工程光學習題解答第十二章光的衍射

1、第十二章光的衍射1.波長為500nm的平行光垂直照射在寬度為0.025mm的單縫上，以焦距為50cm的會聚透鏡將衍射光聚焦于焦面上進行觀察，求（1）衍射圖樣中央亮紋的半寬度；（2）第一亮紋和第二亮紋到中央亮紋的距離；（3）第一亮紋和第二亮紋的強度。解：（1）零強度點有asin0=n九（n=±1,±2,±3）中央亮紋的角半寬度為A0=-0a亮紋半寬度ro=f-A6oX_50X10-2X500X10-9a0.025x10-3_0.01m0X兀(2)第一亮紋，有a_asin0_4.493X1.01_0.0286rad4.493九_4.493x500x10-9兀a3.14

2、x0.025x10-3r_f*0_50x10-2x0.0286_0.0143m_14.3mm11同理r_24.6mm2衍射光強1_10兀n其中a_丁asin0X當asin0_nX時為暗紋，tga_a為亮紋對應級數(shù)a001212.平行光斜入射到單縫上證明：（1）單縫夫瑯和費衍射強度公式為sinin號(sin0-sini)a(sin0-sini)X式中，Iq是中央亮紋中心強度；a是縫寬；0是衍射角，i是入射角（見圖12-50）（2）中央亮紋的角半寬度為A0_acosi3.在不透明細絲的夫瑯和費衍射圖樣中，測得暗條紋的間距為1.5mm,所用透鏡的焦距為30mm，光波波長為632.8nm。問細絲直徑是

3、多少九”，解：設(shè)直徑為a，則有一f=da=0.0126mm632.8x10-9x0.031.5x10-34利用第三節(jié)的結(jié)果導出外徑和內(nèi)徑分別為a和b的圓環(huán)（見圖12-51）的夫瑯和費衍射強度公式，并求出當b=|時，（1）圓環(huán)衍射與半徑為a的圓孔衍射圖樣的中心強度之比；（2）圓環(huán)衍射圖樣第一個暗環(huán)的角半徑。同樣，圖圓屏使P點振幅減6圖E(p)=兀b2c2j(kb)_1kb因此圓環(huán)在P點產(chǎn)生的振幅為E=E-Eaba2J(ka0)b2J(kbO)"|11kaOkb二4兀2C2a2J(ka0)b2J(kbO)211kaOkbO對于衍射場中心，O=0有I(0)=4兀2C'2=4兀2C2

4、(a2b2)2(1)I(0)=4兀(a2b2¥2c228(、a4=ca2I4丿9ca416I(0)=9HO)=16a2）第一暗紋有a2J(kaO)kaOb2J(kbO)1kbO2aJ(kaO)=aJkO121查表可有kaO=3.144O3.144九九/.O=3.144-=0.51ka2兀aa4.（1）一束直徑為2mm的氦氖激光（九=632.8nm）自地面射向月球，已知地面和月球相距3.76xl03km，問在月球上得到的光斑有多大（2）如果用望遠鏡用作為擴束器將該擴展成直徑為4m的光束，該用多大倍數(shù)的望遠鏡將擴束后的光束再射向月球,在月球上的光斑為多大解：（1）圓孔衍射角半寬度為O=-

5、a傳到月球上時光斑直徑為D=2Ox3.76x108=290.3km0.61-0.61x632.8x109-1=2xxl=2xa1x1032）若用望遠鏡擴束，則放大倍數(shù)為2000倍。直徑D'=2O'l=2x2x°61x皿x109x3.76x108=145.2m5.若望遠鏡能分辨角距離為3X10-7rad的兩顆星，它的物鏡的最小直徑是多少同時為了充分利用望遠鏡的分辨率，望遠鏡應有多大的放大率解：d=竽=%1X550X10-9X2=2.24m23X10-7人眼分辨率為1'沁2.9x10-4rad2.9x10-4放大率M>2；9罟B9003X10-76.若要使照

6、相機感光膠片能分辨2卩m的線距，（1）感光膠片的分辨率至少是每毫米當7.時線；照相機鏡頭的相對孔徑D/f至少有多大（光波波長為550nm）解：（1）膠片分辨率為N=500線/毫米2X10-3DN（2）=1.22X-NB=0.34d1490一臺顯微鏡的數(shù)值孔徑為0.85，問（1）它用于波長九二400nm時的最小分辨距離是多少（2）若利用油浸物鏡使數(shù)值孔徑增大到，分辨率提高了多少倍（3）顯微鏡的放大率應設(shè)計成多大（設(shè)人眼的最小分辨率為1'）。解：“沁=061X400X10-9=0.29x10-6mnsinu0.85提高£'=173）人眼在明視距離處能夠分辨的長度為&

7、;-250mm=250x2.9x10-4=7.25x10-2mme放大率至少為M止=7.25x10-2mm=4258'0.29x10-3mmx1.78.在雙縫夫瑯和費衍射實驗中，所用光波波長九二632.8nm，透鏡焦距f=50cm，觀察到兩相鄰亮條紋之間的距離e=1.5mm，并且第四級亮紋缺級。試求（1）雙縫的縫距和縫寬；（2）第1，2，3級亮紋的相對強度。解：（1）雙縫衍射亮紋條件為dsin0=m九,m=0,±1,±2取微分有dcos0-A0=XAmc九令Am=1，且cosOu1，則A0Bd1.5X10-3.D二=6迄8X10-9X0.5=0.21X10-3mem

8、=0,±1,±2(2)衍射極小位置為asin0=n九ad.一=,N=±1,±2nm取n=1,m=4a=0.05mm4(3)對于第一級亮紋有sin0=±X2兀即5=sin0=±2兀九又Q=4aasin0=±4/.a=asin0=±4第一級亮紋的相對強度亍=0r222sm5sin'sina24la；.5sml2丿l4丿2=0.81同理厶=0.4,厶=0.09009. 在雙縫的一個縫前貼一塊厚0.001mm，折射率為的玻璃片。設(shè)雙縫間距為1.5卩m,縫寬為0.5卩m,用波長500nm的平行光垂直入射。試分析該雙縫

9、的夫瑯和費衍射圖樣。解：衍射圖樣不變，干涉位置變?yōu)閟in0+（Nn0）=m10. 一塊光柵的寬度為10cm，每毫米內(nèi)有500條縫，光柵后面放置的透鏡焦距為500nm。問（1）它產(chǎn)生的波長=632.8nm的單色光的1級和2級譜線的半寬度是多少（2）若入射光是波長為632.8nm和波長之相差0.5nm的兩種單色光，它們的1級和2級譜線之間的距離是多少1mm1mm解：（1）d一一一2x10-6mN500對于一級主極大有dsin0-kn0-18.43。1kf:.r一一3.34x10-3mm1Ndcos0同理r=4.08x10-3mm2(2)Qdsin0二mk81m-f線色散80=dCOS01,2級衍射

10、線色散為81)500mm_,.-=0.26mm/nm(80丿0.002mm-cos18.43°1-=0.64mm/nm丿2而Ak=0.5nm譜線間距81)Al=Ak=0.26mm/nmx0.5=0.13mm1lA0丿1Al=0.32mm211. 設(shè)計一塊光柵，要求（1）使波長k=600nm的第2級譜線的衍射角0<30。,色散盡可能大，（3）第3級譜線缺級，（4）在波長k=600nm的2級譜線處能分辨0.02nm的波長差。在選定光柵的參數(shù)后，問在透鏡的焦面上只可能看到波長600nm的幾條譜線解：為使k=600nm的二級譜線的衍射角0<30。，則光柵常數(shù)d應滿足mkSiKO、

11、2x600x10-9-sin30。=2.4x10-6md0m色冃攵dkdcos0d越小色散越大d=2.4x10-6m若第三級缺級，應有a=-=0.8x10-6md由條件（4）N=6000.02x2=15000二光柵總長度L=N-d=36mm可看到最高級條紋為m=dsin9T"<d=2.4x】0一6=4九600x10-9可看到0,±1,±2級，±3級缺級，共5條條紋。12. 為在一塊每毫米1200條刻線的光柵的1級光譜中分辨波長為632.8nm的一束氦氖激光的模結(jié)構(gòu)(兩個模之間的頻率差為450MHz)，光柵需要有多寬解：632.8nm對應的頻率為4.

12、741x1014Hz.A九Av450x1064.741x1014x632.8=6x10-4nm尢6328光柵總條紋數(shù)為N=1.005x106AA-m6x10-4長度為L=Nd=1.005x106x=879mm120013.證明光束斜入射時，(1)光柵衍射強度分布公式為I'sina)2fsinNp)0Ia丿、sinP丿2式中a=(sin9sini),卩=罟(sinGsini)9為衍射角；i為入射角，見圖12-53,N為光柵縫數(shù)。(2)若光柵常數(shù)d>>A，光柵形成主級大的條件可以寫為證明:圖與蠡入射相題，豐=芋人=芋d(sin9sini)AA.p=(sin9sini)A同理a=

13、犖(sin9sini)A(2)光柵形成主極大有d(sin9sini)=mA2dcos0+i2.0-ism2cos2.0-i沁cosi,sm20-i2有dcosi（0-i）=m九縫數(shù)為2N,縫寬為a，縫間不透明部分的寬度這一衍射屏的夫瑯和費衍射強度分布公式。14有一多縫衍射屏如圖12-54所示，依次為a和3a。試求正入射情況下,多光束產(chǎn)生干涉有1+e/8+ei28+ei38+ei（N-1）5+e«s1+ei（8+82）+ei（8+282）+ei81+（N-1）82E（P）=Aa丿則M-M*=4cos2透射光強1=410(.NQsm028<2丿0C0S412=104兀bsin0Co

14、s2P)2(sin6NP15.塊閃耀光柵寬260mm，每毫米有300個刻槽，閃耀角為77012'。（1）求光束垂直于槽面入射時，對于波長九二500nm的光的分辨本領(lǐng)；（2）光柵的自由光譜范圍有多大（3）試問空氣間隔為1cm,精細度為25的法布里-珀羅標準具的分辨本領(lǐng)和自由光譜范圍作一比較。解：（1）光柵刻痕數(shù)為N=-y=7.8x104dp2xmmxsin77O12'500x10-6mm閃耀級數(shù)為m=一嚴=300-B13九“分辨本領(lǐng)為丸=mN106A入九500(2)自由光譜范圍為AX=38.5nmm13(3)F-P標準具的分辨為A=0.97ms=0.97x絲-sB106九“九25

15、002_比光柵小得多自由光譜范圍為AX=刃=時=0.0125nm16.一透射式階梯光柵由20塊折射率相同、厚度相等的玻璃平板平行呈階梯狀疊成,厚板t二1cm，玻璃折射率n二1.5，階梯高度d二0.1cm。以波長九二500nm的單色光垂直照射,試計算（1）入射光方向上干涉主極大的級次；（2）光柵的角色散和分辨本領(lǐng)（假定玻璃折射率不隨波長變化）。解：（1）由于階梯高度d與九相比極大，所以衍射角極小，此時相鄰兩階梯的光程差為A=nl一cos01+dsin0=（n一l）l+d0對應0=0處,(n-1)1九(2)Q(n1)1+d-0=m九設(shè)n與九相比變化很小，即=0.黑=10-2rad/nm5九d.九分

16、辨本領(lǐng)A=入方=mN=104x20=2x105兀17. 設(shè)光柵的振幅透射系數(shù)為t(x)=t+1cos2kfx+1cos(2兀fx+)，這塊光柵010102的夫瑯和費衍射場中將出現(xiàn)幾個衍射斑各斑的中心強度與零級的比值是多少18. 在寬度為b的狹縫上放一折射率為n、折射角為a的小光楔，由平面單色波垂直照射(見圖12-55)，求夫瑯和費衍射圖樣的光強分布以及中央零級極大和極小的方向。19. 圖12-56為一透射型閃耀光柵，周期為d，閃耀角為a，由平面波垂直入射(1)求夫瑯和費衍射圖樣的光強分布。(2)求光柵對m=1級光譜閃耀時a應滿足的條件。(3)試分析對m=1級閃耀時，光譜強度分布的特點。圖12-

17、56習題24圖20. 如圖12-58所示，單色點光源（波長九二500nm）安放在離光闌lm遠的地方，光闌上有一個內(nèi)外半徑分別為0.5mm和1mm的通光圓環(huán)。考察點P離光闌lm（SP連線通過圓環(huán)中心并垂直于圓環(huán)平面），問在P點的光強和沒有光闌時的光強之比是多P圖12-58習題28圖解：半徑為1mm的圓孔包含波帶數(shù)為p2（R+r）（1mm）2（1000mm+1000mm）J4rR九1000mmx1000mmx500x10-6mm0半徑為0.5mm的圓屏擋住的J'1圓環(huán)通過波帶數(shù)為3,由于相鄰波帶相消，所以只有一個波帶的光在P點產(chǎn)生振幅，無光闌時P點振幅為第一波帶產(chǎn)生振幅的j，所以放置光闌前

18、后光強變化4倍。21.波長九二563.3nm的平行光正入射直徑D二2.6mm的圓孔，與孔相距丨二lm處放一屏幕。問（1）屏幕上正對圓孔中心的P點是亮點還是暗點（2）要使P點變成與（1）相反的情況，至少要把屏幕向前（同時求出向后）移動多少距離解：在P點包含的波帶數(shù)為-）2-3（R"）rR九r九lx563.3x10-900中心為亮點p2（R+r）o2G.3x10一3J二0p2G.3X10-3丄令J二2r=1.5moJ九2x563.3X10-9p21.3X10-32J=4ro=J=4X563.3X10-9=0.75m22試寫出圖中雙狹縫衍射屏的復振幅透射系數(shù)的表達式(設(shè)縫寬為a,縫距為b,且b=4a)。(2) .用單位振幅單色平面光波正入射照明時，試求在透鏡L后焦面內(nèi)沿x軸的復振幅分布。(3) .求在透鏡L后焦面內(nèi)沿x軸的光強度分布。(4) .指明光強度分布的特征(單縫衍射中央亮區(qū)的半角寬度；干涉主亮紋間距)。nL1b、f-9-f*解(1)雙狹縫衍射屏的復振幅透射系數(shù)為：t憶)=1，-(彳-勺金(2+2)及t憶