工程力學位移分析與剛度設計

1、第九章位移分析與剛度設計一、教學目標具有胡克定律，彈性模量與泊松比的概念，能熟練地計算軸向拉壓情況下桿的變形熟練掌握扭轉桿件變形（扭轉角）計算方法和扭轉剛度計算方法；掌握求梁變形的兩種方法：積分法和疊加法，明確疊加原理的使用條件，掌握用變形比較法求解靜不定梁。二、教學內容軸向拉伸和壓縮的變形扭轉桿件變形（扭轉角）計算，剛度條件彎曲變形的量度及符號規(guī)定；撓曲線近似微分方程；計算彎曲變形的兩種方法；用變形比較法解簡單的超靜定梁三、重點難點軸向拉伸和壓縮的變形扭轉桿件變形（扭轉角）計算，剛度條件梁的變形分析。撓曲線近似微分方程。積分法求梁的變形。疊加法求梁的變形。用變形比較法解簡單超靜定梁。四、教學

2、方式采用啟發(fā)式教學，通過提問，引導學生思考，讓學生回答問題五、計劃學時學時六、實施學時七、講課提綱（一）、9.1受軸向拉伸（壓縮）時桿件的變形計算一、縱向變形圖9-11、線變形：l=ll（絕對變形）反映桿的總伸長，但無法說明桿的變形程度（絕對變形與桿的長度有關）2、線應變：一牛（相對變形）反映每單位長度的變形，即反映桿的變形程度（相對變形與桿的長度無關）3、虎克定律：（91）AL二FnIEA二、橫向變形泊松比1、橫向縮短：b=b-b2、橫向線應變：宀竺=口bb3、泊松比實驗結果表明：在彈性范圍，其橫向應變與縱向應變之比的絕對值為一常數(shù)，既泊松比：考慮到兩個應變的正負號恒相反，即拉伸時：*+，_

3、故有0=-陰壓縮后：,f+-+三、變形和位移的概念1、變形物體受外力作用后要發(fā)生形狀和尺寸的改變，這種現(xiàn)象稱為物體的變形。2、位移物體變形后，在物體上的一些點、一些線或面就可能發(fā)生空間位置的改變，這種空間位置的改變稱為位移。3、變形和位移的關系因果關系，產(chǎn)生位移的原因是桿件的變形，桿件變形的結果引起桿件中的一些點、面、線發(fā)生位移。9-1已知：桿為鋼桿，桿直徑d=34mm,L1=1.15m,E=200GPa;桿為木桿，桿截面為邊長a=170mm的正方形，L2=1m,E2=10GPa；P=40kN,a=30求6B、3By和622用截面法，畫出節(jié)點B的受力圖，由平衡條件得FN1=80kN，(2)求厶

4、L、L2=?L1=Fh=E1A180x103x1.15兀200x109x(34)210-64=0.51mmFN2=-69.3kN-116-=-0.24mml=Fk-69.3x103x12E2A210x109x1702x10-6(3)畫節(jié)點B的位移圖 按解得的變形情況作位移圖； 作弧線BB3、B2B4交于B 變形微小，.可用切線代弧線，作瓦可、碩交于B。求5BX、3By和滬？為計算節(jié)點B在x、y方向的位移和總位移，必須研究節(jié)點位移圖中各線段之間的幾何關系：3X=BG=bb2=AL2=0.24mm(j)因為畫節(jié)點位移圖時已考慮了桿件是拉伸還是壓縮這一現(xiàn)實，所以計算位移時只需代各桿伸長或縮短的絕對值

5、。(j)表示位移方向。3y=BG=BD+DG=+綸sinatga0.51+0.24x0.8664“=1.43mm0.5蕪BBJd2+52=*0.242+1.432xy(二) 、9.2圓軸扭轉時的變形計算AL+AL2cosa0.51+0.24xcos30。sinasin30。(I)=1.45mm1、扭轉角與剪切角的概念圖9-3申-扭轉角，截面B相對于截面A轉過的角度;Y-桿表面縱向直線所轉過的角度。2、圓軸扭轉時的變形計算扭轉角的計算3、MlQ=nGIMl180。(D=nGI兀rad（弧度）（度）單位長度扭轉角的計算0-JlnGInGI180。扭轉時剛度條件maxnmax0GI180。maxnm

6、axGI0Rad/m/mRad/m/m（9-2）（9-3）（9-4）（9-5）（9-6）（9-7）例題3-4某軸AB段是空心軸，內外徑之比.-d-。8；BC段是實心軸（其倒角過度忽略不計），承受的外力偶矩及其長度如圖示，已知軸材料的0=賞、G=8OGPa，試設計D和d應等于多少？材料力學位移分析與剛度設計圖9-4解：1、作扭矩圖(+)(-)1146N-m764N-m2、根據(jù)剛度條件設計D、dAB段：0_MnGIp空1146兀80X109X324(i4)32x1146D4；8Ox109X兀X(1-0.84)X1兀18上=0.0611m=61.1mmBC段：0MnGIp空180。432X764-空

7、二0.0486m二48.6mm80x109x兀x1兀3結論：D=61.1mm-剛度條件確定。d=48.1mm剛度條件確定。（三）梁的彎曲變形回顧：彎曲內力在外力作用下，梁的內力沿軸線的變化規(guī)律。彎曲應力在外力作用下，梁內應力沿橫截面高度的分布規(guī)律。彎曲變形在外力作用下，梁在空間位置的變化規(guī)律一、彎曲變形的量度及其符號規(guī)定1、度量彎曲變形的兩個量：撓度：梁軸線上的點在垂直于梁軸線方向的所發(fā)生的線位移稱為撓度。（工程上的一般忽略水平線位移）-127-轉角：梁變形后的橫截面相對于原來橫截面繞中性軸所轉過的角位移0稱為轉角。2、符號規(guī)定：坐標系的建立：坐標原點一般設在梁的左端，并規(guī)定：以變形前的梁軸線

8、為x軸，向右為正；以y軸代表曲線的縱坐標（撓度），向上為正。撓度的符號規(guī)定：向上為正，向下為負。轉角的符號規(guī)定：逆時針轉向的轉角為正；順時針轉向的轉角為負。二、撓曲線近似微分方程及其積分1、撓曲線在平面彎曲的情況下，梁變形后的軸線在彎曲平面內成為一條曲線，這條曲線稱為撓曲線。F圖9-6撓曲線厶2、撓曲線近似微分方程數(shù)學上：曲線的曲率與曲線方程間的關系K(x)1d2p(x)dx2材力上：撓曲線的曲率與梁上彎矩和抗彎剛度間的關系M(x)EI顯然，撓曲線的曲線方程與梁的彎矩剛度間的關系可以用下式表示：d20_M(x)dx2EI這個等式稱為撓曲線近似微分方程近似解釋：忽略了剪力的影響；由于小變形，略去

9、了曲線方程中的高次項。3、撓曲線近似微分方程的積分轉角方程和撓曲線方程對撓曲線近似微分方程積分一次，得轉角方程：0(x)_(JM(x)dx+c)dxEI再積分一次，得撓曲線方程：_Ei齢M(x)dx)+cx+D積分常數(shù)的確定及其物理意義和幾何意義 積分常數(shù)的數(shù)目一一取決于M(x)的分段數(shù)M(x)n段積分常數(shù)2n個舉例：M(x)分2段，則積分常數(shù)2x2=4個 積分常數(shù)的確定邊界條件和連續(xù)條件：邊界條件：梁在其支承處的撓度或轉角是已知的，這樣的已知條件稱為邊界條件。連續(xù)條件：梁的撓曲線是一條連續(xù)、光滑、平坦的曲線。因此，在梁的同一截面上不可能有兩個不同的撓度值或轉角值，這樣的已知條件稱為連續(xù)條件。

10、 積分常數(shù)與邊界條件、連續(xù)條件之間的關系：積分常數(shù)2n個=2口個邊界條件、連續(xù)條件圖6-4所示的例題中：0=0A邊界條件：o=0A0=0連續(xù)條件：B左B右o=oB左B右例題：列出圖6-4所示結構的邊界條件和連續(xù)條件。Fp1/2/1/2/I/圖9-8o=0Ao=oD左D右解：邊界條件：9=0連續(xù)條件：9=9Ao=0CD左D右o=oB左B右積分常數(shù)的物理意義和幾何意義物理意義：將x=0代入轉角方程和撓曲線方程，得C=EI9即坐標原點處梁的轉角9，它的EI倍就是積分常數(shù)C；ooD=EI即坐標原點處梁的撓度的EI倍就是積分常數(shù)D。oo幾何意義：C轉角D撓度舉例：131a9=0C=0A9=0C=0A9=

11、0C=0AABC=mlFl2poC=坐24C=-mo3（三）、計算彎曲變形的兩種方法1、積分法基本辦法利用積分法求梁變形的一般步驟：建立坐標系（一般：坐標原點設在梁的左端），求支座反力，分段列彎矩方程；分段列出梁的撓曲線近似微分方程，并對其積分兩次；利用邊界條件，連續(xù)條件確定積分常數(shù)；建立轉角方程和撓曲線方程；計算指定截面的轉角和撓度值，特別注意p|和M及其所在截面。maxmax積分法求梁變形舉例：用積分法求圖示梁，b、ebc、ec解：分段建立彎矩方程AB段：M（叩=普（是）BC段：M(x2)=豊-q(x2-|)-2(X2-占)ql2qll=育-2(x2-2)2(2-x2-1)分段建立近似微分

12、方程，并對其積分兩次AB段：絲=如dx2EI1即:EI”=M(x)=空118Eie(x)=EI3=Jm(x)dx+c1111ql2=x+c811EI(x)=El=JJM(x)dx-dx+cx+D111111ql2=x2+cx+D161111BC段：EI=M(x)=22EI9(x)=EI=q-x-纟(x-)3+c2282622222EI(x2)=EI2=x22-14(x2-卜+C2x+D利用邊界條件、連續(xù)條件確定積分常數(shù)由邊界條件確定C1、D1:當x=0時，9=0,由(1)式得C1=01A1當x=0時，=0，由(2)式得D1=01A1由連續(xù)條件確定C2、D2:式子：當x=x=時，9(x)=9(x

13、)，即聯(lián)立、21221吐丄+C=必丄-q(丄-丄)3+C得C=C=082182622212當x=x=時，x)=(x)，即聯(lián)立、式：21221ql2lqlllql2llT?(2)2-24(2-2)4+C22+D2=16(2)2+C12+D1得D2=0分段建立轉角方程、撓曲線方程:AB段：EI9(x)=必x181EIw(x)=x21161材料力學位移分析與剛度設計BC段：EI9(x)=巴x-纟(x-)3(7)282622EIo(x)=ql2x2-(x-)421622422求梁指定截面上的轉角和撓度當|時，由式得，ebq-316EI由式得，q-4w=b64EI當x2=1時，由式得，cEIqi3q(1

14、)3V-6(2)35ql348EI由式得，wcEI空(l2)-旦(1-)41624223ql4384EI2、疊加法簡捷方法記住梁在簡單荷載作用下的變形撓曲線方程、轉角、撓度計算方式疊加法的兩種處理方法：荷載疊加q7/r/.%ABC乞4BC1/21/21/2X”V2”材料力學位移分析與剛度設計-127-二+OCC1C2(+9-)C2B2B22荷載疊加法求梁變形舉例：9-10求o、9(圖9-10,b)BqBqo=一_qX(x2一4lx+6/2)24EI=qx4qlx3ql3x2_24EI6E24EI9_do_qx3qlx2ql2xdxL6EI2EI2EI材料力學位移分析與剛度設計最后：-1-7-則

15、Bq4EIBq17ql4384EI22EIq（2）3-+6EI2EI7ql348EI求cq、9（圖9-10b）cqql3cqBqBq6EIql48EIcq求8EI3ql4Bq6EI求cq=9fcqcq1-8EIql348EIBq9（圖c）cqql348EIBqqlBqql48EI-1-8EI7ql384EI材料力學位移分析與剛度設計求3、0BBC、-130-3=3+3BBq汕+亙=(-旦+3)ql4=-如(I)Bq384EI128EI384EI384EI192EI=0+0=-BqBqql3苗（丿）=3+3cqcq384EI(48-7)=-船0C=0cq+0cq=-6EI+籍=-黠(8-1)=-

16、四）9.4簡單超靜定問題拉壓超靜定1、何謂靜定？桿件或桿系結構的約束反力、各桿的內力能用靜力平衡方程求解的，這類問題稱為靜定問題。2、何謂超靜定及其次數(shù)？桿件或桿系結構的約束反力、各桿的內力不能用靜力平衡方程求解的，即未知力的數(shù)目超過平衡方程的數(shù)目，這些問題稱為超靜定問題。未知力多于靜力平衡方程的數(shù)目稱為超靜定次數(shù)。為提高圖2-29，a所示結構的強度和剛度，可在中間加一桿，如圖b所示：三個未知內力，兩個平衡方程（平面匯交力系），一次超靜定。3、超靜定問題的一般解法：（舉例說明）Ff.2圖9-12解：（1）靜力平衡方程：工Fy=0,Fri+Fr2=Fp（a）fr1、fR2、fp組成一共線力系，二

17、個未知力，只有一個平衡條件，超靜定一次。要解，必須設法補充一個方程。從變形間的協(xié)調關系著手。2）變形幾何方程（也稱為變形協(xié)調方程）：AL+AL2=0（b）AL、AL2不是所要求的未知力，只有通過物理條件才能把變形用未知力來表示，即FLFL（3）物理方程：KL、=JAL2=R（c）1EA2EA（4）建立補充方程：即將（c）式代入（b）式：Fr1L1-冬2如=0EAEAFL即亠=2（d）FR2L1聯(lián)立解（a）（d）兩式，得F=FL_；f=FLR1PL1+L2，R2PL1+L2若解得fr1、fR2為正值，說明fr1、fR2的假設方向與實際一致，若L1=L2，則Fr產(chǎn)Fr2=F已知Fri、Fr2，F(xiàn)Fn2即得解。歸納上述解題，得到超靜定問題的一般解法和步驟。（1）根據(jù)靜力學平衡條件列出應有的平衡方程；（