復(fù)變函數(shù)試題庫

1、1、復(fù)變函數(shù)論試題庫梅一A111復(fù)變函數(shù)考試試題(一)10.若z0是f(z)的極點(diǎn),則limf(z)zZ0dz|zzo11(zz0)n三.計(jì)算題(40分)：(n為自然數(shù))2_2_2.sinzcosz3.函數(shù)sinz的周期為f-.7、3-4 .設(shè)z1,則f(z)的孤立奇點(diǎn)有.5 .哥級(jí)數(shù)nzn的收斂半徑為.n06 .若函數(shù)f(z)在整個(gè)平面上處處解析，則稱它是什limzn7.若nlim,則nZiz2znnzeRes(=Q)8.z,其中n為自然數(shù).sinz9.的孤立奇點(diǎn)為zf(z)1.設(shè)內(nèi)的羅朗展式11(z1)(z2)求f(z)在Dz:0|z|1dz.2 .|z|1cosz,、3271一.3 .設(shè)

2、,c其中C(z:|z|3,試求f'(1i).z1w4 .求復(fù)數(shù)z1的實(shí)部與虛部.四.證明題.(20分)1 .函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析.證明：如果|f(z)|在D內(nèi)為常數(shù),那么它在D內(nèi)為常數(shù).2.試證：f(z)7z(1z)在割去線段0Rez1的z平面內(nèi)能分出兩個(gè)單值解析分支，并求出支割線0Rez1上岸取正值的那支在z1的值.復(fù)變函數(shù)考試試題(二)填空題.(20分)1 .設(shè)zi,則|z|,argz,z2 .設(shè)f(z)(x22xy)i(1sin(x2y2),zxiyC三.計(jì)算題.(40分)3、1 .求函數(shù)Sin(2z)的哥級(jí)數(shù)展開式.r2 .在復(fù)平面上取上半虛軸作割線.試在所得的區(qū)域內(nèi)取定

3、函數(shù)Vz在正實(shí)軸取正實(shí)值的一個(gè)解析分支，并求它在上半虛軸左沿的點(diǎn)及右沿的點(diǎn)zi處的值.3.|zzo|dz1(zzo)n.(n為自然數(shù))i3.計(jì)算積分：IJz|dz,積分路徑為(1)單位圓(|z|1)的右半圓.4.哥級(jí)數(shù)nzn的收斂半徑為n05 .若zo是f(z)的m階零點(diǎn)且m>0,則zo是f'(z)的零點(diǎn).6 .函數(shù)ez的周期為.537 .萬程2zz3z80在單位圓內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，1，8 .設(shè)f(z)2,則f(z)的孤立奇點(diǎn)有.1z9.函數(shù)f(z)|z|的不解析點(diǎn)之集為.4.求10.y，1)iz2sinzdz四.證明題.(20分)1 .設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，試證：f(z)

4、在D內(nèi)為常數(shù)的充要條件是f(z)在D內(nèi)解析.2 .試用儒歇定理證明代數(shù)基本定理.復(fù)變函數(shù)考試試題(三)二.填空題.(20分)1 一.、1 .設(shè)f(z)一，則f(z)的定義域?yàn)?z12.函數(shù)ez的周期為.3.4.5.若zn-2i(1-)n,則limZn1nnn.227sinzcosz.dz|ZZ011(zz0)n.(n為自然數(shù))6 .哥級(jí)數(shù)nxn的收斂半徑為.n0一17 .設(shè)f(z)F；,則f(z)的孤立奇點(diǎn)有z18 .設(shè)ez1,則z2.3.4.四.1.試求哥級(jí)數(shù)n算下列積分:r966求z2zn!zn的收斂半徑.黑，其中C是|z|1.Cz2(z29)z28z20在|z|<1內(nèi)根的個(gè)數(shù).證明

5、題.(20分)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析.證明：如果|f(z)|在D內(nèi)為常數(shù)，那么它在D內(nèi)為常數(shù).2.設(shè)f(z)是一整函數(shù),并且假定存在著一個(gè)正整數(shù)n,以及兩個(gè)正數(shù)9 .若馬是f(z)的極點(diǎn)，則limf(z)zz0z_e一10 .Res(en,0).z三.計(jì)算題.(40分)11.將函數(shù)f(z)z2ez在圓環(huán)域0z內(nèi)展為Laurent級(jí)數(shù).r及m使彳#當(dāng)|z|R時(shí)|f(z)|M|z|n,證明f(z)是一個(gè)至多n次的多項(xiàng)式或一常數(shù)。復(fù)變函數(shù)考試試題(四)二.填空題.(20分)1 口加1 .設(shè)z，則1 i2.若lim4,則n3.|z|2(9z2)(z一dz.i)4.一-z函數(shù)f(z)e1z有哪些奇點(diǎn)

6、？各屬何類型(若是極點(diǎn)，指明它Rez,Imzlimz1z2znnn3 .函數(shù)ez的周期為.一，1，一，4 .函數(shù)f(z)r的寨級(jí)數(shù)展開式為1z25 .若函數(shù)f(z)在復(fù)平面上處處解析，則稱它是.6 .若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除去有限個(gè)極點(diǎn)之外處處解析，則稱它是D內(nèi)的.7 .設(shè)C:|z|1,則(z1)dz.Csinz_一8 .的孤立奇點(diǎn)為.9 .若馬是f(z)的極點(diǎn)，則limf(z).zz0ze10 .Res(-,0).z三.計(jì)算題.(40分)31 .解方程z10.ze2 .設(shè)f(z)，求Res(f(z),).z1的階數(shù)).四.證明題.(20分)1 .證明：若函數(shù)f(z)在上半平面解析，則函數(shù)f

7、(z)在下半平面解析.2 .證明z46z30方程在1|z|2內(nèi)僅有3個(gè)根.復(fù)變函數(shù)考試試題(五)二.填空題.(20分)1 .設(shè)z173,則|z|,argz,zz2 .當(dāng)z時(shí)，e為實(shí)數(shù).3 .設(shè)ez1,則z.z4 .e的周期為.5 .設(shè)C:|z|1,則(z1)dz.Cez1小6 .Res(,0).z7 .若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除去有限個(gè)極點(diǎn)之外處處解析，則稱它是的。一，1，一，8 .函數(shù)f(z)2的哥級(jí)數(shù)展開式為1 z2sinz9. 的孤立奇點(diǎn)為.、幾一E110.設(shè)C是以為a心，r為半徑的圓周，則dzC(za)n(n為自然數(shù))三.計(jì)算題.(40分)z11 .求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部.z12 .計(jì)算積

8、分：IlRezdz,在這里L(fēng)表示連接原點(diǎn)到1i的直線段.，2d3 .求積分：I,其中0<a<1.012acosa4 .應(yīng)用儒歇定理求方程z(z),在|z|<1內(nèi)根的個(gè)數(shù)，在這里(z)在|z|1上解析，并且|(z)|1.四.證明題.(20分)21 .證明函數(shù)f(z)|z|除去在z0外，處處不可微.2 .設(shè)f(z)是一整函數(shù)，并且假定存在著一個(gè)正整數(shù)n,以及兩個(gè)數(shù)R及m,使得當(dāng)|z|R時(shí)|f(z)|M|z|n,、,ix10.公式ecosxisinx稱為1、limn3,試求f(1i).證明：f(z)是一個(gè)至多n次的多項(xiàng)式或一常數(shù).復(fù)變函數(shù)考試試題(六)1.一、填空題(20分)n21

9、°一1.若zni(1)n,則limzn.1nn12. 設(shè)f(z),則f(z)的定義域?yàn)閦21.3. 函數(shù)sinz的周期為.一一224. sinzcosz.5. 哥級(jí)數(shù)nzn的收斂半徑為.n06 .若z0是f的m階零點(diǎn)且m1,則z0是f(z)的零點(diǎn).7 .若函數(shù)f(z)在整個(gè)復(fù)平面處處解析，則稱它是.8 .函數(shù)f(z)z的不解析點(diǎn)之集為.、53.、.9 .方程2zz3z80在單位圓內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.二、計(jì)算題(30分)3712、設(shè)f(z)cd，其中Cz:zze3、設(shè)f(z),求Res(f(z),i).z1sinz34、求函數(shù)6在0z內(nèi)的羅朗展式zz1,5、求復(fù)數(shù)w的實(shí)部與虛部.z1-i6

10、、求e3的值.三、證明題(20分)1、方程z79z66z310在單位圓內(nèi)的卞的個(gè)數(shù)為6.2、若函數(shù)f(z)u(x,y)iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析，v(x,y)等于常數(shù),則f(z)在D恒等于常數(shù)13、若4是f(z)的m階零點(diǎn)，則z0是的m階極點(diǎn).f二.填空題1.試卷一至十四參考答案復(fù)變函數(shù)考試試題(一)參考答案6.計(jì)算下列積分.(8分)2.1;3.2k，(kz)5.odz;(2)口一dz.zi2/、2iz4z2(z3)(z2)一，2d7.計(jì)算積分一d.(6分)053cos8.求下列哥級(jí)數(shù)的收斂半徑.(6分)nn(1I)z;n1(2)(n!)2nnznin9.設(shè)f(z)my3nx2yi(x3Ix

11、y2)為復(fù)平面上的解析函數(shù)，試確定l,m,n的值.(6分)三、證明題.1 .設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，f(z)在區(qū)域D內(nèi)也解析，證明f(z)必為常數(shù).(5分)2 .試證明azazb0的軌跡是一直線，其中a為復(fù)常數(shù)，b為實(shí)常數(shù).(5分)6.整函數(shù);7.；8.(n1)!9.0；10.三.計(jì)算題.1.解因?yàn)?f(z)1,所以0(z1)(z2)2.解因?yàn)閦一Resf(z)lim2z2cosz(f)n.limz2sinz1,Resf(z)z_2z-lim2zcosz21.lim1.z_sinz2令f(z)uiv,則f(z)2u2v2c2.兩邊分別對(duì)x,y求偏導(dǎo)數(shù)，得uuxvvx0(1)UUyWy0(

12、2)2i(Resf(z)z_2Resf(z)0.z_223.解令()371,則它在z平面解析，由柯西公式有在z3，1所以dz|z|2cosz內(nèi)，f修2i.所以f(1i)2i(z)z1i2i(136i)2(613i).4.解令zabi,則因?yàn)楹瘮?shù)在D內(nèi)解析，所以u(píng)xvy,uyVx.代入(2)則上述方程組變?yōu)閡uxWx022.消去ux得，(uv)vx0.vuxuvx0221) 若uv0,則f(z)0為常數(shù).2) 若vx0,由方程(1)(2)及C.R.方程有ux0,uy0,vy0.所以u(píng)c1,vc2.(g。為常數(shù)).2(a1bi)12(a1)2b(a1)2b2(a1)2b2(a1)2b2._z1故R

13、e(-)1z12(a1)(a1)2b2Im(-z2b(a1)2b2所以f(z)Gic2為常數(shù).四.證明題.2.證明f(z)Jz(1z)的支點(diǎn)為z0,1.于是割去線段0Rez1的1.證明設(shè)在D內(nèi)f(z)C.z平面內(nèi)變點(diǎn)就不可能單繞0或1轉(zhuǎn)一周，故能分出兩個(gè)單值解析分支.由于當(dāng)z從支割線上岸一點(diǎn)出發(fā)，連續(xù)變動(dòng)到z0,1時(shí)，只有z的幅角增加.所以f(z)Jz(1z)的幅角共增加-.由已知所取分支在支割線上岸取正值于是可認(rèn)為該分支在上岸之幅角為0,因而此分支在z1的幅角為一,2故f(1)、.2e2i.2i.復(fù)變函數(shù)考試試題(二)參考答案二.填空題2.3(1sin2)i；3.5.m6.2k(kz).7.

14、0;8.i；9.R；10.0.計(jì)算題3、1.解sin(2z)(1)n(2z3)2n1(1)n22n16nz0(2n1)!n0(2n1)!2.解令zreii2k則f(z)、,zre2,(k0,1).又因?yàn)樵谡龑?shí)軸去正實(shí)值，所以k0.i_所以f(i)e4.3.單位圓的右半圓周為zei,-22i二ii;所以izdz2dee22i."22.4.解sinzL'|z22dz2i(sinz)(z-)2z2四.證明題.1.證明(必要性)令f(z)c12icoszz一2=0.6,則f(z)g心.(a。為實(shí)常數(shù)).令u(x,y)C1,v(x,y)C2.則Uxvyuyvx0.即u,v滿足C.R.,

15、且Ux,Vy,Uy,Vx連續(xù)，故f(z)在D內(nèi)解析.(充分性)令f(z)uiv,則f(z)uiv,因?yàn)閒(z)與f(z)在D內(nèi)解析，所以u(píng)xvy,uyvx,且ux(v)y,Hy(Y*)”.比較等式兩邊得uxVyuyvx0.從而在D內(nèi)u,v均為常數(shù)，故f(z)在D內(nèi)為常數(shù).2.即要證任一n次方程a°znazn1anzan00)有且只有n個(gè)根證明令f(z)a0znazn1aniZan0cn2.解limlimnn!nn(n1)n1(n1)!nlim(一n)nnlim(1n1、n)e.na1anRmax-!：,1,1,a0(z)Rn1|ani|R由儒歇定理知在圓zR內(nèi),a°zn0有

16、相當(dāng)z在C:zR上時(shí)anI(ai|an)Rn1忖0Rnf(z).方程a0zna1zn1an1zan所以收斂半徑為e.3.解令故原式4.解令f(z)z2(z29)2iFze0sff(z)z92z6同個(gè)數(shù)的根.而a0zn0在zR內(nèi)有一個(gè)n重根z0.因此n次方程在zR內(nèi)有n個(gè)根.則在C:z由儒歇定理有N(f,C)四.證明題.1上f(z)與N(f,C)復(fù)變函數(shù)考試試題(三)參考答案1.證明證明二.填空題.1.zzi,2.2k(kz);3.1ei；4.1;5.6.1;7.8.z(2k1)i;9.10.(n1)!.計(jì)算題.1.2二1.解zezz2(112!z2n2z0n!耳臂f(z)2,(z)(z)均解析

17、，1.即在設(shè)在D內(nèi)f(z)令f(z)uiv,則f(z)2兩邊分別對(duì)x,y求偏導(dǎo)數(shù)，得因?yàn)楹瘮?shù)在uuxVUxD內(nèi)解析，所以u(píng)xVVxUVx0.消去Ux得，(u0C.UUxUUyVy,Uy22、V)Vxzez298z.且f(z)vvy(z)8,故內(nèi)，方程只有一個(gè)根.Vx.代入0.(2)則上述方程組變1)u2v20,則f(z)0為常數(shù).2)若Vx0,由方程(1)(2)及C.R.方程有Ux0,Uy0,Vy0.所以UC1,VC2.(Ci,C2為常數(shù)).所以f(z)GiC2為常數(shù).2.證明f(k)(0)取k!2lzl于是由r的任意性知對(duì)一切則對(duì)一切正整數(shù)k!Mrnk.rkn均有f(k)(0)0.n故f(z

18、)Cnzn,即f(z)是一個(gè)至多n次多項(xiàng)式或常數(shù)k0復(fù)變函數(shù)考試試題(四)參考答案.二.填空題.,111.,;2.;3.2ki(kz);4.22(1)nz2n(z1);5.整函數(shù)；n06.亞純函數(shù)；7.0;8.z0;9.;10.1(n1)!.計(jì)算題.1.z2z32.3.4.kz31cos3cos5cos一32kzcos一isin一3isin5isin解Resf(z)故原式2原式21ez11,2,.1lim(z0ez13zez1i(Resf(z)z1iResf(z)zi3、3一i22kisine萬，Resf(z)Resf(z)z=z(ez1)1)zezezezzez0,1,2i(ezi29z2令

19、z(ez1)z(ezez11)zlimz0eze1).zezze0,zz0為可去奇點(diǎn)2ki,當(dāng)z2ki時(shí)，(k0),zez10(ez1)zez1zez而z2kiz2ki一階極點(diǎn).四.證明題.z2ki為1.證明設(shè)F(z)f(z),在下半平面內(nèi)任取一點(diǎn)4,z是下半平面內(nèi)異于zo的點(diǎn)，考慮.F(z)F(zo)f(z)f(£)fG)f(£)limlimlim.zzozz0zz0zz0zz0zz0而z0,z在上半平面內(nèi)，已知f(z)在上半平面解析，因此F()f(z0),從而F(z)f(z)在下半平面內(nèi)解析.42.證明令f(z)6z3,(z)z,則f(z)與(z)在全平面解析，且在C1

20、：z2上，f(z)15(z)16,故在z2內(nèi)N(f,C1)N(,C1)4.在C2：|z1上，|f3|(z)1,故在z1內(nèi)N(f,C2)N(f,C2)1.所以f在1z2內(nèi)僅有三個(gè)零點(diǎn)，即原方程在1z2內(nèi)僅有三個(gè)根.復(fù)變函數(shù)考試試題(五)參考答案1 .判斷題.1 .，2.，3.><4.，5.><6.X7.X8.，9.，10.，.2 .填空題.1.2,-,1.3i;2.a2ki(kz,a為任意實(shí)數(shù));33.(2k1)i,(kz);4.2ki,(kz);5.0;6.0;7.亞純函數(shù)；8.(1)nz2n(z1);9.0;10.n02in1.0n1三.計(jì)算題.1 .解令zabi,則

21、212(a1bi)z1(a1)2b2故Re(-z-)1z12.解連接原點(diǎn)及12(a1)22(a1)b故Rezdzc2(a1)(a1)2b22b(a1)2b2Im)z12b22(a1)bi的直線段的參數(shù)方程為z(1i)t0t1,Re(1i)t(1i)dt(1dz.當(dāng)a0時(shí)iz11ii)tdt022acos2/1、2(za)(1az)a1a(zz)adz1(za)(1az)1內(nèi)f(z)只以復(fù)變函數(shù)考試試題(六)參考答案(za)(1az)無奇點(diǎn)，二、填空題：1.1ei2.3.24.15.Resf(z)za1azi4.解(Z)-2iResf(z),za令f(z)z,1f(z),所以在一個(gè)根.四.1.Ux1-2,(0a1a2-,(0af(z),1),由殘數(shù)定理有1).(z)在z1內(nèi)解析，且在C:z1上,1內(nèi)，N(f,C)N(f,C)即原方程在1內(nèi)只有6.10.歐拉公式三、計(jì)算題：辦2i1.斛：因?yàn)镮62故lim(一n2.解：1i119367.整函數(shù)1,68.9.證明題.證明因2x,Uy2y,VxVyu(x,y)y2,v(x,y)f(z)這四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)在故f(z)只在除了z平面上處處連續(xù)，但只在z0外處