數(shù)值分析課件2015xin王兵團-數(shù)值分析整理

1、數(shù)值分析1 .數(shù)值分析的病態(tài)性是指因初始數(shù)據(jù)的微小變化,導(dǎo)致計算結(jié)果的劇烈變化.病態(tài)問題：因初始數(shù)據(jù)微小變化,導(dǎo)致計算結(jié)果劇烈變化的問題良態(tài)問題：初始數(shù)據(jù)微小變化,只引起計算結(jié)果微小變化的計算問題.數(shù)值不穩(wěn)定算法：指算法進行計算的初始數(shù)據(jù)有誤差,而計算過程中產(chǎn)生的舍入誤差不斷增長.例子2 .誤差的來源：模型誤差：在數(shù)學建模時,由于忽略了某些次要因素而產(chǎn)生的誤差；觀測誤差：在采集原始數(shù)據(jù)時,由儀器的精度或其他客觀因素產(chǎn)生的誤差；截斷誤差：對產(chǎn)與計算的數(shù)學公式做簡化處理后所產(chǎn)生的誤差；舍入誤差：計算機因數(shù)系不全,由接受和運算數(shù)據(jù)的舍入引起的誤差.科學計算中值得注意的地方：預(yù)防兩個相近的數(shù)相減；合理

2、安排量級相差很大的數(shù)之間的運算次序,預(yù)防大數(shù)吃小數(shù)；預(yù)防絕對值很小的數(shù)做分母；簡化運算步驟,減少運算次數(shù).3 .用計算機做科學計算時的溢出錯誤.機器數(shù)系是有限的離散集,機器數(shù)系中有絕對值最大和最小的非零數(shù)M和m,假設(shè)一個非零實數(shù)的絕對值大于M,那么計算機產(chǎn)生上溢錯誤,假設(shè)其絕對值小于m,那么計算機產(chǎn)生下溢錯誤.上溢錯誤時,計算機中斷程序處理；下溢錯誤時,計算機將此數(shù)用零表示并繼續(xù)執(zhí)行程序.4 .解非線性萬程f(x)=0單根的牛頓法具有二階收斂.簡單迭代法具有一階收斂性.當f(X)10且有2階導(dǎo)數(shù)時,Newton迭代法才有二階斂速.5 .又t(n+1)個節(jié)點的Newton-cotes求積公式,在

3、n£7時,Cotes系數(shù)大于0,而在n>7時,考慮到公式的穩(wěn)定性不實用該公式.6 .當系數(shù)矩陣A是嚴格對角占優(yōu)矩陣,Jacobi格式、Seidel格式都收斂.7 .用高斯消元法求解線性方程組,一般使用選主元的技術(shù)是由于要減少舍入誤差.8 .解非線性方程組迭代法的整體收斂和局部收斂的主要區(qū)別是局部收斂在較小鄰域內(nèi)取初值,有初值限制.9 .二分法是全部收斂,簡單迭代法是局部收斂.10 .四種插值方法：Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值、分段多項式插值.11 .截斷誤差是對參與計算的數(shù)學公式作簡化處理后所產(chǎn)生的誤差,在所學的數(shù)值方法中插值和數(shù)值積分都涉及截斷誤

4、差處理的內(nèi)容,分別為插值余項和積分余項.例：ex=1+*+'+±+無窮項相加我們用ex=1+x+"L+匕近似計算ex就產(chǎn)生截斷誤差.2!n!2!n!12 .線性方程組迭代解法的根本思想是將現(xiàn)行方程組作等價變形,得到同解的易于作迭代計算的線性方程組,用計算出的迭代序列來逼近解.考慮線性方程組Ax=b及由次方程組構(gòu)造的迭代格式x(k+1)=Bx(k)+g,判斷此迭代格式的收斂方法有：(1)假設(shè)r(B)<1,那么迭代格式收斂；(2)假設(shè)|b|<1,那么迭代格式收斂,Ib|是矩陣B的某種算子范數(shù)；(3)假設(shè)矩陣A是嚴格對角占優(yōu)矩陣,那么線性方程組Ax=b的Jac

5、obi迭代和Seidel迭代對任意初值都收斂；(4)假設(shè)矩陣A是對稱正定矩陣,那么線性方程組Ax=b的Seidel迭代對任意初值都收斂；(5)Sor法收斂的必要條件是松弛因子w滿足0<w<2.町x?a,b?定收斂于陰,b?上的為一根x13.Newton迭代公式的收斂條件：(1)f(a)Xf(b)<0(2)f(x)10,、-'',、那么x0?我,b?只要f(x0)f(x0)>0,那么迭代公式產(chǎn)生的數(shù)列14.引入分段插值的原因及目的.Runge現(xiàn)象：隨著節(jié)點n的增加,誤差不但沒減小,反而不斷增大.原因是當節(jié)點n較大時,對應(yīng)的是高次插值多項式,而高次多項式的舍

6、入誤差是隨次數(shù)的增加而不斷變大的,用高次多項式插值作數(shù)值計算時舍入誤差將淹沒了增加節(jié)點提升的精度.Runge現(xiàn)象否認了用高次插值公式提升逼近精度的做法,因此引入了分段插值法.定義如下：取華,b?上的n+1個節(jié)點xk：a=x0<x1Vx2V<xn=b,并給出這些節(jié)點上的函數(shù)值f(xk)=gk,k=0,1J,n.假設(shè)函數(shù)j(x)茜足條件：(i)j(x)?a,b?±連續(xù)；(2)j(x)=yk,k=0,1：,n;(3)j(x猴每個/J區(qū)間公卜及+1m次多項式,k=0,1：,n-1,那么稱jf(x)在月,b?上的分段m次插值多項式.15. Newton法的根本思想：將函數(shù)f(x)故

7、線性化處理,把方程L(x)=0中構(gòu)造迭代公式.Newton法在x附近是平方收斂的.16. Seidel格式比Jacobi格式占用的內(nèi)存空間大.f(x)=0轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的近似方程L(x)=0,再從17.列范數(shù):n間1=mjOx?ajJi=1;行范數(shù):n料¥=嗝ax?%|；F范數(shù):j=12范數(shù)：Ia|2=J匚二,lmax是ATA最大特征值；譜半徑：r(A)=融含lk條件數(shù)：Cond,(A)=IApkZo特征值：ml-A=0求得的m即為A的特征值.矩陣的條件數(shù)可反映系數(shù)的敏感性,其值越大,解對系數(shù)越敏感,因而方程組越病態(tài).18.2點Newton-Cotes公式【梯形公式】bb-a0f(x&g

8、t;x?丁尹(a)+f(b)?3點Newton-Cotes公式【Simpson公式】：b0f(x?x?b-a6,?a+b?,、立丁)+4f?+f(b)?復(fù)化梯形公式:b/、ba6n1立備OX?方faH"2?1f(Xk)5余項:,工)=-翳的0>卜為力?復(fù)化Simpson公式:Sf(x>x?b6a；f(a)+f(b)+4?/:?+2?f(xk»6n?、,>k=0e2?k=1,44余項：R(f,Sn)二-?h?f(4)(h)=-(一a)f(4)(h),h?a,b?()180?2?()2880()?19.插值與擬合的區(qū)別.插值與擬合都是有一組數(shù)據(jù)點構(gòu)造一個近似函

9、數(shù),但他們的近似要求不同.二者都屬于函數(shù)逼近范疇.插值函數(shù)在幾何上的描述為過所有給定數(shù)據(jù)點集散點圖的任何一條曲線.插值是對個互異的點x0,x1,x2,xn及各個點對應(yīng)的函數(shù)f(x0),f(x,),f(x2)；,f(xn)f區(qū)間a,b?上的n+1找出f(x)的一個近似函數(shù)P(x),使得P(xi)=f(xi),P(x)即為插值函數(shù).擬合函數(shù)在幾何上的描述為穿越所有給定數(shù)據(jù)點集散點圖的任何一條曲線.擬合是對f(x,區(qū)間?a,b?kb的n+1個點x0,x1,x2,xn(不一定互異),根據(jù)各個點對應(yīng)的函數(shù)f(x0),f(x1),f(x2,.,f(xny出的點圖來選擇用什么類型的函數(shù)做逼近函數(shù)j(x),逼

10、近函數(shù)j(x)通過件獲得,那么這樣求出的j(x)稱為擬合函數(shù).min|d|,d=&&&Jdj,di=f(x)j0)的擬合條20.Lagrange插值步驟：利用互異插值節(jié)點x0,x1,x2,xn,算出插值基函數(shù)lin(x),i=0,11,n；利用插值基函數(shù)構(gòu)造插值多項式Ln(x)o優(yōu)點：利用插值基函數(shù)很容易得到Lagrange插值多項式,公身構(gòu)緊湊,在理論分析中很方便.lin(x產(chǎn)部要隨之變化,在實際計算中很不方便.缺點：當插值節(jié)點增減時,余項：Rn(x)=f+1(x)Wn+1(xYx?,b»中:(n+1)n次Lagrange插值多項式至少需要n+1個插值節(jié)點數(shù)

11、據(jù).與其相比,Newton插值具有承襲性和易于變動節(jié)點的特點.21 .L-插值和N-插值的異同./、n?x-xk?/、nn?x-xk?FWlin(x)=?-Ln(x)=?V?一k=0,k1iCxi-xk?i=0k=0,k1iCxi-xk?nwn+1(x)=?(x-xk),xk?a,b?'kk=0、N-插值f?x0,x1,x2；,xn?=?fd)=f(n)(x)余項：E二f?x0,x1；'L,xn,x?wn+1(x)-i=0Wn+1(x)n!f(x)=f(%)+f?x0,x1?(x-x0)+f?x0,x1,x2?(x-x0)(x-x1)+f?x0,x1,x2；,Xn%X-4系-%

12、)(x-Xn-1)同:Ln(x)=Nn(x>余項R,6)=En(x);表達式均為基函數(shù)的線性組合.異：L-基與N-基不同；計算L-插值主要計算基函數(shù),計算N-插值主要計算組合系數(shù)或各階商差;高次N-插值包含低次N-插值,而L-插值不然.22 .數(shù)值分析中,線性方程組的數(shù)值解法主要分為直接法和迭代法兩大類.直接法使用有限次計算就能求出線性方程組“準確解的方法,這里的“準確解是指在求解過程中不考慮舍入誤差影響得出的解.迭代法是由線性方程組構(gòu)造出迭代計算公式,然后以一個猜想的向量作為迭代計算的初始向量,逐步迭代計算,來獲得滿足精度要求的近似解,是一種逐次逼近的方法.23 .三對角線性方程組用追

13、趕法計算求解效果最好,對稱線性方程組用LDLT法.24 .假設(shè)n點的求積公式具有2n-1次的代數(shù)精度,那么稱該求積公式為Gauss型求積公式.n點插值型求積公式的代數(shù)精度至少是n-1,至多為2n-1.【注意：假設(shè)下標從1開始,那么代數(shù)精度為2n-1,假設(shè)下標從0開始,那么代數(shù)精度應(yīng)為2n+125 .劌斷迭代的收斂險二.寫出迭代方程計算各階導(dǎo)數(shù),判斷各階導(dǎo)數(shù)在根處是否為0,假設(shè)j(n)(x)10,那么最高為n階收斂.判斷求積公式的代數(shù)精度：取f(x)=xk,k=0,1,代入R(xk)=f(x,x-V,驗證R(xk)=0是否成立,R(x0)=R(x1)=R(x2)=-L=0,第一個使R(xk)10

14、的k值,那么對應(yīng)的代數(shù)精度為k-1.26 .求微分方程初值問題的Euler方法的絕對穩(wěn)定域是1+lh£1,絕對穩(wěn)定區(qū)間是f2,0?.第一章緒論.*i,絕對誤差e:e=x-x絕對誤差限e:e=x-x£e.*相對誤差er：*一*ee=r豈相對誤差限2,絕對誤差計算公式:*er:一*£ee(x±y)=e(x)±e(y)e(x內(nèi))*?y*?y?笠戶即汽方?ye(x)-,*xe(y3,相對誤差計算公式:er*.*±yxe(x)±ye(y)xx±y.,*、4,絕對誤差：e(x)=dx相對誤差:e(V)=e(abc)=?V?ae

15、(a)+?V?b&(y)*?x?*4(x>y)?er(x)+(y)er?T?er(x)*e(x)dx/=dInxxx(b)+?c?V?V(c)e(/)=e(abc)=e(a)+瓦e*er(y)?V(b)+?ce(c)5,有效數(shù)字:£0.5'10mhn,那么稱x*有n位有效數(shù)字.假設(shè)x*有n個有效數(shù)字,那么*.x的相對誤差為:1£2a11-n10；假設(shè)x的相對誤差為:eg)£1,101-n,貝1x*有n2(ai+1)個有效數(shù)字.第二章非線性方程的球根方法i.二分法：精度e,X-xk<e,1/、ln(b-a)-Ine產(chǎn)(b-a)<e,

16、即迭代次數(shù)：k>'1nj-1xk-xk-1<e2,簡單迭代法：將f(x)=0轉(zhuǎn)化為不動點方程x=j(k),構(gòu)造迭代公式xk+1=j公式求的：=j(%),x2二je),收斂判別一:一當x?a,b?f寸,有j(x)?a,b?；任取x1,x2?a,b尹在與(xk),取定一個初值x1,x2無關(guān)的正常數(shù)x0,由迭代L<1,滿足j(X)-j(x2)£Lxx2,那么j(x戶a,b?中有唯一的不動點x*,且迭代公式xk+1=j1寸任取的_一*x0?a,b夕產(chǎn)生的數(shù)列都收斂于x.可替換為:j(x)£L<1,x?a,b夕定理同樣成立x*是j(x)的不動點,j(x

17、)在x*處連續(xù),j(x)<1時,xk+i誤差估計式:精度e,Xr-xkLk-xk<e,1-xi-x0<e,xr-xk=j(人產(chǎn)部收斂;xi-x0可得迭代次數(shù)：k3ln1-L)exi-xoj(x)>1Ht,xk+i=j(xk)>0?InLxk-xk-i<e步驟：說明方程在所取區(qū)間內(nèi)有唯一解:證實采取的迭代公式具有收斂性:f(a)X(b)<0,f'(xp再b?上不變號;x?a,b0j(x)?%,b夕j'(x)£L<1；迭代求解,用xk-xk_1<e判斷.3.判斷迭代的收斂階：寫出迭代方程計算各階導(dǎo)數(shù),判斷各階導(dǎo)數(shù)在根處

18、是否為0,假設(shè)j(n)(x)l0,那么最高為n階收斂.步驟：確定迭代格式：xk+1=j(xk)；據(jù)條件建立方程組：f'(x)=0,f求出未知系數(shù),建立迭代公式,計算f(n)''*1(x)=0,?；(x*)10,那么迭代收斂階最高為4.Newton迭代法：xk+1=xk-frXkf(Xk)當f(x)10時,且有二階導(dǎo)數(shù),那么至少是平方收斂,否那么為線性收斂.(x)存在且在?a,b?上不變號;收斂判別：f(x)?C2?a,b?x滿足以下三個條件：當f(a)X(b)<0；f(x)10,x?a,b夕f那么在?a,b?內(nèi)任取一點x0,只要f(x0)f(%)>0,那么迭

19、代公式產(chǎn)生的數(shù)列xk,一定收斂于?a,b?止的唯一根第三章線性方程組的解法1.數(shù)值分析中,線性方程組的數(shù)值解法主要分為直接法和.迭代法的人類直接法使用有限次計算就能求出線性方程組“準確解的方法,這里的“準確解是指在求解過程中不考慮舍入誤差影響得出的解.迭代法是由線性方程組構(gòu)造出迭代計算公式,然后以一個猜想的向量作為迭代計算的初始向量,逐步迭代計算,來獲得滿足精度要求的近似解,是一種逐次逼近的方法.2.迭代法：i(k+1)?x()(k)(k)(k)x-42x()-a13x()-amxi)?xT1)?x2Jacobi迭代法：('2-通爐一a23鎮(zhèn)-也即)x)?b-?ajx%=1,2,nai

20、i6j=1,j1i?-an*)-42婷-ann-1淄)Ax=b(D-L-U)x=bx(k+1)=d-1(L+U)x(k)+D-1bBJ=d1x(k+1)-工加ax(k)x?)aX、?x1-b1-a12x2-a13x3-anxnI?a11()(L+U)gj=D-1bSeidel迭代法:?(k+1)1(k+1)(<).?)?=就2-ML.-a2n巧(k+1).1?i-1aH?"-?j=1n,adj.)-?axf)j=i+1'?xn(k+1)=1為'1",1)-f/)?ann'(D-L)x(k+1)Sor迭代法：以=Ux(k)+bx(k+1)=(D-

21、L)1Ux(k)+(D-L)1bBs=(D-Seidel迭代法為根底,可以改變收斂速度.-1L)Ug-1S=(D-L)bX)-x=x?+1)i-1x(k+1)=(1-w)x(+1)+w?bi-?a*"'aaiiej=1A?)?2兇,+1=1,2,nj=i+1?(k)-1=(d-wl)於u+(1-w)D?x',+(d-wl)WbBw=(D-wl)?Wu+(1-w)D?gw=(D-wL)wbfAie其中：A=D-L-UD=1a22ann00an20口60a12ain立nueu0%=_©00a2n口ue；:口ue,u0?000?3.判斷收斂性：當不能用范數(shù)或者矩陣

22、本身性質(zhì)判定時:對Jacobi,對其求特征值,r(BJ尸段axlk,假設(shè)r(bj)<i,那么Jacobi迭代收斂對Seidel,求特征值,det(I-Bs)=0,即det(D-L)-U)=0,r(Bj)=林家k,假設(shè)r(bj)<1,貝u迭代收斂.4 .范數(shù)：列范數(shù):nnlAli=max?%I；行范數(shù):|AY=max?ai=ij=i;F范數(shù):2范數(shù)：|a2=、：max,lmax是ata最大特征值.特征值:5 .Gauss消元法：消元過程一一回代過程,計算量為+n2-33適用條件：Ax=b的系數(shù)矩陣A的順序主子式都不為0.ml-A=0求得的m即為A的特征值.消="3(|2-i

23、)+2(n-1)；N回='(n+i)列主消元法和全主消元法(首選)6 .LU分解法：Ax=b,將系數(shù)矩陣分解為下三角矩陣L和上三角矩陣U的乘積.LUx=b,Ly=b,Ux=yDoolittle分解：非奇異矩陣A的Doolittle分解是唯一的、u,u,u,u,u,u?加：uau22MU2Mo,He;?-、u,u,u0u,u,u,uGrout分解:22n2、u,u,u,u,u,u,u,u?nnn1ZTU21LDU分解:、u,u,u,u,u,u,u,u?16©see?-、u,u,uuu,u,u?nd+2d1d6©se?-D、u,u,u,u,u,u,u自37 .ldlt法

24、：專用于對稱線性方程組,計算量為n.4A=AT,A=LDU,AT=(LDU)=utdlt=ldu=A,由矩陣A的LDU分解的唯一性可得u=lt,Ly=b,Dz=y,L,x=z,5n-48 .追趕法：求解三對角方程組的專用方法,計算量僅為ebe1ea：三對角方程組的系數(shù)矩陣A:A=6eCib2c2UUUUU1P2an-1bn-1anCn-1bnu-eueu?u-eq11脛曄?jriq2r2qn-1JiqnUUUUUUUU4=6,rk=ck,Pk-ak/qk-1,qk-bk-pkc<-19.條件數(shù)：設(shè)A?Rnn為非奇異矩陣,稱Condp(A)=|A|p機為矩陣A的條件數(shù).矩陣的條件數(shù)可反映系

25、數(shù)的敏感性,其值越大,解對系數(shù)越敏感,因而方程組越病態(tài).第五章插值與擬合方法1.插值與擬合的區(qū)別.插值與擬合都是有一組數(shù)據(jù)點構(gòu)造一個近似函數(shù),但他們的近似要求不同.二者都屬于函數(shù)逼近范疇.插值函數(shù)在幾何上的描述為過所有給定數(shù)據(jù)點集散點圖的任何一條曲線.插值是對區(qū)間a,b科的n+1個互異的點x01x11x2；,L,xn及各個點對應(yīng)的函數(shù)f(x0),f(x),f住戶,f(xn),找出f(x)的一個近似函數(shù)P«),使得P(Ki)=f(Ki),P(x)即為插值函數(shù).擬合函數(shù)在幾何上的描述為穿越所有給定數(shù)據(jù)點集散點圖的任何一條曲線.擬合是對f(x)在區(qū)間a,b?止的n+1個點毛兇42,xn(不

26、一定互異),根據(jù)各個點對應(yīng)的函數(shù)f(x0),f(x1),f(x2)J,f(xny出的點圖來選擇用什么過min|d|,d=&&d),di=f(xi)-j(xi)的擬合條類型的函數(shù)做逼近函數(shù)j(x),逼近函數(shù)j0)®j(x)秒為擬合函數(shù)件獲得,那么這樣求出的2. Lagrange插值./、n?x-xk?/、nn?x-xk?Iin(x)=?Ljn(x)=?yi?一k=0,k1iexi-xk?i=0k=0,k1iexi-xk?余項：Rn(x)=f'J(,n+1/、-Jln+1)Wn+1(x),x?(a,by中:nWn+1(x)=?(x-xk),xk?a,b?3. 商差

27、表:xy一階商差二階商差?n階商差x0Nof?x0,X1?f?x0,X1,X2?f亦0,人,x2?x1y1f?X1,x2?f?x1,x2,x3?Xn-2yn-2f?Xn-2,Xn-1?f?Xn-2,Xn-1,Xn?Xn-1yn-1f?xn-1,Xn?Xnyn4. Newton插值nff?x0,Xi,X2,Xn?=?i=0Wn+1(x)n!余項：En(X)=f夕0,Xi；、Xn,X?Wn+l(X)f(X)=f(%)+f?X0,Xi?(X-X0)+f?X0,Xi,X2?(X-X0)(x-Xi)+f夕0,Xi,X2,Xn5.Newton前插公式：Dfi=f(Xi+h)-f(為)Dm:二口：Ifi+i

28、-D一1f?(X-x0)(X-Xl)(x-xn-l)Nn(X)=Nnt(t-1)2t(t-1)(t-n+1)n(%+th)=f(Xo)+tDf.+-d2f.+n1DDnf0x=x0+tht?0,n?Newton后插公式：=f0)-f(-h)?mfi=?m-1fi-?m-1fi+1Nn(X)=Nn(A+th)=f(Xn)+t?fn+等?2t(t+1)(t+n-1)nfn+Ln?fnX=Xn+tht?-n,0?當X值靠近X0時,用Newton前插公式,5.Hermite插值：有(2n+2)個條件,所以有而當X靠近4時,用Newt0n后插公式.(2n+1)次多項式.2n+1次Hermite插值多項式

29、是唯一的2n+1次Hermite插值多項式的余項為:(2n+2)f()(X)R2n+1(X)=工A/W(2n+2)!n+i(x)x?(a,b)Wn+i(X)=?(x-Xk)6.分段多項式插值：Runge現(xiàn)象：隨著節(jié)點n的增加,誤差不但沒減小,反而不斷增大.原因是當節(jié)點n較大時,對應(yīng)的是高次插值多項式,而高次多項式的舍入誤差是隨次數(shù)的增加而不斷變大的,用高次多項式插值作數(shù)值計算時舍入誤差將淹沒了增加節(jié)點提升的精度.Runge現(xiàn)象否認了用高次插值公式提升逼近精度的做法,因此引入了分段插值法.定義如下：取a,b時的n+i個節(jié)點xk：a=x0<x1Vx2V<xn=b,并給出這些節(jié)點上的函數(shù)

30、值f(xk)=gk,k=0,1J,n.假設(shè)函數(shù)j(x)首足條件：(i)j(xp?a,b?it連續(xù)；(2)j(x)=yk,k=0,1J,n；(3)j(x尸每個小區(qū)間?Xk,xk+1泮m次多項式,k=0,1,n-1,那么稱j(x,f(x/?a,b?iH的分段m次插值多項式.7 .曲線擬合法一一最小二乘曲線擬合方法:步舞根據(jù)題意取基函數(shù)：屋的二xk,kWE建立m次曲線擬合函數(shù)：,j(x)=a0+aix+a2x2amxm;求建立法方程組：假設(shè)題中有c組數(shù)據(jù),那么n=c-i,法方程組如下:ene?WiXi=i=0n?WiXyi=0m?WiXiy、u口u口9U?II幅幅leletele?II、u-u-u-

31、u-u-u-u-u-u-umiXwo?ymiX1won?m2iXwn?i=01X1wn?i=o2iXw?i=0f11wn?on7-1)0in?,6<e<<<<08 .最正確平方逼近：曲線擬合是用離散數(shù)據(jù)點來求擬合函數(shù),假設(shè)用連續(xù)函數(shù)取代離散數(shù)據(jù)去求擬合函數(shù),那么為換成定積分符號函數(shù)逼近的內(nèi)容,即最正確平方逼近.只要將曲線擬合中設(shè)計節(jié)點累加的符號第六章數(shù)值積分與數(shù)值微分方法bn1 .假設(shè)存在實數(shù)x1,x2;,xn；A,A2,An,且任取f(x)?C?a,b?,都有竊f(x>x?Af(xi),那么稱為一個數(shù)值求積,i=1公式.a稱為求積系數(shù),xi稱為求積節(jié)點.2

32、 .評價一個求積公式的優(yōu)劣可以用求積余項來說明,通常用與求積余項有關(guān)的代數(shù)精度來評價求積公式.判斷求積公式的代數(shù)精度：取f(x)=xk,k=0,1,一,代入R(xk)=f(x,x-V,驗證R(xk)=0是否成立,)二於下照=0,第個使R(xk)10的k值,那么對應(yīng)的代數(shù)精度為k-1o3 .插值型求積公式：當f(x)為次數(shù)小于n的多項式時,f(n)(x)o0,R(f)=0,插值型求積公式的代數(shù)精度至少為n-1bbnbf(n)儀.、求積系數(shù)：A=6lin-1(x>x求積公式：6f(x>x?Af(x)求積余項：R(f)?(n(>wn(x)dx4.Newton-Cotes求積公式：當

33、求積節(jié)點個數(shù)為奇數(shù)時,Newton-Cotes求積公式代數(shù)精度至少為n；為偶數(shù)時,代數(shù)精度至少為n-1為使求積系數(shù)A計算簡單,將求積節(jié)點xi取為夕,b?上的等距節(jié)點,b-ah=n-1i=1,2,nn點的Newton-Cotes求積公式:nnb(n)(n)1n-1?fx/©/GW、i口k+1?_dt2點Newton-Cotes公式【梯形公式】卜聲與夕(a)+f(b»,余項:4)=-哈飛),h3點Newton-Cotes公式【Simpson公式】：b.xb-a6/、?a+b?立人,、6f(x>x?-6-ef(a)+4f?於f(b);,余項:R(f)=%對n個節(jié)點的Newt

34、on-cotes求積公式,在n£8時,Cotes系數(shù)大于0,而在n>8時,考慮到公式的穩(wěn)定性不實用該公式.5.Gauss型求積公式：Gauss型求積公式是穩(wěn)定的一?假設(shè)n點的求積公式具有2n-1次的代數(shù)精度,那么稱該求積公式為Gauss型求積公式.【注意：假設(shè)下標從1開始】Gauss型求積公式的求積余項:R(f)=(2n)!b26r(x)w(x)dxh?a,b?6.復(fù)化求積公式xi=a+ih,h=bz-a5i=0,1,2：,n,將積分區(qū)間a,b我等分,有n+1個節(jié)點nb復(fù)化梯形公式(代數(shù)精度為1)：備f(x?x?n-1、b-ae/、-u17y(a)+f(b)+2?1f(Xk),

35、余項:b-a2R(f,Tn)=-1Th2f(h)假設(shè)f''(x)£M2,對于給定精度e,令R(f,Tn)£-bM2£e,得出h;(b-a)M2復(fù)化Simpson公式(代數(shù)精度為3):b6f(x)dxob-ae.、:1?xk+1+xk?:117?f(a)+f(b)+4?0f?-?+2?1fu僅k)u,?44b-a?h?,(4),、h(b-a),(4),、示項：VW戶=?i/S=-8fO,3御婚1.Euler公式：第七章常微分方程初值問題數(shù)值解法yk+1=yk+hf(Xk,yk)k=0,1,2n-1,h=xk+1-x<h一一一一.假設(shè)用數(shù)值積分法：利用梯形公式得,yk+i=丫卜+萬履(xk,yk)+f(4+1乂+1»k=0,1,2n-1顯示方法一一可以直接解出yk+1;隱式方法一一需要解方程組解出yk+1,后退Euler方法2 .誤差：局部截斷誤差是指計算一步所產(chǎn)生的誤差局部截斷誤差：Tk+1=y(Xk+1)-y(Xk)-hjgy(xk),h)假設(shè)某種數(shù)值解法的局部截斷誤差為Tk+1=o(hP+1),那么稱該方法具有P階精度或該方法是p階方法數(shù)值方法的階越高,該方法越好,這是由于步長h一般小于1,故hP+1隨p的增大而減小,從而使局部截斷誤差更小如果某方法是p階方法,主要關(guān)心其局部截斷誤差Tk+1