直線與橢圓的位置關(guān)系--中點弦問題_第1頁
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1、中點弦問題中點弦問題例例2:經(jīng)過橢圓:經(jīng)過橢圓 的左焦點作直線的左焦點作直線l,直線,直線l交交橢圓于橢圓于A,B兩點,兩點,當(dāng)直線當(dāng)直線l l傾斜角為傾斜角為9090時,求時,求ABAB的長;的長;222:2,1,1.abc解 由橢圓方程知.則點A、B的橫坐標為-122xy 將 =-1代入橢圓方程得:2AB1y222x通通徑徑22baAB 一般地:在橢圓標準方程下通徑弦長公式弦長公式例例2:經(jīng)過橢圓:經(jīng)過橢圓 的左焦點作直線的左焦點作直線l,直線,直線l交交橢圓于橢圓于A,B兩點,兩點,當(dāng)直線當(dāng)直線l l傾斜角為傾斜角為6060時,求時,求ABAB的長;的長;222:2,1,1.abc解 由

2、橢圓方程知( 1,0).F 左焦點:31 .lyx直線 方程為()223112yxxy()2712400yxx 消 得:此時1122( ,), (,)A x yB xy設(shè)1212124,77xxxx 22212121211()4ABkxxkxxxx8 271y222x弦長公式弦長公式總結(jié):總結(jié):聯(lián)立方程組聯(lián)立方程組消去其中一個未知消去其中一個未知數(shù)得一元二次方程數(shù)得一元二次方程韋達定理韋達定理弦長公式弦長公式弦長公式:弦長公式:221|1|1|ABABABkxxyyk22416M(2,1) .xy例題:在橢圓中,求過點且被這點平分的弦所在的直線 方程法一:當(dāng)直線斜率不存在時,法一:當(dāng)直線斜率不

3、存在時,M不可能為不可能為弦中點,所以弦中點,所以直線斜率存在直線斜率存在,設(shè)直線方程,設(shè)直線方程為為y=k(x-2)+1,代入橢圓方程,消去代入橢圓方程,消去y得得0121616)816()41 (2222kkxkkxk0)3412(16, 04122kkk21, 4418162221kkkkxx得由故直線方程為故直線方程為x+2y-4=022416M(2,1) .xy例題:在橢圓中,求過點且被這點平分的弦所在的直線 方程11122212( ,),(,),P x yP xyP P解:法二:設(shè)弦兩端點為在橢圓上)4( 14)3( 14)2( 2) 1 ( 4222221212121yxyxyy

4、xx0)(4)()4()3(21212121yyyyxxxx得0)(8)4)2)(1 (2121yyxx(代入上式得在將21,212121xxyykxx所以方程為所以方程為x+2y-4=0中點問題 小結(jié):小結(jié):解決中點弦的問題解決中點弦的問題兩種方法兩種方法(1)聯(lián)立方程組,消元,利用根與系數(shù)的關(guān)系)聯(lián)立方程組,消元,利用根與系數(shù)的關(guān)系(韋達定理)進行設(shè)而不求,從而簡化運算(韋達定理)進行設(shè)而不求,從而簡化運算.(2)利用利用“點差法點差法”即即即 P(x0,y0)是弦 AB 的中點,A(x1,y1)、B(x2,y2)在橢圓上, 將 A、B 坐標代入橢圓方程兩式相減,然后結(jié)合 x1x22x0,

5、y1y22y0,及y2y1x2x1k 求解 2注意“設(shè)而不求,整體代換”方法的應(yīng)用 中點弦問題有兩種方法解答常用判別式法,選擇填空常用“點差法”求解,例例1焦點分別為焦點分別為 和和 的的橢圓截直線橢圓截直線y=3x-2所得橢圓的弦的中點所得橢圓的弦的中點的橫坐標為的橫坐標為0.5,求此橢圓方程。,求此橢圓方程。)25 , 0()25, 0( 思路點撥:思路點撥:法法1:設(shè)橢圓的方程:設(shè)橢圓的方程聯(lián)立橢圓與直線方程聯(lián)立橢圓與直線方程利用根與系數(shù)的關(guān)系設(shè)而不解利用根與系數(shù)的關(guān)系設(shè)而不解由中點列出方程由中點列出方程焦點已知焦點已知求出方程求出方程法法2:由:由“點差法點差法”求解求解. 解:法一:解:法一:) 1 ( 50)25(),0( 12222222babaaybx且設(shè)2312222xyaybx由0412)9(2222222babxbxba2196,21222221babxx0(2), 322此時ba17525,25,75: )2)(1 (2222yxba由法二法二:)0( 12222babxay設(shè)橢圓方程為 (2) 1 (1) 1),(),A(2222222212212211bxaybxayyxByx則直線直線y=3x-2與橢圓交與與橢圓交與A、B兩點兩點.21,21),(, 30000yxyxABkAB中點12121212222121221212()()()()(

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