第3章 圖像處理中正交變換

1、傅里葉及傅里葉變換簡介：傅里葉及傅里葉變換簡介：傅里葉：傅里葉： 法國數(shù)學家，生于法國數(shù)學家，生于1768年，其最大的貢獻在于年，其最大的貢獻在于他指出他指出任何周期函數(shù)都可以表示為不同頻率的正弦任何周期函數(shù)都可以表示為不同頻率的正弦和（或余弦和）的形式，每個正弦和（或余弦和）和（或余弦和）的形式，每個正弦和（或余弦和）乘以不同的系數(shù)。乘以不同的系數(shù)?，F(xiàn)在稱這個和為傅里葉級數(shù)?，F(xiàn)在稱這個和為傅里葉級數(shù)。傅里葉變換：傅里葉變換： 非周期的函數(shù)（曲線有限情況下）也可以用正弦非周期的函數(shù)（曲線有限情況下）也可以用正弦和（或余弦）乘以加權函數(shù)的積分來表示。和（或余弦）乘以加權函數(shù)的積分來表示。這種情這

2、種情況下的公式就是傅里葉變換。況下的公式就是傅里葉變換。其重要特性之一就是其重要特性之一就是用傅里葉級數(shù)或變換表示的函數(shù)特征可以完全通過用傅里葉級數(shù)或變換表示的函數(shù)特征可以完全通過傅里葉反變換來重建，不丟失任何信息。傅里葉反變換來重建，不丟失任何信息。傅里葉變換與頻率域：傅里葉變換與頻率域： 傅里葉變換是將函數(shù)傅里葉變換是將函數(shù)基于頻率分成不同的成基于頻率分成不同的成分，使我們可以通過頻分，使我們可以通過頻率成分來分析一個函數(shù)。率成分來分析一個函數(shù)。（傅里葉變換被比作（傅里葉變換被比作“數(shù)學的棱鏡數(shù)學的棱鏡”）3.1引言引言l二維正交變換；二維正交變換；l正交變換必須是可逆的；正交變換必須是可

3、逆的；l正交變換和反變換的算法不能太復雜。正交變換和反變換的算法不能太復雜。l正交變換的圖像特點：正交變換的圖像特點： 在變換域中，圖像能量集中分布在低頻率成分在變換域中，圖像能量集中分布在低頻率成分上，邊緣和線信息反映在高頻率成分上。上，邊緣和線信息反映在高頻率成分上。dueuFtfjdtetfuFtfutjutj 222)()()1( ,)()()( 反反變變換換：的的一一維維傅傅里里葉葉變變換換定定義義正正變變換換：函函數(shù)數(shù)注意：正反傅里葉變換的唯一區(qū)別是冪的符號不同。注意：正反傅里葉變換的唯一區(qū)別是冪的符號不同。幾個術語：幾個術語：傅里葉幅度譜傅里葉幅度譜、相位譜相位譜、能量譜能量譜稱

4、稱為為傅傅里里葉葉能能量量譜譜。譜譜；被被稱稱為為（傅傅里里葉葉）相相位位的的（傅傅里里葉葉）幅幅度度譜譜；被被稱稱為為那那么么，其其中中，或或是是一一個個復復數(shù)數(shù)，即即的的傅傅里里葉葉變變換換函函數(shù)數(shù))()()()()()()()(, )()()(,)()()()()()()(222)()(22)(uIuRuFuEutfuFarctguuIuRuFeuFuFujIuRuFuFtfuRuIuj 二維傅里葉變換的傅里葉幅度譜、相位譜和能量譜二維傅里葉變換的傅里葉幅度譜、相位譜和能量譜二維傅里葉變換對：二維傅里葉變換對： dudvevuFyxfdxdyeyxfvuFvyuxjvyuxj)(2)(2

5、),(),(),(),( 二維傅里葉變換的傅里葉幅度譜、相位譜和能量譜二維傅里葉變換的傅里葉幅度譜、相位譜和能量譜分別為：分別為：),(),(),(),(),(),(),(),(),(2222vuIvuRvuEvuRvuIarctgvuvuIvuRvuF 222222222)(1)(,)()()()()(22)2(2suusjstsstjtstjtteSFduedueeSFdtdujStudteeSFSjSdtedteeSFetf 由由于于高高斯斯積積分分則則進進行行變變量量替替換換：設設其其傅傅里里葉葉變變換換為為：高高斯斯函函數(shù)數(shù)為為：例：高斯函數(shù)的傅里葉變換例：高斯函數(shù)的傅里葉變換。構成

6、一個傅立葉變換對構成一個傅立葉變換對與與可見：可見：22)()(stesFetf 高斯函數(shù)的傅里葉變換高斯函數(shù)的傅里葉變換仍然是高斯變換。仍然是高斯變換。2.2.離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFTDFT）一維離散傅里葉變換對定義：一維離散傅里葉變換對定義： 1, 2 , 1 , 0)(1)()1(),2(),1(),0(1, 2 , 1 , 0)()(210210 NmemXNnxNxxxxNx(m)NnenxmXNmnjNmNmnjNn式式中中：序序列列。即即個個等等間間隔隔抽抽樣樣值值。任任意意為為取取自自相相應應連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)的的，式式中中： 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT

7、）離散傅里葉反變換（離散傅里葉反變換（IDFT）3.二維離散傅里葉變換二維離散傅里葉變換二維傅里葉變換為：二維傅里葉變換為： 1010)(21010)(2),(1),(),(),(),(MuNvNvyMuxjMxNyNvyMuxjevuFMNyxfIDFTeyxfvuFDFTNMnmf ）逆逆變變換換為為：（）其其傅傅里里葉葉變變換換為為：（的的數(shù)數(shù)組組，則則是是一一個個設設在圖像處理中在圖像處理中,一般選擇方陣一般選擇方陣,即取即取M=Na.原始圖像原始圖像 b.離散傅立葉頻譜離散傅立葉頻譜二維圖像及其離散傅立葉頻譜的顯示二維圖像及其離散傅立葉頻譜的顯示.2傅里葉變換的性質傅

8、里葉變換的性質1.共軛對稱性和周期性共軛對稱性和周期性)(2)()(2)()()()(2)()()(:2)()()(,2)()()()()()()(0000tftftftftftftftftftftftftftftftftftftftfeeee 則則為為實實函函數(shù)數(shù)，且且設設fo(t)為實奇函數(shù)。為實奇函數(shù)。fe(t)為實偶函數(shù)。為實偶函數(shù)。dtsttfsFdtsttfdtsttfjdtsttfdtetfdtetfsFtftfeeeestjestje)2cos()()(00)2sin()()2sin()()2cos()()()()(),()(22 。，則則虛虛部部為為上上的的積積分分為為在在對

9、對稱稱區(qū)區(qū)間間由由于于奇奇函函數(shù)數(shù)則則其其傅傅里里葉葉變變換換為為：若若（）實偶函數(shù)（）實偶函數(shù)可見，實偶函數(shù)的傅里葉變換仍然是實偶函數(shù)。可見，實偶函數(shù)的傅里葉變換仍然是實偶函數(shù)。dtsttfjsFdtsttfjdtsttfdtetfsFtftfstj )2sin()()(00)2sin()()2cos()()()(),()(00020 。，則則實實部部為為上上的的積積分分為為由由于于奇奇函函數(shù)數(shù)在在對對稱稱區(qū)區(qū)間間則則其其傅傅里里葉葉變變換換為為：若若（iiii）實奇函數(shù)）實奇函數(shù)可見，實奇函數(shù)的傅里葉變換是虛奇的?？梢?，實奇函數(shù)的傅里葉變換是虛奇的。 由由(i)，(ii)可知，可知，傅里葉

10、變換不改變函數(shù)的奇偶傅里葉變換不改變函數(shù)的奇偶性，但對虛實性有影響性，但對虛實性有影響，也就是說，也就是說，偶函數(shù)的傅里偶函數(shù)的傅里葉變換不引入系數(shù)，虛實性保持不變葉變換不引入系數(shù)，虛實性保持不變；而；而奇函數(shù)的奇函數(shù)的傅里葉變換將引入系數(shù)傅里葉變換將引入系數(shù)-j，從而改變虛實性，從而改變虛實性，即，即“奇變偶不變奇變偶不變” 。結論：結論：)()()2sin()()2cos()()()()()()()()(020220sjFsFdtsttfjdtsttfdtetfdtetfdtetfsFtftftfoeestjstjestje ，則則若若（iii）實函數(shù)）實函數(shù)具有偶的實部和奇的虛部具有偶的

11、實部和奇的虛部（稱為（稱為Hermite函數(shù)）函數(shù)）)()()()()()(sFsjFsFsjFsFsFoeoe （Hermite）函數(shù)具有共軛對稱性：）函數(shù)具有共軛對稱性：Fe(s)為偶函數(shù)；為偶函數(shù)；Fo(s)為奇函數(shù)。為奇函數(shù)。u 傅里葉變換和反變換均具有周期性傅里葉變換和反變換均具有周期性為為周周期期。以以傅傅里里葉葉變變換換和和反反變變換換均均NN)vN,F(uN)vF(u,v)N,F(uv)F(u, 2.加法定理加法定理 設兩個傅里葉變換對：設兩個傅里葉變換對：，見見圖圖則則)()()()()()()()(tGtFtgtfsGtgsFtf )()()(,)()()(2222)(22

12、sFedueufeatfdtduatudteeatfdteatfatfsajsujsajsajatsjstj 則則變變量量替替換換：設設3.位移定理位移定理 描述坐標平移（原點移動）對變換的影響。描述坐標平移（原點移動）對變換的影響。結論：結論：函數(shù)位移不會改變其傅立葉變換的模（幅值），函數(shù)位移不會改變其傅立葉變換的模（幅值）， 但是會改變實部與虛部之間的能量分布，其但是會改變實部與虛部之間的能量分布，其結結果果 是產生一個與角頻率和位移量均成正比的相移。是產生一個與角頻率和位移量均成正比的相移。4.相似性定理（尺度變換）相似性定理（尺度變換） 描述函數(shù)自變量的尺度變化對其傅里葉變換的影響。描

13、述函數(shù)自變量的尺度變化對其傅里葉變換的影響。).,(1)()(1)(1)(,)(1)()(222bvauFabbyaxfasFadueufaatfadtduatudtaeatfadteatfatfasujasatjstj 二二維維函函數(shù)數(shù)相相似似定定理理：則則變變量量替替換換：設設 傅立葉變換的比例性實例傅立葉變換的比例性實例a)比例尺度展寬前的頻譜比例尺度展寬前的頻譜 b) 比例尺度展寬后的頻譜比例尺度展寬后的頻譜)()()()()()()()()()()(),(222sGsFdusGeufdudteutgufdteduutguftgtftgtfsujstjstj （由由位位移移定定理理）變

14、變換換為為：。則則它它們們卷卷積積的的傅傅里里葉葉設設兩兩個個函函數(shù)數(shù)傅里葉變換的優(yōu)勢：傅里葉變換的優(yōu)勢：在一個域中的卷積計算可以在在一個域中的卷積計算可以在 另一個域中做乘法計算，效果相同。另一個域中做乘法計算，效果相同。dssFdttfdttfEtf 2)(2)(2)()(. 6則的能量定義為：設函數(shù)帕斯維爾定理：上式稱為帕斯維爾（上式稱為帕斯維爾（Parseval）等式，它表明：）等式，它表明：變換函數(shù)與原函數(shù)具有相同的能量。也稱能量保變換函數(shù)與原函數(shù)具有相同的能量。也稱能量保持定理。持定理。 NvyjvuFNuxjNyxfNvyjyxfNuxjNvuFNvuNvyuxjvuFNyxfN

15、vuNvyuxjyxfNvuFNvNuNyNxNuNvNxNy 2exp),(2exp1),(2exp),(2exp1),(1, 2 , 1 , 0, )(2exp),(1),(1, 2 , 1 , 0, )(2exp),(1),(1010101010101010則則將將上上兩兩式式分分離離：7.二維傅里葉變換的分離性二維傅里葉變換的分離性 設二維傅里葉變換對為：設二維傅里葉變換對為：1, 2 , 1 , 0,2exp),(1),(2exp),(1),(1, 2 , 1 , 02exp),(1),(1, 2 , 1 , 02exp),(1),(10101010 NyNvyjvuFNNyufNu

16、xjyufNNyxfNvNuxjvxFNNvuFNvNvyjyxfNNvxFNvNuNxNy 其其中中同同理理：，上上兩兩式式中中看看出出：由分離性可知：由分離性可知：一個二維傅里葉變換可以由連續(xù)兩次運一個二維傅里葉變換可以由連續(xù)兩次運 用一維傅里葉變換來實現(xiàn)。用一維傅里葉變換來實現(xiàn)。角角度度。它它的的頻頻譜譜也也旋旋轉轉同同樣樣的的，則則角角度度如如果果一一幅幅圖圖像像旋旋轉轉一一個個: :即即即即代代入入傅傅里里葉葉變變換換對對，和和將將表表示示為為其其極極坐坐標標形形式式：將將其其中中表表示示為為其其極極坐坐標標形形式式：證證明明：將將000),(),(: ),(),(),(),()si

17、n,cos(),(),( FfFfFvuFyxfyxf8旋轉性質旋轉性質.),(),(00 也也旋旋轉轉的的傅傅里里葉葉變變換換旋旋轉轉對對于于vuFyxf二維離散傅立葉變換的旋轉性二維離散傅立葉變換的旋轉性原圖像原圖像原圖像的傅立葉頻譜原圖像的傅立葉頻譜 旋轉后的圖像旋轉后的圖像旋轉后圖像的傅立葉頻譜旋轉后圖像的傅立葉頻譜)0 , 0(1),(),(1)0 , 0(0, 0)(2exp),(1),(),(1),()(1010101010102FNyxfyxfNFvuNvyuxjyxfNvuFyxfNyxfxyfNxNyNxNyNxNy 時時，得得當當而而亮亮度度的的平平均均值值為為：一一幅幅

18、二二維維圖圖像像 平均值平均值，則則為為正正整整數(shù)數(shù)，且且的的正正整整數(shù)數(shù)次次冪冪，即即為為設設，則則令令傅傅里里葉葉變變換換為為：MNMNNWxfNuFNjWNuNuxjxfNuFnuxNNxNNx2,22)(1)(2exp1, 1 ,0, 2exp)(1)(1010 逐次加速法的快速傅里葉變換算法：逐次加速法的快速傅里葉變換算法：)12(1)2(121)()12(1)2(121)(21)(10210221010)12(2)2(21202 MxuMuxMuxMMxuxMuxMMxMxxuMxuMMxuxMWWxfMWxfMuFWWWxfMWxfMWxfMuF，而而）（同同理理）（則則）（）（

19、定定義義4)()(21)(3)()(21)(21, 1 , 0,)12(1)(11, 1 , 0,)2(1)(221010uxModdevenuxModdevenMxuxModdMxuxMevenWuFuFMuFWuFuFuFMuWxfMuFMuWxfMuF 上式表明：上式表明： 一個一個N點的變換可通過將原始表達式分成兩半來計算，點的變換可通過將原始表達式分成兩半來計算，用式（用式（1）、（）、（2）計算）計算2個（個（N/2）點的變換得到）點的變換得到Feven(u)和和Fodd(v),在將它們代入（在將它們代入（3）、（）、（4），得到），得到F(u)。點點變變換換）的的兩兩個個結結果果

20、計計算算一一個個層層用用（）在在第第（點點變變換換個個個個結結果果計計算算層層用用以以上上）在在第第（點點變變換換個個層層）計計算算第第（）先先將將他他們們排排列列成成（的的快快速速傅傅里里葉葉變變換換點點例例：計計算算一一個個8334424232412)7(),3(),5(),1( ),6(),2(),4(),0(1)7(),6( ),5(),4(),3(),2(),1(),0(8ffffffffffffffff)7()6()5()4()3()2()1()0(ffffffff)6()2()4()0(ffff偶數(shù)區(qū)偶數(shù)區(qū)奇數(shù)區(qū)奇數(shù)區(qū) )5()1(21)0(022fWfFo )5()1(21)1

21、(122fWfFo )7()3(21)0(022fWfFo )7()3(21)1(122fWfFo )4()0(21)0(022fWfFe )4()0(21)1(122fWfFe )6()2(21)0(022fWfFe )6()2(21)1(122fWfFe )7()3()5()1(ffff ) 0() 0(21) 0(20424eoeeeFWFF ) 1 () 1 (21) 1 (20424eoeeeFWFF ) 0() 0(21) 2(20424eoeeeFWFF ) 1 () 1 (21)3(20424eoeeeFWFF ) 0() 0(21) 0(20424oooeoFWFF ) 1

22、() 1 (21) 1 (20424oooeoFWFF ) 0() 0(21) 2(20424oooeoFWFF ) 1 () 1 (21) 3(20424oooeoFWFF )0()0(21)0(4084oeFWFF )1()1(21)1(4084oeFWFF )2()2(21)2(4084oeFWFF )3()3(21)3(4084oeFWFF )0()0(21)4(4084eeFWFF ) 1() 1(21)5(4084eeFWFF )2()2(21)6(4084eeFWFF )3()3(21)7(4084eeFWFF )7()3()5()1()6()2()4()0(ffffffff輸入

23、數(shù)據(jù)輸入數(shù)據(jù)2點變換點變換4點變換點變換8點變換點變換F(0) F(1) F(2) F(3) F(4) F(5) F(6) F(7) 000 001 010 011 100 101 110 111“位對換原則位對換原則”：pF(0)中，中，0的二進制數(shù)為的二進制數(shù)為000，則它的左位與右位，則它的左位與右位 對調后為對調后為000，即，即f(0)。pF(1)中，中，1的二進制數(shù)為的二進制數(shù)為001，則它的左位與右位，則它的左位與右位 對調后為對調后為100，即，即f(4)。pF(2)中，中，2的二進制數(shù)為的二進制數(shù)為010，則它的左位與右位，則它的左位與右位 對調后為對調后為010，即，即f(

24、2)。pF(3)中，中，3的二進制數(shù)為的二進制數(shù)為011，則它的左位與右位，則它的左位與右位 對調后為對調后為110，即，即f(6)。3.5 離散圖像變換的一般表達式離散圖像變換的一般表達式圖像變換的核：圖像變換的核： 1010)(21010)(2),(1),(),(1),(NuNvNvyNuxjNxNyNvyNuxjevuFNyxfeyxfNvuF 逆逆變變換換為為：；傅傅里里葉葉變變換換為為：傅傅里里葉葉變變換換對對中中，2exp1),(2exp1),(NvyjNyxQNuxjNvxP ；其其傅傅里里葉葉變變換換核核為為：的的形形式式是是相相同同的的。和和對對于于對對稱稱可可分分離離的的核

25、核，。，均均取取式式中中，則則有有：對對于于二二維維傅傅里里葉葉變變換換，上上式式表表示示。圖圖像像的的其其他他變變換換都都可可用用圖圖像像的的反反變變換換為為：的的滿滿秩秩矩矩陣陣。為為、方方陣陣；為為、式式中中：通通用用表表示示式式為為：因因此此，圖圖像像變變換換的的矩矩陣陣QPNyxvuNvyjNvyQNuxjNuxPFQPfNNQPNNfFPfQF1210,/2exp1),(/2exp1),(,11 . 2離散余弦變換離散余弦變換(DCT) 應用：應用： 主要用于圖像壓縮編碼、數(shù)字水印。主要用于圖像壓縮編碼、數(shù)字水印。1.1.一維離散余弦變換及其反變換定義：一維離散余弦變換及其反變換定

26、義： 11 2 0 1)(1, 1 , 0,2)12(cos)()(1, 1 , 0,2)12(cos)()()(1010NuNuNuNuNuxuxgNuNuxxguuGNuNx 其中其中 11 20 1 )(1, 1 , 0,2)12(cos)(2)12(cos)(),(),(1, 1 , 0,2)12(cos)(2)12(cos)(),(),(10101010NuNuNvNyxNvyvNuxuvuGyxgNvuNvyvNuxuyxgvuGuNuNvNxNy 其其中中2.二維離散余弦及其反變換定義：二維離散余弦及其反變換定義：a) 原始圖像原始圖像 b) 離散余弦變換后的頻譜離散余弦變換后的

27、頻譜二維圖像及其離散余弦變換頻譜的顯示二維圖像及其離散余弦變換頻譜的顯示p快速離散余弦變換：快速離散余弦變換： 1）先將）先將f(x,y)進行快速傅里葉變換，再取其實部。進行快速傅里葉變換，再取其實部。 2）代數(shù)分解法）代數(shù)分解法實例：實例：離散余弦變換在圖像壓縮中的應用離散余弦變換在圖像壓縮中的應用a) 未經(jīng)壓縮的原始圖像未經(jīng)壓縮的原始圖像 b) 采用采用JPEG方式壓縮存儲的圖像方式壓縮存儲的圖像。，則則有有，即即其其二二進進制制數(shù)數(shù)是是。若若位位值值。例例如如：的的二二進進制制表表示示的的第第是是式式中中，1)(1)(,0)(1106823)(2, 1, 1 ,0,)1()()()1()

28、(1)(21010)()(101010)()(11 zbzbzbzNnkzzbNNxuuWxfxfNuWnknNiubxbNiNxNiubxbiniini的的值值如如下下表表：時時的的即即當當例例：令令)(8,4,2,3,2,1,)1(),(10)()(1IbNnuxhkniubxbini 101010)()()()(101010)()()()(1111)1(),(1),()1(),(1),(NuNvnivbybubxbNxNynivbybubxbiniiniiniinivuWNyxfyxfNvuWGWGfNGGfGNW 表表示示式式為為：二二維維沃沃爾爾什什反反變變換換矩矩陣陣階階沃沃爾爾什

29、什變變換換核核矩矩陣陣；為為其其中中，表表示示式式為為：二二維維沃沃爾爾什什變變換換的的矩矩陣陣,12例：一個二維數(shù)字圖像矩陣為：例：一個二維數(shù)字圖像矩陣為： 求圖像的二維沃爾什變換。求圖像的二維沃爾什變換。 1331133113311331f解：解： 11111111111111114,12GNGfGNW時時的的二二維維沃沃爾爾什什變變換換為為其其中中 0000000000001002000000000000160032161 111111111111111113311331133113311111111111111111412W由例題可知：由例題可知：二維沃爾什變換具有某種能量集中的二維沃

30、爾什變換具有某種能量集中的特性，而且原始數(shù)字中數(shù)字越均勻分布，變換后的特性，而且原始數(shù)字中數(shù)字越均勻分布，變換后的數(shù)據(jù)越集中于矩陣的邊角上。數(shù)據(jù)越集中于矩陣的邊角上。因此，應用二維沃爾因此，應用二維沃爾什變換可以壓縮圖像信息。什變換可以壓縮圖像信息。2.哈達瑪（哈達瑪（DHT）變換）變換（1）一維哈達瑪變換：）一維哈達瑪變換：位位值值。的的二二進進制制表表示示的的第第代代表表式式中中，kzzbNxNuNuHxfxfNuHknNxubxbNxubxbniiiniii)(1, 2 , 1 , 0, 1, 2 , 1 , 0,2)1)()()1)(1)(10)()(10)()(1010 N1 101

31、0)()()()(1010)()()()(1010)1)(,(1),()1)(,(1),(NxNyvbybubxbNxNyvbybubxbniiiiiniiiiivuHNyxfyxfNvuH 二維哈達瑪正變換和反變換具有相同的形式。二維哈達瑪正變換和反變換具有相同的形式。哈達瑪變換具有簡單的遞推關系：哈達瑪變換具有簡單的遞推關系：p最低階的哈達瑪矩陣核為：最低階的哈達瑪矩陣核為： 11111H 1111nnnnnHHHHHpn階哈達瑪矩陣與階哈達瑪矩陣與n-1階哈達瑪矩陣的遞推關系為：階哈達瑪矩陣的遞推關系為：例如：例如：n=2時的哈達瑪矩陣核為：時的哈達瑪矩陣核為： 111111111111

32、111111112HHHHH（3）沃爾什）沃爾什哈達瑪變換哈達瑪變換 沃爾什和哈達瑪變換的使用以及術語在圖像處理沃爾什和哈達瑪變換的使用以及術語在圖像處理的文獻中是混在一起的，所以常常用術語沃爾什的文獻中是混在一起的，所以常常用術語沃爾什哈達瑪變換來代表它們的任一種變換。哈達瑪變換來代表它們的任一種變換。 111121,21,211111HHHHHHNNNHfHHFnnnnnnnnn其其最最小小階階其其遞遞推推式式為為：，變變換換矩矩陣陣的的大大小小為為 11111111111111112121,21,2121111222223HHHHHHHHHHH即即而而知知：由由最最小小階階哈哈達達瑪瑪矩

33、矩陣陣為為時時，例例： 11111321111121?3nnnnnHHHHHHHn不必做乘法，計算簡便不必做乘法，計算簡便，變換特點只要做加減法變換特點只要做加減法可見，可見，HadamardWalshH 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111112133例：求下列圖像矩陣的二維哈達瑪例：求下列圖像矩陣的二維哈達瑪(DHT)變換。變換。 1133113311331133f 111111111111111121212111122HHHHHnnHfHF ：計計算算圖圖像像的的哈哈達達瑪瑪變變換換 .4霍特林（霍特

34、林（ K-L）變換變換 K-L變換也稱為變換也稱為特征矢量變換特征矢量變換、主分量變換主分量變換或或霍特霍特林林(Hotelling)變換，它是基于圖像統(tǒng)計特性的變換。變換，它是基于圖像統(tǒng)計特性的變換。特點：特點：K-L變換能夠充分去除相關性，把有用的信息變換能夠充分去除相關性，把有用的信息 集中到數(shù)目盡可能少的主分量中。集中到數(shù)目盡可能少的主分量中。應用：應用：主要用于圖像壓縮、圖像旋轉、圖像增強、主要用于圖像壓縮、圖像旋轉、圖像增強、 遙感多光譜圖像的特征提取與信息融合等方面。遙感多光譜圖像的特征提取與信息融合等方面。uK-L變換定義變換定義設設x=x1 x2xNT是一個是一個N維隨機列矢

35、量，其各維隨機列矢量，其各 分量的二階矩陣存在，進一步假設得到分量的二階矩陣存在，進一步假設得到M個矢量采樣個矢量采樣 x1,x2,xM。（在實際應用中，將圖像看成隨機失量）。（在實際應用中，將圖像看成隨機失量）具有具有N個像素的圖像個像素的圖像f(n,m)在某個通信信道傳輸了在某個通信信道傳輸了 M 次，由于受到隨機干擾，接收到的是一個圖像次，由于受到隨機干擾，接收到的是一個圖像 樣本集合樣本集合f1(m,n)，f2(m,n)，fM(m,n)。對第。對第i次次 獲得的圖像獲得的圖像fi(m,n),可用一個可用一個N維隨機列矢量維隨機列矢量xi表示，表示， 從而圖像樣本集合可表示為從而圖像樣本

36、集合可表示為x1,x2,xM 。 NxTTxxxUCUmxmxEC 000000)(21其其 中：中：mx =EX 為為 列列 矢矢 量量x 的的 均均 值值 矢矢 量；量； UT 為為 矢矢 量量X 協(xié)協(xié) 方方 差差 矩矩 陣陣Cx 的的 正正 交矩陣，交矩陣， 使使Cx 對對 角角 化；化；隨機列矢量隨機列矢量x=x1 x2xNT 的的K-L 變變 換換 定定 義義 為：為： y=UT(x-mx)矢量矢量X的協(xié)方差矩陣：的協(xié)方差矩陣：K-L 變變 換換 的的 反反 變變 換換 為：為：xmUyx MiTxxTiixMiixmmxxMCxMm1111； 在實際應用中，在實際應用中，Cx與與m

37、x可通過樣本可通過樣本x1,x2,xM來估計，來估計， 即：即：uK-L變換的性質：變換的性質：K-L變換能夠充分去除相關性；變換能夠充分去除相關性；K-L反變換可以精確重建反變換可以精確重建x；K-L變換是在均方誤差最小意義下的變換是在均方誤差最小意義下的最優(yōu)變換最優(yōu)變換。傅里葉變換：傅里葉變換：DFT是最常用的離散圖像變換，特別是是最常用的離散圖像變換，特別是在圖像處理中可以進行二維數(shù)字濾波處理和傅里葉譜在圖像處理中可以進行二維數(shù)字濾波處理和傅里葉譜分析，因而分析，因而DFT在圖像增強、特征提取分析等方面有在圖像增強、特征提取分析等方面有著廣泛應用。但著廣泛應用。但DFT需要復數(shù)運算，較難

38、實時應用。需要復數(shù)運算，較難實時應用。離散余弦變換：離散余弦變換：DCT是目前應用較廣是目前應用較廣泛的圖像變換，特別在圖像通信中，泛的圖像變換，特別在圖像通信中，是圖像壓縮方法中較理想的變換。是圖像壓縮方法中較理想的變換。DWT變換計算最簡單；變換計算最簡單；K-L變換計算最復雜，但誤差最小。變換計算最復雜，但誤差最小。DCT變換誤差接近變換誤差接近K-L變換。變換。 3.5 拉東拉東(Radon)變換變換 建立在一個半圓柱的表面，建立在一個半圓柱的表面， 計算圖像在某一指定計算圖像在某一指定角度射線方向上投影的變換方法。二維函數(shù)角度射線方向上投影的變換方法。二維函數(shù)f(x,y)的投的投影是

39、其在指定方向上的線積分。是圖像重建的基礎。影是其在指定方向上的線積分。是圖像重建的基礎。拉東空間：拉東空間：半圓柱的表面，半圓柱的表面，半徑為半徑為1的無窮長圓柱，的無窮長圓柱， 測量沿圓柱從負無窮到正無窮的長度，測量沿圓柱從負無窮到正無窮的長度， 測量相測量相對與某個參考位置的旋轉角。對與某個參考位置的旋轉角。 p沿任意角度對函數(shù)進行投影，即函數(shù)沿任意角度對函數(shù)進行投影，即函數(shù)f(x,y)的的Radon變換為：變換為： yxyxydyxyxfxR cossinsincos )cossin,sincos(其其中中，）（性質：性質： 拉東變換具有線性、平移性、相似性、對稱性拉東變換具有線性、平移

40、性、相似性、對稱性及微分和卷積計算。及微分和卷積計算。.6.6 小波變換簡介小波變換簡介.6.6. 小波變換小波變換l概念概念 小波變換是一種在有限寬度的范圍內進行的正交小波變換是一種在有限寬度的范圍內進行的正交的或非正交的變換。小波變換的基函數(shù)是一種不僅在的或非正交的變換。小波變換的基函數(shù)是一種不僅在頻率上而且在位置上變化的有限的波形函數(shù)。頻率上而且在位置上變化的有限的波形函數(shù)。 l應用應用 小波變換在信號分析、語言合成小波變換在信號分析、語言合成、圖像識別圖像識別、計算計算機視覺機視覺、數(shù)據(jù)壓縮數(shù)據(jù)壓縮、 CT成象成象、地震勘探地震勘探、大氣與海洋大氣與海洋波的分析和天體力學等方面都已取得

41、具有科學意義的波的分析和天體力學等方面都已取得具有科學意義的應用價值的重要成果。應用價值的重要成果。l特點：特點： 小波（小波（Wavelet），即小的波形。所謂），即小的波形。所謂“小小”是指是指它具有衰減性；而它具有衰減性；而“波波”則是指它的波動性，其振幅則是指它的波動性，其振幅呈正負相間的振蕩形式。呈正負相間的振蕩形式。小波變換同時具有時域性和頻域性。小波變換同時具有時域性和頻域性。 傅里葉變換不能同時進行時間傅里葉變換不能同時進行時間頻率局部分析。頻率局部分析。小波變換使上述問題迎刃而解。小波分析是通過一個小波變換使上述問題迎刃而解。小波分析是通過一個小波基函數(shù)的伸縮和平移來產生一組

42、基函數(shù)來實現(xiàn)的。小波基函數(shù)的伸縮和平移來產生一組基函數(shù)來實現(xiàn)的。小波變換適用：小波變換適用： 小波變換同傅立葉變換一樣，也存在一維、二小波變換同傅立葉變換一樣，也存在一維、二維維連續(xù)小波變換連續(xù)小波變換和和離散小波變換離散小波變換。原則上能用傅里。原則上能用傅里葉變換分析的地方均可用小波分析，甚至能獲得更葉變換分析的地方均可用小波分析，甚至能獲得更好的結果。好的結果。.6.6. 連續(xù)小波變換連續(xù)小波變換1.一維連續(xù)小波變換一維連續(xù)小波變換定義定義，函函數(shù)數(shù)具具有有收收縮縮作作用用。當當具具有有伸伸展展作作用用則則函函數(shù)數(shù)當當軛軛函函數(shù)數(shù)是是復復變變函函數(shù)數(shù)時時，采采用用共共如如果果稱稱為為小小

43、波波。為為平平移移參參數(shù)數(shù)為為尺尺度度因因子子，其其中中：的的連連續(xù)續(xù)小小波波變變換換為為：，信信號號給給定定基基本本小小波波函函數(shù)數(shù)1;)(, 1)()()(1)()()()()(1),()(, axaxxabxaxbaR,b0,adxxxfdxabxtfabafWxfbabababaR 的的影影響響：對對生生成成小小波波和和平平移移參參數(shù)數(shù)伸伸縮縮參參數(shù)數(shù))(tba 。反反之之亦亦然然。有有利利于于提提高高時時域域分分辨辨率率度度增增大大，窗窗寬寬度度變變窄窄，而而頻頻窗窗寬寬當當信信號號頻頻率率增增高高時時，視視寬寬。反反之之亦亦然然。因因此此，的的頻頻率率隨隨之之向向高高頻頻端端展展而

44、而的的支支撐撐區(qū)區(qū)隨隨之之變變窄窄，的的減減小小，隨隨著著參參數(shù)數(shù))(,)( batba,a處處，且且波波形形收收縮縮。則則從從原原點點向向左左平平移移至至時時，當當且且波波形形展展寬寬；向向右右移移至至從從原原點點的的波波形形時時，當當圖圖中中小小波波函函數(shù)數(shù)為為10)(10, 5 . 0)2(,15)()()(15, 2)1()(10,5 . 015,2,2 ttbattttbatetbat （1）（2）（1）函數(shù)應有速降特性（衰減性），即在一個很小的）函數(shù)應有速降特性（衰減性），即在一個很小的區(qū)間外，函數(shù)為零。區(qū)間外，函數(shù)為零。（2）函數(shù)應有波動性（振蕩性），即平均值為零）函數(shù)應有波動性

45、（振蕩性），即平均值為零 （3）函數(shù)具有帶通型，即）函數(shù)具有帶通型，即（4）函數(shù)具有能量有限性。）函數(shù)具有能量有限性。可見：小波是一個具有振蕩性和迅速衰減的波?？梢姡盒〔ㄊ且粋€具有振蕩性和迅速衰減的波。 Rdtx0)( Rdxx0)( 小波小波 應滿足的條件（特征）：應滿足的條件（特征）：)(x 2.一維小波變換的基本性質一維小波變換的基本性質（1）線性）線性 小波變換是線性變換，它把一維信號分解成不同尺小波變換是線性變換，它把一維信號分解成不同尺 度的分量。度的分量。則則若若的的小小波波變變換換為為設設),(),(),(),()()(,)(),(211211baWbaWbaWtftftftf

46、baWffff （2）平移和伸縮的共變性）平移和伸縮的共變性 連續(xù)小波變換在任何平移之下是共變的，若連續(xù)小波變換在任何平移之下是共變的，若 是一對小波變換關系，則是一對小波變換關系，則),()(baWtff，不不發(fā)發(fā)生生失失真真變變形形。兩兩軸軸上上以以同同一一比比例例伸伸縮縮變變換換將將在在波波某某一一倍倍數(shù)數(shù)伸伸縮縮時時，其其小小該該性性質質表表明明，當當信信號號以以，則則若若的的。對對于于任任何何伸伸縮縮也也是是共共變變也也是是小小波波變變換換關關系系。babaaaWatafbaWtfbbaWbtffff,),(1),(),()(),()(00000 （3）微分運算）微分運算 dtttt

47、fttfWbannnnnba)()()1()(, （4）冗余性：小波基函數(shù)不唯一。）冗余性：小波基函數(shù)不唯一。 信號信號f(x)的小波變換與小波重構不存在一一對應的的小波變換與小波重構不存在一一對應的關系，而傅里葉變換與逆變換存在一一對應關系；小關系，而傅里葉變換與逆變換存在一一對應關系；小波變換的基函數(shù)有多種可能的選擇。波變換的基函數(shù)有多種可能的選擇。（5）小波逆變換存在性（重構性）小波逆變換存在性（重構性） 小波變換是一種信息保持型的可逆變換，原來信小波變換是一種信息保持型的可逆變換，原來信號的信息完全保留在小波變換系數(shù)中。號的信息完全保留在小波變換系數(shù)中。（6）能量比例性）能量比例性 在

48、允許條件下，小波變換幅度的平方的積分與信在允許條件下，小波變換幅度的平方的積分與信號能量成正比。號能量成正比。（7）正則性）正則性 小波變換隨尺度小波變換隨尺度a的減少而迅速減少，以保證其的減少而迅速減少，以保證其在頻域上較好的局域性能。在頻域上較好的局域性能。3.幾種典型的一維小波幾種典型的一維小波 1 ,21121,01)(1ttthHaar 小小波波）連連續(xù)續(xù)（1-111/2連續(xù)連續(xù)Haar小波的波形：小波的波形：離散哈爾小波變換：離散哈爾小波變換： 用哈爾小波作為基函數(shù)的對稱、可分離的變換。用哈爾小波作為基函數(shù)的對稱、可分離的變換。哈爾小波具有尺度和位置雙重屬性。哈爾小波是最哈爾小波具有尺度和位置雙重屬性。哈爾小波是最經(jīng)典、最簡單的正交小波。具有廣泛應用。經(jīng)典、最簡單的正交小波。具有廣泛應用。 222122121 02 2 1)( 1)(2/2/0其其他他，且且離離散散哈哈爾爾函函數(shù)數(shù)定定義義：ppppppkqxq-qxq-NxhNxh 式中，式中，p為尺度，為尺度，q為平移參數(shù)，它們都為整數(shù)。為平移參數(shù)，它們都為整數(shù)。矩矩形形脈脈沖沖對對?；瘮?shù)數(shù)都都有有單單獨獨的的一一個個時時為為常常數(shù)數(shù)，其其余余每每個個一一組組基基函函數(shù)數(shù)。除除了了則則可可以以產產生生如如果果令令對對于于0,1,1 ,0 iNix