理論力學(xué)3—平面任意力系

1、第三章第三章平面任意力系平面任意力系3 平面任意力系 平面任意力系向作用面內(nèi)一點的簡化 平面任意力系的平衡條件和平衡方程 物體系統(tǒng)的平衡靜定和超靜定問題 平面簡單桁架的內(nèi)力計算3.1.1 力線平移定理 定理：可以把作用在剛體上點A的力F平行移到任一點B，但必須同時附加一個力偶，這個附加力偶的矩等于原來的力F對新作用點B的矩。力線平移定理的逆步驟，亦可把一個力和一個力偶合成一個力。3.1 平面任意力系向作用面內(nèi)一點簡化ABMABFFFFABF力的平移定理揭示了力與力偶的關(guān)系：力力的平移定理揭示了力與力偶的關(guān)系：力 力力+力偶力偶 力平移的條件是附加一個力偶力平移的條件是附加一個力偶m，且，且m與

2、與d有關(guān)，有關(guān)，m=Fd 力的平移定理是力系簡化的理論基礎(chǔ)。力的平移定理是力系簡化的理論基礎(chǔ)。說明說明：OxyijOOxyF1F2FnF1F2FnMnM2M1MOFR3.1.2 平面任意力系向一點簡化主矢與主矩1122nn FFFFFF1122()()()OOnOnMMMMMMFFF3.1.2 平面任意力系向一點簡化主矢與主矩1212nRni FFFFFFFF平面匯交力系力，F(xiàn)R(主矢，作用在簡化中心)平面力 偶 系力偶，MO (主矩，作用在該平面上)平面任意力系平面匯交力系+平面力偶系向一點簡化其中平面匯交力系的合力為平面力偶系的合成結(jié)果為1212()()()()OnOOOnOiMMMMMM

3、MM FFFF 平面任意力系中各力的矢量和稱為平面任意力系的主矢。主矢與簡化中心的位置無關(guān)。RRRxyxyFF FF+ Fij22()()RxyFFF cos(, )cos(, )xRRyRRFFFFFiFj3.1.2 平面任意力系向一點簡化主矢與主矩 原力系各力對簡化中心力矩的代數(shù)和稱為原力系對簡化中心的主矩。一般來說，主矩與簡化中心的位置有關(guān)。3.1.2 平面任意力系向一點簡化主矢與主矩11()()nniOOiyiixiiiMMx Fy F F平面任意力系向作用面內(nèi)任一點O簡化，可得一個力和一個力偶。這個力等于該力系的主矢，作用線通過簡化中心O 。這個力偶的矩等于該力系對于點O的主矩。主矢

4、與簡化中心的位置無關(guān)，主矩和簡化中心的位置有關(guān)。AAA 一物體的一端完全固定在另一物體上所構(gòu)成的約束稱為固定端或插入端支座。3.1.3 平面固定端約束AMAFAyFAxFAMA3.1.4 平面任意力系簡化結(jié)果分析四種情況：(1) FR0，MO0 ; (2) FR 0，MO 0 ; (3) FR 0，MO0 ; (4) FR0，MO0 (1)平面任意力系簡化為一個力偶的情形原力系合成為合力偶。合力偶矩M等于原力系對簡化中心的主矩。此時主矩與簡化中心的位置無關(guān)。()OOMM FF4F1F2F3ABCD四個力是否平衡？ FR0，MO03.1.4 平面任意力系簡化結(jié)果分析(2)平面任意力系簡化為一個合

5、力的情形合力矩定理如果主矩等于零，主矢不等于零，則此時平面力系簡化為一合力，作用線恰好通過簡化中心。如果主矢和主矩均不等于零，此時還可進一步簡化為一合力。如圖OOFRdFRFRFRMOFROOdOOORMdF()ORROMF dMF()OOiMM F結(jié)論：平面任意力系的合力對作用面內(nèi)任一點的矩等于力系中各力對同一點的矩的代數(shù)和。這就是平面任意力系的合力矩定理。3.1.4 平面任意力系簡化結(jié)果分析FRdOO從圖中可以看出所以由主矩的定義知：()()OROiMM FF簡化中心簡化中心：A點點主矢主矢思考：三角形分布載荷處理？思考：三角形分布載荷處理？qlqdxlxRl210主矩主矩2031qlqd

6、xlxxmLlA簡化最終結(jié)果簡化最終結(jié)果lqlqlRLd3221312yxRmAdRxldxqlxR=qlR21 分布在較大范圍內(nèi)，不能看作集中力的荷載稱分布荷載。若分布荷載可以簡化為沿物體中心線分布的平行力，則稱此力系為平行分布線荷載，簡稱線荷載。結(jié)論： 1、合力的大小等于線荷載所組成幾何圖形的面積。2、合力的方向與線荷載的方向相同。3、合力的作用線通過荷載圖的形心。3.1.5 平行分布線荷載的簡化1、均布荷載、均布荷載qlQ 2、三角形荷載、三角形荷載qlQ213、梯形荷載、梯形荷載l/2l/2qQQ23l3lqlq2q1可以看作一個三角形荷載和一可以看作一個三角形荷載和一個均布荷載的疊加

7、個均布荷載的疊加6341P2P3PABC 例例 圖示力系，已知：P1=100N, P2=50N, P3=200N,圖中距離 單位cm。 求：1、力系主矢及對A點之矩？ 2、力系簡化最后結(jié)果。解： 1、建立坐標系xy2、X=Fx=P3 =200NY=Fy=P1+ P2 =100+50 =150N 主矢NYXR2501502002222 8 . 0250200),cos(cosRXxR =36.9R cmN3006506)(2PFmmiAA1P2P3PABCxyRcmN300Am2、簡化最終結(jié)果LA =cm2 . 1250300RLhmARh主矢NR250 主矩最終結(jié)果合力大?。篘RR250 方向

8、: =36.9位置圖示：方向： =36.900ROM F22()()()RxyOOiFFFMM F3.2 平面任意力系的平衡條件和平衡方程3.2.1 平衡條件平面任意力系平衡的必要與充分條件是：力系的主矢和對任一點的主矩都等于零。即22()() ,()RxyOOiFFFMM F3.2 平面任意力系的平衡條件和平衡方程3.2. 2 平衡方程即：平面任意力系平衡的解析條件是：力系中所有各力在其作用面內(nèi)兩個任選的坐標軸上投影的代數(shù)和分別等于零，所有各力對任一點之矩的代數(shù)和等于零。上式稱為平面任意力系的平衡方程。 00()0 xiyiOiFFMF由于所以解：以剛架為研究對象，受力如圖。0:0 xAxF

9、Fqb0:0yAyFFP()0:AMF0212qbPaMA解之得：AxFqbAyFP221qbPaMA例1例1 求圖示剛架的約束反力。APabqAPqFAyFAxMA例2例2 求圖示梁的支座反力。解：以梁為研究對象，受力如圖。0:cos0 xAxFFP0:sin0yAyBFFFP()0:sin()0ABMF aPabmF解之得：cosAxFP sin ()BmPabFasinAymPbFa ABCPabmABCPmFBFAyFAx(1) 二矩式0()0()0 xABFMMFF其中A、B兩點的連線AB不能垂直于投影軸x。由后面兩式知：力系不可能簡化為一力偶，只能簡化為過A、B兩點的一合力或處于平

10、衡。再加第一條件，若AB連線不垂直于x 軸 (或y 軸），則力系必平衡。3.2.3 平衡方程的其它形式(2) 三矩式()0()0()0ABCMMMFFF其中A、B、C三點不能在同一條直線上。注意：注意：以上格式分別有三個獨立方程，只能求出三個未知數(shù)以上格式分別有三個獨立方程，只能求出三個未知數(shù)。 由前面兩式知：力系不可能簡化為一力偶，只能簡化為過A、B兩點的一合力或處于平衡，再加第三條件，力系只能簡化為過A、B、C三點的一合力或處于平衡，若三點不在同一直線上，則力系必平衡。例3例3 懸臂吊車如圖所示。橫梁AB長l2.5 m，重量P1.2 kN，拉桿CB的傾角30，質(zhì)量不計，載荷Q7.5 kN。

11、求圖示位置a2 m時拉桿的拉力和鉸鏈A的約束反力。例3解：取橫梁AB為研究對象。ABEHPQFTFAyFAxa0 xFsin0(2)AyTFPFQ()0AMFcos0(1)AxTFF0yFsin0(3)2TllPFQa 從(3)式解出1()13.2 kNsin2TlFPQal代入(1)式解出cos11.43kNAxTFF代入(2)式解出sin2.1kNAyTFQPF例3CABEHPQFTFAyFAxasin0(2)AyTFPFQcos0(1)AxTFFsin0(3)2TllPFQa ()0BMF如果再分別取B和C為矩心列平衡方程得()0 (4)2AylPQlFla ()0CMFtan0(5)2

12、AxFllPQa 有效的方程組合是：1,2,3；1,2,4；1,2,5；1,3,4；2,4,5 ；3,4,5 力的作用線在同一平面且相互平行的力系稱平面平行力系。Oxy 平面平行力系作為平面任意力系的特殊情況，當它平衡時，也應(yīng)滿足平面任意力系的平衡方程，選如圖的坐標，則Fx0自然滿足。于是平面平行力系的平衡方程為：0;()0yOFM F平面平行力系的平衡方程也可表示為二矩式：()0;()0ABMM FF其中AB連線不能與各力的作用線平行。3.2.4 平面平行力系的平衡方程F2F1F3Fn例4 已知：塔式起重機 P=700kN, W=200kN (最大起重量)，尺寸如圖。求：保證滿載和空載時不致

13、翻倒，平衡塊Q=？ 當Q=180kN時，求滿載時軌道A、B給起重機輪子的反力？0)(FmB(6 2)2(12 2)(2 2)0APQWN 0ANkN 75Q限制條件：限制條件：解：解： 首先考慮滿載時，起重首先考慮滿載時，起重機不向右翻倒的機不向右翻倒的Q：空載時，空載時，W=0 由0)(FmA0) 22(2) 26(BNPQ限制條件為：限制條件為：0BN解得解得kN 350Q因此保證空、滿載均不倒，因此保證空、滿載均不倒，Q應(yīng)滿足如下關(guān)系：應(yīng)滿足如下關(guān)系：kN 350kN 75Q解得解得: :04) 212(2) 26 (BNWPQ0)(FmA0yiF 0BANNWPQ210 kN870 k

14、NABNN求當求當Q=180kN，滿載，滿載W=200kN時，時，NA ,NB為多少為多少 由平面平行力系的平衡方程可得：由平面平行力系的平衡方程可得： 解得：解得： 由若干個物體通過約束所組成的系統(tǒng)稱為物體系統(tǒng)，簡稱物系。外界物體作用于系統(tǒng)的力稱該系統(tǒng)的外力。系統(tǒng)內(nèi)各物體間相互作用的力稱該系統(tǒng)的內(nèi)力。當整個系統(tǒng)平衡時，系統(tǒng)內(nèi)每個物體都平衡。反之，系統(tǒng)中每個物體都平衡，則系統(tǒng)必然平衡。因此，當研究物體系統(tǒng)的平衡時，研究對象可以是整體，也可以是局部，也可以是單個物體。3.3 物體系的平衡靜定和超靜定問題 在靜力學(xué)中求解物體系統(tǒng)的平衡問題時，若未知量的數(shù)目不超過獨立平衡方程數(shù)目，則由剛體靜力學(xué)理論

15、，可把全部未知量求出，這類問題稱為靜定問題。若未知量的數(shù)目多于獨立平衡方程數(shù)目，則全部未知量用剛體靜力學(xué)理論無法求出，這類問題稱為靜不定問題或超靜定問題。而總未知量數(shù)與總獨立平衡方程數(shù)之差稱為靜不定次數(shù)。3.3 物體系的平衡靜定和超靜定問題 靜不定問題在強度力學(xué)靜不定問題在強度力學(xué)（材力材力, ,結(jié)力結(jié)力, ,彈力）中用位移彈力）中用位移諧調(diào)條件來求解諧調(diào)條件來求解。靜定（未知數(shù)三個）靜定（未知數(shù)三個） 靜不定（未知數(shù)四個）靜不定（未知數(shù)四個）PPPPFPFPF判斷各圖的超靜定次數(shù)判斷各圖的超靜定次數(shù)例5例5 求圖示三鉸剛架的支座反力。解：先以整體為研究對象，受力如圖。0:0 xAxBxFFF

16、F0:0yAyByFFFqa()0:3202AByMFaFaqaaF可解得：3124ByFFqaCBqaaaAFFAxFAyqCBAFFBxFBy1142AyFqaF例5再以AC為研究對象，受力如圖。()0:0CAxAyMF aF aF解得：1142AxAyFFqaF1124BxFFqa FAxFAyFCxFCyAFCCBqaaaAF例6例6求圖示多跨靜定梁的支座反力。解：先以CD為研究對象，受力如圖。3()0:3302CDMFqF32DFq再以整體為研究對象，受力如圖。0:0 xAxFF0:40yAyBDFFFFFq()0:842460ADBMFFFqF132BFFq1122AyFFqCBq

17、22FAD13FCxFCyFDqFFAxFAyFDFBq解得CDCBAD例7例7 求圖示結(jié)構(gòu)固定端的約束反力。解：先以BC為研究對象，受力如圖。0:0CMF bMCBMFFb再以AB部分為研究對象，受力如圖。0:0 xAxBFFFF0:0yAyFFqa( )0AMF21()02ABMF abqaF a 求得BBFF ,AxAyAMFFFqa MbCBqFAMbaaFBMCBFCFBFAyqFBAMAFAx例4例8 組合結(jié)構(gòu)如圖所示，求支座反力和各桿的內(nèi)力。解：先以整體為研究對象，受力如圖。0:0 xAxDFFF0:(2)0yAyFFqab212()0(2)0ADMF aqabF解之得：2(2)

18、2DqabFa2(2)2AxqabFa (2)AyFqabaaabDACEFBq123DACEFBq123FDFAxFAy130:cos450 xFFF230:sin450yFFF23(2)2qabFa 22(2)2qabFaF1F2F3Cxy45例例41DFF再以鉸C為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標。aaabDACEFBq123例9例9 圖示結(jié)構(gòu)，各桿在A、E、F、G處均為鉸接，B處為光滑接觸。在C、D兩處分別作用力P1和P2，且P1P2500 N，各桿自重不計，求F處的約束反力。解：先以整體為研究對象，受力如圖。()0:AMF214260BFPP解得：1000NBF 2m2m2m2m2m

19、2mADEFGBCP1P2P1P2ADEFGBCFAxFAyFB例9再以DF為研究對象，受力如圖。2()0:220EFyMPFF解得：2500 NFyFP 最后以桿BG為研究對象，受力如圖。()0:GMF4220BFyFxFFF解得：1500 NFxF P2DEFFEyFFyFFxFExFGyFBFGBFGxFFyFFx2m2m2m2m2m2mADEFGBCP1P2ABCD例10例10 三根等長同重均質(zhì)桿(重W)如圖在鉛垂面內(nèi)以鉸鏈和繩EF構(gòu)成正方形。已知：E、F是AB、BC中點，AB水平，求繩EF的張力。解1：取AB分析，受力如圖。不妨設(shè)桿長為l。()0:BMFsin450(1)22AyTl

20、lF lWF再以整體為研究對象，受力如圖。0:yF30(2)AyDyFFWABCDFByFBxABFAxFAyWFTWWWFAxFAyFDxFDy例10最后以DC為研究對象，受力如圖。0(3)2DylF lW聯(lián)立求解(1)、(2)、(3)得：42TFW()0:CMFFCyFCxDCFDxFDyWABCD解2：先以BC為研究對象，受力如圖。sin450(4)2CxTlFlF 再以DC為研究對象，受力如圖。0 xFFCxFCyFBxFByBCW()0:BMFFT0(5)DxCxFFABCD例10聯(lián)立求解(4)、(5)、(6)即可的同樣結(jié)果。最后以整體為研究對象，受力如圖。20(6)2DxlF lW

21、Wl()0:AMFABCDWWWFAxFAyFDxFDyABCD解2：先以BC為研究對象，受力如圖。sin450(4)2CxTlFlF 再以DC為研究對象，受力如圖。0 xF()0:BMF0(5)DxCxFF例11例11 三無重桿AC、BD、CD如圖鉸接，B處為光滑接觸，ABCD為正方形，在CD桿距C三分之一處作用一垂直力P，求鉸鏈 E 處的反力。解：先以整體為研究對象，受力如圖。0:0 xAxFF2()0:03ABMF lPlF0:0yAyBFFFP解得：13AyFP23BFPPlDl2l/3CABEPDCABEFAxFAyFBEPD2l/3CB例11下面用不同的方法求鉸鏈 E 的受力。方法

22、1：先以DC為研究對象。2()0:03DCylMFlP F23CyFP再以BDC為研究對象。0:0yEyBCyFFFFP13EyFP ()0:0232CExEylllMFPFFExFP 類似地，亦可以DC為研究對象，求FDy，再以ACD為研究對象求解。PD2l/3CFDxFDyFCxFCyFBFExFEyFCxFCy例11方法2：分別以ACD和AC為研究對象。()0:DMF20223AxExEylllF lFFP022AxAyExEyllF lF lFF聯(lián)立求解以上兩方程即得同樣結(jié)果。類似地，亦可以BDC和BD為研究對象，進行求解。P2l/3DCAEFExFEyFDxFDyFAxFAyCAEF

23、AxFAyFExFEyFCxFCy()0:CMF例11方法3：分別以BD和AC為研究對象，受力如圖。1202BEF lFl12 23EFP2202AxEAyF lFlF l2223EEFPF 用RE1、RE2表示的約束反力和用FEx、FEy表示的約束反力本質(zhì)上是同一個力。CAEFAxFAyFExFEyFE2FE1DBEFDxFDyFE2FE1FB()0:DMF()0:CMF例12例12 兩根鉛直梁AB、CD與水平梁BC鉸接，B、C、D均為光滑鉸鏈，A為固定支座，各梁的長度均為l2 m，受力情況如圖所示。已知水平力F6 kN，M4 kNm，q3 kN/m。求固定端A及鉸鏈C的約束反力。ABCDF

24、2l/3l/2 Mq0MBCFByFBxFCxFCy解: (1) 取BC分析()0:0BCyMMFl F2 kNCyMFl 求得結(jié)果為負說明與假設(shè)方向相反。例12(2) 取CD分析FCDFCxFCyFDxFDy2()0:03DCxlMFlF F24 kN3CxFF 求得結(jié)果為負說明與假設(shè)方向相反。ABCDF2l/3l/2 Mq0例12Mq0FCxFCyFAyMAFAxBCA(3) 取AB、BC分析10:02xCxAxFFFql11( 4)3 21kN22AxCxFFql 0:0yAyCyFFF( 2)2 kNAyCyFF ()0:11023AACyCxMMMqllFlFl F6 kN mAM

25、求得結(jié)果為負說明與假設(shè)方向相反，即為順時針方向。ABCDF2l/3l/2 Mq0ABEDax1234EACBD例13例13 編號為1、2、3、4的四根桿件組成平面結(jié)構(gòu)，其中A、C、E為光滑鉸鏈，B、D為光滑接觸，E為中點，各桿自重不計。在水平桿 2 上作用一鉛垂向下的力 F，試證明無論力 F 的位置 x 如何改變，其豎桿 1 總是受到大小等于F 的壓力。F解：本題為求二力桿（桿1）的內(nèi)力FA1或FC1。為此先取桿2、4及銷釘A為研究對象，受力如圖。FFA1FEyFExFND1NN()0:()0( )2222EABDMbbbbFFxFFaFb上式中FND和FNB為未知量，必須先求得；為此再分別取

26、整體和桿2為研究對象。FNB例13ABFFAyFAxN()0:0CDMFbFxF取整體為研究對象，受力如圖。FNBxa1234EACBDbNDFxFbN()0:0ABMF bFxF取水平桿2為研究對象，受力如圖。NBFxFb代入（a）式得1AFF FA1為負值，說明桿1受壓，且與x無關(guān)。FFNDFCyFCx例14（習(xí)題3-32）F2F1ABCD4.54.53422習(xí)題332 構(gòu)架尺寸如圖所示(尺寸單位為m)，不計各桿件自重，載荷F1=120 kN, F2=75 kN。求AC及AD兩桿所受的力。F2F1ABCFCDFAxFAyFAD解：1.取三角形ABC分析，其中A、C處應(yīng)帶有銷釘：()0:AM

27、F214327.51240:55CDCDFFFF 43145.83kNCDF CD桿受壓力。（教材參考答案是87.5 kN)例14（習(xí)題3-32）F2F1ABCD4.54.53422F1BCFBxFByFCAFCD2. 取BC分析，注意在C處應(yīng)帶有銷釘。()0:BMF122444.5990:5124CDCAFFF 179.19 kNCAF3.4 平面簡單桁架平面簡單桁架的內(nèi)力分析平面簡單桁架的內(nèi)力分析工程中的桁架結(jié)構(gòu)工程中的桁架結(jié)構(gòu)3.4 平面簡單桁架 桁架是由桿件彼此在兩端用鉸鏈連接形成的幾何形狀不變的結(jié)構(gòu)。桁架中所有桿件都在同一平面內(nèi)的桁架稱為平面桁架。桁架中的鉸鏈接頭稱為節(jié)點。 為簡化桁

28、架計算，工程實際中采用以下幾個假設(shè)： (1)桁架的桿件都是直桿； (2)桿件用光滑鉸鏈連接； (3)桁架所受的力都作用到節(jié)點上且在桁架平面內(nèi)； (4)桁架桿件的重量略去不計，或平均分配在桿件兩端的節(jié)點上。這樣的桁架，稱為理想桁架。3.4 平面簡單桁架 桁架內(nèi)每個節(jié)點都受平面匯交力系作用，為求桁架內(nèi)每個桿件的內(nèi)力，逐個取桁架內(nèi)每個節(jié)點為研究對象，求桁架桿件內(nèi)力的方法即為節(jié)點法。3.4.1 節(jié)點法 例14 平面桁架的尺寸和支座如圖，在節(jié)點D處受一集中荷載F = 10 kN的作用。試求桁架各桿件所受的內(nèi)力。解：先以整體為研究對象，受力如圖。0,0 xAxFF0,0yAyByFFFF()0, 240A

29、ByMFFF3.4.1 節(jié)點法2mF2mABCD3013425AB30134DC5 kNByF5 kNAyFFFByFAyFAx再分別以節(jié)點A、C、D為研究對象，受力如圖。3.4.1 節(jié)點法FAyFAxF1F2AFF3F2F5DF3F4F1C210,cos300 xAxFFFF10,sin300yAyFFF節(jié)點A410,cos30cos300 xFFF3140,()sin300yFFFF節(jié)點C520,0 xFFF節(jié)點D解上述5個議程得1234510 kN,8.66 kN,10 kN10 kN,8.66 kNFFFFF 其中1，4桿受壓。三桿節(jié)點無載荷、其中兩桿在三桿節(jié)點無載荷、其中兩桿在一條直線上，另一桿必為零力桿。一條直線上，另一桿必為零力桿。12SS且四桿節(jié)點無載荷、其中兩兩在四桿節(jié)點無載荷、其中兩兩在一條直線上，同一直線上兩桿一條直線上，同一直線上兩桿內(nèi)力等值。內(nèi)力等值。12SS34SS兩桿節(jié)點無載荷、且兩桿不在兩桿節(jié)點無載荷、且兩桿不在一條直線上時，該兩桿是零力桿。一條直線上時，該兩桿是零力桿。特殊桿件的內(nèi)力判斷特殊桿件的內(nèi)力判斷021 SS例例13 已知 P d,求：a.b.c.d四桿的內(nèi)力？ 解解：由零桿判式0adcSSS研究A點： 0Y由045cosPSobPSb2 用假想的截面將桁架截開，取至少包含兩