二面角專習(xí)題習(xí)題

1、 求二面角專題45如何用空間向量求解二面角求解二面角大小的方法很多，諸如定義法、三垂線法、垂面法、射影法、向量法等若干種。而這些方法中最簡單易學(xué)的就是向量法，但在實際教學(xué)中本人發(fā)現(xiàn)學(xué)生利用向量法求解二面角還是存在一些問題，究其原因應(yīng)是對向量法的源頭不盡了解。本文就簡要介紹有關(guān)這類問題的處理方法，希望對大家有所幫助。在立體幾何中求二面角可歸結(jié)為求兩個向量的夾角問題對于空間向量、，有cos，=利用這一結(jié)論，我們可以較方便地處理立體幾何中二面角的問題例1 在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD底面ABCD求面VAD與面VDB所成的二面角的大小證明： 建立如圖空

2、間直角坐標(biāo)系，并設(shè)正方形邊長為1，依題意ABCVDxyz得= (0，1，0)，是面VAD的法向量，設(shè)= (1，y，z)是面VDB的法向量，則= (1，1，)。cos，=，又由題意知，面VAD與面VDB所成的二面角為銳角，所以其大小為BBCACADM例2如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB =，AC=1，CB=，側(cè)棱AA1=1，側(cè)面AA1B1B的兩條對角線交點為D，B1C1的中點為M求證CD平面BDM；求面B1BD與面CBD所成二面角的大小 解：略BBCACADMyxzG如圖，以C為原點建立坐標(biāo)系.設(shè)BD中點為G，連結(jié)BG，則依G(，)，= (，)，= (，)，·= 0，BDBG

3、又CDBD，與的夾角等于所求二面角的平面角 cos=所以所求二面角的大小等于arccos例3如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EFPB交PB于點F求二面角CPBD的大小解：zPFEDABCyxG如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點，設(shè)設(shè)點F的坐標(biāo)為，=，則從而所以=由條件EFPB知，·= 0，即，解得點F的坐標(biāo)為，且，·，即，故是二面角CPBD的平面角·=，且，所以，二面角CPBD的大小為xyzABBA例4 已知三棱柱AB中，平面平面，=，=，且= 2，=，求二面角AB的大小解：以為原點，分別以，所在的直線為x，y軸，過點且與平面垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則(0，0，0)，(0，1，)，A(，0，0)，(，1，)，B(0，2，0)= (，1，)，= (，2，0)顯然為平面的法向量，取= (0，0，1)，設(shè)平面的法向量為= (x，y，z)，則 ·= 0，·= 0即，令y =