01熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理大總結(jié)

1、熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理總復(fù)習(xí)一、填空題1、理想氣體滿足的條件：玻意耳定律(溫度不變時(shí)，PV=C)焦耳定律理想氣體溫標(biāo)的定義PqcT)阿伏伽德羅定律稱相同的溫度和壓強(qiáng)下，相等體積所含各種氣體的物質(zhì)的量相等，即n-cV)2、能量均分定理：對于處在溫度為T的平衡狀態(tài)的經(jīng)典系統(tǒng)，粒子能量中每一個(gè)平方項(xiàng)的平均值等于1kT，即：笳,4。廣義能量均分定理：x1VajkT。2_2因J3、吉布斯相律：f=k+2-3其中k是組元數(shù)量，中是相的數(shù)量。4、相空間是2Nr維空間，研究的是：一個(gè)系統(tǒng)里的N個(gè)粒子;N空間是維空間，研究的是：1個(gè)粒子。簡答題1、特性函數(shù)的定義。答：適當(dāng)選擇獨(dú)立變量，只要知道一個(gè)熱力學(xué)函數(shù)，就可以通

2、過求偏導(dǎo)數(shù)而求得均勻系統(tǒng)的全部熱力學(xué)函數(shù)，從而把均勻系統(tǒng)的平衡性質(zhì)完全確定。這個(gè)熱力學(xué)函數(shù)即稱為特性函數(shù)。2、相空間的概念。答：為了形象地描述粒子的力學(xué)運(yùn)動狀態(tài)，用q,，q1；Pi,，Pr共2r個(gè)變量為直角坐標(biāo)，構(gòu)成一個(gè)2r維空間，稱為N空間。根據(jù)經(jīng)典力學(xué)，系統(tǒng)在任一時(shí)刻的微觀運(yùn)動狀態(tài)由f個(gè)廣義坐標(biāo)。川2,，qf及與其共腕的f個(gè)廣義動量Pi,P2,，Pf在該時(shí)刻的數(shù)值確定。以qi,，qf；Pi,，Pf共2f個(gè)變量為直角坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)2f維空間，稱為相空間或空間。3、寫出熱力學(xué)三大定律的表達(dá)和公式，分別引出了什么概念？答：熱力學(xué)第零定律：如果物體A和物體B各自與處在同一狀態(tài)的物體C達(dá)到熱平衡，若令

3、A與B進(jìn)行熱接觸，它們也將處在熱平衡，這個(gè)經(jīng)驗(yàn)事實(shí)稱為熱平衡定律。即gA（PA，VA）=gB（PB,VB）,并引出了“溫度T這概念。熱力學(xué)第一定律：自然界一切物質(zhì)都具有能量，能量有各種不同形式，可以從一種形式轉(zhuǎn)化為另一種形式，從一個(gè)物體傳遞到另一個(gè)物體，在傳遞與轉(zhuǎn)化中能量的數(shù)量不變。即dU=dQ+dW,并引出了“內(nèi)能U”的概念。熱力學(xué)第二定律：克氏表述：不可能把熱量從低溫物體傳到高溫物體而不引起其他變化。開氏表述：不可能從單一熱源吸熱使之完全變成有用的功而不引起其他變化。即dS之叫，其中取“=”代表可逆T過程，取代表不可逆過程，該定律引出了“嫡S”的概念。4、熱力學(xué)第三定律的表達(dá)和公式。答：能

4、斯特定理：凝聚系的嫡在等溫過程中的改變隨熱力學(xué)溫度趨于零，即t%SS）t=0。絕對零度（T=0）不能達(dá)到原理：不可能通過有限的步驟使一個(gè)物體冷卻到熱力學(xué)溫度的零度。這兩種表述即為熱力學(xué)第三定律。5、卡諾循環(huán)的四個(gè)過程答：等溫膨脹過程：氣體與溫度為Ti的高溫?zé)嵩幢３譄峤佑|，從狀態(tài)I（P，Vi，Ti）等溫膨脹而達(dá)狀態(tài)n（P2,V2,Ti）o在這過程中氣體吸收的熱量山V2Q1為：Q1=RT1lnovViv絕熱膨脹過程:氣體由狀態(tài)II（P2，V2，T2）絕熱膨脹而達(dá)狀態(tài)田（2、3,丁2）。在這過程中氣體吸收的熱量為零。等溫壓縮過程：氣體與溫度為丁2的低溫?zé)嵩幢３譄峤佑|，從狀態(tài)加（P3,V3,T2）等溫

5、壓縮而達(dá)狀態(tài)IV（P4,V4,T2）。在這過程中氣體放出的熱量Q2為：Q2=RT2ln一。V4絕熱壓縮過程：氣體由狀態(tài)IV（P4，V4，T2）絕熱壓縮而回到狀態(tài)I（Pi,Vi,Ti）。在這過程中氣體吸收的熱量為零。整個(gè)循環(huán)過程完成后，內(nèi)能變化為零，所做凈功亞為、1-、2,則熱功轉(zhuǎn)化效率為:。=Q_W=i-a=i-&（lnV3）/ln,由于TV乙=C得V2=V所以”=i支。QiQiTiV4,ViViV4Ti6、特性函數(shù)全微分形式內(nèi)能dU=TdSPdV始dH=TdSVdP自由能dF=SdTPdV吉布斯自由能dG=-SdT-VdP7、麥克斯韋關(guān)系式答：偏導(dǎo)數(shù)關(guān)系，即麥克斯韋關(guān)系:9VjsisVT二N

6、下s一WPAT-=9P%I列P8、等概率原理答：對于處于平衡狀態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)各個(gè)可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的。9、系綜理論的概念答：在一定的宏觀條件下，大量性質(zhì)和結(jié)構(gòu)完全相同的、處于各種運(yùn)動狀態(tài)的、各自獨(dú)立的系統(tǒng)的集合。10、系綜的分類答：系綜分為：微正則系綜、正則系綜和巨正則系綜。微正則系綜：由能量E、粒子數(shù)N和體積V確定的孤立系統(tǒng)的集合。正則系綜：由溫度T、粒子數(shù)N和體積V確定的封閉系統(tǒng)的集合。巨正則系綜：由溫度T、化學(xué)勢口和體積V確定的開放系統(tǒng)的集合。四、證明題1、推導(dǎo)出愛因斯坦熱容公式，并說出其物理意義和歷史意義。解：固體中原子的熱運(yùn)動可以看成3N個(gè)振子的振動。愛因斯坦把3N個(gè)

7、振子的振動頻率仍看作相等一1：,：-(n1)e2振子的能級為4=%(n十一兀配分函數(shù)Zi=工e-=工e2=羊怎2n=0nO1-e則固體內(nèi)能：U=3NIn乙=3N且N1.2所以：Cv=3NkeT/一1)2.2芋則愛因斯坦熱容公式：Cv=3Nk生e一T(etl),E.Uj，E,一，E其物理意義是：當(dāng)T%時(shí)，可以近似取eT-1-,則Cv=3Nk,其結(jié)果和能量均分定理的結(jié)果相同。這個(gè)結(jié)果的解釋是,%時(shí)，能級間距遠(yuǎn)小于kT,能量量子化的效應(yīng)可以忽略，因此經(jīng)典統(tǒng)計(jì)是適用的。當(dāng)丁父不時(shí)，牛耳eT：e振子由于熱運(yùn)動取得的能量皿/曰CV=3Nk圭e,則得(T),溫度趨于零時(shí)，振子能級間距網(wǎng)遠(yuǎn)大于kT,網(wǎng)而躍遷到

8、激發(fā)態(tài)的概率是極小的，因此幾乎全部振子都凍結(jié)在基態(tài)。當(dāng)溫度升高時(shí)，他們幾乎不吸收能量，因此對熱容沒有貢獻(xiàn)。其歷史意義是推動力量子力學(xué)的發(fā)展2、推導(dǎo)出玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)分布公式。解.微觀狀態(tài)數(shù)。=-nsJ，且lnm!=m(lnm-1)al!l5l則lnQ=lnN!-工Ina)!+工aln$=NlnNEa,Ina,+2aIn%要使lnQ為極大的分布Q,必使6lnQ=0,則SlnQ=-lniaal=0ll又由于6al不完全獨(dú)立*N八、a=o,e八、w)=o則BlnQ-3Bn-B5e-Zllni包：-論=oILlln所以ln-fyI-則得工|ln+a+M5al=0,|ln.10M2二0-一一一-；lkb+0

9、%=o,l=1,2,3,，即得：al-8澄pTp+dp的動量范圍內(nèi)，光子的量子3、光子的化學(xué)勢。，用光子玻色子氣體的統(tǒng)計(jì)分布：a=e口，推導(dǎo)出普朗克公式。解：光子的自旋量子數(shù)為1,則光子有兩個(gè)自旋投影。光子在態(tài)數(shù)為：-婆p2dp=P2dphh由于光子的能量：；=pc,則得p=一=Lc2二c則在0T8+d0的圓頻率范圍內(nèi)，光子的量子態(tài)數(shù)為：劭=J0%23二c于是得:L/VV2,U=3,T)d。=a產(chǎn)I=1dIe1nc所以U3,T)d。3n0ekT-1ekT-1五、計(jì)算題1.8滿足pVn=C(常量)的過程稱為多方過程，其中常數(shù)n稱為多方指數(shù)。試證明：理想氣體在多方n過程中白熱谷Cn為Cn=CVn-

10、1N_V萬n-(n-1)T由于pVn=C,PV=vRT,消去壓強(qiáng)P可得：TVn=C1(常量)，對此式進(jìn)行微分得：VnXdT+(n1)Vn”TdV=。,所以且由于Cp-CvKR,CP=Y,則得(-1)Cv=vRCv川17日PVvR1in/則行Cn=Cv=Cv-=Cv1-產(chǎn)CvT(n-1)n-10二PSpH解：氣體在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱膨脹過程和節(jié)流過程中的溫度降落分別由偏導(dǎo)數(shù)描述、.，與、ScSy.萬法一：燧函數(shù)S(T,P)的全微分為dS=IdT+一IdP,在可逆絕熱過程中dS=0,故有BTJpcPa至T處;但)屈，方Jp=-=PS與CpIH：:H始H(T,P)的全微分為：dH=dT+IdP,再由dH=T

11、dS+VdP,在節(jié)流過程中dH=0,打p濘t故有Yp-Vcp方法二:T十包包；:0,所以I印S底滬JhCpppjspJh：:H三一二三之二?二V。T-TWJsVP,H團(tuán)JpHPJsiCp所以更三；TpPSPH即在相同的壓強(qiáng)降落下，氣體在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱膨脹中的溫度降落大于節(jié)流過程中的溫度降落。2.15假設(shè)太陽是黑體，根據(jù)下列數(shù)據(jù)求太陽表面的溫度：單位時(shí)間內(nèi)投射到地球大氣層外單位面積上的太陽輻射能量為1.35x103Jm/,s（該值稱為太陽常量），太陽的半徑為6.955x108m,太陽與地球的平均距離為1.495m1011m。解：以R表示太陽的半徑，頂點(diǎn)在球心的立體角dQ在太陽表面所長的面積為RsdQ

12、,假設(shè)太陽是黑體，根據(jù)斯特簿一玻爾茲曼定律，單位時(shí)間內(nèi)在立體角dQ內(nèi)輻射的太陽輻射能量為：仃T4RSdQ單位時(shí)間內(nèi)，以太陽為中心，太陽與地球的平均距離Rse為半徑的球面上接收到的在立體角dQ內(nèi)輻射1的太陽輻射能量為：1.35MlO3RedQ,令兩式相等，即得t1.3510JRseT將仃RSJ仃=5.669M1O*WmK”代入得：T定5760K7.4試證明，對于遵從玻爾茲曼分布的定域系統(tǒng)，嫡函數(shù)可以表示為S=-NkZPSlnPS,式子中PSSQ；ssee是粒子處于量子態(tài)S的概率，F(xiàn)S=,Z對粒子的所有量子態(tài)求和。對于滿足經(jīng)典極N乙s限條件的非定域系統(tǒng)，嫡的表達(dá)式有何不同？【嫡的物理意義：物質(zhì)微觀

13、熱運(yùn)動時(shí)，混亂程度的標(biāo)志?！拷猓禾幵谀芰繛?的量子態(tài)S上的平均粒子數(shù)為fs=e4,以N表示系統(tǒng)的粒子數(shù)，則粒子處在_s_-See量子態(tài)S上的概率為Ps=,且Ps=1NZis可得InPs=-InZi-%s。粒子平均能量：E=Ps%,而定域系統(tǒng)的嫡為：Se-S=Nk（In乙-：rlnZi）=Nk（lnZi：；）=Nk%Ps（lnZis）=-NkxPslnPs舒ss對于滿足經(jīng)典極限條彳的非定域系統(tǒng)：S=Nk（ln乙-一：lnZi）-klnN!cP則可表示為：S=NkPSlnPS+S,其中SO=-klnN!=Nk（lnN-1）S因?yàn)閒s=NPs,且fs=N,可得S=-kZfslnfs+NkSS上式可化

14、為：S=kz(NPslnNPs)+Nk=NkPsInPs+Nk(1-ZPslnN),該式與定域系統(tǒng)的嫡函sss數(shù)表達(dá)式相比，多了Nk(1-ZPJnN)這影響項(xiàng)。s7.6晶體含有N個(gè)原子。原子在晶體中的正常位置如圖中的。所示。當(dāng)原子離開正常位置而占據(jù)圖中的X位置時(shí)，晶體中就出現(xiàn)空位和間隙原子。晶體的這種缺陷稱為弗倫克爾缺陷.(a)假設(shè)正常位置和間隙位置數(shù)都是N,試證明由于在晶體中形成n個(gè)空位和間隙原子而具有的嫡=2klnN!n!(N-n)!(b)設(shè)原子在間隙位置和正常位置的能量差為uo試由自由能uF=nu-Ts為極小，證明溫度為T時(shí)，空位和間隙原子數(shù)為n=Ne-4(設(shè)nN)解：(a)當(dāng)固體N個(gè)正常位置出現(xiàn)n個(gè)空位時(shí)，由于空位位置的不同，可以有CN觀狀態(tài)，同理間隙位置也有CN個(gè)微觀狀態(tài)，因此當(dāng)固體中出現(xiàn)n個(gè)空位和n個(gè)間隙原子時(shí)，可能的微觀狀態(tài)數(shù)為：OOOOOXXXXOOOOOXXXXOOOOON!N!N!Q=,