-3,b=-12,c=4（3 3梯度運算的基本公式：梯度運算的基本公式：uCuCgrad)(grad(2)uvvuvugradgrad)(grad(4)0grad(1)Cuufufgrad)()(grad(6)vuvugra

16、dgrad)(grad(3)grad(vgrad1)(grad(5)2vuuvvuvufuufvufgradgrad),(grad(7)例例7 7： 設(shè)有一溫度場u(M),由于場中各點的溫度各不相同，因此就有熱的流動，由溫度高的點流向溫度低的點，根據(jù)熱傳導理論：在場中任一點處，沿任一方向的熱流強度與該方向的上的溫度變化率成正比。則場中任一點處，沿 l 方向的熱流強度為：luk 其中其中k k稱為內(nèi)導熱系數(shù)，負號表示熱流方向與溫度稱為內(nèi)導熱系數(shù)，負號表示熱流方向與溫度增大的方向相反增大的方向相反記：記：ukqgrad則熱流強度：則熱流強度：),cos(lqqluk 只有當只有當 l l 的方向與的方向與q q 的方向一致時的方向一致時, ,熱流強度取熱流強度取得最大值得最大值|q|q|。即矢量。即矢量q q 的方向表達了熱流強度最大的方向表達了熱流強度最大的方向，其模表示最大熱流強度的數(shù)值。稱的方向，其模表示最大熱流強度的數(shù)值。稱q q 為熱流為熱流矢量。是傳熱學中的重要概念。矢量。是傳熱學中的重要概念。例例8 8： 設(shè)有位于坐標原點的點電荷設(shè)有位于坐標原點的點電荷q q，由電學知道，在，由電學知道，在其周圍空間的任一點其周圍空間的任一點M(x,y,z)M(x,y,z)處所產(chǎn)生電位為：處所產(chǎn)生電位為：rqv4其中其中為介電常數(shù)，為介電常數(shù)，