信號與系統(tǒng)知識要點(diǎn)

1、信號與系統(tǒng)知識要點(diǎn)第一章信號與系統(tǒng)1、周期信號的判斷(1)連續(xù)信號思路：兩個周期信號x(t)和y(t)的周期分別為T1和T2,如果為有理T2N2數(shù)(不可約)，則所其和信號x(t)+y(t)為周期信號，且周期為Ti和T2的最小公倍數(shù)，即T=N2Tl=N1T2。(2)離散信號思路：離散余弦信號Goso0n(或sinccn)不一定是周期的，當(dāng)空為整數(shù)時，周期N=;.0.'02-=M為有理數(shù)(不可約)時，周期N=N1;0N2_2_J為無理數(shù)時，為非周期序列10注意：和信號周期的判斷同連續(xù)信號的情況。2、能量信號與功率信號的判斷(1)定義連續(xù)信號離散信號def3信號能量：E=.二f(t)2dtE

2、='|f(k)|2-k="；信號功率:def1P=lim2rT:T-2f(t)2dt1N/2lim;N-Nk-N/2If(k)|2(2)判斷方法能量信號：E<«,P=0功率信號：P<°°,E=°0(3)一般規(guī)律一般闔期信號為功率信號時限信號(僅在有限時間區(qū)間不為零的非周期信號.)為能量信號;還有一些非周期信號，也是非能量信號。K2O2tO二，:0t0正弦信號:f(t)=Ksin(，t-)抽樣信號:4tftf(t)=Keat,awR例如：e(t)是功率信號；t£(t)為非功率非能量信?。?lt;0：-03、典型信號c

3、，、sintSa(t)=t3)信號的微分和積分注意：帶跳變點(diǎn)的分段信號的導(dǎo)數(shù)，必含有沖激函數(shù)，其跳變幅度就是沖激函數(shù)的強(qiáng)度。正跳變對應(yīng)著正沖激；負(fù)跳變對應(yīng)著負(fù)沖激。5、階躍函數(shù)和沖激函數(shù)(1)單位階躍信號(0t<0u=1t>0t=0是u(t)的跳變點(diǎn)。4、信1)2)號的基本運(yùn)算兩信號的相加和相乘信號的時間變化a)反轉(zhuǎn)：f(t)>f(-t)b)平移：f(t)>f(t-t0)c)尺度變換：f(tjf(at)(2)單位沖激信號定義：.二dt=1f-、(t)=0t=03支歐拉公式:e咐=cos：t+jsin。t-ite=cost-jsint!cosM=1(ej"+ej

4、t)2.t.tsint=(ejOt-ejOt)2j:f(t)、.(t)dt=f(0)1)取樣性joO：(t-ti)f(t)dt=f(ti)-QCif(t)、.(t)=f(0)、.(t)f(t)；.(t-to)=f(t0)、.(t-t。)2)偶函數(shù)、.(t)=、.(t)13)尺度變換c.(at)=、：ta4)微積分Tt質(zhì)5(t)=du(t)5(T)di=u(t)dt-二(3)沖激偶.(t)性質(zhì)：f(t)"(t)=f(0)*(t)(0)6(t)tf(t)、.(t)dt-(0)、.dt=、.(t)JmuOQ、.(_t)="(t)(t)dt=0(4)斜升函數(shù)r(t)=tw(t)=f

5、s(i)dt(5)門函數(shù)G(t)=；(t)-；(t-)226、系統(tǒng)的特性(重點(diǎn)：線性和時不變性的判斷)(1)線性1)定義：若同時滿足疊加性與均勻性，則稱滿足線性性質(zhì)。當(dāng)激勵為Gf1(t)+C2f2(t)時，系統(tǒng)的響應(yīng)為gyO+C2y2(t)2)線性系統(tǒng)分解特性：y=丫Z,yzs零輸入線性零狀態(tài)線性(2)時不變性：當(dāng)激勵為f(t-10)時，響應(yīng)為y(t-t0)(3)因果性(4)穩(wěn)定性(5)微、積分特性。第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析1、時域分析法全響應(yīng)y(t)=自由響應(yīng)yh(t)+強(qiáng)迫響應(yīng)yp(t)；(一般都可以通過復(fù)頻域分全響應(yīng)y(t)=零輸入響應(yīng)yzi(t)+零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)；析法求)零狀態(tài)

6、響應(yīng)yzs(t)=f(t)"h(t)2、沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)(1)定義：沖激響應(yīng)：由單位沖激函數(shù)6(t)所引起的零狀態(tài)響應(yīng)，記為h(t)0階躍響應(yīng)：由單位階躍函數(shù)e(t)所引起的零狀態(tài)響應(yīng)，記為g(t)。(2)關(guān)系：ht='：；，gt=hjd.3、卷積積分(1)定義fit*f2t)=J-fi-f2t-d.(兩個因果信號的卷積，其積分限是從0至M)(2)計(jì)算：一般計(jì)算用拉普拉斯變換；如果要計(jì)算某一個值，比如設(shè)f(t)=fi(t)*f2(t),計(jì)算f(3),用圖示法。圖示法可分解為四步：1)換兀：t換為T一得fl(T),f2(T)2)反轉(zhuǎn)平移：由f2(IT)反轉(zhuǎn)ff2(-T)右移t

7、一f2(t-)3)乘積：fl(T)f2(t-)4)積分：P從-00到oo對乘積項(xiàng)積分。(3)性質(zhì)：a)代數(shù)律(交換律；結(jié)合律、分配律)b)ft*、.t=ftft*t-to=ft-tof(t-tl)*(t-t2)=f(t-tl-t2)V)*«t)=t；(t)tf(t)*;(t)=jf(.)d.一工，c)卷積的微分與積分:設(shè)f(t戶f1(tff2(t),則Mkt尸f1(j)(t)*f尸)(t)d)卷積結(jié)果函數(shù)定義域的確定設(shè)fi(t)的定義域?yàn)椋簍Titz】，f2(t)的定義域?yàn)椋簍k3t4，那么f(t)=fi(t(f2(t)的定義域?yàn)?1+t3t2+t4第三章離散系統(tǒng)的時域分析i、時域分

8、析法全響應(yīng)y(k)=自由響應(yīng)yh(k)+強(qiáng)迫響應(yīng)yp(k)全響應(yīng)y(k)=零輸入響應(yīng)yzi(k)+零狀態(tài)響應(yīng)yzs(k)(一般都可以通過Z域分析法求)零狀態(tài)響應(yīng)yzs(k)=f(k)*h(k)2、序歹U6(k)和£(k)(1)單位(樣值)序列6(k)定義：取樣性質(zhì):def1(k)=，0,k=0k=0f(k)，(k)=f(0)、.(k)f(k)、(k-ko)=f(ko)、(k-k0)'、f(k)、(k)=f(0)kZ:二(2)單位階躍序列e(k)def1,k_0(k)='0,k：0(3)&(口與6(公的關(guān)系、(k)=：,；(k)-；(k-1)；(k)八、.(i)

9、八、(k-j)3、單位序列響應(yīng)門防躍響應(yīng)(1)定義沖激響應(yīng)：由單位沖激函數(shù)6(k)所引起的零狀態(tài)響應(yīng)，記為h(k)階躍響應(yīng)：由單位階躍函數(shù)e(k)所引起的零狀態(tài)響應(yīng)，記為g(k)(2)關(guān)系kEg(k)-h(i)-h(k-j)i-：j=0h(k)=g(k)-g(k-1)(3)兩個常用的求和公式k1k2”a=1a=1k2aa“aj=1-a"1k2-k11I(kz+K-K+D(k2*1)-23、卷積和oO(D定義G(k)*f2(k)='、f1(i)f2(k-i)i-：(2)計(jì)算：豎乘法、圖解法和z變換法。有限長序列的卷積和用豎乘法；其他情況下一般用z變換法計(jì)算，但如果只計(jì)算某一個值

10、，比如設(shè)f(k產(chǎn)i(k)*f2(k),計(jì)算f(3),用圖示法。圖示法可分解為四步：1)換兀：k換為i一得3。)、f2(i)2)反轉(zhuǎn)平移：由f2(i)反轉(zhuǎn)一f2(-i)平移k-f2(k-i)3)乘積：fi(i)f2(k-i)4)求和：i從-00到oo對乘積項(xiàng)求和。(3)性質(zhì)a)代數(shù)律(交換律；結(jié)合律、分配律)b)f(k)*s(k)=f(k),f(k)*s(kk0)=f(kk0)kf(k)*£(k)=Zf(i)i-.：fi(k-ki)*f2(k-k2)=fi(k-ki-k2)*f2(k)c)卷積和序列定義域的確定設(shè)工)的定義域?yàn)椋簄whn2,f2(n)的定義域?yàn)椋簄wIn3n4,那么f(

11、n)=f(n)*f2(n)的定義域?yàn)椋簄Ini+n3n2+n4d)卷積結(jié)果函數(shù)元素個數(shù)的確定若fi(k)的元素個數(shù)為：ki,f2(k)的元素個數(shù)為：k2,那么f(k)=fi(k*f2(k)的元素個數(shù)為：ki+k2-i第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析i、周期信號的傅里葉級數(shù)任一滿足狄里赫利條件的周期信號f(t)(Ti為其周期)可展開為傅里葉級數(shù)。(D三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)二一2二f(t)=a0+£ancos(nMt)+bnsin(n01tH式中。1=,n為正整數(shù)。nWTi傅里葉系數(shù)：直流分量a0=t0T1f(t)dtTi%余弦分量的幅度an2t0TiT1%f(t)cos(n1t)dt

12、、，一、2卜Ti正弦分重的幅度bn=f(t)sin(nit)dtTi%qQ三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的另一種形式為f(t)=a°+£Acos(EM+Q)n1(2)指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)f(t)=£Fnejn式中,n為從3到出c的整數(shù)。n二年傅里葉系數(shù)：Fntn-Ti=f(t)en%tto(3)對稱性利用周期信號的對稱性可以簡化傅里葉級數(shù)中系數(shù)的計(jì)算。從而可知周期信號所包含的頻率成分。有些周期信號的對稱性是隱藏的，刪除直流分量后就可以顯示其對稱性。實(shí)偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)中不包含正弦項(xiàng)，只可能包含直流項(xiàng)和余弦項(xiàng)。T4to-f(t)=f(-t),縱軸對稱偶函數(shù)bn=0,an=

13、J2f(t)cosnCtdtT飛實(shí)奇數(shù)的傅里葉級數(shù)中不包含余弦項(xiàng)和直流項(xiàng)，只可能包含正弦項(xiàng)。4b；_f(t)-f(-t),原點(diǎn)對稱(奇函數(shù))an=0,bn=2f(t)sinnIdtTl實(shí)奇諧函數(shù)的傅里葉級數(shù)中只可能包含基波和奇次諧波的正弦、余弦項(xiàng)，而不包含偶次諧波項(xiàng)。f(t)=f(t+T),半周鏡像(奇諧函數(shù))無偶次諧波，只有奇次諧波分量“t)=f(t+；),半周重疊(偶諧函數(shù))無奇次諧波，只有直流和偶次諧波2、周期信號的頻譜(1)會畫單邊幅度譜、相位譜和雙邊幅度譜、相位譜(2)從對周期矩形脈沖信號的分析可知：1)信號的持續(xù)時間與頻帶寬度成反比；2)周期T越大，譜線越密，離散頻譜將變成連續(xù)頻譜

14、；3)周期信號頻譜的三大特點(diǎn)：離散性、諧波性、收斂性。(3)周期信號的功率1Tcac81c00.2P=1后f2(t)dt=(才)2+£&=£|FnI-22nm2n=.：二3、傅里葉變換(1)定義正變換：F()=ff(t)=：'f(t)e-jtdt11!-t反變換：f(t)=fF()=F()ejd-說明：頻譜密度函數(shù)F()一般是復(fù)函數(shù)，可以寫作F0)=F(0)e”切。其中|F(6)是F(。)的模，它代表信號中個頻譜分量的相對大小，是切的偶函數(shù)邛州)是F(。)的相位函數(shù)，它表示信號中各頻率分量之間的相位關(guān)系，是缶的奇函數(shù)。(2)常用變換對(a>0)二ti-

15、12sgntj1L2二二心)上1；t，一：c.一j®COS''0tr3心T%.,-.0sin,，0tj3f0.-'0TQO8'丁(t)="、.(t-nT)：八、”()=；八，,.('-nj)n二：n=二二4、傅里葉變換的性質(zhì)1)線性af1(t)+bf2(t)eaF1(jo)+bF2(jo)2)奇偶虛實(shí)性若F(M=R9)+jX(E),則若f(t)是實(shí)偶函數(shù)，則F9)=R9),即F(0)為8的實(shí)偶函數(shù)；若f(t)是實(shí)奇函數(shù)，則F8)=jX(。)，即F(CO)為缶的虛奇函數(shù)3)對稱性F(jt)H2nf(e)4)尺度變換f(at)-a二F(j

16、2)|aa5)時移特性f(tt0)-TF(js)e"*06)頻移特性f(t)e儂tTFj(o-Co)7)時域卷積f(t)"f2(t)<-3F1(j6)F2(j6)1頻域卷積力f2F1(j)F2(j)2 二n一8)時域微分(j。)F(j)dtnt，1時域積分f(.)d.，,F(j，)二F(0)、(，)-二j.其中F(0)=.；f(t)dt9)頻域微分tnf(t/>jndFn(j.)頻域積分1f(0),(t)T(t)，w其中f(0)=1二F(j)d2二5、帕斯瓦爾定理_.21-2E=If(t)dt=F(jco)dco2n/16、周期信號的傅里葉變換8Ff(t)-2F

17、n'M-n，)n二二;QO或Ff(t)-F0(jn，)、(,-n1.1)n二二7、頻域分析(1)對于LTI系統(tǒng)，若輸入為非周期信號，系統(tǒng)的零狀態(tài)響可用傅里葉變換求得。其方法為：1)2)3)4)求激勵f(t)的傅里葉變換F(jo)o求頻域系統(tǒng)函數(shù)H(j)o求零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)的傅里葉變換YZs(j©),即YZs(jco)=H(jCO)F(j©)0求零狀態(tài)響應(yīng)的時域解，即yzs(t)=F-1YZs(j)(2)無失真?zhèn)鬏斣跁r域中，無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件是在頻域中，無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的特性為(3)理想濾波器y(t)=Kf(t-to)H(j)-Ke-j10*|H(jw)|K理想濾波

18、器是指可使通帶之內(nèi)的輸入信號的所有頻率分量以相同的增施和延時完全通過，且完全阻止通帶之外的輸入信號的所有頻率分量的濾波器。理想濾波器是非因果性的，物理上不可實(shí)現(xiàn)的。其頻率響應(yīng)為e"1/卜卜/.H(j)=八0,-心稱為截止角頻率4|H(jw)|1即缶在0M的低頻段內(nèi)，傳輸信號無失真8、時域取樣定理(1)為恢復(fù)原信號，必須滿足兩個條件：1)f(t)必須是帶限信號；2)取樣頻率不能太低，必須fs>2fm,CC?(w)或者說，取樣間隔不能太大，必須Ts<1/(2fm);否則將發(fā)生混疊。(2)通常把最低允許的取樣頻率fs=2fm稱為奈奎斯特(Nyquist)頻率；把最大允許的取樣間

19、隔Ts=1/(2fm淋為奈奎斯特間隔。第五章連續(xù)系統(tǒng)的s域分析1、拉氏變換(1)定義(單邊)二stF(s)=0f(t)e£%t(2)收斂域使得拉氏變換存在的S平面上仃的取值范圍稱為拉氏變換的收斂域。1) f是有限長時，收斂域?yàn)檎麄€S平面；2) f是右邊信號時，收斂域?yàn)樨甑挠疫厖^(qū)域；3) f是左邊信號時，收斂域?yàn)樨晷牡淖筮厖^(qū)域；4) f是雙邊信號時，收斂域?yàn)镾平面上一條帶狀區(qū)域。說明：我們討論單邊拉氏變換，只要。取得足夠大總是滿足絕對可積條件,因此一般不寫收斂域。(3)常用變換對eatU(t)H，(a為任意常數(shù))6(t)H1s-a質(zhì)1_1名(t)1tt)修ss4s3一ncos00tw(

20、t)H-22sin8ntw(t)g-2s-0so1,7st1。e2、拉普拉斯變換的性質(zhì)線性：a1fl(t)a2f2(t)ia1F1(s)a2F2(s)6、1s尺度變換：f(at)-F(-)aa時移：f(t-to)；(t-to”F(s)ei頻移："DetF(s-so)公葉”在八.df(t)nn4n-2(nf,時域微分：sF(s)-sf(0)-sf(0)-HI-f()(0)dtt111時域積分：f(.)dF(s)f-(0_)-二ss卷積定理：fi(t)-f2(t).Fi(s)F2(s).1fi(t)f2(t)，F(xiàn)i(s)F2(s)2二js域微、積分:t"-竽ds11fj；F(s

21、)ds初、終值定理初值定理：F(s)為二0<0,FKs)_sT1-e設(shè)函數(shù)f(t)不含6(t)及其各階導(dǎo)數(shù)(即F(s)為真分式，若假分式化為真分式)f(0)=limf(t)=limsF(s)終值定理：若f(t)當(dāng)t-8時存在，并且f(t)修F(s),Res>a0,則f(:：)=limsF(s)說明：(1)一般規(guī)律：有t相乘時，用頻域微分性質(zhì)；有實(shí)指數(shù)e"相乘時，用頻移性質(zhì)；分段直線組成的波形，用時域微分性質(zhì)；周期信號，只要求出第一周期的拉氏變換E(s),F(s)=(2)由于拉氏變換均指單邊拉氏變換，對于非因果信號，在求其拉氏變換時應(yīng)當(dāng)作因果信號處理。3、拉普拉斯逆變換(部

22、分分式展開法)(1)單實(shí)根(2)共腕單根F(s)IIIn-s-P1s-P2s-PnKi=(s-Pi)F(s)s印F(s)=K11+K12(系數(shù)求法同上)s+0C-jBs+jB若K11=A+jB=|Kn|ej6,則-f(t)=2|Kn|ecosetf；(t)或，f(t)=2e|Acos:t-BsintJ(3)重根(重點(diǎn)：二重)F(s)=/r+K12y+川十人鼻十J(s-P1)(s-P1)(s-P1)s-P1i±1d.jKlmR(s)i=1,2,3,111ks=Pi(i-1)!ds4、s域分析(1)微分方程的拉普拉斯變換分析當(dāng)線性時不變系統(tǒng)用線性常系數(shù)微分方程描述時，可對方程兩邊取拉氏變

23、換，并代入初始條件，從而將時域方程轉(zhuǎn)化為S域代數(shù)方程，求出響應(yīng)(2)(3)(4)的象函數(shù)，再對其求逆變換得到系統(tǒng)的響應(yīng)。系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)Yzs(s)=H(s)F(s)其中，h=H(s),H(s)是沖激響應(yīng)的象函數(shù)，稱為系統(tǒng)函數(shù)。系統(tǒng)函數(shù)定義為：系統(tǒng)的S域框圖動態(tài)電路的S域模型:Yzs(s)H(s)F(s)由時域電路模型能正確畫出S域電路模型，是用拉普拉斯變換分析電路的基礎(chǔ)。引入復(fù)頻域阻抗后，電路定律的復(fù)頻域形式與其相量形式相似。iL(t)u(t)L_O+U(s)-,sLiL(0-)oLisLrvu(t)CU(s)111911sC)suC(t)十Uc(s)sLUc(0)0或弟八早離散系統(tǒng)的Z域分

24、析I(s)RIIo1、z變換(1)定義QOF(z)-f(n)z”n二二二稱為序列f(k)的雙邊Z變換Q0F(z)="f(n)zHn=0稱為序列f(k)的單邊z變換(2)收斂域序列的收斂域大致有一下幾種情況：1)對于有限長的序列，其雙邊z變換在整個平面；2)對因果序列，其z變換的收斂域?yàn)槟硞€圓外區(qū)域；3)對反因果序列，其z變換的收斂域?yàn)槟硞€圓內(nèi)區(qū)域;4)對雙邊序列，其z變換的收斂域?yàn)榄h(huán)狀區(qū)域；(3)常用變換對ak8(k)HL,z>a(a為任意常數(shù))z-aa(k*1,全z平面；kzz-1k名(k*土臣，z>1(z-n-a5(-k-1)Hz,z<a(a為任意常數(shù))z-a2

25、、z變換的性質(zhì)(1)線性:a1f1(k)a2f2(k)=aF4z)a2F2(z)(2)移序：雙邊f(xié)(kn)LznF(z)f(k-n)z”F(z)單邊n-1f(kn)-znF(z)-zn:f(k)z"k=0f(kn)；(kn)Iz43F(z)(3)z域尺度變換：akf(k)修F(-)a(4)卷積定理：f1(k)f2(k)、F1(z)F2(z)(5)z域微分特性:knf(k>>(6) z域微分特性：上區(qū)zm：ydkmz(7) k域反轉(zhuǎn)：(僅適用雙邊z變換)f(-k)1F(z)k(8)部分和：'、f(i)，F(xiàn)(z)i-.：z-1(9)初、終值定理：(適用于右邊序列)f(0)=網(wǎng)：f(z)5 .逆Z變換(部分分式法)先把F展成部分分式，然后再乘以zz系數(shù)求法同拉普拉斯逆變換。6 .Z域分析1)差分方程的變換解2)系統(tǒng)函數(shù)H