2020版高考文科數(shù)學大二輪專題復習新方略講義：2.3導數(shù)的簡單應用 Word版含解析

1、第3講導數(shù)的簡單應用考點1導數(shù)運算及幾何意義1. 導數(shù)公式(1) (sinx)'=cosx；(2) (cosx)'=sinx；(3) (ax)!=axlna(a>0)；/1口(4) (iogax)=xina(a>0，且a#1)-2. 導數(shù)的幾何意義函數(shù)f(x)在x0處的導數(shù)是曲線f(x)在點P(x0,x0)處的切線的斜率,曲線f(x)在點P處的切線的斜率k=f(x0),相應的切線方程為y-f(x0)=f(x0)(xx0).例1(1)2019全國卷I曲線y=3(x2+x)ex在點(0,0)處的切線方程為;(2)2019全國卷III已知曲線y=aex+xlnx在點(1,

2、ae)處的切線方程為y=2x+b,貝lj()A.a=e,b=1B.a=e,b=1C.a=e1,b=1D.a=e1,b=1【解析】(1)本題主要考查導數(shù)的幾何意義，考查考生的運算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學運算.因為y'=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)ex，所以曲線在點(0,0)處的切線的斜率k=yf|0=3,所以所求的切線方程為y=3x.(2)本題主要考查導數(shù)的幾何意義，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學運算.因為y，aex+lnx+1,所以yz|1ae+1，所以曲線在點(1，ae)處的切線方程為yae(ae+1)(x1)，即y(ae+1)x1，所以ae+12，b-1

3、，【答案】解得ae-1b-1.(1)y=3x(2)D(一技法領(lǐng)悟)1.求曲線y=f(x)的切線方程的三種類型及方法(1) 已知切點P(x0,y0),求y=f(x)過點P的切線方程：求出切線的斜率f(x0),由點斜式寫出方程.(2) 已知切線的斜率為k,求y=f(x)的切線方程：設(shè)切點P(x0，y0)，通過方程k=f(x0)解得x0,再由點斜式寫出方程.(3)已知切線上一點(非切點)，求y=f(x)的切線方程：設(shè)切點P(x0,y0),利用導數(shù)求得切線斜率f(x0),然后由斜率公式求得切線斜率，列方程(組)解得x°,再由點斜式或兩點式寫出方程.2警示求曲線的切線方程時，務(wù)必分清點P處的切

4、線還是過點P的切線，前者點P為切點，后者點P不一定為切點，求解時應先求出切點坐標.丄對接訓練1. 2019云南師大附中適應性考試曲線y=ax在x=0處的切線方程是xln2+y1=0,貝a=()1A遼B2C.In2D.In*解析：由題意知，y'=axlna,則在x=0處，yf=lna,又切點為(0,1),：切線方程為xlnay+1=0,.*.a=2.故選A.答案：A2. 2019河北保定樂凱中學模擬設(shè)函數(shù)f(x)=g(x)+x2，曲線y=g(x)在點(1,g(1)處的切線方程為y=2x+1,則曲線y=f(x)在點(1,幾1)處的切線的斜率為()1A.2B.41C.4D.2解析：因為曲線y

5、=g(x)在點(1,g(1)處的切線方程為y=2x+1,所以g'(1)=2.又f(x)=g'(x)+2x，故曲線y=f(x)在點(1,f(1)處的切線的斜率為f(1)=g'(1)+2=4.故選C.答案：C考點2利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性1. 若求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(或證明單調(diào)性)，只要在其定義域內(nèi)解(或證明)不等式f(x)>0或f(x)<0即可.2. 若已知函數(shù)的單調(diào)性，則轉(zhuǎn)化為不等式f(x)$0或f(x)W0在單調(diào)區(qū)間上恒成立問題來求解.例22019全國卷III已知函數(shù)fx)=2x3ax2+b.(1) 討論fx)的單調(diào)性；(2) 是否存在a,b,使得fx)在區(qū)間

6、0,1的最小值為一1且最大值為1?若存在，求出a,b的所有值；若不存在，說明理由.【解析】本題主要考查導數(shù)在研究三次函數(shù)單調(diào)性、最值中的應用，考查考生的運算求解能力，考查分類討論思想，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學運算.(1f'(x)=6x22ax=2x(3xa).令f(x)=0,得x=0或x=a(a(a若a>0,則當xe(-,0)U3,+®時，f(x)>0；當xe0,3V3丿V3丿(a、(aA時，f(x)<0.故心在(一g,0)，單調(diào)遞增，在p，才單調(diào)遞減；若a=0,f(x)在(一8,+)單調(diào)遞增；(aA(aA若a<0,則當xe-8,3U(0,+g)

7、時，f(x)>0；當xe3,0V3丿V3丿時，f(x)<0.故心在8,a(0,+8)單調(diào)遞增，在°a單調(diào)遞減.(2)滿足題設(shè)條件的a,b存在.(i) 當aW0時，由(1)知,x)在0,1單調(diào)遞增，所以fx)在區(qū)間0,1的最小值為f(0)=b，最大值為f(1)=2-a+b.此時a,b滿足題設(shè)條件當且僅當b=1,2a+b=1,即a=0,b=1.(ii) 當a$3時，由(1)知，fx)在0,1單調(diào)遞減，所以fx)在區(qū)間0,1的最大值為f(0)=b，最小值為f(1)=2a+b.此時a,b滿足題設(shè)條件當且僅當2a+b=1,b=1,即a=4,b=1.aa3(iii) 當0<a&

8、lt;3時，由(1)知，fx)在0,1的最小值為f(3)=27+b,最大值為b或2a+b.若一27+b=1,b=1,則a=332，與0<a<3矛盾.若一27+B=1,2a+B=1,則a=3；3或a=3J3或a=0,與0<a<3矛盾.綜上，當且僅當a=0,B=1或a=4,b=1時，F(xiàn)x)在0,1的最小值為一1,最大值為1.(一技法領(lǐng)悟)1. 求解或討論函數(shù)單調(diào)性問題的解題策略研究函數(shù)的單調(diào)性其實就是討論不等式的解集的情況.大多數(shù)情況下，這類問題可以歸納為一個含有參數(shù)的一元二次不等式的解集的討論：(1)在能夠通過因式分解求出不等式對應方程的根時，依據(jù)根的大小進行分類討論.在

9、不能通過因式分解求出根的情況時，根據(jù)不等式對應方程的判別式進行分類討論.2. 警示討論函數(shù)的單調(diào)性是在函數(shù)的定義域內(nèi)進行的，千萬不要忽視了定義域的限制.丄對接訓練(1A13.2019湖北宜昌模擬已知函數(shù)/(x)=|m+-lnx+x,其中常I丿X數(shù)M>0.(1) 當m=2時，求Fx)的極大值；(2) 試討論Fx)在區(qū)間(0,1)上的單調(diào)性.解析：(1)當m=2時，F(xiàn)x)=2】nx+Xx,F(x)=2XX_1=(x2)(2x1)(2x2-(x>0).1A當Ovxv；或x>2時，F(xiàn)(x)<0，當!<x<2時，f(x)>0,Fx)在"，占和(2,+)

10、上單調(diào)遞減，在£,2上單調(diào)遞增，53(1A(x叫兀mJfx)的極大值為f(2)=2ln22.m+m1(xm)XmJ(2f(x)=X21='(x>0,m>0),故當0<M<1時，fx)在(0,M)上單調(diào)遞減，在(M,1)上單調(diào)遞增;當m=l時，fx)在(0,1)上單調(diào)遞減；(1A(1S當m>i時，fx)在o,m上單調(diào)遞減，在忖，1上單調(diào)遞增.考點3利用導數(shù)研究函數(shù)極值、最值可導函數(shù)的極值與最值(1) 若在x0附近左側(cè)f(x)>0，右側(cè)f<0,則fx0)為函數(shù)fx)的極大值；若在x0附近左側(cè)f<0，右側(cè)f(x)>0，則f(xQ

11、)為函數(shù)f(x)的極小值.(2) 設(shè)函數(shù)y=fx)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導，則f(x)在a,b上必有最大值和最小值且在極值點或端點處取得.例32019全國卷I已知函數(shù)fx)=sinxln(1+x),f(x)為fx)nA的導數(shù)，證明：(nA(1f，(x)在區(qū)間1,日存在唯一極大值點；(2f(x)有且僅有2個零點.【解析】本題主要考查導數(shù)及其應用、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值與函數(shù)零點個數(shù)的證明等，考查考生的推理論證能力、運算求解能力、抽象概括能力等，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想等，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、直觀想象、數(shù)學運算.(n(nA當xe-1，2時，g，(x)單調(diào)遞減

12、，而g，(0)>0，g，nA(1)設(shè)g(x)=f，(x)則g(x)=COSx1+x，g，(x)=sinx+(1+x)2<0,可得g，(x)在1,另有唯一零點，設(shè)為a.則當xe(1,a)時,g，(x)>0；(nA,當xea,2時，g，(x)<0.k2丿所以g(x)在(一1,a)單調(diào)遞增，在nAn、2丿2單調(diào)遞減，故&(兀)在1,存在唯一極大值點，即f(%)在1,2J存在唯一極大值點.(2)f(x)的定義域為(一1,+)(i) 當xe(1,0時，由(1)知，f(兀)在(一1,0)單調(diào)遞增，而f(0)=0,所以當xe(1,0)時，f，(x)<0,故fx)在(1,

13、0)單調(diào)遞減.又f(0)=0,從而x=0是幾兀)在(一1,0的唯一零點.(ii) 當nAa，:nA.(n|(nAxep，2時,由知，f，(x)在(0,a)單調(diào)遞增,在a，2J單nAa，2丿nA，2j調(diào)遞減，而f(0)=0,f2<0,所以存在阻Vs)(nA且當xe(0,0)時，f(x)>0；當xW02)時，f(x)<0.故fx)在(0,P)(nA單調(diào)遞增，在p,空單調(diào)遞減.(nA(nA(nl,又f(0)=0,f2=1_ln1+2>0,所以當xU0,2時'fx)>0從而'Vs)J乙丿kZJfx)在"，2沒有零點.(iii)當xW，使得fG)=

14、0，nnA2)(nAn(n、時,f(x)<0,所以fx)在匕，nf(n)<0,所以fx)在怎，(iv)當x(n,+®)時，ln(x+l)>l,所以f(x)<0，從而f(x)在(n,+)沒有零點.綜上，fx)有且僅有2個零點.(n_n(nfnA單調(diào)遞減.而f2>0,2)有唯一零點.(一技法領(lǐng)悟)1. 利用導數(shù)求函數(shù)最值的方法技巧(1) 對含參數(shù)的函數(shù)解析式求最值時，常常分類討論，分類的原則是極值點在給定區(qū)間的內(nèi)部還是外部，從而根據(jù)單調(diào)性求出最值.(2) 求極值和最值時，為了直觀易懂，常常列出x的取值范圍與y'的符號及y的單調(diào)區(qū)間、極值的對應表格.2

15、. 警示(1) 求函數(shù)極值時，一定要注意分析導函數(shù)的零點是不是函數(shù)的極值點.(2) 求函數(shù)最值時，務(wù)必將極值點與端點值比較得出最大(小)值.(3) 對于含參數(shù)的函數(shù)解析式或區(qū)間求極值、最值問題，務(wù)必要對參數(shù)分類討論.丄對接訓練2019福建福州質(zhì)量檢測已知函數(shù)f(x)幣-aln(1+x)(aWR),g(x)=x2emx+1e2.(1) 求函數(shù)fx)的單調(diào)區(qū)間；(2) 若a<0,xi，x2W0,e,不等式f(xg(x2)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.x解析：(1)因為f(x)=1+x-aln(1+x)(x>1),1aaxa+1所以f(X)=(X+1)2X+1(X+1)2*當aW0時,f(

16、x)>0,所以函數(shù)fx)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一1,+),無單調(diào)遞減區(qū)間.當a>0時，由f(x)>°，丿曰11x>-1,得To<T+a；，得x>-1+1x>-1,a所以函數(shù)fx)的單調(diào)遞增區(qū)間是1,一1+2，單調(diào)遞減區(qū)間是(1AIa丿綜上所述，當aW0時，函數(shù)fx)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一1,+o),無單調(diào)遞減區(qū)間.當a>0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(一1,1+專，單調(diào)遞減區(qū)Ia(1A間是(1+a，+o/若a<0,貝Ux1，x2W0,e,不等式fx”上g(x2)恒成立，等價于“對任意xW0,e,f(x)i上g(x)恒成立”.minm

17、ax當a<0時，由(1)知，函數(shù)fx)在0,e上單調(diào)遞增，所以fx)min=f(0)=0g'(x)=2xemx+】+mx2emx+1=x(mx+2)emx+1,(i) 當m$0時，若0WxWe,則g'(x)$0,函數(shù)g(x)在0,e上單調(diào)遞增，所以g(x)=g(e)=eme+3e2>0,不符合題意.max22(ii) 當一eWm<0,即一m$e時，在0,e上，g'(x)$0,所以g(x)在0,e上單調(diào)遞增，所以g(x)=g(e)=eme+3e2,令eme+3e2W0,max得mW-,e21所以一WmWe.ee22(iii) 當m<e，即卩0<

18、;<e時，em2-上,g!(x)$0,所以g(x)在0,在0,上單調(diào)遞增,m2n2n在一m，e上，gf(x)W0,所以g(x)在_m，e上單調(diào)遞減,(2A44所以g(x)max=g-mj=ern2-e2，令麗一以0，4l4f422得m2上臣，所以，又一:忑>一e，所以m<e.綜上所述，實數(shù)m的取值范圍為g，g.課時作業(yè)5導數(shù)的簡單應用1. 2019四川綿陽第三次診斷函數(shù)f(x)=excosx的圖象在x=0處的切線斜率為()A.0B.1C.eD.e2解析：7(x)=excosx,丁(x)=excosxexsinx=ex(cosxsinx)，f(0)=eo(cos0sin0)=1

19、，A函數(shù)fx)的圖象在x=0處的切線斜率為1.故選B.答案：B2. 2019河南南陽月考已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f(x),且滿足fx)=2xf(e)+lnx,則f(e)=()1A.eB.eC.1D.e解析：由fx)=2f(e)+lnx，得f(x)=f(e)+：，則f(e)=x1122f(e)+所以f(e)=，故fx)=gx+lnx，所以f(e)=1.故選C.答案：C3. 2019安徽蚌埠一中期中如圖是導函數(shù)y=f(x)的圖象，那么函數(shù)y=fx)在下面哪個區(qū)間是減函數(shù)()A.(x2,x4)B(xi,x3)C.(x5,x6)D.(x4,x6)解析：由題圖可知，當f(x)V0時，x(x2，x4),

20、即函數(shù)y=fx)的減區(qū)間為(x2，x4)故選A.答案：A34. 2019河北九校第二次聯(lián)考函數(shù)fx)=x+-+21nx的單調(diào)遞減x區(qū)間是()A. (3,1)B.(0,1)C.(1,3)D.(0,3)32解析：解法一令f(x)=1-t+x<0，得0<x<1,故所求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)故選B.7解法二由題意知->0，故排除A，C選項；又f(1)=4<f(2)=2+2ln2，故排除D選項故選B.答案：B5. 2019遼寧遼陽期末函數(shù)fx)=x331nx的最小值為()A.0B.1C.2D.3解析：函數(shù)f(x)=x33lnx的定義域為(0,+*)可得0/)3x33

21、3(x1)(x2+x+1)令0(、0可得,可得f(x)=x一='x，令f(-)=0，可得x=1，所以XE(0,1)時，f(x)<0，函數(shù)fx)是減函數(shù)；XW(1，+®)時，f(X)>0，函數(shù)fx)是增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)的最小值為f(1)=1.故選B.答案：B6. 2019河南濮陽第二次模擬已知a=ln3'3,b=e-1,c=黔,則a,b,c的大小關(guān)系為()A.b>c>aB.a>c>bC.a>b>cD.b>a>c3In31Ine3ln2In8解析：依題意，得a=ln3=丁，b=e-】=-，c=育lnX1Inx令fx)=，則