第講一元微分學(xué)應(yīng)用1ppt課件

1、高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用本章學(xué)習(xí)要求： 熟悉羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理， 并能較好運(yùn)用上述定理解決有關(guān)問題函數(shù)方程求解、 不等式的證明等）。 掌握羅必塔法則并能熟練運(yùn)用它計(jì)算有關(guān)的不定式極限。熟練掌握求函數(shù)的極值、最大最小值、判斷函數(shù)的單調(diào)性、判斷函數(shù)的凸凹性以及求函數(shù)拐點(diǎn)的方法。能運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性、凸凹性、極值等來討論函數(shù)的圖形性質(zhì)，并熟練掌握函數(shù)作圖過程。掌握建立與導(dǎo)數(shù)和微分有關(guān)的數(shù)學(xué)模型的方法。能熟練求解相關(guān)變化率和最大、最小值的應(yīng)用問題。一、曲線的凹凸性、拐點(diǎn)二、曲線的漸近線三、函數(shù)圖形的描繪第四章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第六節(jié) 曲線的凹凸性、拐點(diǎn)

2、第七節(jié) 函數(shù)圖形的描繪我們說一個函數(shù)單調(diào)增加, 你能畫出函數(shù)所對應(yīng)的曲線的圖形嗎?OxyAB? !. 一、曲線的凹凸性、拐點(diǎn), )() ,(時baxf它的圖形的形式不盡相同.一般說來, 對于一個區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)的圖形都存在一個需要判別弧段位于相應(yīng)的弦線（或切線的“上方或“下方的問題 .在數(shù)學(xué)分析中將這種問題稱為曲線 (函數(shù))的凹凸性問題 .簡單地說 , 在區(qū)間 I 上 :曲線弧段位于相應(yīng)的弦線上方(在切線的 “下方”)時, 稱之為凸的下凹 ） ;曲線弧段位于相應(yīng)的弦線下方(切線“上方” )時, 稱之為凹的上凹）.凸凹Oxy221xx )(xfy 2x1xOxy221xx )(xfy 2x1x.

3、 ) I ()( Cxf設(shè) , )( I , 2121恒有如果xxxx) )()(21) 2 (2121xfxfxxf成立 , 則稱曲線)(xfy 在區(qū)間 I 上是凸的 ; , )( I , 2121恒有如果xxxx) )()(21) 2 (2121xfxfxxf成立 , 則稱曲線)(xfy 在區(qū)間 I 上是凹的 .1. 曲線凹凸性的定義及其判別法Oxy3xy , )0 ,( 上在 , 3是凸的xy ,32xy , 6xy . 0 y此時, ) , 0( 上在, 3是凹的xy . 0 y此時, 0 時x, 0 y . )0 , 0( 是曲線凹凸性的分界點(diǎn)點(diǎn)有何體會？能不能根據(jù)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的符

4、號來判別函數(shù)所對應(yīng)的曲線的凸凹性呢？定理 . ) ,( , ) , ()( 內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)在設(shè)babaCxf . , )( , ) ,( , 0)( 是凹的在則若baxfybaxxf . , )( , ) ,( , 0)( 是凸的在則若baxfybaxxf 在運(yùn)用該定理時要注意：但僅在個別孤立點(diǎn)處等于零 , 則定理仍然成立 . , ) ,( , 0)( 0)( baxxf 如果. 1 的凹凸性判別曲線xy . ) , 0()0 ,( 函數(shù)的定義域?yàn)? 2 , 1 32xyxy 因?yàn)?, 1 , 0 , )0 ,( 為凸的時所以xyyx . 1 , 0 , ) , 0(為凹的時xyyx 該函數(shù)的圖

5、形 請自己繪出. 例2解解 . 1) , 1( 12 - 34內(nèi)的凹凸性在研究xxy,6423xxy),1(1212122 xxxxy, 0 ,1 )0 ,( yx）時，或（. 函數(shù)是凹的故10 xx，是使0 y的點(diǎn),是曲線凹凸性的分界點(diǎn).例4解解為判斷y的正負(fù),先計(jì)算y=0, 得 x=0 或 x=1, 0 , ) 1 , 0( yx時. 函數(shù)是凸的故 比較例3 和例4 , 發(fā)現(xiàn)使得曲線所對的分界點(diǎn) .我們的興趣 , 因?yàn)樗赡苁乔€凹凸性應(yīng)的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)引起了拐 點(diǎn)連續(xù)曲線上凸弧與凹弧的分界點(diǎn) , 稱為曲線的拐點(diǎn).OxyOxy)(xfy )(xgy 2. 曲線拐點(diǎn)的定義及判別法

6、. )(上二階可導(dǎo)在區(qū)間設(shè) Ixf . 0)( , ) ( )( ) ,( 0000 xfIxxfyyx則的拐點(diǎn)為曲線若定理( 判別拐點(diǎn)的必要條件 ), )( 0)( 不存在的點(diǎn)及使xfxf 稱為曲線的拐點(diǎn)可疑點(diǎn) .定理( 判別拐點(diǎn)的充分條件 ) . ) I( )(U )( , ) I ()( 00內(nèi)二階可導(dǎo)在設(shè)xxxfCxf , )( 0則兩側(cè)符號相反在點(diǎn)若xxf . )( )( ,( 00的拐點(diǎn)為曲線點(diǎn)xfyxfx根據(jù)拐點(diǎn)的定義立即可證明該定理 . 求拐點(diǎn)一般步驟: )( 拐點(diǎn)的一般步驟求曲線xfy ; )( )( ) 1 (或確定討論區(qū)間的定義域求xf; ) )( ( , )( , )(

7、 )2(xfxfxf 如需要可求出計(jì)算; )( 0)( 不存在的點(diǎn)的點(diǎn)和使xfxf . )4(否確為拐點(diǎn)根據(jù)定理判別可疑點(diǎn)是 : )3(求拐點(diǎn)可疑點(diǎn) . , 22并求拐點(diǎn)的凹凸性討論曲線xey) ,( :定義域?yàn)? 22xxey,) 1(222xexy : 0 得拐點(diǎn)可疑點(diǎn)令 y)( 1 , 1橫坐標(biāo)xxxy y) 1 , (1) 1 , 1(1) , 1 (00拐點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn)例4解解, ) , 1 ( ) 1 , ( 內(nèi)為凹的及在. 1) , 1( 內(nèi)為凸的在 . ) , 1 ( ) , 1( 2121為其拐點(diǎn)及點(diǎn)eeOxy1122xey : 22xey曲線 , 0 )2.5 , 2( 2

8、的拐點(diǎn)為曲線已知點(diǎn)ybxayx . , 的值求ba . 0 :2bx由題意 , 得由隱函數(shù)求導(dǎo)法則, 22bxayxy, )(246222bxybxayxy . 0 :1 y由拐點(diǎn)的必要條件得 : 5 . 2 , 2 代入得以yx (1) 05860ba例6解解 : , ,得其坐標(biāo)滿足曲線方程又拐點(diǎn)在曲線上 (2) 05 . 2210ba , )2( , ) 1 ( 解之得成方程組聯(lián)立 , 320a . 34b例7 , )( 其一階導(dǎo)數(shù)的圖形上二階可導(dǎo)，在設(shè)函數(shù)baxf .如下圖所示 . )( 性、凹凸性的極值點(diǎn)、拐點(diǎn)、單調(diào)指出函數(shù)xf ; , , ,內(nèi)單調(diào)增加TQPKJa . , ,內(nèi)單調(diào)減

9、少Q(mào)PKJ ; Q , : ; , :KPJ極小點(diǎn)極大點(diǎn) 凹 凹 凹 凹 凸 凸 凸 凸 . , , , , , , :IHFEDCB拐點(diǎn)xyO)(xfyABCDEFHIKJPQTabMW 函數(shù)的凹凸性的判別以及函數(shù)的極值的判別都與函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)有關(guān).你清楚它們之間的聯(lián)系嗎?畫畫圖就能搞清楚. 極大凸 0)( xf 極小凹 0)( xf 現(xiàn)在我們還不能很好地作出函數(shù)的圖形 , 因?yàn)檫€不知道如何求曲線的漸近線 .中學(xué)就會求了.若動點(diǎn) P 沿著曲線 y = f ( x ) 的某一方向無限遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)時, 動點(diǎn) P 到一直線 L 的距離趨于零 , 則稱此直線 L 為曲線 y = f ( x ) 的一

10、條漸近線 . 二、曲線的漸近線曲線的漸近線水平漸近線垂直漸近線斜漸近線Oxyxy1, 01limxx . 0 y水平漸近線, 1lim0 xx . 0 x垂直漸近線水平漸近線 . )( , )(lim byxfbxfx有一條水平漸近線則曲線若 . )(lim )(lim bxfbxfxx或這里的極限可以是 . )( , )(lim axxfyxfax有一條垂直漸近線則曲線若這里的極限可以是; )(lim ,)(limxfxfaxax. )(lim ,)(limxfxfaxax; )(limxfax垂直漸近線Oxy)(xfy bxay, 0)()(limbxaxfx . bxay斜漸近線想想：

11、怎么求 a ,b ? )( , )(lim , )(lim xfybxaxfaxxfxx則曲線若 . bxay有一條斜漸近線這里的極限過程可以是. , xx以上的極限實(shí)際是. 0)()(limbxaxfx 斜漸近線. sin 的漸近線求曲線xxy , 0sinlim xxx. sin 0 的水平漸近線是曲線xxyyOxyxxysin0y 曲線可以穿過其漸近線 .例8解解. ln 的漸近線求曲線xy 的定義域： ln xy ) , 0(x, lnlim 0 xx是曲線 0 x. ln的垂直漸近線xy Oxyxyln1例9解解. 1 2的漸近線求曲線xxy 1lim2xxx曲線無水平漸近線, 1l

12、im20 xxx 1lim20 xxx . 0 x曲線有垂直漸近線(函數(shù)間斷)曲線有斜漸近線嗎？例10解解11lim1lim222xxxxxxx1a0 1 lim 11 lim)()(2xxxxxx0b . xbxay曲線有斜漸近線請同學(xué)課后自己繪出此函數(shù)的圖形 .現(xiàn)在給定一個函數(shù) , 我們可以討論它的：定義域、 值 域、 奇偶性、 有界性、 周期性、 連續(xù)性、 間斷點(diǎn)、 可微性、單調(diào)性、 極 值、 最 值、 凹凸性、拐 點(diǎn)、 漸近線、 零點(diǎn)位置 .用極限討論函數(shù)的變化趨勢 .用泰勒公式將函數(shù)離散化 .作函數(shù)圖形的一般步驟如下：(1) 確定函數(shù)的定義域 , 觀察奇偶性、周期性 .(2) 求函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù) , (3) 列表 , 確定函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性、極值、拐點(diǎn) .(4) 求曲線的漸近線 .(5) 作出函數(shù)的圖形 . 三、函數(shù)圖形的描繪確定極值可疑點(diǎn)和拐點(diǎn)可疑點(diǎn) . ) 1() 1( 23的圖形作出函數(shù)xxy :函數(shù)的定義域. ) , 1() 1 ,(x, ) 1()5() 1(32xxxy, ) 1() 1(244 xxy , 5 , 1 , 0 xxy得駐點(diǎn)令 , 1 , 0 xy得拐點(diǎn)可疑點(diǎn)令例12解解xyy y)5 ,(5) 1 , 5(1) 1 , 1(1) , 1 (000極大拐點(diǎn), 5 : x極大點(diǎn), 5 .13)5( : f極